全等三角形之半角模型

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初二上学期全等三角形专题之半角模型教案(有答案)

半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。

）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。

（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。

例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。

2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。

全等三角形的半角模型

全等三角形的半角模型1. 引言：三角形的魅力说到三角形，哎呀，谁能不想起它那种简单却又神奇的形状呢？想象一下，三根边，三个角，乍一看好像没啥特别的，可一旦深入了解，哇，简直就像打开了宝藏一样！全等三角形就更是其中的明星，简直能让你大开眼界。

就像小孩看到糖果一样，满心欢喜。

而今天，我们就要聊聊这全等三角形的半角模型，听起来复杂，其实比吃糖还简单哦！1.1 什么是全等三角形？首先，咱得搞清楚什么叫全等三角形。

简单来说，就是这两个三角形的形状和大小都一模一样，没差别，真是“形影不离”啊！想象一下，跟你最好的朋友站在一起，你们穿着一模一样的衣服，哈哈，简直就是双胞胎！在数学上，全等三角形有几个重要的特征，比如它们的边长、角度都完全相等，这简直是三角形界的“姐妹花”。

1.2 半角模型的魔力接下来，咱们要聊聊半角模型，这个听起来有点复杂的概念，其实就是将一个角度分成两个小角，像是把一块蛋糕切成两半，嘿嘿！这样做的好处多着呢。

通过半角模型，我们可以更容易地计算一些复杂的三角关系，简直就像给我们的数学问题开了一扇窗，让光明洒进来！2. 半角公式的基本知识好啦，进入正题！大家准备好纸和笔了吗？咱们要揭开这个半角模型的神秘面纱。

半角公式其实是一些用于计算三角形角度的公式，简单说就是用来帮助我们更快找到答案的小助手。

比如，正弦、余弦和正切的半角公式，听起来是不是有点高大上？别担心，我来给你拆解。

2.1 正弦的半角公式正弦的半角公式特别简单，记住这句话：“sin(θ/2) = √(1 cosθ)/2”。

看似复杂，实际上就像拆解魔方一样，把大问题变成了小问题。

你只需要找出cosθ的值，然后一代入，就能轻松算出sin(θ/2)，真是省时省力！2.2 余弦的半角公式接下来，余弦的半角公式也是一样的简单。

公式是“cos(θ/2) = √(1 + cosθ)/2”。

说实话，听到这个公式的时候，我真是忍不住要给数学点个赞！它让我们在复杂的三角形问题中找到了一条捷径，真是如鱼得水，轻松无比。

全等三角形之手拉手模型与半角模型

全等三角形之手拉手模型与半角模型.docx全等三角形全等三角形是指两个三角形的所有对应边和对应角都相等。

在几何学中，我们可以通过手拉手模型和半角模型来证明两个三角形是否全等。

手拉手模型是一种直观的证明方法，它利用手指来模拟三角形的边和角度。

首先，我们将两个三角形的一个顶点对齐，然后将手指放在对应的边上，同时保持手指的角度相同。

如果我们可以通过这种方式将两个三角形完全重合，那么它们就是全等三角形。

半角模型则是一种更加精确的证明方法，它利用三角形的半角来判断它们是否全等。

在两个三角形的一个顶点处，我们将两个角度分别平分为两个半角，然后将半角对应的边对齐。

如果我们可以通过这种方式将两个三角形完全重合，那么它们就是全等三角形。

总之，全等三角形是几何学中非常重要的概念，它们具有相同的形状和大小。

通过手拉手模型和半角模型，我们可以轻松地判断两个三角形是否全等。

1.手拉手模型1.1 定义手拉手模型是一种解决三角形问题的方法，它利用三角形内部的相似三角形来求解。

1.2 任意等腰三角形下的手拉手模型在任意等腰三角形ABC中，连接AB和AC的中点D和E，连接BE和CD，交点为F。

则三角形DEF与三角形ABC 相似，且比例为1:4.1.3 等边三角形下的手拉手模型在等边三角形ABC中，连接AB和AC的中点D和E，连接BE和CD，交点为F。

则三角形DEF与三角形ABC相似，且比例为1:3.1.4 等腰直角三角形下的手拉手模型在等腰直角三角形ABC中，连接AB和AC的中点D和E，连接BE和CD，交点为F。

则三角形DEF与三角形ABC 相似，且比例为1:2.1.5 例题已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，BC=4√2，点D为BC的中点，连接AD和BD，交点为E。

求AE的长度。

解：连接BE和CD，交点为F。

由手拉手模型可知，三角形DEF与三角形ABC相似，且比例为1:2.因此，DE=2，EF=2√2，AF=2+2√2.又因为三角形ADE为直角三角形，所以AE=√(AD²+DE²)=2√5.答案为2√5.2.半角模型2.1 定义半角模型是一种解决三角形问题的方法，它利用三角形内部的半角来求解。

全等三角形模型之 - 半角模型

半角模型（一）把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

特点：①大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一般②大角的两边相等，保证旋转之后能够完全重合③大角的两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线上2、解题思路①将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；②证明与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120°，∠EDF = 60°，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E , F 。

求证：EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点D ,E 在BC 上，且满足∠DAE = 45°。

求证：DE^2 = BD^2 + CE^2半角模型练习（二）条件：ABCD为正方形，∠MAN=45°，AM 与AN 分别与BC 边和CD 边交与M,N 两点，连接MN.思路：1、旋转辅助线；①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FE=DM ，连AF②将三角形AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到三角形ABF 。

注意：旋转需证F,B.M 三点共线结论：MN=BM+DN（2）C 三角形CMN=2AB（3）AM,AN 分别平分∠BMN,∠MND2、翻转（对称）辅助线：①做AP 垂直MN ，交MN 于点P②将三角形AND,三角形ABM 分别沿着AM,AM 翻转，但一定要证明M,P ,N 三点共线如图，正方形ABCD 的边长为2，点EF 分别是在AD ，CD 上，若∠EBF=45°，则三角形EDF 的周长等于多少？例题：已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF ，为了证明结论“EF=BE+DF ”，小明将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF 的两边分别与CB 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，试探究线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并证明：。

半角模型(学生版)--全等三角形的七大模型全攻略

半角模型基本模型：例题精讲1(120°与60°)问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC= 120°，BD=DC．特例探究如图1，当DM=DN时，(1)∠MDB= 度；(2)MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明(3)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE=BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为．2(60°与30°)问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON=60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：(1)如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；(2)如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．3(90°与45°)如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE +CF=EF(不用证明)．(1)如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB 与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．【变式训练】1已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E、F．(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+=．(不需证明)(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时，上述(1)中结论是否成立？请说明理由．(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时，上述(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE= 1∠BCD.2(1)求证：BF=EF-ED；(2)连结AC，若∠B=80°,∠DEC=70°，求∠ACF的度数.3问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，连接EF ，探究线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，从而得出结论：；(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请探究线段BE ，EF ，DF 具有怎样的数量关系，并证明．4综合与实践(1)如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =45°，则MN ，AM ，CN 的数量关系为．(2)如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC ，∠A +∠C =180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．课后训练5如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．(1)如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；(2)如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数；(3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度．6(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=100°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF ≌△AGF，可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF =∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．7已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．8(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证:EF=BE+FD;(2)如图2在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图3在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.9如图，CA=CB，CA⊥CB，∠ECF=45°，CD=CF，∠ACD=∠BCF．(1)求∠ACE+∠BCF的度数；(2)以E为圆心，以AE长为半径作弧；以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G，试探索△EFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．。

