北师大九年级下册数学同步测试:33垂径定理.docx
北师大版九年级数学下册 第三章3 垂径定理(含答案)
北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理(含答案)一、选择题1.如图1,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为M ,则下列结论不一定成立的是( )图1A .CM =DMB.CB ︵=DB ︵ C .∠ACD =∠ADCD .OM =MB2.如图2所示,⊙O 的半径为5,AB 为弦,半径OC ⊥AB ,垂足为E ,若OE =3,则AB 的长是( )图2A .4B .6C .8D .103.一块圆形宣传标志牌如图3所示,点A ,B ,C 在⊙O 上,CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB =8 dm ,DC =2 dm ,则圆形标志牌的半径为( )图3A .6 dmB .5 dmC .4 dmD .3 dm4.如图4,⊙O 的半径OA =6,以点A 为圆心,OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ,C ,则BC 的长为( )图4A .6 3B .6 2C .3 3D .3 25.如图5,⊙O 的半径为10,M 是弦AB 的中点,且OM =6,则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A .8B .10C .12D .166.如图6,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,以点C 为圆心,CA 长为半径的圆与AB 交于点D ,则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527.已知⊙O 的半径为15,弦AB 的长为18,点P 在弦AB 上且OP =13,则AP 的长为( ) A .4 B .14C .4或14D .6或14二、填空题8.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ,最短的弦长为8 cm ,那么OM 的长为________.9.如图7所示,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点H ,∠A =30°,CD =2 3,则⊙O 的半径是________.图710.如图8,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ,其中水面的宽AB 为0.8 m ,则排水管内水的深度为________m.图811.如图9所示,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912.如图10,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,4),N(0,-2),则点P的坐标为________.图10三、解答题13.如图11,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD的长.图1114.如图12,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A,B和C,D.求证:(1)∠OBA=∠OCD;(2)AB=CD.图1215.如图13,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为7.2 m,拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径;(2)现有一艘宽3 m,船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?图13附加题探索存在题如图14,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.(1)当BC=6时,求线段OD的长.(2)在△DOE中,是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.图14参考答案1.[答案] D2.[解析] C 连接OA ,如图. ∵OC ⊥AB ,OA =5,OE =3,∴AE =OA 2-OE 2=52-32=4,∴AB =2AE =8.故选C.3.[解析] B 如图,连接OD ,OB ,则O ,C ,D 三点在一条直线上.因为CD 垂直平分AB ,AB =8 dm ,所以BD =4 dm.设⊙O 的半径为r dm ,则OD =(r -2)dm ,由勾股定理得42+(r -2)2=r 2,解得r =5.故选B.4.[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ,连接AB ,OB .∵AB =OA =OB =6,∴△OAB 是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA 垂直平分BC ,BC =2BD ,BC ⊥OA ,∴OD =AD =3.在Rt △BOD 中,由勾股定理得BD =62-32=3 3,∴BC =6 3.故选A. 5.[答案] D6.[解析] C ∵在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4, ∴AB =AC 2+BC 2=32+42=5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M , 则M 为AD 的中点.∵S △ABC =12AC ·BC =12AB ·CM ,且AC =3,BC =4,AB =5,∴CM =125.在Rt △ACM 中,根据勾股定理,得AC 2=AM 2+CM 2,即9=AM 2+(125)2,解得AM =95,∴AD =2AM =185.故选C.7.[解析] C 如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C ,∴AC =12AB =9,则OC =OA 2-AC 2=12.又∵OP =13,∴PC =OP 2-OC 2=5. 当点P 在线段AC 上时,AP =9-5=4; 当点P 在线段BC 上时,AP =9+5=14. 故选C. 8.[答案] 3 cm[解析] 由题意作图,如图所示,AB 为过点M 的最长的弦,CD 为过点M 的最短的弦,CD ⊥AB ,连接OD , 则OM =OD 2-DM 2=52-42=3(cm).9.[答案] 2[解析] 如图,连接OC ,则OA =OC ,∴∠A =∠ACO =30°,∴∠COH =60°. ∵OB ⊥CD ,CD =2 3,∴CH =3, ∴OH =1,∴OC =2. 10.[答案] 0.8[解析] 如图,过点O 作OC ⊥AB ,垂足为C ,交⊙O 于点D ,E ,连接OA .由题意知,OA =0.5 m ,AB =0.8 m. ∵OC ⊥AB ,∴AC =BC =0.4 m.