变化率与导数学案95012
高三数学一轮复习14.变化率与导数学案
高三数学一轮复习 14.变化率与导数学案【学习目标】1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.预 习 案 1．导数的概念(1)f(x)在0x x =处的导数就是f(x)在0x x =处的 ，记作：0/x x y =或()0/x f即(2)当把上式中的0x 看做变量x 时，f ′(x)即为f(x)的 ，简称导数，即3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝ ； (4)(cos x )′＝ ； (5)(a x )′＝ ； (6)(e x)′＝ ； (7)(log a x )′＝ ； (8)(ln x )′＝ . 4．两个函数的四则运算的导数 若u (x )、v (x )的导数都存在，则(1)(u ±v )′＝ ； (2)(u ·v )′＝ ； (3)(u v)′＝ ； (4)(cu )′＝ (c 为常数)． 【预习自测】1．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s2B ．4 m/s2C ．10 m/s2D ．－4 m/s22．计算：(1)(x 4－3x 3＋1)′＝________. (2)(ln 1x)′＝________.(3)(x e 2x )′＝________. (4)函数y ＝log 2(ax 3)的导数为________．3．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．4．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定5.若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.探究案题型一利用定义求系数例1 (1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．(2)设f(x)＝x3－8x，则li mΔx→0f＋Δx－fΔx＝______；li mx→2f x－fx－2＝______； li mk→0f－k－f2k＝______.探究1.（1）已知f′(a)＝3，则limh→0f a＋3h－f a－hh＝________.(2)求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率题型二导数的运算例2. 求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x2cosx2；(3)y＝3x e x－2x＋e； (4)y＝ln xx2＋1.（5）y＝－sin x2(1－2cos2x4)；（6）y＝tan x；题型三复合函数的导数例3.求下列函数的导数：(1)y＝e2x cos3x； (2)y＝ln x2＋1；(3)y＝(2x－3)5. (4)f(x)＝ln(x－1)2；(5)f(x)＝cos(π3－2x)； (6)f(x)＝e－2x sin(2x)．题型四导数的几何意义例4.已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．探究2.求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．拓展：1.若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.2.若曲线y＝32x2＋x－12的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切点坐标为________，切线方程为________我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
变化率与导数教案
变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。
变化率与导数导学案
④ =_________________________________
特别地，当 时，有
试一试：
求下列函数的导数（完成目标1）
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
【课堂探究】
题型一：利用公式直接求导
例一：求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
针对训练：
（1） （2） （3）
题型二：利用导数四则运算求导
预习课本12页至15页：
1、求以下函数的导函数。
（1） (c是常数)；（2） ；
（3） ；（4） ；（5）
由（2）到（5）归纳 的导函数。（完成目标2）
函数
导函数
函数
导函数
(c是常数)
( 为实数)
(a>0,a≠1)
(a>0,a≠1)
2、常见函数的导数公式
3、导函数的四则法则
①
② _________________________________
【课后作业】
1、课本P18练习2、（1）（2）（3）（4）；
习题4、（1）（2）（3）
2、活页《课时作业》
高二数学（理科）
变化率与导数编写人：
课题
1.2导数的计算（第一课时）
教学
目标
1、熟记公式，能熟练运用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会归纳思想在数学研究中的应用，进一步发展学生的思维能力。
重点
难点
重点：利用导数公式及四则运算求简单函数的导数。
难点：对导函数概念的理解；导数公式的记忆和运用
【自主预习】
例二：求下列函数的导数
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
总结：
变化率与导数学案
“变化率与导数”第一课时山西省教育科学研究院薛红霞问题1 阅读77页的内容，本章将要研究哪些内容？问题2回忆平均速度的求法。
如果已知位移与时间的函数关系是s=s(t)，那么运动物体在时刻t 1到时刻t 2这段时间内的平均速度如何表示？问题3 （1）阅读79页“高台跳水”问题，其中的函数关系是什么？（2）类比教材中计算平均速度的方法，解决探究栏目中的问题,求出运动员在0≤t≤6549这段时间内的平均速度。
该栏目中的问题给你什么启示？（3）怎样才能更准确的描述运动员的运动状态呢？问题4（1）类比高台跳水问题，你还能举出哪些类似的问题？（2）对于一般函数f(x)，如何计算其平均变化率？问题5完成教材中的思考栏目。
平均变化率的几何意义是什么？问题6回顾问题3，用平均速度描述运动员的运动状态会出现悖论：运动员在运动，但平均速度是0。
那么如何求运动员的瞬时速度呢？（以t=2时刻的瞬时速度为例进行研究。
）问题7如何求运动员在某个时刻t0的瞬时速度呢？问题8对于一般函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率如何表示呢？练习求函数f(x)=xx+-2在1x=-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．问题9通过本节课的学习你有哪些收获？思考大家可能有过吹气球的经验。
在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。
分析这个过程中的函数关系，自变量和函数值分别是什么？函数关系是怎样的？用你刚学到的知识，如何解释“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢”这一现象？气球在体积v0时的瞬时膨胀率又如何求呢？解：f （x ）在x =－1处的平均变化率为x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2f （x ）在x =－1处的导数为f ′（－1）=lim→∆x xy ∆∆=lim→∆x xx x ∆-∆+-+∆+--2)1()1(2=0lim →∆x （3－△x ）=3。