初一全等三角形的手拉手模型与半角模型

初一全等三角形的手拉手模型与半角模型
1、手拉手模型
定义：两个顶角相等且有公共定点的等腰三角形形成的图形；
如图所示，△ABC与△ADE为等腰三角形，点A为顶点且∠CAB=∠EAD，则在初一的情况下我们可以得到下面两个结论：
1、线段CE长度与线段BD长度相等
证明提醒：证明△ABD与△ACE全等；
2、∠CFB=∠CAB=∠EAD
证明提醒：利用三角形内角和，或者说是8字形，利用前面的△ABD与△ACE全等，可以推出∠FCG=∠BGA，利用△CGF与△BGA的内角和求证出结论
例题：
如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1）△ABE ≌△DBC ；
（2）AE=DC ；
（3）AE 与DC 的夹角为60°； E B D
A
C
2、半角模型定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。

如图：正方形ABCD 中∠EAF 角度为45°，且E 在边BC 上，F 在边CD 上则可求得：BE+DF=EF
证明思路：旋转全等，便于求证
所有的半角均可以采用全等的旋转完成的，但是在描述的时候可以描述为构造全等例题：将上述过程进行证明，书写过程。

专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)

专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

专题11 全等模型—半角模型-2020年决胜中考经典专题分析

2020年决胜中考经典专题分析专题11 全等模型—半角模型什么叫半角模型定义：我们习惯把等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型我们称为半角模型半角模型特征：两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，大角的两边相等解题思路（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；（2）证明与半角形成的三角形全等；（3）通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等90°半角模型在正方形ABCD中，∠EAF=45°延长CB到点H，使得BH=DF，连接AH由题意得：四边形ABCD是正方形，所以AB=AD∠ABH=∠D在△ABH和△ADF中AB=AD则有∠ABH=∠D（边角边）BH=DF因此△ABH≌△ADF （SAS）则有∠FAD=∠HAB AH=AF∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠FAD＋∠BAE=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°即∠HAE=∠HAB＋∠BAE=45°∠HAE=∠EAF在△△HAE和△FAE中AH=AF∠HAE=∠EAFAE = AE因此△HAE≌△FAE，所以HE=EF则可以推理出：HB＋BE=EF三角形CEF的周长等于EF＋EC＋FC= HB＋BE＋EC＋FC=BC＋DC则可以推理出：三角形CEF的周长等于正方形的周长一半由上面证明得△HAE≌△FAE，所以∠BEA=∠FEA则可以推理出：AE平分∠BEF又∵△ABH≌△ADF，∴∠H=∠AFD，∵△HAE≌△FAE，∴∠H=∠AFE，即∠AFE=∠AFD，则可以推理出：AF平分∠DFE.《典例1》如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD，CD上的点，∠EBF=45°，△EDF的周长为10，求四边形ABCD的周长？《答案》由题意得，延长AD到点H使得AH=CF∵四边形ABCD是正方形∴∠HAB=∠C=90° AB=BC∴△HAB≌△FCB即BH=BC ∠HBA=∠CBH则有∠HBE=∠EBF=45°BH=BC∠HBE=∠EBF （边角边）BE=BE∴△HAE≌△FBE （SAS）即HE=FE因此FE=AE＋CF∵△EDF的周长等于AD＋DC=10，∴四边形ABCD的周长=2（AD＋DC）=20．《精准解析》先作辅助线使得AH=CF，构造△HAB≌△FCB，再证明△HAE≌△FBE 得EF=EH，推理出EF=AE＋CF，则最终得到△EDF的周长等于AD＋DC=10，四边形ABCD的周长=2（AD＋DC）=20 120°半角模型，顶角为120°的等腰三角形BDC，∠MDN=60°△ABC是等边三角形.延长AB到点H,使得BH=CN，由题意得等腰三角形BDC中，∠BDC=120°，所以∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠HBD=∠ACD，在△HBD和△NCD中，BH=CN，∠HBD=∠ACD，BD=DC，所以△HBD≌△NCD（SAS），即DH=DN，∠HDB=∠CDN，因此∠HDM=∠MDN，则在△MDN和△HDM中，DH=DN∠HDM=∠MDN（边角边）DM=DM因此△MDN≌△HDM，结论：MN=BM＋NC，三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长．《典例2》如图，三角形ABC是等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°的角，使得两边分别交AB于M，交AC于点N，连接MN,,已经三角形ANM的周长为6，求等边三角形ABC的周长？《答案》延长AB到点H,使得BH=CN由题意得等腰三角形BDC中，∠BDC=120°所以∠DBC=∠DCB=30°∵△ABC是等边三角形∴∠ABD=∠ACD=90°即∠HBD=∠ACD在△HBD和△NCD中BH=CN∠HBD=∠ACD（SAS）BD=DC所以△HBD≌△NCD （SAS）即DH=DN，∠HDB=∠CDN，因此∠HDM=∠MDN，则在△MDN和△HDM中DH=DN∠HDM=∠MDN（边角边）DM=DM所以△MDN≌△HDM因此MN=BM＋NC，三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长∵三角形AMN的周长等于6，∴等边三角形ABC的边长=6÷2=3，因此等边三角形ABC的周长为：3×3=9.《精准解析》先作辅助线使得BH=CN，构造△HBD≌△NCD ，再证明△MDN≌△HDM 得HM=NM，推理出NM=BH＋BM=BH＋CN，因为三角形AMN的周长等于6，所以推理出等边三角形ABC的边长=6÷2=3，因此等边三角形ABC的周长为：3×3=9《典例3》已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕着点A顺时针旋转，他的两边分别交于CB,DC （或他们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H（1）如图1，∠MAN绕着点A顺时针旋转到BM=DN时，请直接写出AH与AB的数量关系：（）（2）如图2，∠MAN绕着点A顺时针旋转到BM≠DN时，（1）中的结论还可以成立吗？如果不成立写出结论，成立的话请证明。

全等三角形之手拉手模型和半角模型

一、什么叫半角模型
定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。

二、基本模型（1）——正方形内含半角
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。

三、基本模型（2）——等边三角形内含半角
四、基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角
手拉手模型。

专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(原卷版)

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

专题02 全等模型-半角模型(解析版)

