函数的极值与最值
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
函数的极值与最值
函数的极值与最值
函数极值和最值是一个在数学中很重要的概念，它们都涉及到函数的测
量值的变化：极值涉及函数的单调增加和减少，最大值和最小值涉及到函数
的执行值在变换的范围。
函数极值指的是函数上某一点，使得在它一定范围内该函数在该点处取
得局部极大值或者局部极小值，即使函数值改变，其在该点处取得的极大值
和极小值依然是不变的。
极值点可能是极大值点也可能是极小值点，它们分
别表示函数在某个点处取得的局部最大值和局部最小值。
最值指的是函数在一个定义域中的最大值和最小值，这意味着在定义域内，该函数只能取到一个最大值或者一个最小值，而且该值不会改变。
所以，最值用来描述函数输出范围；而极值是用来描述函数变化趋势和单调性的。
显而易见，求一个函数的极值和最值是一个很重要的技能，也是很多科
学计算中的重要组成部分，因此需要学习者对函数极值、最大值和最小值的
计算过程都有足够的掌握，以便更好的实现计算的目的。
函数的极值与最值的判定
函数的极值与最值的判定在数学中，函数的极值和最值是研究函数性质时非常重要的概念。
判定一个函数的极值和最值可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。
本文将介绍如何确定函数的极值和最值，并给出相应的判定步骤和示例。
一、函数的极值函数的极值指的是函数在某一特定点上取得的最大值或最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
要判定函数的极值，我们需要依据下面的步骤进行操作：1. 求取函数的导函数。
导函数可以用来描述函数的变化趋势，它表示函数在某一点上的斜率。
2. 求取导函数的零点。
导函数的零点对应着函数的极值点，因为函数在极值点处的导数为零。
3. 分析导函数的零点的符号变化。
若导函数的零点从正变为负，那么函数在该点上取得极大值；若导函数的零点从负变为正，那么函数在该点上取得极小值。
4. 验证极值点。
通过计算函数在极值点处的取值，确定函数的极值。
二、函数的最值函数的最值是指在特定的定义域范围内，函数所能取得的最大值和最小值。
要确定函数的最值，我们需要按照以下步骤进行：1. 求取函数的定义域。
定义域是函数能够取值的范围。
2. 分析函数的变化趋势。
通过观察函数的图像、导函数的符号、一阶导数和二阶导数的正负性等信息，推测函数可能存在的最值点。
3. 确定最值点。
通过计算函数在最值点处的取值，确定最值。
三、示例分析现在我们来看一个具体的示例，以帮助更好地理解函数的极值和最值的判定过程。
假设我们有一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5。
我们将按照上述步骤来判定函数的极值和最值。
1. 求取导函数。
导函数f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
2. 求取导函数的零点。
令f'(x) = 0，解得x = -1, 3。
3. 分析导函数的符号变化。
当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 3时，f'(x) > 0；当x > 3时，f'(x) < 0。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数是数学中的一种重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在函数中，极值和最值是十分重要的概念，它们能够帮助我们找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍函数的极值和最值的概念及其求解方法。
一、函数的极值在数学中，函数的极值是指函数在某个点上取得的最大值或最小值。
根据极值的概念，我们可以将其分为两种类型：极大值和极小值。
当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都大时，该点上的极值称为极大值；当函数在某点的函数值比其邻近的其他点都小时，该点上的极值称为极小值。
为了找到函数的极值，我们可以通过求函数的导数来实现。
首先，我们需要求函数的导数，然后将导数为零的点找出来。
这些点就是函数可能存在极值的点。
接下来，我们可以通过求二阶导数来判断这些点是否是极值点，也就是通过判断导数的变化来确定函数的极值。
二、函数的最值函数的最值是指函数在某个区间或整个定义域上取得的最大值或最小值。
与极值相似，最值也可以分为最大值和最小值两种类型。
当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都大时，该函数值称为最大值；当函数在某个区间或整个定义域上的函数值比其他区间或整个定义域上的其他函数值都小时，该函数值称为最小值。
要求解函数的最值，我们需要先找到函数的临界点和边界点。
临界点是指导数为零或导数不存在的点，而边界点是指函数定义域的端点。
然后，我们将这些点代入函数式中计算函数值，最后找到其中的最大值和最小值。
综上所述，函数的极值和最值是函数分析中的重要内容。
通过求导数和二阶导数，我们可以找到函数可能存在极值的点，并通过判断导数的变化来确定函数的极值。
而求解函数的最值则需要找到临界点和边界点，通过计算函数值来确定最大值和最小值。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
最后，需要提醒的是，在实际问题中，函数的极值和最值往往对应着一些有意义的物理量或经济量，通过求解函数的极值和最值，我们能够找到最优解或者最优方案，为实际问题的解决提供有力的理论基础。
函数的极值和最值
函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。
极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。
极大值和极小值统称为极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。
具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。
2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。
- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。
- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。
- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。
三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。
四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。
1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。
- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。
2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。
- 然后，找出f'(x)的零点。
- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。
- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。
需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。
总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。
4.5 函数的极值与最值
: x1 , x 2 , x 3 : x4 , x5
极值点或为f ( x )为零的点或为f ( x )不存在的点 .