(完整版)《变化率问题与导数的概念》导学案.doc
的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够
反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于
瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?
问题2:
问题3:
问题4:x≠0
基础学习交流
1 B
2,
0
1,
y=f
(
x+
x
)
-f
(
x
)
=f
(2
.
1)
-f
(2) (2
1
2
-
(2
2
0 41
∴
1)
1)
.
∵x=
x= .
= .
+
+
= . .
2.C
=
=a+b x,f'
(x0)=
=
(a+b x)=a.
3.8
s(2+ t)-s(2)=2(2+
t)
2-2×2
2=2(t)
2+8
t,
∴
=
=
(2
t+8)=8.
4.解:
y=2(3+
x)2+4(3+
x)-(2×32+4×3)=2(
x)2+16x,
=2
x+16,
=(2x+16)=16,
即y'|x=3=16.
重点难点探究
探究一:【解析】
(1)∵y=f(-1+x)-f(-1)=-(-1+x)2+(-1+x)-[-(-1)2+(-1)]=-(x)2+3x,
数学选修《变化率与导数》高中教案
数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。
它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
下面是本文库整理的有关数学选修《变化率与导数》高中教案。
高中数学选修1-1《变化率与导数》教案1教学准备1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y=f（x）在x=x0处的导数3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究[1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数，那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态（请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
高考数学《导数及其应用》专题 变化率与导数、导数的计算学案
高考数学《导数及其应用》专题 变化率与导数、导数的计算学案1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分 导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .基础过关知识网络考纲导读高考导航4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x x x xy x x x x x x 变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数.解 )())((limlim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆ .211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin ()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'= 典型例题（2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4. ∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+3431,300x x A ， 则切线的斜率k='y |x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.343232+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 2)(1)(b x a x f +-='， 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为 )()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x x y ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ． 令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(0--x x ． 直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ． 所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式.解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），∴e=1. ① 又∵f（x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）. 故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e. ∴b=0，d=0. ② ∴f（x ）=a x 4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c +1=-1. ③∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④ 由③④得a=25，c=29-.∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f小结归纳1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
高中数学选修1,1《变化率与导数》教案
高中数学选修1,1《变化率与导数》教案高中数学选修1-1《变化率与导数》教案【一】一、内容和内容解析本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。
课标教材则不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1.使学生将更多精力放在导数本质的理解上;2.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。
二、目标和目标解析1.通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法;3.经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。
三、教学问题诊断分析1.吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键之一。
对于吹气球问题要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然地引导学生建立半径r关于体积V的函数关系式;在吹气过程中要注意观察或者想象，并把实际操作转化为相应的数学语言，比如当吹入差不多大小相同的一口气时，是指气球的体积的增量相同等。
变化率与导数 导学案
主备人:李土兴 唐远军 课时安排：1课时 使用时间：2012-10-课题：变化率与导数【学习目标】：1、了解导数概念的实际背景；2、会求函数在某一点附近的平均变化率；3、会利用导数的定义求函数在某处的导数。
