计算pai(07)
pai定理 工程流体力学例题
pai 定理 工程流体力学例题例 1 开口容器内盛有液体，容器下部壁面有孔通大气。
显然在孔的不同高度上流出的速度也不同。
试计算通过此孔的流量Q 。
设自由面高度不变，不计摩擦，几何尺寸如图（4.13）所示。
解 出口面上的任一微面 dh b ⨯上的速度可以利用连续方程及动量方程求得gh 2e=V式中h 为此微元面距自由面的高度。
出口体积流量为})()2{(2322b 2/32/32/2/2/12/2/d H dH g b dh h g b Vdh Q d H d H d H d H --+===⎰⎰+-+-2a e g p p H ρ+= 例2大容器有背压的小孔流出。
开口容器内盛有液体，容器下部有小孔，小孔与另一盛有液体的容器通，如图（4.14）所示。
两容器中自由液面高度分别为1H ,2H ,压力位a p ，设不计摩擦,1H ,2H 为常数，试求小孔流出速度。
解 小孔出口压力（a ）在S A 面与e A 面之间应用伯努利方程（b ）利用（a ）、（b ），并注意到eV V S <<，可得到出口速度公式)g 221e H H V -=（例3 文丘里管流量计为了测量管道中的流量，可以将收缩—扩张管接到管道中去。
如图（4.15）所示。
通过测量颈部及来流段的压力差以确定流体的平均速度。
为了测量这个压力差，可以利用U 型管测压器。
试建立颈部g2g p 0g 2g p 2ee 2a 1VV H S ++=+=ρρ)1)(()()g-g1212121122z p z p ρρρρρρ，，（）（--=---=++l l l l l l 2/1,12212222)]1)(()/-1g2[(ρρ---==l l A A A V A Q 2/1,122122)]1)(()/(-1g 2[A ρρ---=l l A V 流速与U 型管中液面高度差的关系。
解 对1—1，2—2截面利用连续方程与伯努利方程1221A A V V = (a)z pV z p V ggg g 2222112122++=++ρρ(b)由此两式可得 )()(2)/(1221121222z p z p A A V gg g +-+=-ρρ（c ） 由此可见，只要能测出p p 12-就可完全确定V2。
Π的计算
π的计算一、实验指导书解读及目的在本次试验中，我们将追溯关于圆周率的计算历程。
通过古典方法，对数值积分法，级数加速法、蒙特卡洛法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求。
实验目的：1.用多种方法计算圆周率错误！未找到引用源。
的值；2.通过实验来说明各种方法的优劣；3.尝试提出新的计算方法。
π的简介圆周率是一个常数（约等于 3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。
它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。
但在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。
π(pai)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。
既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。
但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。
二、实验计划、过程与结果1.古典方法：用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近以阿基米德的圆内接96边形和圆外切96边形逼近为例已知：sin错误！未找到引用源。
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圆周率全面版
§2圆周率我国魏晋时期数学家刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精美之值，创立了“割圆术”，为圆周率的研究工作确定了理论基础和供应了科学的算法．在此基础上，南北朝数学家祖冲之连续计算，最后获取圆周率π的值就在 3.141 592 6 与 3. 141 592 7 之间，正确到小数点后 7 位，成为世界上第一位把圆周率值计算正确至七位小数的人．22355其余，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值：正确度较低的7( 约率 ) ，正确度较高的113 ( 密率 ) ．但是，终归祖冲之是用什么方法把圆周率的值计算正确至七位小数，而他又是怎样找出作为圆周率的近似分数的呢？这些问题到此刻仍是数学史上的谜．据数学史家们解析，他很可能采用了刘徽的“割圆术”，若是这个解析不错的话，那么，祖冲之就需要从圆内接正六边形切割到圆内接正 12 288 边形和圆内接正 24 576 边形，依次求出各多边形的周长．这个计算量是相当大的，最少要对九位数字屡次进行 130 次以上各样运算，其中乘方和开方就有近 50 次，任何一点渺小的失误，都会以致计算失败．因此可知祖冲之深沉扎实的数学功底，慎重求实的科学态度．祖冲之求得的这个圆周率值直到一千年今后才由阿拉伯数学家卡西于1427 年打破．1．圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学宽泛存在的数学常数．它定义为圆的 ________ 与 ________的比值．圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的要点值．2．