极值点的必要条件
二.函数极值的求法
定理1(极值点的必要条件)点 x 0 是函数 f ( x )的极值点的
必要条件是：
f ( x 0 ) 0 或者 f ( x 0 ) 不存在
故总利润 L R C 3720 P 40 P 2 77250 令 L 3720 80 P 0 , 得 P 46 . 5
又 L 80 0 , 故当 P 46 . 5 ( 元 )时 , L 有唯一极大值
,
即最大值 . 所以商品单价定为 46 . 5 元时利润最大
(极值的可疑点或临界点) 判定极值点的充分条件
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定理2(极值第一判别法) 设函数 f ( x ) 在点 x 0 的某一空心
邻域内可导，且在点 x 0 连续 .
( 1 )如果在点 x 0的左邻域内有
f ( x ) 0，在点 x 0的右 f ( x ) 0，在点 x 0的右 f ( x ) 恒为正或恒为
f (1 ) 7 .
例4
求下列函数的最大值和最小值：
3
(1 ) y x 3 x ,
x [ 2 , 2 ];
因此最大值是 最小值是
(2) y xe
x
y ( 1) y ( 2 ) 2 , y (1 ) y ( 2 ) 2 .
x [0 , 2 ];
x 2 x 在 x 0 点取得极小值
在 x 1 点取得极大值
y (1 ) 1 .
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值.
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
函数的极值与最值的区别
函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。
函数的极值和最值
函数的极值与最值【考纲要求】1、掌握函数极值的定义。
2、了解函数的极值点的必要条件与充分条件、3、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值与极小值4、会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义,(1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 就是函数)(x f 的一个极大值,记作)(0x f y =极大值;(2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 就是函数)(x f 的一个极小值,记作)(0x f y =极小值、极大值与极小值统称极值、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点就是自变量的值,极值指的就是函数值、 要点诠释:求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根;④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值、(最好通过列表法)要点二、函数的最值1、函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值;在开区间),(b a 内连函数的极值与最值函数在闭区间上的最大值与最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值、如1()(0)f x x x=>、 要点诠释:①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。
2、通过导数求函数最值的的基本步骤:若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根;(3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值与)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值、【典型例题】类型一:利用导数解决函数的极值等问题例1、已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程;【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数在数学中具有重要的地位和作用，在各个领域中都有广泛的应用。
函数的极值与最值是函数中的一个重要概念，它们与函数的变化趋势和特征密切相关。
本文将探讨函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
极大值是函数在该区间内的最大值，极小值是函数在该区间内的最小值。
计算函数的极值的常用方法是求导。
如果函数在某一点的导数为0，且在该点的左侧导数由负变正，右侧导数由正变负，那么该点就是函数的极值点。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2x，在取得极值的点处，f'(x)=0。
我们可以求得f'(x)=3x^2-6x+2=0，解得x=1或x=2/3。
分别代入函数，可以得到极小值f(2/3)=-4/27，以及极大值f(1)=0。
二、函数的最值函数的最值是指函数在整个定义域上的最大值和最小值。
计算函数的最值的方法可以通过求函数的导数，或者通过对函数的定义域进行讨论。
对于闭区间，只需要计算函数在端点上的值并进行比较即可找到最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，定义域为[-1,3]。
首先计算端点的值，f(-1)=8，f(3)=6。
然后求导得到f'(x)=2x-4，令其等于0得到x=2。
将x=2代入函数得到f(2)=-1。
因此，在定义域[-1,3]上，f(x)的最大值为8，最小值为-1。
三、函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，函数的最大值可以表示最大的利润或最小的成本；在物理学中，函数的极小值可以表示最短的路径或最小的能量。
以一个经济学的例子为说明：假设一家公司的生产函数为Q=100L-2L^2，其中Q表示产量，L表示劳动力的数量。
这个函数是一个抛物线函数，通过求导可以找到其极值点。
求导得到Q'=100-4L=0，解得L=25，即劳动力的数量为25时，产量最大。
第三章函数的极值与最值
一、函数极值的定义
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
(4) 求极值.