【自主学习】1、平均变化率：_______________=_______设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.2．导数的概念从函数()y f x =)在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-='∆ 3、利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x y f x x∆→∆='∆. 【典例剖析】例1、求函数2=3+2y x 在区间[]00,+x x x ∆上的平均变化率，并求当0=2,=0.1x x ∆时平均变化率的值。
例2、已知质点M 按规律s t =+223做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s∆∆.(2)当t =2，Δt =0.001时，求t s∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度例3、求函数22+4y x x =在=3x 处的导数例4、若一物体运动方程为：223(t 3)29+3(t-3)(0t 3)=t s ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤（位移：m ，时间：s ）求：（1）物体在[]3,5t ∈内的平均速度；（2）物体的初速度0v ；（3）物体在=1t 时的瞬时速度。
变化率与导数教案
变化率与导数教案一、教学目标：1.理解变化率的概念，知道变化率可以用来描述函数在一些点的瞬时变化。
2.掌握求函数在一些点的瞬时变化率的方法，可以利用导数求变化率。
3.理解导数的概念，认识导数是函数变化率的极限。
4.掌握求函数导数的方法，可以通过“导函数”公式或者导数的定义求函数的导数。
5.掌握利用导数求函数的极值、切线以及函数的增减性。
二、教学重难点：1.掌握求函数在一些点的瞬时变化率的方法，可以利用导数求变化率。
2.掌握求函数导数的方法，可以通过“导函数”公式或者导数的定义求函数的导数。
3.掌握利用导数求函数的极值、切线以及函数的增减性。
三、教学准备：1.教学课件、电子白板2.笔记本电脑、投影仪3.相关教学素材：函数的图像、求导公式。
四、教学过程：步骤一：导入与引入1.导入：通过呈现一个问题引入本节课的主题：“小明骑自行车从家到学校的距离是10公里，他用了1小时到达。
那么，小明在哪个位置的时候速度最快？”引导学生思考问题。
2.引入：让学生想一想在一小时内的任何时刻骑车的速度都是一样的吗？为什么？引导学生思考速度是如何变化的。
这种速度的变化可以用什么来描述？步骤二：引导学生理解变化率1.提问：让学生思考如果小明家到学校的距离是20公里，他用了1小时到达，那么小明在哪个位置的时候速度最快？在哪个位置的时候速度最慢？2.学生合作讨论，教师介绍：引导学生思考速度变化率的概念，说明速度变化率可以反映速度的变化情况。
如果速度变化率是正值，说明速度在增加；如果速度变化率是负值，说明速度在减小；如果速度变化率是零，说明速度保持不变。
3.举例说明：通过一个具体的例子，如小明每隔10分钟记录下自行车的位置，并计算出速度变化率。
通过计算结果展示速度是如何变化的。
步骤三：引导学生理解导数1.导入：提问学生，是否可以通过计算出速度变化率来确定速度在一些位置的变化情况？2.导入定义：引导学生理解导数的概念，导数是函数的变化率的极限。
高中数学变化率和导数的概念学案
3。
1.1 变化率和导数的概念（学案）一、知识梳理1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =,0x ,1x 是其定义域内不同的两点,记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注:这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠,y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时,00()()f x x f x x +∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→"记作:“当0x ∆→时，”，或记作“000()()lim x f xx f x l x ∆→+∆-=∆”，符号“→"读作“趋近于"．函数在0x 的瞬时变化率,通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程,可以记作“当0x ∆→时,000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的,则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样,对开区间(,)a b 内每个值x ,都对应一个确定的导数．于是，在区间(,)a b 内,()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或xy '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、典例解析探究点一 平均变化率的求法例1、求2()21y f x x ==+在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值。
高中数学变化率与导数 学案(新人教A版选修1-1)
1.1.1变化率问题学案【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 【学习难点】平均变化率的概念．【自学点拨】一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ 二、问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________. ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以___________.， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘； ②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
变化率与导数教案
变化率与导数教案教案标题：变化率与导数教案教案目标：1. 了解变化率的概念和意义；2. 理解导数的定义和计算方法；3. 掌握使用导数求函数在某一点的变化率；4. 能够应用变化率和导数解决实际问题。
教案内容和步骤：一、引入（5分钟）1. 激发学生学习本课内容的兴趣，例如，介绍一些实际应用中变化率的重要性和意义。
2. 提问引导学生思考：什么是变化率？我们可以如何计算它？二、理论讲解（15分钟）1. 介绍变化率的定义：变化率是指函数在某一点的增长速度或减少速度。
2. 解释变化率的计算方法：计算函数在两个点间的斜率，或者通过求函数的导数。
3. 引入导数的概念：导数是函数在某一点的变化率。
介绍导数的符号表示和几何意义。
4. 讲解导数的计算方法：通过限定增量趋近于零的极限来计算导数。
三、例题演练（15分钟）1. 给出一个函数，要求学生计算其一些特定点上的导数。
2. 指导学生使用限定增量计算导数的方法，理解导数的物理意义。
3. 利用导数计算函数在某一点的变化率，并解释其意义。
四、综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生应用导数和变化率的概念解决问题。
2. 通过问题的解答，巩固学生对导数和变化率的理解。
五、拓展延伸（10分钟）1. 引导同学思考：导数和变化率是否总是有意义的？有什么例外情况？2. 讲解导数在图像上的几何意义：导数表示函数图像的切线斜率。
3. 鼓励学生通过阅读相关书籍或课外资料，深入了解导数的应用领域。
六、总结与评价（5分钟）1. 总结本节课的重点内容，强调变化率与导数的关系和应用。
2. 提醒学生复习导数计算的方法和应用技巧。
3. 鼓励学生提出问题和困惑，并对本节课的教学进行评价。
