第三章刚体力学

3.空间力系简化
O点：简化中心 如何简化？
所有的力移至 o点的效果：
F Fi i
M o ri Fi
i
力系简化主矢 力系简化主矩
所以：
• 主矢使刚体平动状态发生变化 • 主矩使刚体转动状态发生变化
二、刚体运动微分方程
取质心为简化中心
质心运动方程： 相对质心转动方程
M
d
2
rc
dt 2
2、角速度矢量
lim
n
dn
t0 t dt
的大小： d
dt
角速度矢量
方向：沿转动瞬轴
角加速度矢量
lin
d
t0 t dt
五、刚体内任一点（位置矢量为 r）的线速度
v
dr
r
dt
§3.3 欧勒角
描述刚体定点转动 独立变量为3
那么选取怎样的三个独立坐标？
一、欧勒角的定义
o- 静系 o-xyz 动系 固定在刚体上，随刚体
第三章 刚体力学
刚体：质点组——任意两点的距离不因受力而
改变
理想模型
研究思路：质点组的三大定理推广到刚体
刚体力学的内容：
刚体运动学 刚体动力学
刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、刚体的自由度
完全确定刚体位置的彼此独立的变量个数
如何 确定？
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何 分配？ 3个平动+3转动
一 起转动
o-xyz 在空间的位置就是刚体的位置.
进动
章动
自转
all
xyz xyz xyz xyz
变化范围：
0 2 0 2 0
欧勒角好处：
• 简明、单值地确定刚体的位置 • 三个角度变化相互独立
因此：刚体瞬时角速度：
二、欧勒运动学方程
找出 与 的关系
dJ
dt
i
n
i1
Mi
Fi(e)
M
F
结论
刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动
Mxc Myc
Fx Fy
Mzc
Fz
dJ x
dt
M x
dJ y dt
M y
dJ z
dt
M z
六个独立的方程，动能定理仍适用.
三、刚体平衡方程
• 若刚体处于平衡状态： F 0 M 0
n i 1
ri
mivi
1
J
2
xi yj zk
J Jxi Jy j Jzk
1 2
(
I
xx
2 x
I yy
2 y
I
zz
2 z
2I yz
y z
2Izx z x
2I xy x z )
写成矩阵形式
T
1 2
x
y
I xx
z I yx
I zx
I xy I yy I zy
三、转动惯量
二、有限转动
角位移、角速度是否矢量？
图
有限转动角位移、角速度不满足对易律
三、无限小转动的矢量性
• 无限小转动角位移、 角速度满足对易律
• 角位移、角速度可用 矢量描述 • 证明
四、角速度矢量
1、角位移矢量 n
大小等于转角
方向沿转轴方向（转轴方向与刚体转动
方向成右手螺 旋法则） r n r
一、力系简化
1. 力是滑移矢量
力可沿作用线移动，不能随意移动
2. 力偶及其简化
• 力偶：作用在刚体上两点，大小相等，方向相反.
力偶有转动效应，无平动效应
力偶矩
M
r1
F1
r2
F2
r F2
方向：永远垂直于力偶的作用面 大小：与o点无关。
因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于 自身任意移动位置，不影响其效应。
在动系o-xyz上的投影：
xi y j zk
欧勒角
角 速 度 分 解 图
在动系上的分量
x cos
0 sin sin
y sin 0 sin cos
z
0
cos
欧勒运动方程
x sin sin cos y sin cos sin z cos
§3.4 刚体运动方程与平衡方程 • 提出问题：
分量形式：
Fx Fy
0 0
Fz
0
M x 0 M y 0 M z 0
例题 棍子： P 2 在粗糙地面
求：棍与地面的摩擦系数
解：外力：P N1 N2 f 由平衡方程：
Fx 0 Fy 0
N1 cos(90 0 ) f 0 N1 sin(90 0 ) N2 P 0
A点为简化中心：
二、刚体运动的分类
平动 定轴转动 平面平行运动 定点运动 一般运动
自由度3 坐标 (x, y, z)
自由度1 坐标
自由度3 坐标 (xc , yc ,) 自由度3 坐标 ( ,, )
自由度6 坐标 (xc , yc , zc ; ,, )
§ 3.2 角速度矢量
一、矢量
有大小、有方向 满足对易律 A B B A
i
I zz mi ( xi2 yi2 )
i
I yz I zy mi yi zi
i
I zx I xz mi zi xi
i
I xy I yx mi xi yi
i
轴转动惯量、惯量积
J
x
I xx x
I xy y
I xz z
J y I yx x I yy y I yz z
J z Izx x Izy y I z
1. 刚体的转动动能可表为：
T
1 2
n i 1
mi (
ri
) (
ri
)
12
2
n i 1
mi ri 2
sin2 i
12
2
n i 1
mi i2
I xz x
I yz y
I zz
百度文库
z
定义： I
mi
2 i
i
T 12I
2
2. 任意轴线转动惯量
Mz
0
P cos0
sin2 0 cos0
N1
h
sin
h sin0 cos2 0
0
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩
mi对o点的动量矩： Ji ri mivi
刚体对o点的动量矩
J ri mivi
i
[ri mi ( ri )]
i
mi[(ri
2
ri
(
ri
)]
i
建立oxyz坐标系
写成矩阵形式：
J x I xx
J y I yx
J
z
I
zx
I xy I yy I zy
I xz x
I yz y
I zz
z
二、刚体的转动动能
T
1 2
n i 1
mi
vi
2
1 2
n i 1
mivi
vi
1 2
n i 1
mivi
(
ri )
1
2
ri
xi
i
yi
j
zi
k
xi y j zk
J Jxi Jy j Jzk
J
x
I xx x
I xy y
I xz z
J y I yx x I yy y I yz z
J z I zx x I zy y I zz z
I xx mi ( yi2 zi2 )
i
I yy mi ( xi2 zi2 )