第9讲竞赛123班教师版

操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。

鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。

1.常见操作类问题2.计数技巧与操作【例1】（2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。

问能把餐巾纸：⑴剪成2块吗？⑵剪成3块吗？⑶剪成4块吗？⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。

【分析】⑴剪开成两块，如下图：⑵剪开成3块，如下图：常见操作类问题经典精讲教学目标操作与计数技巧第九讲⑶剪开成4块，如下图：⑷剪开成5块，如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。

将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。

【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。

第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。

求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34482÷=L L，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。

【例3】（2006年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。

如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有______个。

【分析】首先圆圈上是不可能有5个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有4个。

实际操作得到：【拓展】经过2008次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？【分析】如图进行操作，当第7此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。

所以第2008次操作时圆圈上的棋子颜色与第4次操作后的圆圈情况相同。

【例4】50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是_______。

【分析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951……101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为()12n n+,报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，我们知道3612345678=+++++++，所以报2008的同学第一次报8。

【例5】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，…，98，99。

一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。

例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。

这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数。

纸上出现的所有数的总和是。

【分析】每一次操作都少了3个数，所以只剩下一个数的话，要经过49步操作，即后面要写49个数，注意到每一次操作后数和不变。

前33步操作将99个数3个3个加和放在后边，和等于L，接着11步操作将写的33个数3个3个加和在后边,和等于++++=123994950+++=L，L，101118126 L，这11个数分别是12945123994950+++=++++=+++=L。

相邻两个相差9981⨯=，L，L，919299855192027207+++=之后还有5个数，第一个数是45126207378++=。

最后一个数12994950L，=+++=而之间三个数的和等于最后一个数即4950，所以这些数的总和等于4950495049503784950495025128+++++=。

【前铺】将前100个正整数顺次写下得到多位数12345699100L，从首位起将这些数位从1开始编号，然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是______。

【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶数位的数字第二次操作后，剩下的全是4的倍数位上的数字；……………直到第六次操作后，剩下的全是64的倍数位上的数字，原多位数一共有92903192+⨯+=位，所以此时剩下的是第64位、128位和192位上的数字。

-=,1192591÷=L L，-=,55227164955÷=L L，所以第64位上的是“37”的“3”；1289119所以第128位上的是“69”的“6”，所以剩下的三位数是360。

【例6】有一叠300张卡片，从上到下依次编号为1~300，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。

那么剩下的这张卡片是原来300张卡片的第几张？【分析】88张。

当有8=（张）卡片时，第一轮过后剩下的是2的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是22 2562的倍数号卡片……第8轮过后，剩下的是82的倍数号卡片，即就剩下1张卡片，是第256号卡片。

现在有300张卡片，如果拿掉30025644-=（张）卡片，剩下256张卡片，那么就变为上述的情况了。

拿掉的第44张卡片是编号为442187⨯-=（号）的卡片，此时剩下256张卡片，下一个要拿掉的是第89号卡片，第88号是最后一张。

所以，剩下的这张卡片是原来的第88张。

【点评】关键是从模型2n中找到规律，这种规律的前提是2n个数，这就要考量怎么转换条件的问题。

【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让N个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。

对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。

老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为推导过程较为复杂，不好理解。

根据反复试验和观察，本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。

方法和例子这里列举这类问题的两种情形。

对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。

这两种情形都是基于如下前提：从1到N编号的N个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。

并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。

设老鼠的总个数为N，最后幸存的老鼠编号为X。

情形1：1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？先考虑简单的情况。

当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号，1号为最后的幸存者；当有三只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号.....，依次类推，可发现如下规律：对于这种情况，每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠，可认为2只为一个周期，用m＝2表示；用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。

情形2：1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？先考虑简单的情况。

当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3号，1号为最后的幸存者；当五只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.....，依次类推，可发现如下规律：对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m ＝3；每3只中吃掉两只，因此，2n =。

结论通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N 的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列A 。

该数列的首项1a m =，公差d n =（m 和n 都是正整数）。

而与N 对应的X 的取值则构成了若干个等差数列1B ，2B ，L ，K B 。

这些等差数列的公差都为m ，首项都为1。

还发现，构成的这些等差数列有这样一个规律：每逢N 的值为mk 时（m 和k 都是正整数），对应X 的取值就是1。

也就是说，当N 的取值范围从k m 到1k m n +- 之间时，对应的X 的取值就构成了一个d m =，11a =的等差数列，项数就是从k N m =到1k N m n +=-之间数的个数（包括k m 和1k m n +-这两个数）。

那么现在来看看一般情形：如果猫要从m 个老鼠中吃掉n 个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤：1、 首先找到小于N 的一个最大的数k m （k 是正整数，并假设k N m ≠）；2、 这样就构成一个首项1a k m =，末项n a N =，公差d n =的等差数列A ，利用公式求出项数b ; （即，()1k b N m n =+-÷ ）3、 因为X 的每个取值也构成了一个与A 对应的等差数列K B ，其中，公差为m ，首项为1，项数为b 。

利用等差数列求末项公式，求出末项n a ； （即，()11n a b m =+-⨯）4、n a 就是与N 对应的X 的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编号。

【例7】 （2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○X 1 4 7 1 4 7 10 13 16 19 22 25 1 4 7 10 ... 1 4 ...计数技巧与操作位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。

如果“马”在88⨯的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有条。