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
所 以 ,函 数 f(x )在 x 0 处 取 得 极 大 值
例2 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 2 数 2x 4 2的 0 .极 解 f(x)3x26x2 43 (x 4 )x ( 2 ) 令f(x)0，得x 1 驻 4 , x 点 2 2 . f(x ) 6 x 6 , f(4)18 0, 故极大f(值 4)60,
定理2(第一充分条件)
(1)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 ),
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极大值.
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
函数极值与最值的区别
函数极值与最值的区别摘要：1.极值与最值的概念区分2.极值的局部性质3.最值的全局性质4.极值与最值的联系5.实际应用举例正文：在数学领域，函数的极值和最值是两个密切相关但又有所区别的概念。
许多人常常会将它们混淆，但实际上它们有着明确的定义和性质。
本文将详细探讨函数极值与最值的区别，并通过实例帮助大家更好地理解这两个概念。
首先，我们来区分一下极值和最值。
极值是指函数在某个局部区域内的最大值或最小值，它是一个局部性质。
最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值，它是一个全局性质。
简而言之，极值关注的是局部表现，而最值关注的是全局表现。
接下来，我们来了解极值的局部性质。
在数学中，极值点通常是指函数在该点处可导且导数为零的点，或者是不可导的点。
在极值点附近，函数的值会在某个方向上单调递增或递减。
也就是说，极值点是函数在局部区域内最大或最小的点。
需要注意的是，极值并不一定是最值，因为最值还包括端点值和不可导点的值。
然后，我们来了解最值的全局性质。
最值通常出现在极值点、不可导点和端点（如果可取到）处。
在这些点上，函数的值要么是最大值，要么是最小值。
最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值，具有唯一性。
也就是说，一个函数只有一个最大值和一个最小值。
此外，我们还需要注意到极值与最值之间的联系。
在许多情况下，极值点处的值会等于或接近最值。
然而，这并不是绝对的，因为极值仅仅是在局部区域内的最大或最小值，而最值则是全局范围内的最大或最小值。
因此，在寻找函数的极值时，我们需要关注局部性质，而在寻找最值时，我们需要关注全局性质。
最后，我们通过一个实际应用举例来进一步说明极值与最值的区别。
假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。
我们可以求出该函数的导数f"(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到极值点x = 1。
在这个例子中，极值点处的值f(1) = 0确实是全局最值之一（另一个全局最值是f(x) = 1，对应于x = 0或x = 2）。
函数极值与最值分析
函数极值与最值分析在数学中，函数的极值和最值分析是一个重要且常见的问题。
通过分析函数的极值和最值，我们可以更好地理解函数的特性和行为，以便在不同的应用场景中做出合理的决策。
本文将介绍函数的极值和最值概念，以及分析函数极值和最值的方法。
一、极值和最值的定义函数的极值指的是函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在某一点处的取值大于其邻近点的取值，极小值则是函数在某一点处的取值小于其邻近点的取值。
最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。
二、函数的极值和最值分析方法1. 寻找导数为零的点对于可导函数而言，导数为零的点可能是函数的极值点。
因为在极值点，函数的导数会从正数变为负数（极大值）或从负数变为正数（极小值）。
因此，我们可以通过求导并令导数等于零来寻找潜在的极值点。
2. 检查导数的符号变化如果导数在某个点的左侧为负，而在该点的右侧为正，则该点为函数的极小值点；反之，如果导数在某个点的左侧为正，而在该点的右侧为负，则该点为函数的极大值点。
因此，我们可以通过检查导数的符号变化来确定极值点的存在和类型。
3. 分析函数的端点对于定义在闭区间上的函数，函数的极值点可能出现在区间的端点。
因此，在进行极值分析时，我们需要考虑函数在区间端点的取值情况。
4. 二阶导数法在寻找函数的极值点时，我们还可以通过二阶导数来确定极值点的类型。
如果函数在某点的二阶导数为正，那么该点为函数的极小值点；如果函数的二阶导数为负，那么该点为函数的极大值点。
三、最值的分析方法1. 利用最大最小值定理最大最小值定理指出，如果一个函数在一个闭区间上是连续的，那么它在该区间内一定存在最大值和最小值。
因此，在分析函数的最值时，我们可以先找出函数的临界点和端点，然后比较它们的取值来确定最值。
2. 利用函数的性质和图像在某些情况下，我们可以通过观察函数的性质和图像来确定最值。
例如，对于关于时间的函数，我们可以根据物理规律或实际问题的背景来判断最值的出现时刻。
高等数学第三章： 函数的极值与最值
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
16
运用第一、第二充分条件需要注意:
(1) 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 充分条件来判定有无极值;
(2) 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 则 可用第二充分条件判断有无极值.