在Rt △AOC 中,OA 2=AC 2+OC 2, ∴OC =0.3 m ,∴CE =0.3+0.5=0.8(m). 故答案为0.8. 11.[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ,连接OA . ∵OD ⊥AB , ∴AD =BD .由折叠的性质可知OD =12OA =1.在Rt △OAD 中,AD =OA 2-OD 2=22-12=3, ∴AB =2AD =2 3. 故答案为2 3. 12.[答案] (-4,1)13.解:如图,过点O 作OF ⊥CD ,垂足为F ,连接OD ,∴F 为CD 的中点,即CF =DF . ∵AE =2,EB =6, ∴AB =AE +EB =2+6=8, ∴OA =4,∴OE =OA -AE =4-2=2. 在Rt △OEF 中,∵∠DEB =30°, ∴OF =12OE =1.在Rt △ODF 中,OF =1,OD =4,根据勾股定理,得DF =OD 2-OF 2=15, 则CD =2DF =2 15.14.证明:(1)过点O 作OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,垂足分别为M ,N . ∵PO 平分∠EPF ,OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,∴∠OMB =∠ONC =90°,OM =ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中, ∵OB =OC ,OM =ON , ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL), ∴∠OBA =∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC , ∴BM =CN .∵OM ⊥AB ,ON ⊥CD , ∴AB =2BM ,CD =2CN , ∴AB =CD .15.解:(1)如图,连接OB . ∵OC ⊥AB ,∴D 为AB 的中点. ∵AB =7.2 m ,∴BD =12AB =3.6 m.设OB =OC =r m ,则OD =(r -2.4)m. 在Rt △BOD 中,根据勾股定理,得 r 2=(r -2.4)2+3.62,解得r =3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ,N (N 在M 的右边),连接ON ,设MN 交CO 于点E . ∵CD =2.4 m ,船舱顶部为矩形并高出水面2 m , ∴CE =2.4-2=0.4(m),∴OE =OC -CE =3.9-0.4=3.5(m).在Rt △OEN 中,根据勾股定理,得EN =ON 2-OE 2= 3.92-3.52= 2.96≈1.72(m), ∴MN =2EN ≈3.44 m >3 m , ∴此货船能顺利通过这座拱桥. 附加题解:(1)∵OD ⊥BC ,∴BD =12BC =12×6=3.在Rt △ODB 中,∵OB =5,BD =3, ∴OD =OB 2-BD 2=4,即线段OD 的长为4.(2)存在,DE 的长度保持不变. 连接AB ,如图.∵∠AOB =90°,OA =OB =5, ∴AB =OB 2+OA 2=5 2. ∵OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,∴D ,E 分别是线段BC ,AC 的中点, ∴DE 是△CBA 的中位线, ∴DE =12AB =5 22.。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-3垂径定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步练习题(附答案)一.选择题1.如图,在半径为的⊙O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是()A.2B.2C.2D.42.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD =8cm,AE=2cm,则OF的长度是()A.3cm B.cm C.2.5cm D.cm3.如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连接AC,BC,分别以AC、BC为直径作半圆,其中M,N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点,,的中点分别是P,Q.若MP+NQ=7,AC+BC=26,则AB的长是()A.17B.18C.19D.204.如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为的中点,P 是直径MN上一动点,则P A+PB的最小值为()A.B.C.1D.25.如图,⊙P内含于⊙O,⊙O的弦AB切⊙P于点C,且AB∥OP,若阴影部分的面积为9π,则弦AB的长为()A.3B.4C.6D.96.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,且CD=,BD=,则AB的长为()A.2B.3C.4D.57.如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切于原点O,平行于y轴的直线交⊙P于M,N两点.若点M的坐标是(2,﹣1),则点N的坐标是()A.(2,﹣4)B.(2,﹣4.5)C.(2,﹣5)D.(2,﹣5.5)8.小明想知道一块扇形铁片OAB中的的拱高(弧的中点到弦的距离)是多少?但他没有任何测量工具,聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成(接缝忽略不计).他将扇形OAB按如图方式摆放,点O,A,B恰好与正方形瓷砖的顶点重合,根据以上操作,的拱高约是()A.10cm B.20cm C.D.9.小王不慎把一面圆形镜子打碎了,其中三块如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()A.①B.②C.③D.都不能二.填空题10.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交⊙O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点F.如果OD=3,AB=8,那么FC的长是.11.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其意思是:如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,BE=1寸,CD=1尺,那么直径AB的长为多少寸?(注:1尺=10寸)根据题意,该圆的直径为寸.12.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,AB=2cm,CD=4cm.