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为算出了上下限： ________＜π＜________，________，密率为 ________．3．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他以为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．当正多边形之间边数不停增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越凑近．从他编写的《圆的胸襟》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎________ 与________之间．4．计算圆周率，无论是阿基米德的穷竭法，仍是刘徽的割圆术，都是渐渐逼近的方法，都是 ________思想的表现，这种思想为微积分的最后创立确定了基础．答案： 1．周长直径2．3.141 592 6 3.141 592 722355 7113113．333714．极限一、π 的计算及历史【例 1】查找资料，简述π 的计算历史，领悟它们所反响的数学思想．答：π 的计算历史分为以下几个阶段：(1)实验时期中国古籍云：“周三径一”，意即取π＝ 3.公元前17 世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》( 又称“阿梅斯草片文书”；为英国人莱茵德于1858年发现，因此还称“莱茵德纸草书”) 是世界上最早给出圆周率的高出十分位的近似值，为256 1 11＝3＋＋＋819 27 81或3. 160.至阿基米德从前，π 值之测定倚靠实物丈量．(2)几何法时期——屡次割圆最早试图从圆面积去求圆周率的人是阿基米德 (Ar c himedes ，公元前 287—前 212) ．他以为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．随正多边形之间边数的不停增加，圆的面积与正多 形的面 便越来越凑近．从他 写的《 的胸襟》一 中，他用 竭法得出 周率1 1 介于 371与 33之 ．公元 263 年，中国数学家刘徽用“割 ” 算 周率，他先从 内接正六 形，逐次切割 正 12,24,48,96,192形．他 ：“割之弥 ，所失弥少，割之又割，以致于不能割，与 周合体而无所失矣．”( 切割愈精 ， 差愈小．切割此后再切割，直到不能够再切割止，它就会与 周完好重叠，就不会有 差了 ) 其中有求极限的思想． 刘徽 出 π ＝3.141 024 157的 周率近似 ，并以50 ＝ 3.14( 徽率 ) 其分数近似 ． 公元 466 年，中国数学家祖冲之将 周率算到小数点后 7 位的精确度， 一 在世界上保持了一千年之久．同 ，祖冲之 出了 355( 密率 ) 个很好的分数近似 ，它是分母小于11310 000 的 分数中最凑近 π 的． 念祖冲之 周率 展的 献，日本数学家三上 夫将 一计算 命名 “祖冲之 周率”， 称“祖率”．痛惜祖冲之的著作《 》已 亡失，后辈无从得知祖冲之是怎样估计 周率的 的．1610 年，荷 数学家 道 夫 算了正 262 形的面 ， 正确地得出了 π 的 35 位小数．后人 了 念他的 斗精神和他 算 π 的 所作的 献，在他的墓碑上刻上了以下 果：314159265⋯288 314159265⋯289100000000⋯000 ＜ π ＜100000000⋯000 (3) 解析法 期——无 数无 乘 式、无 分数、无 数等各样 π 表达式 出 ， π 算精度也迅速 增加 .1706 年英国数学家梅 算 π 打破100 位小数大关 .1873 年另一位英国数学家尚可 斯将 π 算到小数点后 707 位，痛惜他的 果从 528位起是 的．到 1948 年英国的弗格 森和美国的 奇共同 表了 π 的 808 位小数 ，成 人工 算 周率 的最高 ．(4) 算机 代子 算机的出 使 π 算有了突 猛 的 展 .1949 年美国 里 州阿伯丁的道研究 室首次用 算机 (ENIAC) 算 π ，一下子就算到 2 037 位小数，打破了千位数 .1989 年美国哥 比 大学研究人 用克雷 2 型和 IBMVF 型巨型 子 算机 算出 π 小数点后 位数， 后又 算到小数点后位数 .2009 年 8 月 17 日，日本筑波大学宣 布，筑波大学研究人 借助最新的超 算机，将 周率 算到小数点后257 69.803 7 位， 造了新的世界 ．采集和整理有关 π 的 算方法．二、 周率与极限思想【例 2】“ 竭法”是古希腊数学家阿基米德 明的一种求曲 形面 的方法．用“竭法” 算由抛物y ＝ x 2 与 x 在直 x ＝ 0 和 x ＝ 1 之 成的曲 三角形的面 ．解： 把底 [0,1]1 2 n － 1分成 n 等份，分点分 是， ，⋯， ，尔后在每个分点 作底 的n n n垂 ， 曲 三角形被分成了n 个窄条， 每个窄条，近似用矩形条取代．每个矩形的底1 i 2(i ＝ 0,1,2 ，⋯， n － 1) ，把 些矩形条加起来，获取 S 的近似 ：n ，高 n11 2 1 2 2 1n － 1 2 1 1·[122 2S ＝ 0n ＋n n＋n· n ＋⋯ ＋n· n＝n＋ 2＋ ⋯(n － 1) ] ＝n31n ( n － 1)(2 n － 1) ( n － 1)(2 n － 1)n 3·6 ＝6n 2 .每个 n 都能够算出相 的S n 的 ，一方面，随着n 的增大， S n 的 越来越凑近 S. 但另一方面，所得的S 始 都是 S 的近似 ， 了获取S 的精确 ，使n 无量制地增大，从几何n上看，面S 的那个多 形越来越 近曲 三角形，从数 上看，S 无量凑近一个确定的nn1数， 个数就是曲 三角形的面S ， 个数等于 3.用以下公式 算 π ，领悟极限思想．