17
例 证明x 1时, ex 1 1 x
2
y
比较得: 最大值为 3 4 ,
最小值为 3 4 3 3.
1
2 1O 1
2
2
2x
26
求函数 f ( x) | x 2 | ex 在[0,3]上的
最大值与最小值.
解
( x 2)e x
f
(x)
(x
2)e x
f
(
x)
( x 1)e
(x
1)e x
应用. 事实上,当f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0时, f ( x)在点x0处可能有极大值,也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, f1( x) x4, f2( x) x4, f3( x) x3 在x 0处分别属于上述三种情况.
仍用第一充分条件
15
例 求函数f(x)(x21)31的极值
一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间 的端点处取得.
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
21
求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小) 值的方法: (1) 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的 点(即为极值可疑点)处的函数值和 区间端点的 函数值 f (a), f (b)比较, 其中最大(小)者就是 f (x) 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. (2) 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时, 最值必在端 点处达到.
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系，并在数学建模和问题求解中扮演重要角色。
函数的极值和最值是在特定区间内，函数取得的最大值和最小值。
本文将介绍函数的极值与最值的概念，并探讨如何求解函数的极值和最值。
一、函数的极值与最值概念在某个区间内，如果函数的值在该区间的其它点上都小于（或大于）该点的函数值，那么该点被称为函数的极值点。
函数的最大值和最小值就是函数在整个定义域内的极值。
对于实数域上的函数f(x)，如果存在一个实数c，使得在区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≥f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值；如果对于区间[a,b]内的任意一点x，都有f(x)≤f(c)，则称f(c)为函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。
二、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法函数极值点必须满足导数为0或者不存在导数的条件。
通过求函数的导数，我们可以找到导数为零的点，然后判断这些点是否为函数的极值点。
当导数从正数变为负数时，函数的最大值出现；当导数从负数变为正数时，函数的最小值出现。
2. 端点法对于定义在有界闭区间上的函数，其最大值和最小值可能出现在区间的两个端点上。
因此，在求解函数的最大值和最小值时，我们需要检查区间的两个端点是否为候选点，并与导数法的结果进行比较。
3. 二次函数法对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），其极值点为顶点，可以通过求解一元二次方程来确定顶点的横坐标，再将横坐标代入函数中求得纵坐标。
4. 函数图像法通过函数的图像，我们可以直观地看出函数的极值和最值。
在计算机图像绘制软件中，可以绘制函数的图像，然后从图像中读取函数的极值和最值。
三、应用举例下面通过几个具体的例子来说明如何求解函数的极值与最值。
例1：求解函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的极值和最值。
§3-5 极值与最值
一、函数的极值 定义:设f (x) 在某邻域U (x0)内有定义, 对于U (x0)中的任一点x ,
若 (1) f (x) < f (x0), 若 (2) f (x) > f (x0),
则称 x0 为函数 f (x)的极大值点, 称 f (x0)为函数 f (x)的极大值 ;
(最值可能在区间端点处取得，而在端点处不能取得极值)
y
x1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
O a x1 x2 x3 x4 x5 b x x3 不是极值点
2
根据费马引理，有以下定理：
定理1 (极值的必要条件) 设f (x)在点 x0 处可导, 且在x0 处取得极值, 则 说明:
(1) 逆定理不一定成立. 驻点可能是极值点，也可能不是.
f (2) 34; f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，
最小值 f (1) 7.
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例4. 在数 1, 2, 3 3, , n n, 中求出最大值和最小值. Nhomakorabea1
解: 设 f ( x) x x ( x 1)
则
f ( x)
(e
1 x
的驻点唯一，则该驻点就是最值点。
14
例6.生产产品 x 千件的成本是 C( x) x3 6x2 15x , 售出该产品 x 千件的收入是 R( x) 9x ,
问产量多少时利润最大?
解: 售出 x 千件产品的利润为
L( x) R( x) C( x) x3 6x2 6x
求出的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
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例3 求y 2x3 3x2 12x 14 在[-3,4]上的最大值与最小值.