以BC上一点O 为圆心的圆经过A、D两点,且∠AOD=90°,则圆心O到弦AD的距离是cm.13.如图,点A,B是⊙O上两点,AB=10,点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合),连接AP,PB,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,则EF=.14.已知,⊙O的直径CD=10,弦AB=8,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为.15.在半径为10cm的⊙O中,弦AB的长为16cm,则点O到弦AB的距离是cm.16.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,延长AD交⊙O于点E,若BD=4,CD=1,则AD的长是.三.解答题17.如图,在⊙O中,AB,AC为弦,CD为直径,AB⊥CD于E,BF⊥AC于F,BF与CD 相交于G.(1)求证:ED=EG;(2)若AB=8,OG=1,求⊙O的半径.18.如图,△ABC内接于⊙O,高AD经过圆心O.(1)求证:AB=AC;(2)若BC=8,⊙O的半径为5,求△ABC的面积.19.如图所示,某地欲搭建一座圆弧型拱桥,跨度AB=32米,拱高CD=8米(C为AB的中点,D为弧AB的中点).(1)求该圆弧所在圆的半径;(2)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑,求桥墩的高度.20.如图1是小明制作的一副弓箭,点A、D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC =60cm.沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.(1)图2中,弓臂两端B1,C1的距离为cm.在自然状态下,弓臂BAC的长为cm;(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓箭B2AC2为半圆,求D1D2的长.21.如图,将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,求直尺的宽.22.一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米.(1)如图1,若把桥看作是抛物线的一部分,建立如图坐标系.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?(2)如图2,若把桥看作是圆的一部分.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?23.车辆转弯时,能否顺利通过直角弯道的标准是:车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置),例如,图2是某巷子的俯视图,巷子路面宽4m,转弯处为直角,车辆的车身为矩形ABCD,CD与DE、CE的夹角都是45°时,连接EF,交CD于点G,若GF的长度至少能达到车身宽度,则车辆就能通过.(1)试说明长8m,宽3m的消防车不能通过该直角转弯;(2)为了能使长8m,宽3m的消防车通过该弯道,可以将转弯处改为圆弧(分别是以O 为圆心,以OM和ON为半径的弧),具体方案如图3,其中OM⊥OM′,请你求出ON 的最小值.24.李明到某影剧城游玩,看见一圆弧形门如图所示,李明想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=40cm,BD=320cm,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少?25.某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图1),若不计木条的厚度,其俯视图如图2所示,已知AD垂直平分BC,AD=BC=48cm,求圆柱形饮水桶的底面半径的最大值.参考答案一.选择题1.解:过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于G,连接OB、OD、OE,如图所示:则DF=CF,AG=BG=AB=3,∴EG=AG﹣AE=2,在Rt△BOG中,OG===2,∴EG=OG,∴△EOG是等腰直角三角形,∴∠OEG=45°,OE=OG=2,∵∠DEB=75°,∴∠OEF=30°,∴OF=OE=,在Rt△ODF中,DF===,∴CD=2DF=2;故选:C.2.解:连接AB,OB,∵AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,AE=2cm,在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,即AB=,∵OA=OC,OB=OC,OF⊥BC,∴BF=FC,∴OF=.故选:D.3.解:连接OP,OQ,分别交AC,BC于H,I,∵M,N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点,,的中点分别是P,Q,∴OP⊥AC,OQ⊥BC,由对称性可知:H,P,M三点共线,I,Q,N三点共线,∴H、I是AC、BC的中点,∴OH+OI=(AC+BC)=13,∵MH+NI=AC+BC=13,MP+NQ=7,∴PH+QI=13﹣7=6,∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=13+6=19,故选:C.4.解:作A关于MN的对称点Q,连接MQ,BQ,BQ交MN于P,此时AP+PB=QP+PB =QB,根据两点之间线段最短,P A+PB的最小值为QB的长度,连接AO,OB,OQ,∵B为中点,∴∠BON=∠AMN=30°,∴∠QON=2∠QMN=2×30°=60°,∴∠BOQ=30°+60°=90°.∵直径MN=2,∴OB=1,∴BQ==.则P A+PB的最小值为.故选:B.5.解:设PC=r,AO=R,连接PC,⊙O的弦AB切⊙P于点C,故AB⊥PC,作OD⊥AB,则OD∥PC.又∵AB∥OP,∴OD=PC=r,∵阴影部分的面积为9π,∴πR2﹣πr2=9π,即R2﹣r2=9,于是AD==3.∵OD⊥AB,∴AB=3×2=6.故选:C.6.解:连接OD.由垂径定理得HD=,由勾股定理得HB=1,设圆O的半径为R,在Rt△ODH中,OH=R﹣1,DH=则R2=()2+(R﹣1)2,由此得2R=3,或由相交弦定理得()2=1×(2R﹣1),由此得2R=3,所以AB=3故选:B.7.解:过点M作MA⊥OP,垂足为A设PM=x,P A=x﹣1,MA=2则x2=(x﹣1)2+4,解得x=,∵OP=PM=,P A=﹣1=,∴OP+P A=4,所以点N的坐标是(2,﹣4)故选:A.8.解:连接AB,过O作OC⊥AB于C,交于D,则AC=BC=AB=20(cm),OC=30cm,由勾股定理得:OD=OA===10(cm),∴CD=OD﹣OC=(10﹣30)(cm),即的拱高约是(10﹣30)cm,故选:D.9.