π14 ＝1＋92＋252＋492＋812＋2＋⋯刘徽是我国第一个 造性地将无 思想运用到数学中的数学家，他 立的“割 ”，通 增加 内接正多 形的 数来逼近 ，体 了极限思想．祖冲之以“割 ” 理 基 ， 精心运算，把 周率精确到小数点后 7 位．阿基米德运用 内接正多 形与外切正多 形逼近 面 的极限思想，曾算到正 96 形，获取 π ≈3.141 6. 刘徽的“割 ”和阿基米德的“ 竭法”， 种无量凑近的思想就是今后建立极限看法的基 ，是近代微 分理 的萌芽．答案： 1． 答： (1) 我国《周髀算径》中 有“周三径一”．(2) 古埃及、古希腊人用谷粒 在 形上，以谷粒数与方形 比的方法获取数 ．(3) 阿基米德的 算方法在《 的 定》一文中有 ． (4) 我国古代数学家刘徽的割 ． (5) 祖冲之的 算方法． (6) 分数法．(7) 利用 数或无 乘 算．(8) 算机 算法．2．解： 在必然范 内 算上式，采用繁分数形式．π1 4 ＝1＋ 2＋9252＋492＋812＋ 2先 算81 4＋ 81 852＋2＝2＝ 2 ，2＋ 2＋ 2＋1＋49×2170＋ 9826885 ＝85＝85 ， 25×85 536＋ 2 125 2 661 268 ＝ 268 ＝ 268，9×268 7 7342 661 ＝2 661 ，2 661 7 734 ＋2 661 ＝ 10 395 ＝ 7 734 .7 7347 734π10 395，再由4＝7734可得π＝ 4×7 734＝30 936＝2.976 0 ⋯10 39510 395因在张开式中取的数有限，因此π没有超 3.只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。
圆周率
The
End! Thank you!
圆周率的发展 年代 求证者 内容 古代 中国周髀算经 周三径一； 圆周率＝3 西方圣经 元前三世 阿基米德（希腊） 1. 圆面积等於分别 以半圆周和径为边长的矩形的面积 2.圆面积与以直径为长的正方形面积之比为11： 14 3. 圆的周长与直径之比小与3 1/7 ，大于3 10/71 中国 用割圆术得圆周率＝3.1416称为“徽率” 五世纪 祖冲之
π=Pài（π=Pi） 古希腊欧几里德《几何原本》（约公元前3世纪初）中 提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（ 约公元 前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是 常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是 通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700） 中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。第一个用科学方法寻求圆 周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3 世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上 下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到 （3+（10/71））<π<（3+（1/7）） ，开创了圆周率计 算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出 精确到小数点后两位的π值。
中国 1. 3.1415926＜圆周率＜3.1415927 2. 约率 ＝ 22/7 3. 密率 ＝ 355/113 1596年 鲁道尔夫 荷兰 正确计萛得的35 位数字 1579年 韦达 法国“韦达公式”以级数无限项乘积表示 1600年 威廉.奥托兰特 英国 用/σ表示圆周率 π是希腊文圆周的第一个字母 σ是希腊文直径的第一个字母 1655年 渥里斯 英国 开创利用无穷级数求的先例
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小 数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。 德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值， 后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该 数值被用他的名字称为鲁道夫数。 无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值 表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加。1706 年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。 1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数 点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到 1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的 808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
数学圆周率
圆周率π圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。
它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。