专题02 全等模型-半角模型(解析版)全等模型-半角模型(解析版)全等模型是高中数学中的重要概念之一，它在几何图形的研究和证明中占据着重要地位。

而半角模型则是全等模型的一种特殊形式，在解题过程中起到简化问题的作用。

本文将深入探讨全等模型和半角模型，分析其定义、性质以及解题方法。

一、全等模型的定义与性质全等模型是指两个几何图形的各个对应部分完全相等。

当两个几何图形的所有对应角相等，对应边相等时，我们可以称这两个图形是全等的。

全等模型不仅包括了普通的三角形全等模型，还包括了平行四边形、直角三角形等特殊图形的全等模型。

全等模型的性质有以下几点：1. 全等模型的对应边和对应角相等。

2. 全等模型的对应线段相等。

3. 全等模型的对应角度相等。

二、半角模型的定义与性质半角模型是指含有一个角的两个图形，其中一个角为已知角，另一个角为未知角。

半角模型常见于求解未知角度的问题，特别是在解三角形问题时经常使用。

半角模型的性质有以下特点：1. 已知角和未知角的对应边是相等的。

2. 已知角和未知角的对应边可以通过等式关系来求解。

3. 半角模型可以通过运用角平分线的性质来简化问题。

三、全等模型与半角模型的关系全等模型包含了半角模型，因为当一个图形是全等模型时，我们可以通过已知角和对应边的关系来推导出未知角的值。

而半角模型是全等模型的一种特殊情况，它将求解未知角度的问题简化为已知角和对应边之间的关系。

在解题过程中，我们可以将全等模型转化为半角模型，通过已知条件等式的关系求解未知角度。

这种转化能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，并且降低解题的难度。

四、利用半角模型解题的具体方法利用半角模型解题的具体方法如下：1. 根据已知条件画出给定图形，并标出已知角度和对应边。

2. 将问题转化为半角模型，确定未知角度。

3. 利用已知角度和对应边之间的关系，建立方程或等式。

4. 解方程或等式，求解未知角度的值。

5. 检验解的合理性，并进行必要的推理和证明。

2023年中考数学常见几何模型之全等模型-半角模型

专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数，参考数据：1.7≈）．【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ，根据已知条件求得90E ∠=︒,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得,EC EB ，,AE AD ，从而求得AN AM +的长，根据材料可得MN DM BN =+，即可求解．【详解】解：如图，延长,AB DC 交于点E ，连接,CM CN ，Q 60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，30A ∴∠=︒，90E ∠=︒，100DC DM ==Q ∴△DCM 是等边三角形，60DCM ∴∠=︒,90BCM ∴∠=︒,在Rt BCE V 中，100BC =，18030ECB BCD ∠=︒−∠=︒，1502EB BC ==，EC =100DE DC EC ∴=+=+Rt ADE △中，2200AD DE ==+150AE =， ∴200100100AM AD DM =−=+=+()AN AB BN AE EB BN =−=−−())15050501=−−150=，100150250AM AN ∴+=+=+Rt CMB △中，BM ==Q )50501EN EB BN EC =+=+==∴△ECN 是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB ∴∠=∠−∠=∠−∠−∠=︒=∠由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+=，∴路线M N →的长比路线M A N →→的长少)250501200370+=+≈m ．答案：370．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系． (2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是⊙O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系． ADE ，证明△逆时针旋转，旋转角等于∠BAD ）将△ABP 绕点可知ABE ADE '≌△△，∴由∠ADC +∠ADE =180°知，∵12EAF BAD ∠=∠，∴∠BAF ∴∠DAE '+∠DAF =∠EAF =∴△AEF ≌△AE F '，∴EF =（2）证明：将△ABE 绕点A E '由旋转可知ABE ADE '≌△△，∴BE ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∴ADC ∠+∵12EAF BAD ∠=∠，∴BAE DAF ∠+∠∴12DAE DAF BAD '∠+∠=，∴FAE ∠由圆内接四边形性质得：∠AC 即P ，C ，P '在同一直线上．∴∵BC 为直径，∴∠BAC =90°=∠∴△PAP '为等腰直角三角形，∴【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG V ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且∠EAF =45°，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF ＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF ＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，△CEF的周分别在射线CB、DC上，且∠EAF=12长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，V AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．∵△ADF绕A顺时针旋转得△ABG，∴∠BAG=∠DAF，又AH=AN，AB=AD，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴DN=BH，∠ABH=∠ADN，∵∠B=60°，且∠EAF=60°．∴∠BAD=120°，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°，∴∠BAG+∠BAE=∠EAF，即∠MAH=∠MAN，而AH=AN，AM=AM，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MN=MH，∠AMN=∠AMH，∵菱形ABCD，∠B=60°，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∴△ADM中，∠DAM=∠AMD=75°，∴∠AMN=∠AMH=75°，∴∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°，∴∠BHM=90°，∴BH2+MH2=BM2，∴DN2+MN2=BM2．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用探究的结论解决新的问题，属于中考压轴题．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．（2）仍成立，理由：如图2，延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵∠B +∠ADF =180°，∠ADG +∠ADF =180°，∴∠B =∠ADG ，又∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴∠BAE =∠DAG ，AE =AG ，∵EF =BE +FD =DG +FD =GF ，AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF （SSS ），∴∠EAF =∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF ；1∠DAB ．证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题如图（3），在ABC V 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．Rt ECM 中，由勾股定理可解得ABCD 是矩形，又∵（2）如下图，延长CD 至点H 同（1）②的证明方法得ABE △BE FD EF +=．（3）如图过点C 作CM BC ⊥在ABC V 中，由90BAC ∠=︒，Rt ECM 中，由勾股定理得，523，即DE 【点睛】本题考查了特殊的平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定及勾股定理的应用，熟练应用相关定理和性质是解决本题的关键．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．AB AD =Q ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至△ADG ，AB 与AD 重合． ∠ADC =∠B =90°∠FDG =180°，点F 、D 、G 三点共线，则DAG BAE ∠∠=，AE AG =，∠F AG =∠F AD +∠GAD =∠F AD +∠BAE =90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF =∠F AG ，在△EAF 和△GAF 中，AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFG ≌△()AFE SAS ，∴EF =FG =BE +DF ；()2当180B D ∠+∠=︒，仍有EF BE DF =+．理由：AB AD =Q ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至△ADG ，可使AB 与AD 重合，如图2，BAE DAG ∴∠=∠，∠B =∠ADG90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴∠BAE +∠DAF =45°，∴∠F AG =45°∴∠EAF =∠F AG ， 180ADC B ∠+∠=︒Q ，∴∠ADC +∠ADG =180°∴∠FDG =180°，点F 、D 、G 共线．在△AFE 和△AFG 中，AE AG FAE FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△AFG (SAS)．EF FG ∴=，即：EF BE DF =+．故答案为：180B D ∠+∠=︒．()3将△ACE 绕点A 旋转到△ABF 的位置，连接DF ，则∠F AB =∠CAE90BAC ∠=︒Q ，45DAE ∠=︒，∴∠BAD +∠CAE =45°．又∵∠F AB =∠CAE ，∴∠F AB +∠BAD =45°，∴∠F AD =∠DAE =45°．则在△ADF 和△ADE 中， AD AD =，∠F AD =∠DAE ，AF AE =，4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】(1)BM DN MN +=，理由见解析；(2)DN BM MN −=，理由见解析【分析】（1）把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∆，然后证明得到AEM ANM ∆∆≌，从而证得ME MN =，可得结论；（2）首先证明ADQ ABM ∆∆≌，得DQ BM =，再证明AMN AQN ∆∆≌，得MN QN =，可得结论；（1）解：BM DN MN +=．理由如下：如图2，把ADN ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE ∆，90ABE ADN ∴∠=∠=︒，AE AN =，BE DN =，180ABE ABC ∴∠+∠=︒，∴点E ，点B ，点C 三点共线，90904545EAM NAM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，又45NAM ∠=︒Q ，在AEM ∆与ANM ∆中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ANM ∴∆∆≌（SAS ），ME MN ∴=， ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN ∴+=；（2）解：DN BM MN −=．