解:第②块出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选:B.二.填空题10.解:∵OE⊥AB,∴∠ADO=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∵OA=OC,∴AD=DB=AB=4,AE=EF,∴OE是△AFC的中位线,∴CF=2OE,在Rt△ADO中,AO===5,∴CF=2OE=10,故答案为:10.11.解:连接OC,∵弦CD⊥AB,AB为圆O的直径,∴E为CD的中点,又∵CD=10寸,∴CE=DE=CD=5寸,设OC=OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x﹣1)寸,由勾股定理得:OE2+CE2=OC2,即(x﹣1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸,即直径AB的长为26寸,故答案为:26.12.解:如图,作AE⊥CD,垂足为E,OF⊥AD,垂足为F,则四边形AECB是矩形,CE=AB=2cm,DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm,∵∠AOD=90°,AO=OD,所以△AOD是等腰直角三角形,AO=OD,∠OAD=∠ADO=45°,BO=CD,∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°,∵∠ODC+∠DOC=90°,∴∠DOC=∠BAO,∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD,∴OC=AB=2cm,OB=CD=4cm,BC=BO+OC=AE=6cm,由勾股定理知,AD2=AE2+DE2,得AD=2cm,∴AO=OD=2cm,S△AOD=AO•DO=AD•OF,∴OF=cm.13.解:点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合),但不管点P如何动,因为OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,根据垂径定理,E为AP中点,F为PB中点,EF为△APB中位线.根据三角形中位线定理,EF=AB=×10=5.14.解:①连接OA,如图所示:∵⊙O的直径CD=10,∴OA=5,∵弦AB=8,AB⊥CD,∴AM=AB=×8=4,在Rt△AOM中,由勾股定理得:OM===3,∴DM=OD+OM=5+3=8;②连接OA,如图所示:同①得:OM=3,∴DM=OD﹣OM=5﹣3=2;综上所述,DM的长为8或2,故答案为:8或2.15.解:连接OA,作OC⊥AB于C,如图,∵OC⊥AB,∴AC=BC=AB=8,在Rt△AOC中,OC===6,即点O到弦AB的距离为6cm.故答案为6.16.解:如图,连接OA,过O点作OF⊥BC于F,作OG⊥AE于G,∵⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=45°,∴∠BOC=90°,∵BD=4,CD=1,∴BC=4+1=5,∴OB=OC=,∴OA=,OF=BF=,∴DF=BD﹣BF=,∴OG=,GD=,在Rt△AGO中,AG==,∴AD=AG+GD=.故答案为:.三.解答题17.(1)证明:如图:连接BD,∵AB⊥CD于E,BF⊥AC于F,∴∠CFG=∠GEB,∵∠CGF=∠BGE,∴∠C=∠GBE,∵∠C=∠DBE,∴∠GBE=∠DBE,∵AB⊥CD于E,∴∠GEB=∠DEB,在△GBE和△DBE中,,∴△BGE≌△BDE(ASA),∴ED=EG.(2)解:如图:连接OA,设OA=r,则DG=r+1,由(1)可知ED=EG,∴OE=,∵AB⊥CD于E,AB=8,∴AE=BE=4,∴在Rt△OAE中,根据勾股定理得:OE2+AE2=OA2,即()2+42=r2,解得:r=,即⊙O的半径为.18.(1)证明:∵OD⊥BC,∴=,∴AB=AC;(2)解:连接OB,∵OD⊥BC,BC=8,∴BD=DC=BC=×8=4,在Rt△ODB中,OD===3,∴AD=5+3=8,∴S△ABC=×8×8=32.19.解:(1)设弧AB所在的圆心为O,D为弧AB的中点,CD⊥AB于C,延长DC经过O 点,设⊙O的半径为R,在Rt△OBC中,OB2=OC2+CB2,∴R2=(R﹣8)2+162,解得R=20;(2)OH⊥FE于H,则OH=CE=16﹣4=12,OF′=R=20,在Rt△OHF中,HF==16,∵HE=OC=OD﹣CD=20﹣8=12,EF=HF﹣HE=16﹣12=4(米),∴在离桥的一端4米处,桥墩高4米.20.解:(1)如图2中,连接B1C1交DD1于H.∵D1A=D1B1=30∴D1是的圆心,∵AD1⊥B1C1,∴B1H=C1H=30×sin60°=15,∴B1C1=30∴弓臂两端B1,C1的距离为30,∴弓臂BAC的长为L扇形B1D1C1==20πcm;(2)如图3中,连接B1C1交DD1于H,连接B2C2交DD2于G.设半圆的半径为r,则πr=,∴r=20,∴AG=GB2=20,GD1=30﹣20=10,在Rt△GB2D2中,GD2==10∴D1D2=10﹣10.故答案为30,20π.21.解:过点O作OM⊥DE于点M,连接OD.∴DM=DE.∵DE=8(cm)∴DM=4(cm)在Rt△ODM中,∵OD=OC=5(cm),∴OM===3(cm)∴直尺的宽度为3cm.22.解:(1)设抛物线解析式为:y=ax2+c,∵桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米,∴A(﹣10,0),B(10,0),D(0,4),∴,解得:∴抛物线解析式为:y=﹣x2+4,∵要使高为3米的船通过,∴y=3,则3=﹣x2+4,解得:x=±5,∴EF=10米;(2)设圆半径r米,圆心为W,∵BW2=BC2+CW2,∴r2=(r﹣4)2+102,解得:r=14.5;在Rt△WGF中,由题可知,WF=14.5,WG=14.5﹣1=13.5,根据勾股定理知:GF2=WF2﹣WG2,即GF2=14.52﹣13.52=28,所以GF=2,此时宽度EF=4米.23.解:(1)消防车不能通过该直角转弯.理由如下:如图,作FH⊥EC,垂足为H,∵FH=EH=4,∴EF=4,且∠GEC=45°,∵GC=4,∴GE=GC=4,∴GF=4﹣4<3,即GF的长度未达到车身宽度,∴消防车不能通过该直角转弯;(2)若C、D分别与M′、M重合,则△OGM为等腰直角三角形,∴OG=4,OM=4,∴OF=ON=OM﹣MN=4﹣4,∴FG=OG﹣OF=×8﹣(4﹣4)=8﹣4<3,∴C、D在上,设ON=x,连接OC,在Rt△OCG中,OG=x+3,OC=x+4,CG=4,由勾股定理得,OG2+CG2=OC2,即(x+3)2+42=(x+4)2,解得x=4.5.答:ON至少为4.5米.24.解:如图,连接AC,作AC的中垂线交AC于G,交BD于N,交圆的另一点为M.则MN为直径.取MN的中点O,则O为圆心,连接OA、OC.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=320cm,GN=AB=CD=40cm∴AG=GC=160cm,设⊙O的半径为R,得R2=(R﹣40)2+1602,解得R=340cm,340×2=680(cm).答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm.25.解:过A、B、C三点作⊙O,连接OB.∵AD垂直平分BC∴点O必在AD上,BD=CD=24设⊙O的半径为r,则OD=48﹣r∵OD2+BD2=OB2∴(48﹣r)2+242=r2解得,r=30∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值30cm.。