但在日常生活中，通常都用3. 14来代表圆周率去进行计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。
π(pai)是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉在一七三六年开始，在书信和论文中都用π来代表圆周率。
既然他是大数学家，所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了。
但π除了表示圆周率外，也可以用来表示其他事物，在统计学中也能看到它的出现。
π=Pai（π=Pi）古希腊欧几里德《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。
历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10 （约为3.16）。
南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.141592 7，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。
他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。
其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。
数学pai数值
数学pai数值数学pi数值是一个神奇的数，它长达无限不循环小数，用希腊字母π表示。
那么，关于pi数值，应该如何来认识它呢？首先，我们需要了解pi数值的历史。
早在公元前约2000年，古代的巴比伦人就已经使用pi数值进行测量。
然而，直到公元前5世纪时，希腊的数学家皮塔哥拉斯才能够准确计算出pi的数值。
接着，古代的富勒尼奥斯（Archimedes）也曾经推导出pi的数值，并且使用了一种被称为“面积近似法”的方法来计算pi的数值。
其次，我们需要明确pi数值的意义。
Pi数值的意义就是该圆周长与其直径的比值。
也就是说，当你在一张圆形的纸上绕着一条线走下去时，你一定会发现无论线的长度如何，绕了一圈后的轨迹长度都是直径的约三倍。
而这个约三倍的比值，就是pi数值。
然后，我们需要学会pi数值的计算。
如何计算pi的数值呢？常见的方法有两种，一种是使用无穷级数式子，而另一种方法则是蒙特卡罗方法。
无穷级数法是指将pi表示成一些极限值，然后根据这些极限值进行计算。
而蒙特卡罗方法则是随机数模拟统计法。
最后，我们需要认识pi数值的意义。
pi数值对于数学、工程、物理等领域都有着重要的意义。
它无处不在，从机械设计到量子力学、天文学和统计学等等，都需要使用pi数值。
因为pi数值无限不循环小数，所以它具有无限的可能性，纳入更多的数字，则后面数字的组合无论多么复杂，总有一个平衡点，使得这个值趋向于pi数值。
综上所述，学习pi数值并不仅仅是单纯的了解一个数的大小，更是了解历史、科学、数学等各个领域的重要概念、计算方法以及运用价值的一项学问。
因此，通过学习pi数值，我们可以增进对数学体系的认识，并且提高自己的思维能力。
教育机构常用π值
教育机构常用π值
1. π的定义
π是数学中一个重要的常数，表示圆的周长与直径的比值。
数值上约等于3.。
在教育机构中，π经常被使用在各种数学和物理计算中。
2. π在数学中的应用
2.1 圆的计算
教育机构常用π值来计算圆的周长、面积和体积。
例如，通过π可以计算圆的周长：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
2.2 弧度制和角度制的转换
π值也用于弧度制和角度制的转换。
在数学中，弧度制是一种度量角的单位，圆周上的一段弧所对应的圆心角是1弧度。
一个完整的圆周对应的圆心角是2π弧度。
2.3 三角函数计算
在三角函数计算中，π值经常被使用。
例如，正弦函数和余弦
函数的周期是2π，而正切函数的周期是π。
3. π在物理中的应用
3.1 圆周运动和周期性振动
在物理学中，π值用于描述圆周运动和周期性振动的特性。
例如，物体做匀速圆周运动时，其周期T与半径r和加速度a有关，
可以使用公式T = 2π√(r/a)来计算。
3.2 波动和振荡
在波动学和振动学中，π值也被广泛应用。
例如，波的周期T
和频率f之间的关系可以通过公式T = 1/f来表示，其中π值用来将
周期和频率相互转换。
4. 结论
π值在教育机构中有着广泛的应用。
它在数学和物理计算中起
着重要的作用，特别是在圆的计算、弧度制和角度制的转换、三角
函数计算以及圆周运动和周期性振动等方面。
了解和熟练应用π值，有助于提高数学和物理的研究成果和解决问题的能力。
（字数：246）。
派的推导公式
派的推导公式派（π）这个神秘的数字，在数学的世界里可是个超级大明星！从小学到高中，咱们都在和它打交道。
咱先来说说派是啥。
派呀，就是圆的周长和直径的比值。
这就好比你有一个超级圆的大饼，你量一量它的周长，再量一量它的直径，然后把周长除以直径，得到的这个数就是派啦。
那派的推导公式是咋来的呢？这就得从圆的性质说起咯。
咱们想象一下，有一个大大的圆，就像学校操场上的那个大圆形跑道。
然后呢，我们把这个圆切成好多好多的小扇形。
这些小扇形就像是一片片披萨。
接下来，我们把这些小扇形一个一个地拼起来。
你猜怎么着？慢慢地，就拼成了一个近似长方形的形状。
这个长方形的长，就差不多是圆周长的一半，宽呢，就差不多是圆的半径。
那长方形的面积大家都知道是长乘宽。
这时候，圆的面积也就和这个长方形的面积差不多啦。
那圆的周长怎么算呢？假设圆的直径是 d，根据周长的定义，圆的周长 C 就是πd 。
所以圆周长的一半就是πd÷2 。
圆的半径是 r ，也就是 d÷2 。
那圆的面积 S 就等于πd÷2 × d÷2 ，整理一下就是πr² 。