理由如下：在线段DN 上截取DQ BM =，在ADQ ∆与ABM ∆中，AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADQ ABM ∴∆∆≌（SAS ）， DAQ BAM ∴∠=∠，QAN MAN ∴∠=∠．在AMN ∆和AQN ∆中，AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AMN AQN ∴∆∆≌（SAS ）， MN QN ∴=，DN BM MN ∴−=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN −=，见解析【分析】（1）把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，证得B 、E 、M 三点共线，即可得到AEM △≌ANM V ，从而证得ME MN =；（2）证明方法与（1）类似；（3）在线段DN 上截取DQ BM =，判断出ADQ △≌ABM V ，同（2）的方法，即可得出结论．（1）证明：如图1，∵把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，ABE ∴V ≌ADN △，AE ANM ∴=，ABE D ∠=∠，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D ∴∠=∠=︒，90ABE ABC ∴∠=∠=︒，∴点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，又45NAM ∠=︒Q ，在AEM △与ANM V 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ∴△≌()ANM SAS V ，ME MN ∴=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN ∴+=，BM DN =Q ，2MN BM ∴=．（2）证明：如图2，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE △，ABE ∴V ≌ADN △，AE ANM ∴=，ABE D ∠=∠，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D ∴∠=∠=︒，90ABE ABC ∴∠=∠=︒，∴点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，又45NAM ∠=︒Q ，在AEM △与ANMV 中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEM ∴△≌()ANM SAS V ，ME MN ∴=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN ∴+=．（3）解：DN BM MN −= 理由如下：如图3，在线段DN 上截取DQ BM =，连接AQ ，在ADQ △与ABM V 中，AD AB ADQ ABM DQ BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADQ ∴≌()ABM SAS V ，DAQ BAM ∴∠=∠，QAN MAN ∴∠=∠．在AMN V 和AQN △中，AQ AM QAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AMN ∴V ≌()AQN SAS V ，MN QN ∴=，DN BM MN ∴−=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF =BE +DF ，理由见解析；（2）EF =BE +DF ，理由见解析；（3）85海里【分析】（1）延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，可证得△ABE ≌△ADG ，可得到AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，再由100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，可证得△AEF ≌△AGF ，从而得到EF =FG ，即可求解；（2）延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，可证得△ABE ≌△ADH ，可得到AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，再由2BAD EAF ∠∠=，可证得△AEF ≌△AHF ，从而得到EF =FH ，即可求解；（3）连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意可得∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD =AC +BD ，即可求解．【详解】解：（1）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵90ABC ADC ∠=∠=︒，∴∠ADG =∠ABC =90°，∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG ，∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，∴∠BAE +∠DAF =50°，∴∠F AG =∠EAF =50°，∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF ，∴EF =FG ，∵FG =DG +DF ，∴EF =DG +DF =BE +DF ；（2）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∠ADC +∠ADH =180°，∴∠ADH =∠ABC ，∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADH ，∴AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，∵2BAD EAF ∠∠=∴∠EAF =∠BAE +∠DAF =∠DAF +∠DAH ，∴∠EAF =∠HAF ， ∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AHF ，∴EF =FH ，∵FH =DH +DF ，∴EF =DH +DF =BE +DF ；（3）如图，连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意得： ∠AOB =20°+90°+40°=150°，∠OBD =60°+50°=110°，∠COD =75°，∠OAM =90°-20°=70°，OA =OB ，∴∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，∵OA =OB ，∴由（2）【迁移推广】得：CD =AC +BD ，∵AC =80×0.5=40，BD =90×0.5=45，∴CD =40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到△ACF ，联结EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△F AE ≌△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE （即DE ）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE 的度数是，DE 的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并说明理由．）根据旋转的性质，可得ADB AFC ≌，勾股定理解按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△AEF ≌△AGF ，EF ＝∴ADB AFC ≌ACF ∴∠,90AB AC BAC ∠==45ACF ABD ∴∠=∠=︒Rt FCE 中，Q BD ＝2EF CF =+猜想：EF =BE 如图，将△ABE8．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN −=；（3）3【分析】（1）延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN ∠=∠，再根据45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=；（2）在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND ≅△△，由此得到AG AN =，GAB DAN ∠=∠，由此可得90GAN BAD ∠=∠=︒，再根据45MAN ∠=︒可以得到45GAM NAM ∠=∠=︒，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN −=；（3）在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，先证明ABM ADG V V ≌，再证明AMN AGN △≌△，设DG BM x ==，根据DC BC =可求得2x =，由此可得6AB BC CD CN ====，最后再证明ABP NCP △≌△，由此即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG V 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒Q ，90BAD ∠=︒，∴45DANBAM BAD MAN ∠+∠=∠−∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN V 与AMG V 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN −=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG V 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，∴GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，∴90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒Q ，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠−∠=︒=∠，在AMN V 与AMG V 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM BG GM −=，BG DN =，∴BM DN MN −=，故答案为：BM DN MN −=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数点，∠EAF=12量关系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)作图见解析．(2)结论：AD+BE=DE．证明见解析．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD +BE =DE ．延长DA 至F ，使DF=DE ，连接CF ．利用全等三角形的性质解决问题即可．（1）解：如图所示：（2）结论：AD +BE =DE ．理由：延长DA 至F ，使DF =DE ，连接CF ．∵AD ⊥CP ，DF =DE ，∴CE =CF ，∴∠DCF =∠DCE =45°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠ECB =45°，∵∠DCA +∠ACF =∠DCF =45°，∴∠FCA =∠ECB ，在△ACF 和△BCE 中，CA CB ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△BCE （SAS ），∴AF =BE ，∴AD +BE =DE ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