专题3.3垂径定理(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】(2022•雨花区校级开学)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB=8,EC=2√13,则CD的长为()A.1B.3C.2D.4【变式11】(2022•宁津县二模)如图,已知圆O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为()A.6B.6√2C.8D.8√2【变式12】(2022•建华区二模)如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,EB=1,∠AEC=30°,则CD的长为()A.5B.2√3C.4√2D.2√2+√3+1【变式13】(2022春•徐汇区校级期中)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,且CE=CB,若BE=2AE,CD=5,那么⊙O的半径为.【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】(2022•泰安模拟)如图,⊙O的半径OA,OB,且OA⊥OB,连接AB.现在⊙O上找一点C,使OA2+AB2=BC2,则∠OAC的度数为()A.15°或75°B.20°或70°C.20°D.30°̂上的【变式21】(2022秋•天心区期中)如图,已知⊙O半径OA=4,点B为圆上的一点,点C为劣弧AB一动点,CD⊥OA,CE⊥OB,连接DE,要使DE取得最大值,则∠AOB等于()A.60°B.90°C.120°D.135°【变式22】(2022秋•青田县期末)如图,在⊙O中,半径OC过弦AB的中点E,OC=2,OE=√2.(1)求弦AB的长;(2)求∠CAB的度数.【变式23】(2022秋•开州区期末)如图,在⊙O中,弦BC与半径OA垂直于点D,连接AB、AC.点E为AC的中点,连接DE.(1)若AB=6,求DE的长;(2)若∠BAC=100°,求∠CDE的度数.【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】(2022•威海模拟)⊙O中,点C为弦AB上一点,AB=1,CD⊥OC交⊙O于点D,则线段CD的最大值是()A.12B.1C.32D.2【变式31】(2022•河北模拟)如图所示,在⊙O中,AB为弦,OC⊥AB交AB于点D.且OD=DC.P为⊙O上任意一点,连接P A,PB,若⊙O的半径为1,则S△P AB的最大值为()A.1B.2√33C.3√34D.3√32【变式32】(2022秋•龙凤区校级期末)如图,矩形ABCD中,AB=20,AD=15,P,Q分别是AB,AD 边上的动点,PQ=16,以PQ为直径的⊙O与BD交于点M,N,则MN的最大值为.【变式33】(2022秋•延平区校级期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点,且DE=3,若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为()A.910B.65C.85D.125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】(2022•包河区校级二模)如图,在⊙O中,直径AB=10,CD⊥AB于点E,CD=8.点F是弧BC上动点,且与点B、C不重合,P是直径AB上的动点,设m=PC+PF,则m的取值范围是()A.8<m≤4√5B.4√5<m≤10C.8<m≤10D.6<m<10【变式41】(2022•佛山)如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.【变式42】(2022秋•盐都区校级月考)如图,点P是⊙O内一定点.(1)过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹);(2)若⊙O的半径为13,OP=5,①求过点P的弦的长度m范围;②过点P的弦中,长度为整数的弦有条.【变式43】(2022秋•天河区校级期中)已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离OH=3,点P是圆上一动点,设过点P且与AB平行的直线为l,记直线AB到直线l的距离为d.(1)求AB的长;(2)如果点P只有两个时,求d的取值范围;(3)如果点P有且只有三个时,求连接这三个点所得到的三角形的面积.【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】(2022•山海关区一模)已知⊙O的直径CD=10,CD与⊙O的弦AB垂直,垂足为M,且AM=4.8,则直径CD上的点(包含端点)与A点的距离为整数的点有()A.1个B.3个C.6个D.7个【变式51】(2022秋•新昌县期末)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连接OB,点P是半径OB上任意一点,连接AP,若OB=5,OC=3,则AP的长不可能是()A.6B.7C.8D.9【变式52】(2022•桥西区校级模拟)如图,AB是⊙C的弦,直径MN⊥AB于点O,MN=10,AB=8,如图以O为原点建立坐标系.我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点,则线段OC长是3,⊙C上的整数点有个.【变式53】(2022秋•肇东市期末)已知⊙O的半径为5,点O到弦AB的距离为3,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有()A.4个B.3个C.2个D.1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】(2022•武汉模拟)如图,在半径为1的⊙O中有三条弦,它们所对的圆心角分别为60°,90°,120°,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是()A.√2B.1C.√32D.√22【变式61】(2022秋•黄州区校级月考)如图,矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上,顺次连接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=12,DF=4,则菱形ABCD的面积为.