这就是派在计算圆面积时的推导过程啦。
我还记得我上中学的时候，有一次数学老师在课堂上讲派的推导公式。
那时候天气特别热，教室里的风扇呼呼地转着，可大家还是热得有点心不在焉。
老师看出来了，他没有生气，而是笑着说：“同学们，你们可别小看这个派呀，以后你们买蛋糕算大小，可都得靠它呢！”大家一听都乐了，顿时来了精神。
老师接着就一步一步地带着我们推导公式，边写边讲，特别耐心。
那堂课，我到现在都还记得清清楚楚。
再来说说派在计算圆的周长时的作用。
如果知道圆的直径，那周长直接就是πd ；要是知道半径，周长就是2πr 。
这多简单呀！到了高中，派的用处就更多啦。
在立体几何里，计算圆柱、圆锥的体积和表面积，都离不开派。
派这个神奇的数字，虽然它看起来好像只是个简单的比值，但是它背后隐藏的数学奥秘可深着呢！它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开数学世界里一扇又一扇的大门。
π的计算公式
π的计算公式是：π＝圆周长／直径≈内接正多边形／直径。
当正多边形的边长越多时，其周长就越接近于圆的周长。
把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。
现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。
如果以39位精度的圆周率值，来计算可观测宇宙（observable universe）的大小，误差还不到一个原子的体积。
以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。
代数：
π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由德国科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。
1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。
圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。
圆周率π的计算及简单应用
圆周率π的计算及简单应用一、π的来历π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。
通常用希腊字母π来表示。
英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。
但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。
此后π才成为圆周率的专用符号。
π的历史是饶有趣味的。
对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。
实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。
直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。
后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。
然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。
他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。
但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。
在我国称这种方法为割圆术。
直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。
后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。
公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。
同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。
用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。
由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。
直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。
他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。
人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。
之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。
π值算法分析
关于“π”值计算的算法分析研究许辉2012029010008一、简介圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
它定义为圆形之周长与直径之比。
它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
π在很多数学领域里都有很大的作用：Leibniz定理：概率论：设我们有一个以平行且等距木纹铺成地板，随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。
这就是布丰投针问题。
1777 年布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/π。