备注：根据实际教学情况，上述步骤的时间可以适当调整。
同时，可以在教案中加入多媒体教学资源、互动讨论等教育工具，以提高学生的参与度和理解能力。
变化率与导数学案
§1.1 变化率与导数学案§1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 教学难点：平均变化率的概念. 教学过程： (一)问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出：思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,hto同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy.解:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.五、课堂反馈1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 2．一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －63．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy ∆∆为（ ）A 21+∆+∆x xB 21-∆-∆x xC 2+∆xD xx ∆-∆+12 5．在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ） A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B 在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0C 运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小§1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：导数的概念. 学习过程： 一、创设情景(一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)探究过程:二、学习新知1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论:小结:2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x=处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或'|x x y =即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0xx x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以 0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim .解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况. 四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）A x x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim 0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim C x x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim 0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim 3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xy x lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
变化率与导数综合学案
第十三课时 平均变化率与导数小结复习一、教学目标：1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量；2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导数定义计算简单的幂函数的导数．3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题．二、教学重点：导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算教学难点：利用极限的语言刻画导数概念和讨论导数的运算法则三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数概念的实际背景和几何意义，导数公式表和运算法则．(二)、探究新课例1、求下列函数的导数：（1）233ln xx x x y ++=； （2）)3)(3(2+-=x x x y ； （3）)4,0(,2sin 1π∈-=x x x y ； （4）312)31(x e y x -=+． 解：（1）∵221233ln ln x x x x x x x x y ++=++=-， ∴3234223ln 211212ln 1121xx x x x x x x x y -++-=⋅-⋅++-='--． （2）∵2429)3)(3(x x x x x y -=+-=∴x x y 1843-='（3）∵x x x x x x x x y cos sin )cos (sin 2sin 12-=-=-=， 又∵)4,0(π∈x ，∴x x cos sin <，∴)sin (cos x x x y -= ∴x x x x x x x x x y sin )1(cos )1()cos sin ()sin (cos 1+--=--⋅+-⋅='．（4）621231223312312)31()3()31(3)31(2])31[(])31[()31()(x x e x e x x e x e y x x x x --⋅-⋅--=-'---'='++++ 412)31()611(x x e x --=+ 例2、已知曲线C 1：2x y =与曲线C 2：2)2(--=x y ，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．解：设l 与C 1相切于点),(111y x P ，l 与C 2相切于点),(222y x P ，直线l 的斜率为k ．C 1：2x y =，x y 2='，12x k =，)4,2(21k k P C 2：2)2(--=x y ，)2(2--='x y ，)2(22--=x k ，)4,22(22k k P --． 由斜率公式得 k k k k k =----)22(2)4(422，解得： 0=k 或4=k ． 当0=k 时，)0,0(1P ，l 的方程为0=y ；当4=k 时，)4,2(1P ，l 的方程为44-=x y ． 例3、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 处的导数等于0，且1)1(-=f ，求a ，b ，c 的值．解：方法一：1±=x 是方程0)(='x f 的根，即0232=++c bx ax 的两根， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-②①13032a c a b 又1)1(-=f ，∴1-=++c b a ③由①②③得23,0,21-===c b a ． 方法二：c bx ax x f ++='23)(2，由0)1()1(='=-'f f ，1)1(-=f ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+-=++1023023c b a c b a c b a ，∴23,0,21-===c b a ． （三）、小结：1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量；2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导数定义计算简单的幂函数的导数．3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题．（四）、练习：课本P复习题：A组1、2、3、4.53（五）、作业：课本P复习题：A组 5； B组253五、教后反思：。