【变式62】(2022秋•西城区校级期中)如图,AB为⊙O直径,过点O作OD⊥BC于点E,交⊙O于点D,CD∥AB.(1)求证:E为OD的中点;(2)若CB=6,求四边形CAOD的面积.【变式63】(2022•新洲区模拟)如图,点A,C,D均在⊙O上,点B在⊙O内,且AB⊥BC于点B,BC ⊥CD于点C,若AB=4,BC=8,CD=2,则⊙O的面积为()A.125π4B.275π4C.125π9D.275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】(2022秋•襄都区校级期末)如图所示,一圆弧过方格的格点AB,试在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(0,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是()A.(﹣1,2)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(2,1)【变式71】(2022春•海门市期中)如图所示,⊙P过B、C两点,写出⊙P上的格点坐标.【变式72】(2022•商城县三模)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A、B、C均在小正方形的顶点上,点C同时也在AB̂上,若点P是BĈ的一个动点,则△ABP面积的最大值是.【变式73】(2017秋•靖江市校级月考)如图,在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格图中进行下列操作(以下结果保留根号):(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置,并写出D点的坐标为;(2)连接AD、CD,则⊙D的半径为,∠ADC的度数.【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】(2022•博山区一模)如图,在平面直角坐标系中,半径为5的⊙E与y轴交于点A(0,﹣2),B (0,4),与x轴交于C,D,则点D的坐标为()A.(4−2√6,0)B.(−4+2√6,0)C.(−4+√26,0)D.(4−√26,0)【变式81】(2022秋•西林县期末)如图,⊙P与y轴交于点M(0,﹣4),N(0,﹣10),圆心P的横坐标为﹣4.则⊙P的半径为()A.3B.4C.5D.6【变式82】(2022•印江县三模)如图,直线l为y=x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3;…,按此作法进行下去,则点A2022的坐标为.【变式83】(2015•宜春模拟)如图,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,﹣4),N(0,﹣10),函数y =﹣2x+m图象过点P,则m=.【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】(2022秋•化德县校级期末)⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,且AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD的距离为()A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm【变式91】(2022•包河区二模)已知圆O的半径为5,弦AB=8,D为弦AB上一点,且AD=1,过点D 作CD⊥AB,交圆O于C,则CD长为()A.1B.7C.8或1D.7或1【变式92】(2022秋•方正县期末)如图,⊙O的弦AB与半径OC垂直,点D为垂足,OD=DC,AB=2√3,点E在⊙O上,∠EOA=30°,则△EOC的面积为.【变式93】(2022秋•淮南月考)如图,已知⊙O的半径为2.弦AB的长度为2,点C是⊙O上一动点,若△ABC为等腰三角形,则BC2的长为.【题型10 垂径定理的应用】【例10】(2022秋•武昌区校级期末)某地有一座圆弧形拱桥,它的跨度(弧所对的弦的长)24m,拱高(弧的中点到弦的距离)4米,则求拱桥的半径为()A.16m B.20m C.24m D.28m【变式101】(2022•望城区模拟)《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺.如图,已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,(注:1尺=10寸)问这块圆柱形木材的直径是()A.13寸B.6.5寸C.26寸D.20寸【变式102】(2022秋•西城区校级期中)京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,风格更加简约.如图,摩天轮直径88米,最高点A距离地面100米,匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面的距离超过34米时,可视为最佳观赏位置,在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟.【变式103】(2022•浙江)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B是圆上的点,O为圆心,̂,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通∠AOB=120°,从A到B只有路AB过计算可知,这些市民其实仅仅少走了步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:√3≈1.732,π取3.142)。
九年级数学下册第三章圆33垂径定理(新版)北师大版_2023年学习资料
导引:-画出如图②所示的示意图,过圆心O作OC⊥AB于点D,-交⊙O于点C,连接OB,若设⊙O的半径为rc ,在-Rt△BOD中,利用勾股定理列出关于的方程,继而解-出r的值.
解:如图②,弦AB表示污水水面,点O为圆心,圆形管道的内-径即为⊙O的直径.设半径为rcm,过点O作OC⊥ B于点D,-与AB交于点C,根据垂径定理知,点D是AB的中点,点-C是AB的中点,CD就是污水水面至管道顶 的距离.由-题意可知:AB=60cm,CD=10cm,∴.BD=一AB=30-2-OD=r-10cm.在R △DOB中,BD2+OD2=OB2,即-302+r-102=r2,解得r=50..2r=2×50=100c .-答:修理人员应准备内径为100cm的管道.
知识点-垂径定理-如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD LAB,垂-足为M.-1图是轴对称图形吗? 果是,-其对称轴是什么?-2你能发现图中有哪些等量关-系?说一说你的理由.