定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义π为满足sin x = 0的最小正实数x。
这里的正弦函数定义为幂级数从而，从古到今，计算π的值成为了一个流行于世界数学界的问题。
现在利用计算机可以将π值计算到小数点后数亿位。
学完算法分析与设计后，觉得可以用几种不同的算法来计算的值。
二、具体算法及C语言实现1.Leibniz定理：C代码为：Define N 10000000#include<stdio.h>int main(){int j;double i,pai=1;for(i=3,j=-1;i<N;i=i+2,j*=-1){pai+=1/i*j;}printf("π=%lf",4*pai);return 0;}运行结果：3.141592，发现N=10000000时才能与真实值温和到7位，N=1000000，则结果为3.141591。
2.级数算法C代码:(这是我在网上看到的代码，算到了800位，觉得很神奇后面有我自己对这个算法的一点分析)#include<stdio.h>long a=10000,b,c=28000,d,e,f[28010],g;void main(){for(;b-c;) f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}结果为：因为是网上看到的算法，看了半天才懂，觉得很妙，下面给出几点分析：一、算法1、这个算法用到的π的计算公式（级数中的一种0π/2=1+1!/3!!+2!/5!!+3!/7!!+...+k!/(2*k+1)!!+...2、公式的程序实现（数组存储余数）把上面的公式做一下展开和调整π/2 = 1 + 1!/3!! + 2!/5!! + 3!/7!! + ... + k!/(2*k+1)!!= 1 + 1/3 + (1*2)/(3*5) + (1*2*3)/(3*5*7) + ... + (1*2*...*k)/(3* 5*...*(2k+1))= 1 + 1/3 + (1/3)*(2/5) + (1/3)*(2/5)*(3/7) + ... + (1/3)*(2/5)*... *(k/(2k+1))= (1/3)*(2/5)*...*(k/(2k+1)) + ... + (1/3)*(2/5)*(3/7) + (1/3)*(2/5 ) + 1/3 + 1= (k/(2k+1))*...*(2/5)*(1/3) + ... + (3/7)*(2/5)*(1/3) + (2/5)*(1/3 ) + 1/3 + 1= (((((k/(2k+1)+1)*((k-1)/(2(k-1)+1)+1)*...)*3/7+1)*2/5+1)*1/3 +1)/1= (((((1/(2k+1)*k+1)/(2(k-1)+1)*(k-1)+1)/...)/7*3+1)/5*2+1)/3* 1+1)/1我们要做的就是做除法、做乘法、加1，做除法、做乘法、加1，...，这样直到做除法除以1。
pai的计算方法
π（圆周率）的计算方法有多种，包括蒙特卡罗法、数学公式法等。
蒙特卡罗法：这是一种利用计算机随机数的功能基于“随机数”的算法，通过计算落在单位圆内的点与落在正方形内的点的比值求π。
这种方法得到的π的精度与投入点的个数有关，一般个数较大时精度比较高。
数学公式法：π也等于圆形之面积与半径平方之比，即圆周率=圆面积÷半径2是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
以上只是简要介绍，如果需要更多信息，可以阅读数学专著或请教专业人士。
0到pai高阶三角积分
0到pai高阶三角积分0到π高阶三角积分是一种数学中常见的求解方法，它在计算机科学、物理学和工程学等领域中起着重要作用。
本文将介绍0到π高阶三角积分的定义、性质以及应用。
我们来了解一下0到π高阶三角积分的定义。
0到π高阶三角积分是指在0到π的范围内对三角函数的高阶幂进行积分运算。
常见的高阶三角函数有正弦函数和余弦函数的高阶幂，如sinⁿx和cosⁿx。
高阶三角积分可以用来计算曲线的弧长、曲线围成的面积以及求解各种物理问题。
接下来，我们来探讨一下0到π高阶三角积分的性质。
首先，高阶三角积分具有线性性质，即对于任意的常数a和b，有∫[0,π](a·sinⁿx+b·cosⁿx)dx=a·∫[0,π]sinⁿxdx+b·∫[0,π] cosⁿxdx。
其次，高阶三角积分具有周期性质，即∫[0,π]sinⁿxdx=∫[0,π]sinⁿ(x+π)dx和∫[0,π]cosⁿxdx=∫[0,π]cosⁿ(x+π)dx。
此外，高阶三角积分还具有奇偶性质，即当n为偶数时，∫[0,π]sinⁿxdx=0；当n为奇数时，∫[0,π]cosⁿxdx=0。
0到π高阶三角积分在各个领域中有着广泛的应用。
在计算机科学中，高阶三角积分可以用于图像处理和计算机图形学等领域，例如用于图像的平滑处理和边缘检测。
在物理学中，高阶三角积分可以用于求解电磁场中的电势分布、电流密度和电荷分布等问题。
在工程学中，高阶三角积分可以用于计算电路中的电流和电压以及声学信号的分析。
需要注意的是，在进行0到π高阶三角积分时，需要根据具体的问题选择适当的积分方法。
常见的积分方法包括换元法、分部积分法和级数展开法等。
通过合理选择积分方法，可以简化计算过程并提高计算效率。
0到π高阶三角积分是一种重要的数学求解方法，它在计算机科学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
通过对高阶三角函数的幂进行积分运算，可以求解曲线的弧长、曲线围成的面积以及各种物理问题。
数学建模 π的计算
可将 算到 200 位。
二、 泰勒级数法 考虑反正切函数的泰勒级数
取 x =1，n =1e3(3,4,5,6,7)