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数是数学中重要的概念之一，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在数学中，我们经常研究函数的极值与最值，以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将从定义、求解方法以及实际应用等方面探讨函数的极值与最值。
一、函数的极值与最值定义在数学中，给定一个函数f(x)，其定义域为D，如果存在一个实数a使得在a的某个邻域内，对于所有x∈D，都有f(x)≤f(a)（或者f(x)≥f(a)），则称f(a)是函数f(x)在D上的一个极大值（或者极小值）。
相应地，称a是函数f(x)的极值点。
特别地，如果函数f(x)在D上的所有极值中存在一个最大值或最小值，则称此极值为函数f(x)在D上的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最值的方法要求解函数的极值与最值，我们需要运用微积分知识中的导数和极值点的概念。
1. 导数和极值点函数在某点的导数表示了函数在该点的变化率。
在函数的导数存在的点上，函数可能存在极值点。
当导数为零或不存在时，可能是函数的极值点。
2. 求解方法为了找到函数的极值点，我们可以执行以下步骤：- 求解函数的导数；- 找出导数为零或不存在的点，即可能的极值点；- 通过二阶导数或其他方法验证这些点确实是极值点；- 比较这些点的函数值，找出最大值或最小值。
三、实际应用函数的极值与最值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些示例：1. 经济学中的利润最大化在经济学中，一个公司的利润函数通常依赖于售价和销量等因素。
通过求解该函数的最大值，可以确定最大利润对应的售价和销量。
2. 物理学中的最速下降问题在物理学中，有些问题需要找到某个量的最小值以满足特定约束条件。
例如，光在介质中传播时，路径的折射率变化最小，我们可以利用函数的最小值来确定光的路径。
3. 优化问题函数的极值与最值在优化问题中有着广泛应用。
例如，在工程设计中，我们希望找到设计问题的最优解，如最小耗能、最小成本、最大效益等。
四、总结函数的极值与最值是数学中一个重要且实用的概念。
函数极值和最值的联系
函数极值和最值的联系
函数极值和最值是两个密切相关的概念，它们都涉及到函数在某一点或某一段范围内的局部或全局最大或最小值。
首先，我们来了解一下函数极值的概念。
函数极值是指函数在某一点或某一段范围内的局部最大或最小值。
换句话说，如果函数在某一点或某一段范围内的值大于或小于其周围点的函数值，那么这个点或区间就是函数的极值点或极值区间。
其次，最值是函数在给定区间内的最大值和最小值。
最值可以是函数在其整个定义域内的最大值和最小值，也可以是函数在某个特定子集内的最大值和最小值。
现在，我们来探讨一下函数极值和最值的联系。
首先，函数极值是函数最值的子集。
也就是说，函数的极值点一定是函数的最值点，因为极值点满足局部最大或最小的条件。
但是，最值点不一定都是极值点，因为最值点可能是边界点或其他非极值点。
此外，函数的最值和极值都与函数的单调性、凹凸性等性质有关。
如果一个函数在某区间内单调递增或递减，那么这个区间内没有极值点，但可能有最值点。
同样地，如果一个函数在某区间内是凹或凸的，那么这个区间内一定有极值点，但不一定有最值点。
综上所述，函数极值和最值是密切相关的概念。
虽然函数的极值点一定是函数的最值点，但最值点不一定都是极值点。
此外，函数的性质如单调性、凹凸性等也会影响函数的极值和最值的分布。
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高考预测1
设函数f (x) 2 ln(x -1) - (x -1)2 (1)求函数f (x)的单调递增区间 （2）若关于x的方程f (x) x2 - 3x - a 0 在区间[2,4]内恰有两个相异实根， 求实数a的取值范围
一、求函数极值的解题步骤
1、求定义域 2、求导 3、解方程f / (x) 0, (不在定义域内的解舍去） 4、列表 5、下结论
二、求函数在闭区间上最值的解题步骤
1、求极值 2、比较端点值与极值
例1、已知函数f (x) 2x 1 - ln x 3 x
（1）求函数f (x)的单调区间 （2）求函数f (x)的极值点与极值
（3）求函数在[1 ,2]上的最值 2
相应练习1、已知a 1- x ln x, x [1 ,2]
x
2
恒成立，求a的最小值。
思考：当x [1 ,2]，若方程a 1- x ln x2 Nhomakorabeax
有两个相异实数根，求a的取值范围
例2、已知函数f (x) x3 - 3x 1,若方程 f (x) a有3个不同的实数根，求a的取 值范围.
上节课练习
函数f (x) (-x2 ax) e-x (x R) 1)当 a -2时，求f (x)的单调减区间 2）若f (x)在(-1,1)内递减，求a范围
函数的极值与最值
总结： 1、“f / (xo ) 0”是“xo是f (x)极值点” 的必要不充分条件 2、极值点为自变量的取值，极值为对应函数值 3、极小值不一定小于极大值，极大值 不一定大于极小值 4、极值不可能在端点处取得 5、极值不一定是最值