专题1 全等三角形几何模型(半角模型)(专项练习)八年级数学上册专题突破讲与练

专题1.11全等三角形几何模型（半角模型）（专项练习）1．如图，已知：正方形ABCD ，点E ，F 分别是BC ，DC 上的点，连接AE ，AF ，EF ，且45EAF ∠=︒，求证：BE DF EF +=．2．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF 与△ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB 到点G ，使BG ＝，连接AG ；（2）证明：EF ＝BE ＋DF3．（2020九年级·全国·专题练习）如图，ABC V 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）在四边形ABDC 中，AC AB =，DC DB =，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE BF =．(1)在图1中，试说明：DE DF =；(2)在图2中，若G 在AB 上且60EDG ∠=︒，试猜想CE EG BG 、、之间的数量关系并证明所归纳结论；(3)若题中条件“60CAB ∠=︒且120CDB ∠=︒”改为CAB α∠=，180CDB α∠=︒-，G 在AB 上，EDG ∠满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．5．（2023·吉林松原·模拟预测）【问题引领】问题1：如图①，在四边形ABCD 中，CB CD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒．E 、F 分别是AB ，AD 上的点．且60ECF ∠=︒BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，先证明CBE CDG ≌△△，再证明CEF CGF ≌．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图②，若将问题1的条件改为：四边形ABCD 中，CB CD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，12ECF BCD ∠=∠，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．6．（2020九年级·全国·专题练习）如图，ABC V 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．7．（11-12九年级上·黑龙江绥化·期末）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠= ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段,BM DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段,BM DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．8．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，AF ，EF ．（1）如图①，AB AD =，120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；（2）如图②，120BAD ∠=︒，当AEF △周长最小时，求AEF AFE +∠∠的度数；（3）如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，若3BE =，2DF =，请求出线段EF 的长度．9．（21-22八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境在等边△ABC 的两边AB ，AC 上分别有两点M ，N ，点D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．特例探究如图1，当DM ＝DN 时，（1）∠MDB ＝度；（2）MN 与BM ，NC 之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM ≠DN 时，在NC 的延长线上取点E ，使CE ＝BM ，连接DE ，猜想MN 与BM ，NC 之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN 的周长与△ABC 的周长的比为．10．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN ＝45°，则MN ，AM ，CN 的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB ＝BC ，∠A +∠C ＝180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC +∠ADC ＝180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．11．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD ，∠EAF 的两边分别与射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAF ＝45°，连接EF ．求证：EF ＝BE +DF ．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠B ＝∠ADC ＝90°，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE '，则F 、D 、E '在一条直线上，∠E 'AF ＝度，……根据定理，可证：△AEF ≌△AE 'F ．∴EF ＝BE +DF ．类比探究：(2)如图2，当点E 在线段CB 的延长线上，探究EF 、BE 、DF 之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 上，∠BAC ＝2∠DAE ．若S △ABC ＝14，S △ADE ＝6，求线段BD 、DE 、EC 围成的三角形的面积．12．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，点E ，F 分别是，BC CD 上的点，且60EAF ∠=︒，连接EF ，探究线段BE EF DF ，，之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，从而得出结论：_____________；(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边，BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边，BC CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，请探究线段BE EF DF ，，具有怎样的数量关系，并证明．13．（18-19七年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若12EAF BAD ∠=∠，可求得EF 、BE 、FD 之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，若12EAF BAD ∠=∠，判断EF 、BE 、FD 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．14．（19-20八年级上·湖北黄石·期中）如图，四边形ABCD为正方形（各边相等，各内角为直角），E是BC 边上一点，F是CD上的一点．（1）若△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求证：∠EAF=45°；（2）在（1）的条件下，若DF=2，CF=4，CE=3，求△AEF的面积．15．（20-21八年级下·吉林白城·期末）【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD 延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM=DN（不要求证明）【应用】（1）如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF．【拓展】（2）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若=3.5，EF=2，则四边形BEFD的周长为．16．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF ∠=︒，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．17．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．18．（21-22七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，探究当EAF ∠为多少度时，使得BE DF EF +=成立．小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，则可求出∠EAF 的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，当∠EAF 与∠BAD 满足怎样的数量关系时，依然有BE DF EF +=成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD 中，45EBF ∠=︒，若DEF 的周长为8，求正方形ABCD 的面积．19．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒，当E 在BC 边上，F 在CD 边上时，请你探究BE 、DF 与EF 之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒，当E 在BC 的延长线上，F 在CD 的延长线上时，请你探究BE 、DF 与EF 之间的数量关系，并证明你的结论．20．（21-22九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ∠=︒，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ∠=︒可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ∠=∠=︒，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，以A 为顶点的60EAF ∠=︒，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．21．（22-23八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADF ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是:延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，证明AEF AGF ≅△△．请直接写出EF 、BE 、DF 条线段之间的数量关系．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，B ∠与D ∠互补，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠EF 、BE 、DF 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由．（3）如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．22．（2024·宁夏银川·模拟预测）（1）特例探究：如图①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，45EAF ∠=︒，探究BE ，EF DF 之间的数量关系．小明是这么思考的：延长FD ，截取DG BE =，连接AG ，易证ADG ABE ≌，从而得到AG AE =，再由“SAS ”证明AGF AEF △≌△，从而得出结论：__________________________．（2）一般探究：如图②，在四边形ABCD 中，AD AB =，B ∠与D ∠互补，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足12EAF BAD ∠=∠，探究BE ，EF ，DF 之间的数量关系．（3）实际应用：如图③，在四边形ABCD 中，AB AD =，6AC =，90DAB DCB ∠=∠=︒，则四边形ABCD 的面积为．23．（23-24八年级上·陕西安康·期中）八年级的数学课堂上，老师布置了以下两个任务．任务一：自主探究，再合作交流展示．如图1，在四边形ABCD 中，12090AB AD BAD B ADC E F =∠=︒∠=∠=︒，，，，分别是BC CD ，上的点，且60EAF ∠=︒，连接EF ，探究BE EF DF ，，之间的数量关系．经过小组交流讨论，最后给出的解决方案是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，最后得到结论：EF BE DF =+．任务二：问题解决．如图2，在四边形ABCD 中，180AB AD B D E F =∠+∠=︒，，，分别是边BC CD ，上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究BE EF DF ，，之间的数量关系．24．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC CD 、上的点，且60EAF ∠=︒，试探究图1中线段BE EF FD 、、之间的数量关系．(1)【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，则可得到BE EF FD 、、之间的数量关系是．(2)【探索延伸】在四边形ABCD 中如图2，180AB AD B D =∠+∠=︒，，E 、F 分别是BC CD 、上的点，12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．(3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30︒的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50︒的方向以60海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到∠）为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（EOF15。

全等三角形半角模型典型例题

全等三角形半角模型典型例题全等三角形半角模型典型例题在数学中，全等三角形半角模型是一个非常重要的概念。

理解并掌握全等三角形的半角模型对于解题和推导其他定理都有着重要的作用。

在本文中，我将会探讨全等三角形半角模型的基本概念，以及通过典型例题来详细说明这一概念。

1. 全等三角形概念回顾在开始讨论全等三角形的半角模型之前，让我们先来回顾一下全等三角形的定义和性质。

全等三角形是指具有相等角度和相等边长的两个三角形。

根据全等三角形的性质，对应边长相等、对应角度相等。

全等三角形可以用来解决各种与角度和边长相关的问题，是几何学中非常基础但又非常重要的概念。

2. 半角模型的概念半角模型是指在一个全等三角形中，已知两边和夹角，求第三边的长度的问题。

在解决半角模型的问题时，需要运用全等三角形的性质，如正弦定理、余弦定理等等。

理解半角模型不仅可以帮助我们解题，还可以加深我们对于全等三角形和三角函数的理解。

3.典型例题分析现在，让我们通过一个典型的例题来具体说明全等三角形的半角模型。

已知△ABC中，AB=8，AC=6，角A的角平分线交BC于点D，求BD的长。

解析：根据半角模型的要求，我们考虑角A的角平分线。

连接AD，并使AD 的长度为x，那么根据半角模型的性质，我们可以得到下面的等式：$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$即 $\frac{x}{8}=\frac{6-x}{6}$解得 x=4BD的长度为4。

4. 总结与展望通过以上的例题分析，我们深入学习了全等三角形的半角模型。

半角模型在解题中有着非常重要的地位，通过这种模型我们可以更轻松地解题，并且可以增强对全等三角形性质的理解。

在今后的学习中，我们应该多加练习，熟练掌握半角模型的运用，进一步提高数学解题能力。

结语全等三角形的半角模型是数学中的一个重要概念，通过对这一概念的深入学习，我们可以更好地解决与角度和边长相关的问题。

希望通过本文的介绍，你对全等三角形的半角模型有了更深入的理解。

三角形全等半角模型例题及证明

三角形全等半角模型例题及证明好嘞，今天咱们来聊聊三角形全等的问题，这可真是个有趣的话题，像吃了一口冰淇淋，甜甜的，凉凉的。

三角形，全等，听上去是不是有点严肃？但咱们可以把它讲得轻松一些。

你想啊，三角形就像一个个小朋友，它们也有自己的性格和特点。

有的高高瘦瘦，有的矮矮胖胖，但如果你仔细一看，有些三角形其实长得一模一样，嘿，真是双胞胎呀！说到全等，咱们先得明白全等是啥意思。

全等其实就是这两个三角形在形状和大小上完全相同，打个比方，就像你和你兄弟姐妹的脸，尽管发型不同，穿着不同，但放在一起，那一看就是一家子。

所以，要判断两个三角形全不全等，得看看它们的边和角。

哎，这就有点像选对象，得看内外兼修，不能只看外表嘛！好，咱们接着往下说。

一个经典的全等证明方法就是“SSS”，也就是边边边，全等就像三兄弟，三条边都得相等，才能称得上是亲兄弟。

想象一下，假如你有两根一模一样的棍子，不管怎么摆放，长度都是一样的，肯定能凑成一模一样的三角形。

对吧，没跑！接着再看看角。

假如两个三角形的三条边长度都相等，那它们的角也一定是相等的。

这就像是说，长得像，脾气也得像，性格不合的兄弟，那可就没戏了。

咱们说说“ASA”法则，角边角。

你瞧，生活中也总有这样的朋友，明明只看重内涵，反而对外表没什么追求。

就像一个三角形，你只要有一个角和它对面的边相等，再加上另一个角也相等，那这俩三角形就可以说是全等了。

这就像是，两个人性格互补，一个温柔，一个幽默，搭配得特别好，嘿，那真是天生一对呀！再看看“SSA”，这可就有点 tricky 了，边边角，虽然听上去好像也能全等，但实际情况可是比较复杂。