程序： clear tic k=1e3(3,4,5,6,7); x=1; n=1:k; pai=sum((-1).^(n-1).*x.^(2.*n-1)./(2.*n-1)) toc 结果显示：花费时间长！准确度差！！ 原因：x =1 时得到的 arctan1 的展开式收敛太慢！ Maqin 公式法 提高收敛速度：
1、 梯形公式法 将扇形 G 分为 n 个宽度相等的部分 Gk（1 ≤ k ≤ n） Gk：曲边梯形 左右边界平行，上方边界为曲线 n→∞ Gk→梯
G G
形 Gk 梯形面积：
等价于
π
取 n =10k （k=3, 4, …,7），按上述方法，通过计算扇形面积计 算 π 的近似值。 程序
Clear tic n=1e3(3, 4, …,7); x=linspace(0,1,n+1); y=(1-x.^2).^0.5; pai=(0.5*y(1)+0.5*y(n+1)+sum(y(2:n)))*4/n toc
rand(n) 产生 n×n 的随机方阵 rand(m,n) 产生 m×n 的随机矩阵 需要产生两个[0, 1]上均匀分布的随机数 x，y，表示一个点的坐 标，这个点落在单位正方形内每个位置的机会均等，当 x2 + y2 ≤ 1 时，该点落在扇形内。 程序： clear tic n=1e7; x=rand(1,n); y=rand(1,n); c=x.^2+y.^2; m=sum(c<=1); k=m/n; pai=4*k toc 四、蒲丰（Buffon）掷针试验 1777 年法国数学家蒲丰提出了一种用于计算 π 的随机掷针试验， 步骤如下： （1）取一张白纸，在上面画许多间距为 d 的等距平行线；（2） 取一根长度为 l ( l < d ) 的均匀直针，随机地向画有平行线的纸
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在命令窗口中输入如下命令： >> digits(30) %保留小数点后30位 >> calpi3(100) ans = 3.14157598692312900467982217378 >> calpi3(500) ans = 3.14159198692313035294887413329 >> calpi3(10000) ans = 3.14159265192314007819618382200
用Matlab计算
创建 m 文件 fun.m，内容如下： function y=fun(x) y=4./(1+x.^2); 创建 m 文件calpi3.m，内容如下： function y=calpi3(k) for n=1:k-1 a(n)=2*fun(n/k); end; vpa(1/(2*k)*(sum(a)+fun(0)+fun(1)))
在命令窗口中输入如下命令： >>calpi4(10000) ans = 3.13240000000000 >>calpi4(50000) ans = 3.14728000000000 >>calpi4(100000) ans = 3.14608000000000
计算 π 的意义
反映数学和计算技术发展的一个侧面 “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程 度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水 平的指标。”
2. 用数值积分计算π，分别用梯形法和Simpson
法精确到10位数字，用Simpson法精确到15 位数字.
3. 用Monte Carlo 法计算π，除了加大随机数，
在随机数一定时可重复算若干次后求平均值， 看能否求得5位精确数字？
4. 设计方案用计算机模拟Buffon实验
5. 利用学习过的知识(或查阅资料)，提出其他
方法2
利用数值积分
1 设 y ( x) = 1+ x2
1 A = 4∫ dx = π 2 01 x ＋
1
将[0,1]区间n等分，取xk=k/n, yk= 1/ (1+xk2)
2 梯形法 ⇒ A = [2( y1 + y2 + L + yn −1 ) + y0 + yn ] n 1 Simpson法 ⇒ [( y0 + y2 m ) + 2( y2 + y4 + L + y2 m − 2 ) 6m + 4( y1 + y3 + L + y2 m −1 )]
Machin公式
1 1 π 4 arctan − arctan = 5 239 4
用Matlab计算
创建m文件 calpi2.m，内容如下： function y=calpi2(k) for n=1:k a(n)=(-1).^(n-1)*(1/2).^(2*n-1)./(2*n-1)+(-1).^(n1)*(1/3).^(2*n-1)./(2*n-1); end; vpa(4*sum(a))
方பைடு நூலகம்1
利用幂级数表达式
1 2 4 n −1 2 n − 2 = 1 − x + x − L + ( −1) x +L 2 1+ x
x x n −1 x + − L + ( − 1) +L arctan x = x − 3 5 2n − 1
3 5 2 n −1
π
1 1 1 n −1 = 1 − + − L + ( − 1) +L 4 3 5 2n − 1
π
2 2 4 4 2n 2n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅L ⋅ ⋅ L 2 1 3 3 5 2n − 1 2n + 1
3. Buffon落针实验中，若扔针次数为m, 而其中针与平行线相交的次数为n，试导出
π 与m/n 的关系
实验任务
1. 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式
求π，若要精确到40位、50位数字，试比较 简单公式和Machin公式所用的项数.