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§1.1 变化率与导数学案§1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 教学难点：平均变化率的概念. 教学过程： (一)问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出：思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy.解:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.五、课堂反馈1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+ 2．一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －63．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆πht o 4．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D xx ∆-∆+12 §1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：导数的概念. 学习过程： 一、创设情景(一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 小结:2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x=处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0xx x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以 0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xyx ∆∆→∆0lim .解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况. 四、课堂练习 1.质点运动规律为32+=t s,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数. 五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）A x x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim 0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim C x x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim 0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim 3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A 2 B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
8．（1）已知)(x f 在0x x =处的导数为A ,求x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(000lim及x x f x x f x ∆-∆-→∆)()2(000lim 的值。
（2）若2)(0='x f ,求hh x f h x f h )()(000lim+--→的值.§1.1.3 导数的几何意义学习目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 教学难点：导数的几何意义. 学习过程：一、创设情景(一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？二、学习新知(一)曲线的切线及切线的斜率如图,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？ 我们发现:问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)设切线的倾斜角为α,那么当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. (二)导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. (三)导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数.记作:()f x '或y ',即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.(四)函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一. 三、典例分析例1 (1)求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.(2)求函数23x y =在点(1,3)处的导数.解:例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++,根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况.解:四、课堂练习1.求曲线3)(x x f y ==在点(1,1)处的切线.2.求曲线y =(4,2)处的切线. 五、课堂反馈1．曲线2x y =在0=x 处的（ ）A 切线斜率为1B 切线方程为x y 2=C 没有切线D 切线方程为0=y 2．已知曲线22x y =上的一点A （2，8），则点A 处的切线斜率为（ ） A 4 B 16 C 8 D 23．函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/x f 的几何意义是（ ） A 在点0x x =处的函数值B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率4．已知曲线3x y =上过点（2，8）的切线方程为01612=--ax x ，则实数a 的值为（ ） A －1 B 1 C －2 D 2 5．若3)(0/-=x f ，则hh x f h x f h )3()(lim000--+→＝（ ）A －3B －6C －9D －126．设)(x f 为可导函数，且满足条件12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点（1，1）处的切线的斜率为（ ）A 2B －1C 21D －27． 已知曲线12-=x y 上的两点A （2，3），)3,2(y x B ∆+∆+，当1=∆x 时，割线AB 的斜率是__________，当1.0=∆x 时，割线AB 的斜率是__________，曲线在点A 处的切线方程是________________________。