就像一场相亲，虽然你很喜欢这个人，但可不能仅仅凭借几个特点就下结论呀！可能碰到一个奇葩，结果就是“青梅竹马”的情节没上演，哈哈。

简单来说，SSA 不一定能让你得到全等的结论，因为不同的边角组合可能产生不同的三角形，这样一来，气氛就有点尴尬了。

再说回日常生活，咱们都知道，三角形的全等就像是生活中的各种关系，有的就像兄弟姐妹，永远一模一样，有的像朋友，虽然各自独特，但碰在一起却能相互映衬。

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的半角模型(解析版)

专题02 全等三角形中的半角模型【模型展示】【模型拓展】条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，△EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论△：图1、2中，EF=BE+FD证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，△△EAF’=90°-△EAF=90°-45°=45°=△EAF，且AE=AE，AF=AF’，△△FAE△△F’AE(SAS)，△EF=EF’，又△D=△ABF’=90°，△ABE=90°，△△ABE+△ABF’=90°+90°=180°，△F’、B、E三点共线，△EF’=BE+BF’=BE+DF。

结论△：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN 绕点A 顺时针旋转90°，N 点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，△△N’AM=90°-△EAF=90°-45°=45°=△MAN ，且AM=AM ，AN=AN’，△△MAN’△△MAN(SAS)，△MN=MN’，又△ADN=45°=△ABN’，△ABD=45°，△△MBN’=△ABD+△ABN’=45°+45°=90°，△在Rt△MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，即MN²=BM²+BN’²。