22 355 <π < 7 113
3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 (领先世界900余年)
人工计算：实验法→ 几何法→ 分析法 最高记录：808位(1948 ) 计算机方法:
位数 年代 2035 1949 100万 1973 10亿 1989 2061亿 1999 12411万亿 2002
方法3
Monte Carlo 法
从Buffon落针实验谈起： 纸上一组平行线距离为1， 将长度为1的针多次地扔到 纸上。若扔针次数为m,而其中 针与平行线相交的次数为n Buffon指出：π 的数值与 m/n 有关，他由此 求出π 的近似值为3.142
设计方案
在正方形 0< x <1, 0< y<1 上随机的投大量的点，那么 落在四分之一园内的点数 数m与在正方形内的点数n 之比 m/n 应为这两部分图形 面积之比＝π /4, 故
π ＝4 m/n
计算机模拟：产生区间[0,1]上数目为n 的一组 随机数(x, y)，计算满足 x2 + y2 <1 的点数m
用Matlab计算
创建m文件calpi4.m，内容如下： function y=calpi4(k) m=0; for n=1:k if rand(1)^2+rand(1)^2<=1 m=m+1; end; end; 4*m/k
>> digits(100) >> vpa(pi) ans = 3.1415926535897932384626433832795028841971693 99375105820974944592307816406286208998628034 825342117068
但你会计算π 的值吗？你又能用几种方法计算？
问题: 能不能算得更快一点、更精确一点？ 简单公式
1 1 π arctan + arctan = 2 3 4
1 1 1 3 1 1 5 ( − 1) n − 1 1 2 n − 1 ( ) π = 4[ − ( ) + ( ) − L + +L 2 3 2 5 2 2n − 1 2
( − 1) n −1 1 2 n −1 1 1 1 3 1 1 5 + − ( ) + ( ) −L + ( ) + L] 3 3 3 5 3 2n − 1 3
测试或检验超级计算机的各项性能(Super PI) 引发新的概念、方法和思想 ,产生新的问题
作业
1.验证公式 2.利用积分
π
1 1 1 = arctan + arctan + arctan 5 8 4 2
∫
推导公式
π
2 0
(n − 1)!! π sin x dx = ⋅ , n为奇数 n!! 2
n
计算π的方法(先用你学过的知识证明)，然后 实践这方法.
6.对你在实验中应用的计算π的方法 进行比较讨论
谢谢各位！
在命令窗口中输入如下命令： >> digits(30) %保留小数点后30位 >> calpi2(10) ans = 3.14159257960635063255949717131 >> calpi2(20) ans = 3.14159265358975625659354591335 >> calpi2(50) ans = 3.14159265358979323846264338328
用Matlab计算
创建m文件 calpi1.m，内容如下： function y=calpi1(k) for n=1:k a(n)=(-1).^(n-1)./(2*n-1); end; 4*sum(a)
在命令窗口中输入如下命令： >> calpi1(1000) ans = 3.14059265383979 >> calpi1(10000) ans = 3.14149265359003 >> calpi1(15000) ans = 3.14152598692319 >> calpi1(20000) ans = 3.14154265358982
哪里有数,哪里就 有美.
- Proclus
知其然,更知其所以 然.
-中国先哲
数学实验
怎样计算 π 的值 ?
上海交大数学系
说明： 本实验内容参考了中国科技大学 李尚志等编写的数学实验教材
实际问题
π―圆周率, 我们十分熟悉的常数. 你也许能写出 π = 3.1415926535 用Matlab 容易求出π 到几百位