髻归纳-垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分-弦所对的弧
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污-总-结-本题运用构造法,连接半径,根据AB⊥CD,构造-Rt△OEC,再运用方程思想,设未知数,运用垂 定理和-勾股定理列方程进行求解.
例3某市某居民区一处地下圆形管道破裂,修理人员准-备更换一段新管道,如图①,污水面宽度为60cm,-水面至 道顶部的距离为10cm,问修理人员应准备-内径为多大的管道?-60 cm-10 cm
第三章-3.3垂径定理-0000
学习目标-课堂讲解-圆的轴对称性-垂径定理-垂径定理的推论-课时流程-逐点-作业-导讲练-小结-提升
北师大版3.3垂径定理
c
C
A
O A D E B
D O
B
O A E B
是
不是
是
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
AB是⊙O的一条弦,且 AM=BM.
C
你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
②CD⊥AB,
可推得
A
┗
●
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
在Rt△AOE中,根据勾股定理有OA=5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
1. 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
解:如图,用 AB表示桥拱,AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 由题设 AB 37.4, C D 7.2,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
D
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
已知:如图,AB 是⊙O 的一条弦,CD 是⊙O 的一条直径,并且 CD⊥AB, C ︵ ︵ ︵ ︵ 垂足为 M。求证:AM=BM, AC= BC, AD= BD A B 证明:连接OA,OB,则 M└
∴ ∠AOD=∠BOD
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧。
∵CD是直径, CD⊥AB ,AB是弦 ⌒=BD ⌒,AC ⌒=BC ⌒ ∴AM=BM,AD
北师大版九年级数学下《3.3垂径定理》同步习题含答案
北师大版九年级数学下册第三章圆 3.3垂径定理同步俩习题一、选择题(9分×4=36分)1.(2021,嘉兴)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE =8,则AB的长为( )A.2 B.4 C.6 D.82.如图,已知⊙O的半径为5,弦AB=6,M是AB上任意一点,则线段OM的长可能是()A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.53.如图,在半径为5的⊙O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为( )A.3 B.4 C.32D.4 24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以C 为圆心,CA 为半径的圆与AB 交于点D ,则AD 的长为( ) A.95B.245C.185 D.52二、填空题(9分×2=18分)5.⊙O 的直径为10cm ,弦AB ∥CD ,且AB =8cm ,CD =6cm ,则弦AB 与CD 之间的距离为___________.6.如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕AB 的长为__________cm.三、解答题(14分+15分+17分=46分)7.如图,半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0,-4)、N(0,-10),函数y =k x (x <0)的图象过点P.求k 的值.8.如图,某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚,大棚的跨度弦AB的长为8515米,大棚顶点C离地面的高度为2.3米.(1)求该圆弧形所在圆的半径;(2)若该菜农的身高为1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动的范围有几米?9.如图,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下水面宽为7.2m,拱顶高出水面2.4m,现有一艘宽3m,船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里,此时货船能顺利通过这座拱桥吗?请说明理由.答案:1---4 DCCC5. 7cm或1cm6. 237. 解:过点P作PG⊥MN于G,作PH⊥x轴于H,∵MN=6,∴MG=12×6=3.连接PM,在Rt△PMG中,由勾股定理得PG=4,又OG=4+3=7=PH,∴点P的坐标为(-4,-7),∴k=(-4)×(-7)=288. 解:(1)半径为3米(2)活动范围有3.6米9. 解:能顺利通过.理由:由题意AB=7.2,CD=2.4,设⊙O的半径为R,在Rt△AOD中,OD=R-2.4,AD=3.6,∴R2=(R-2.4)2+3.62,∴R=3.9,在Rt△OHN中,若HN=1.5.则OH=ON2-HN2= 3.92-1.52=3.6,∵OD=OC-DC=3.9-2.4=1.5,∴DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m),。
北师大版九下数学3.3垂径定理解析