结论△：图1、2中EA 平分△BEF ，FA 平分△DFE 。

结论△：图1、2中ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=。

证明：如图5中，过A 点作AH△EF 于H 点，由结论△可知：△AEH=△AEB ，且△AHE=△ABE=90°，AE=AE ，△△AEB△△AEH(AAS)，△AH=AB=AD ，进而可以证明△AHF△△ADF(AAS)，△ADF ABE AHF AHE AEF S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=.【题型演练】一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于△O ，AB ＝AD ，△BCD ＝120°，E 、F 分别为BC 、CD 上一点，△EAF ＝30°，EF ＝3，DF ＝1．则BE 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长CB 到H ，使BH =DF =1，连接AH ，则可证得△ABH △△ADF ，从而AH =AF ，△BAH =△DAF ，易证△AHE △△AFE ，可得HE =EF =3，则可求得BE 的长．【详解】延长CB 到H ，使BH =DF =1，连接AH ，如图△四边形ABCD 内接于△O△△ABC +△ADC =180゜△△ABH +△ABC =180゜△△ABH =△ADF在△ABH 和△ADF 中AB AD ABH ADF BH DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABH △△ADF△AH =AF ，△BAH =△DAF△△BAD +△BCD =180゜，△BCD =120゜△△BAD =180゜-△BCD =60゜△△EAF =30゜△△BAE +△DAF =△BAD -△EAF =30゜△△EAH =△BAE +△BAH =30゜在△AHE 和△AFE 中AH AD EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AHE △△AFE△HE =EF =3△BE =HE -BH =3-1=2故选：B【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点．2．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持△MAN ＝45°，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：△MN ＝BM +DN ；△BE 2+DF 2＝EF 2；△BC 2＝BF •DE ；△OM（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【答案】A【分析】由旋转的性质可得AM '=AM ，BM =DM '，△BAM =△DAM '，△MAM '=90°，△ABM =△ADM '=90°，由“SAS”可证△AMN △△AM ′N ，可得MN =NM ′，可得MN =BM +DN ，故△正确；由“SAS ”可证△AEF △△AED '，可得EF =D 'E ，由勾股定理可得BE 2+DF 2=EF 2；故△正确；通过证明△DAE △△BF A ，可得DE AD AB BF =，可证BC 2=DE •BF ，故△正确；通过证明点A ，点B ，点M ，点F 四点共圆，△ABM =△AFM =90°，△AMF =△ABF =45°，△BAM =△BFM ，可证MO，由△BAM ≠△DAN ，可得OE ≠OF ，故△错误，即可求解．【详解】解：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ′，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABD '，△AM '=AM ，BM =DM '，△BAM =△DAM '，△MAM '=90°，△ABM =△ADM '=90°，△△ADM '+△ADC =180°，△点M '在直线CD 上，△△MAN =45°，△△DAN +△MAB =45°=△DAN +△DAM '=△M 'AN ，△△M ′AN =△MAN =45°，又△AN=AN，AM=AM'，△△AMN△△AM′N（SAS），△MN=NM′，△M′N=M′D+DN=BM+DN，△MN=BM+DN；故△正确；△将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，△AF=AD'，DF=D'B，△ADF=△ABD'=45°，△DAF=△BAD'，△△D'BE=90°，△△MAN=45°，△△BAE+△DAF=45°=△BAD'+△BAE=△D'AE，△△D'AE=△EAF=45°，又△AE=AE，AF=AD'，△△AEF△△AED'（SAS），△EF=D'E，△D'E2=BE2+D'B2，△BE2+DF2=EF2；故△正确；△△BAF=△BAE+△EAF=△BAE+45°，△AEF=△BAE+△ABE=45°+△BAE，△△BAF=△AEF，又△△ABF=△ADE=45°，△△DAE△△BF A，△DE AD AB BF，又△AB=AD=BC，△BC2=DE•BF，故△正确；△△FBM=△F AM=45°，△点A，点B，点M，点F四点共圆，△△ABM=△AFM=90°，△AMF=△ABF=45°，△BAM=△BFM，同理可求△AEN=90°，△DAN=△DEN，△△EOM=45°=△EMO，△EO=EM，△MO，△△BAM≠△DAN，△△BFM≠△DEN，△EO≠FO，△OM FO，故△错误，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题3．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，△BAC＝△BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，△CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，△MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【答案】【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出△NAE＝90°，AN＝AE，△ABE ＝△ACD，△EAB＝△CAN，求出△EAM＝△MAN，根据SAS推出△AEM△△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可．【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：△NAE ＝90°，AN ＝AE ，△ABE ＝△ACD ，△EAB ＝△CAN ，△△BAC ＝△D ＝90°，△△ABD +△ACD ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，△△ABD +△ABE ＝180°，△E ，B ，M 三点共线，△△MAN ＝45°，△BAC ＝90°，△△EAM ＝△EAB +△BAM ＝△CAN +△BAM ＝△BAC ﹣△MAN ＝90°﹣45°＝45°，△△EAM ＝△MAN ，在△AEM 和△ANM 中，AE AN EAM NAM AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△AEM △△ANM （SAS ），△MN ＝ME ，△MN ＝CN +BM ，△在Rt△BCD 中，△BDC ＝90°，△CBD ＝30°，BC ＝4，△CD ＝12BC ＝2，BD△△DMN 的周长为DM +DN +MN ＝DM +DN +BM +CN ＝BD +DC ＝，故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．4．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若2BE =，则EF 的长为______．【答案】5【分析】由题意易得,,90BG DF AG AF GAF ==∠=︒，则有45GAE FAE ∠=∠=︒，然后可证GAE FAE ≌，则有GE EF =，设GB DF x ==，则有6,4,2CF x CE EF x =-==+，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，且边长为6，△6,90CD BC C ABC D ==∠=∠=∠=︒，△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，△,,90BG DF AG AF GAF ABC D ==∠=∠=∠=︒，△点G 、B 、E 三点共线，△45EAF ∠=︒，△45GAE FAE ∠=∠=︒，△AE =AE ，△GAE FAE ≌，△GE EF =，设GB DF x ==，则有6,4,2CF x CE EF x =-==+，△在Rt △ECF 中，由勾股定理可得222EC CF EF ，即()()221662x x +-=+，解得：3x =，△5EF =；故答案为5．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键．5．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，且△EDF ＝45°，则DE 的长为 _____．【答案】【分析】延长BA 到点G ，使AG =CF ，连接DG ，EF ，利用SAS 证明△ADG △△CDF ，得△CDF =△GDA ，DG =DF ，再证明△GDE △△FDE （SAS ），得GE =EF ，设AE =x ，则BE =6-x ，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题．【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF，△AD＝CD，△DAG＝△DCF，△△ADG△△CDF（SAS），△△CDF＝△GDA，DG＝DF，△△EDF＝45°，△△EDG=△ADE+△ADG＝△ADE+△CDF＝45°，△DE＝DE，△△GDE△△FDE（SAS），△GE＝EF，△F是BC的中点，△AG=CF=BF=3，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，△AE＝2，△DE故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．三、解答题6．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且△EDF=45°.将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．【答案】(1)见解析；（2）52. 【分析】（1）由折叠可得DE =DM ，△EDM 为直角，可得出△EDF +△MDF =90°，由△EDF =45°，得到△MDF 为45°，可得出△EDF =△MDF ，再由DF =DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF =MF ；（2）由第一问的全等得到AE =CM =1，正方形的边长为3，用AB -AE 求出EB 的长，再由BC +CM 求出BM 的长，设EF =MF =x ，可得出BF =BM -FM =BM -EF =4-x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为EF 的长．【详解】(1)△△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，△DE =DM ，△EDM =90°，△△EDF + △FDM =90°，△△EDF =45°，△△FDM =△EDM =45°，△ DF = DF ，△△DEF △△DMF ，△ EF =MF（2）设EF =x ，△AE =CM =1 ，△ BF =BM -MF =BM -EF =4-x ，△ EB =2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即2222(4)x x +-=，解得，52x =. 7．已知，如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF ∠=︒，AE ，AF 分别交BD 于H ，G ，连EF ，求证：△DF BE EF += △222DG BH HG +=.【答案】见解析【分析】△把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADG ，根据旋转的性质可得BE=GD ，AE=AG ，再根据△EAF=45°求出△FAG=45°，然后利用边角边定理证明△AEF 与△AGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF ，即EF=GD+FD ，即可证明EF=BE+DF ；△把△ADH 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABN ，连接GN ，根据旋转的性质得到△NAE=△EAF ，根据全等三角形的性质得到GH=GN ，求得△NBG=△ABN+△ABG=45°+45°=90°，根据勾股定理得到BG 2+HD 2=GH 2；【详解】△如图，把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADM ，△BE=MD ，AE=AM ，△△EAF=45°，△△FAM=90°-45°=45°，△△EAF=△FAM ，在△AEF 和△AMF 中，AE AM EAF FAM AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△AEF△△AMF （SAS ），△EF=MF ，即EF=MD+DF ，△BE+DF=EF ；△如图，把△ADH 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABN ，连接GN ，△BN=DH ，AN=AH ，△BAN=△DAH ，△ABN=△ADH ，△△EAF=45°，△△NAE=△BAN+△BAE=△DAH+△BAE=△BAD -△EAF=90°-45°=45°，△△NAE=△EAF ，在△ANG 和△AGH 中，AN AH NAG EAF AG AG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△AGN△△AGH （SAS ），△GH=GN ，在正方形ABCD 中，△ABE=△ADH=45°，△△NBG=△ABN+△ABG=45°+45°=90°，△BG 2+BN 2=NG 2，即BG 2+HD 2=GH 2.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒ 后，得到ABM ，连接EM ，AE ，且使得45∠=︒MAE ．（1）求证：=ME EF ；（2）求证：222EF BE DF =+.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）直接利用旋转的性质证明△AME△△AFE （SAS ），即可得出答案；（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案．【详解】证明：（1）△将ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到ABM ，∴MB DF ＝，AM AF ＝，∠∠BAM DAF ＝，MA AF ∴⊥，45∠︒MAE ＝，45∴∠︒EAF ＝，∴∠∠MAE FAE ＝，在△AME 和AFE △中AM AF MAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AME AFE SAS ∴≅，∴=ME EF ；（2）由（1）得：=ME EF ，在Rt MBE 中，222+MB BE ME =，又△MB DF =，222∴+EF BE DF =．【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确得出△AME△△AFE 是解题关键．9．已知：边长为4的正方形ABCD ，△EAF 的两边分别与射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且△EAF ＝45°，连接EF ．求证：EF ＝BE +DF ．思路分析：(1)如图1，△正方形ABCD 中，AB ＝AD ，△BAD ＝△B ＝△ADC ＝90°，△把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE '，则F 、D 、E '在一条直线上，△E 'AF ＝度，……根据定理，可证：△AEF △△AE 'F ．△EF ＝BE +DF ．类比探究：(2)如图2，当点E 在线段CB 的延长线上，探究EF 、BE 、DF 之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 上，△BAC ＝2△DAE ．若S △ABC ＝14，S △ADE ＝6，求线段BD 、DE 、EC 围成的三角形的面积．【答案】(1)45(2)DF ＝BE +EF ，证明见解析(3)2【分析】（1）把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADE '∆，则F 、D 、E '在一条直线上，ADE ABE '∆∆≌，再证AEF ∆≌△AE F '，得EF E F '=，进而得出结论；（2）将ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE '∆，由旋转的性质得ADE ABE '∆∆≌，再证AEF ∆≌△AE F '，得E F EF '=，进而得出结论；（3）将ABD ∆绕点A 逆时针旋转得到ACD '∆，连接ED '，则ACD ABD '∆∆≌，得CD BD '=，因此14ABC AD CD S S ∆'==四边形，同（2）得ADE ∆≌△AD E '，则DE D E '=，6ADE AD E S S '∆==，得BD 、DE 、EC 围成的三角形面积ED C S'=，即可求解．（1）解：如图1，△正方形ABCD 中，AB ＝AD ，△BAD ＝△B ＝△ADC ＝90°，△把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至ADE '∆，则F 、D 、E '在一条直线上，ADE '∆△△ABE ，△DE '＝BE ，△DAE '＝△BAE ，AE '＝AE ，△△E AE '＝△EAD +△DAE '＝△EAD +△BAE ＝△BAD ＝90°，则△E AF '＝△E AE '﹣△EAF ＝45°，△△EAF ＝△E AF '，△△AEF △△AE F '（SAS ），△E F EF '=，△E F DE DF ''=+，△EF ＝BE +DF ．故答案为：45；（2）解：DF ＝BE +EF 理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，△△ADE △△ABE ，△AE ＝AE '，BE ＝DE '，△DAE '＝△BAE ，△△E AE '＝△BAE +△E AB '＝△E AD '+△E AB '＝△BAD ＝90°，则△E AF '＝△E AE '﹣△EAF ＝45°，△△E AF '＝△EAF ＝45°，在△AEF 和△AE F '中，AE AE E AF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，△△AEF △△AE F '（SAS ），△E F EF '=，△DF DE E F '=+'，△DF ＝BE +EF ；（3）解：将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACD '，连接ED '，则△ACD '△△ABD ，△CD '＝BD ，△14ABC AD CD S S ∆'==四边形，同（2）得：△ADE △△AD E '（SAS ），△DE D E '=，6ADE AD E S S '∆==，△BD 、DE 、EC 围成的三角形面积为CD '、D E '、EC 围成的三角形面积2ADE AD E AD CD ED C S S S S '''∆==--四边形．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．10．如图1，在菱形ABCD 中，AC ＝2，BD ＝AC ，BD 相交于点O ．(1)求边AB 的长；(2)求△BAC 的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF ．判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）60︒ ；（3）见详解【分析】（1）由菱形的性质得出OA=1，（2）得出△ABC 是等边三角形即可；（3）由△ABC 和△ACD 是等边三角形，利用ASA 可证得△ABE△△ACF ；可得AE=AF ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．【详解】解：（1）△四边形ABCD△AC△BD ，△△AOB 为直角三角形，且111,22OA AC OB BD ====△2AB =；（2）△四边形ABCD 是菱形，△AB=BC ，由（1）得：AB=AC=BC=2，△△ABC 为等边三角形，△BAC=60°；（3）△AEF 是等边三角形，△由（1）知，菱形ABCD 的边长是2，AC=2，△△ABC 和△ACD 是等边三角形，△△BAC=△BAE+△CAE=60°，△△EAF=△CAF+△CAE=60°，△△BAE=△CAF ，在△ABE 和△ACF 中，BAE CAF AB ACEBA FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABE△△ACF （ASA ），△AE=AF ，△△EAF=60°，△△AEF 是等边三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的旋转．解题的关键是熟练掌握菱形的性质．11．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，△ECG =45°，求证EG =BE +GD ．（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD 中，AG //BC (BC >AG )，△B =90°，AB =BC =12，E 是AB 上一点，且△ECG =45°，BE =4，求EG 的长？【答案】（1）证明见解析；（2）EG =10．【分析】（1）延长AD 至F ，使DF =BE ，连接CF ，根据正方形的性质，可直接证明△EBC △△FDC ，从而得出△BCE =△DCF ，根据△GCE =45°，得△GCF =△GCE =45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG △△FCG ，即GE =GF ，即可证出EG =BE +GD ；（2）过C 作CD △AG ，交AG 延长线于D ，则四边形ABCD 是正方形，设EG =x ，则AE =8，根据（1）可得：AG =16-x ，在直角△AGE 中利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图3所示，延长AD 至F ，使DF =BE ，连接CF ，△四边形ABCD是正方形，△BC=DC，△ABC=△ADC=△BCD=90°，△△CDF=180°-△ADC，△△CDF=90°，△△ABC=△CDF，△BE=DF，△△EBC△△FDC，△△BCE=△DCF，EC=FC，△△ECG=45°，△△BCE+△GCD=90°-△ECG=90°-45°=45°，△△GCD+△DCF=△FCG=45°，△△ECG=△FCG．△GC=GC，EC=FC，△△ECG△△FCG，△EG=GF．△GF=GD+DF= BE+GD，△EG= BE+GD．（2）解：如图4，过C作CD△AG，交AG延长线于D，在直角梯形ABCG中，△AG BC，△A=△B=90°，又△CDA=90°，AB=BC，△四边形ABCD为正方形．△AD=AB=BC=12．已知△ECG=45°，根据（1）可知，EG=BE+DG，设EG=x，则AG=AD-DG= AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x，△AE=12-BE=12-4=8．在Rt△AEG中△EG2=AG2+AE2，即x2=（16-x）2+82，解得：x=10．△EG=10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF△CB，垂足为F，GH△AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．(1)求证：GEF EDC(2)求证：四边形BFGH是正方形；(3)求证：ED平分△CEI【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）先证明△FEG=△EDC，即可利用AAS证明全等；（2）首先证明四边形FBHG是矩形，再证明FB=FG即可解决问题；（3）延长BC到J，使得CJ=AI．证明△IDE△△JDE（SAS）即可解决问题．（1）△四边形ABCD是正方形，△BC=CD，△DCE=△ABC=△ABF=90°，△GF△CF，GH△AB，△△F =△GHB =△FBH =90°，△四边形FBHG 是矩形，△ED =EG ，△DEG =90°，△△DEC +△FEG =90°，△DEC +△EDC =90°，△△FEG =△EDC ，在△DCE 和△EFG 中F DCE FEG EDC GE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DCE △△EFG （AAS ），（2）△△DCE △△EFG△FG =EC ，EF =CD ，△CB =CD ，△EF =BC ，△BF =EC ，△BF =GF ，△四边形FBHG 是矩形△四边形FBHG 是正方形．（3）延长BC 到J ，使得CJ =AI ．△DA =DC ，△A =△DCJ =90°，AI =CJ ，△△DAI △△DCJ （SAS ），△DI =DJ ，△ADI =△CDJ ，△△IDJ =△ADC =90°，△△IDE =45°，△△EDI =△EDJ =45°，△DE =DE ，△△IDE △△JDE （SAS ），△△DEI =△DEJ ，△DE 平分△IEC ．【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，△EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：△四边形ABCD 是正方形，△AB ＝AD ，△B ＝△ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，△B ＝△D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，△B ＋△D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．【答案】(1)BE ＋DF ＝EF(2)证明见解析 (3)PB PC +【分析】（1）将△ABE 绕A 点逆时针旋转，旋转角等于△BAD 得△ADE ，证明△AEF △△AE F '，等量代换即得结论；（2）将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于△BAD ，先证明△EAF ='E AF ∠，再证明△AEF △△AE F '，等量代换即得结论；（3）将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°得到ACP '△，先利用圆内接四边形的性质证明P ，C ，P '在同一直线上，再证明△PAP '为等腰直角三角形，等量代换即得结论．（1）解：结论：BE ＋DF ＝EF ，理由如下：证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于△BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E '的位置，如图所示，可知ABE ADE '≌△△， △BE DE '=．由△ADC +△ADE =180°知，C 、D 、E '共线， △12EAF BAD ∠=∠，△△BAF +△DAF =△EAF ，△△DAE '+△DAF =△EAF ='E AF ∠，△△AEF △△AE F '，△EF =E F '=BE +DF ．（2）证明：将△ABE 绕点A 逆时针旋转，旋转角等于△BAD ，使得AB 与AD 重合，点E 转到点E '的位置，如图所示，由旋转可知ABE ADE '≌△△， △BE DE '=，B ADE '∠=∠，BAE DAE '∠=∠，AE AE '=．△△B ＋△ADC ＝180°，△180ADC ADE '∠+∠=︒，△点C ，D ，E '在同一条直线上． △12EAF BAD ∠=∠， △12BAE DAF BAD ∠+∠=∠， △12DAE DAF BAD '∠+∠=， △12FAE BAD '∠=∠， △EAF FAE '∠=∠．△AF ＝AF ，△FAE FAE '≌△△，△FE FE '=，即BE ＋DF ＝EF ．（3）结论：PB PC +，理由如下：证明：将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°得到ACP '△，使得AB 与AC 重合，如图所示，由圆内接四边形性质得：△AC P '+△ACP =180°，即P ，C ，P '在同一直线上．△BP CP '=，AP AP '=，△BC 为直径，△△BAC =90°=△BAP +△P AC =△CA P '+△P AC =PAP '∠，△△PAP '为等腰直角三角形，△PP '=，即PB PC +=．【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．。