1. (2014年南宁)在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm ,则油的最大深度为()2.(2014年凉山州)已知⊙O 的直径CD=10cm ,AB 是⊙O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为M ,且AB=8cm ,则AC 的长为( )t AMO t AMC 解法一:(1)根据题意画出图形,由于点C 的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论:连接AC ,AO ,11○O 的直径CD 10cm ,AB CD ,AB 8cm ,AM AB 84cm ,OD OC 5cm ,22当C 点位置如图1所示时:OA 5cm ,AM 4cm ,CD AB ,在R △中,O 3cm CM OC OM 538cm在R △中,=⊥=∴==⨯=====⊥∴∴=+=+=∴t AMO t AMC 当C 点位置如图2OA 5cm ,AM 4cm ,CD AB ,在R △中,O 3cm CM OC OM 532cm在R △中,===⊥∴∴=-=-=∴==图1 图2t AMC t AMC A cm,211解法二:根据题意画出图形,○O 的直径CD 10cm,AB CD,AB 8AM BM AB 84cm 22根据相交弦定理得:DM CM AM BM,CM (10CM)44,CM 10CM 160,当CM 2时,在R △中,当CM 8时,在R △中,CM 2或CM 8m =⊥=∴===⨯=⋅=∴===⋅∴-=⨯∴-+=== 3. (2014年泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P 的圆心坐标是(3,a)(a >3),半径为3,函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为则a 的值是( )解:作PC x 轴于C ,交AB 于D ,作PE AB 于E ,连结PB ,如图,○P 的圆心坐标是(3,a ),OC 3,PC a ,把x 3代入y x 得y 3,D 点坐标为(3,3),CD 3,△OCD 为等腰直角三角形,△PED 也为等腰直角三角形,11PE AB ,AE BE AB Rt △PBE 中,PE 1,PD a 322⊥⊥∴=====∴∴=∴∴⊥∴===⨯===∴==∴=4. (2013年株洲)如图AB 是⊙O 的直径,∠BAC=42°,点D 是弦AC 的中点,则∠DOC 的度数是( )度.解:AB 是○O 的直径,OA OC A 42ACO A 42D 为AC 的中点,OD AC ,DOC 90DCO 904248.∴=∠=︒∴∠=∠=︒∴⊥∴∠=︒-∠=︒-︒=︒5.⊙O 的半径为2,弦BC=,点A 是⊙O 上一点,且AB=AC ,直线AO 与BC 交于点D ,则AD 的长为( ).2222211解:如图所示:○O 的半径为2,弦BC A 是○O 上一点,且AB AC ,AD BC ,BD BC 22在Rt △OBD 中,BD OD OB OD 2,解得OD 1,当如图1所示时,AD OA OD 211;当如图2所示时,AD OA OD 213==∴⊥∴==⨯+=+==∴=-=-==+=+=6. (2014年广州)如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 在第一象限,⊙P与x 轴交于O ,A两点,点A 的坐标为(6,0),⊙P ,则点P 的坐标为( ).解:过点P 作PD x 轴于点D ,连接OP ,A (6,0),PD OA ,OD OA 3,在Rt △OPD 中,OP 13OD 3,PD 2,点P 的坐标为:(3,2)⊥⊥∴====∴∴7.(2012上海普陀区一模)如图,点A ,B 是⊙O 上两点,AB=10,点P 是⊙O 上的动点(P 与A ,B 不重合),连接AP ,BP ,过点O 分别作OE ⊥AP ,OF ⊥BP ,点E 、F 分别是垂足.线段EF 的长为( );点O 到AB 的距离为2,⊙O 的半径为( ).11解:(1)OE AP ,OF BP ,点E 、F 分别是垂足,AE EP ,PF BF ,EF AB 105;22(2)如图,过O 作OC AB 于C ,连接OB ,C 为AB 的中点,BC 5,而OC 2,OB ○O ⊥⊥∴==∴==⨯=⊥∴∴==∴8. (2014年湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C ,D(如图).若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O 到直线AB 的距离为6,AC 的长为( ).解:过O 作OE AB 于点E ,则CE DE ,AE BE ,连接OC ,OA ,OE 6,在Rt △AEO 中,AE 8,在Rt △CEO 中,CE ⊥==∴=9. (2013年深圳)如图所示,该小组发现8米高旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG 的长为3米,HF 的长为1米,测得拱高(弧GH 的中点到弦GH 的距离是MN 的长)为2米,小桥所在圆的半径为( ).22EF 2.4 2.4解:小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,8米高旗杆DE 的影子为:,EF 812m ,DE 1.6 1.6测得EG 的长为3米,HF 的长为1米,GH 12318m ,GM MH 4m .如图,设小桥的圆心为O ,连接OM 、OG .设小桥所在圆的半径为r ,MN 2m ,OM (r 2)m .在Rt △OGM 中,由勾股定理得:OG OM 4∴=∴=⨯=∴=--=∴===∴=-∴=+ -4r+20=0,222,r (r 2)16,解得:r 5m∴=-+=10. (2011年上海)如图,点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上,且OA=3,AC=2,CD 平行于AB ,并与弧AB 相交于点M 、N .线段OD 的长为( );若tan ∠C=12,弦MN 的长为( ).2222222OA OB OB OC 2(23)解:(1)CD ∥AB ,OAB OCD ,OBA ODC ,△OAB ∽△OCD ,,即OA OD OB OC ,OD 5;OC OD OA 21OE 1(2)过O 作OE CD ,连接OM ,则ME MN ,tan C ,即,CE 2OE ,2CE 2在Rt △OEC 中,OC OE CE ,即5OE (2OE ),5OE ⋅⨯+∴∠=∠∠=∠∴∴=⋅=⋅∴===⊥=∠==∴==+=+ 25,OE 不合题意,舍去)在Rt △OME 中,ME 2,MN 2ME 224,==∴==⨯=11.如图所示,⊙D 的直径AB 在直角坐标系的x 轴上方,交y 轴正方向于点C ,AC 的长为B 的坐标为(1,0),则圆心D 的坐标为:( )。
北师大版初中数学九年级下册3.3 垂径定理
可以让他们更理性地看待人生
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等的劣弧有______________.
第 2 题图
第 3 题图
3.如图,弦 AB 的长为 24 cm,弦心距 OC=5 cm,则⊙O 的半径 R=__________ cm.
4.如图所示,直径为 10 cm 的圆中,圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长.
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7.⊙O 的直径为 10,弦 AB 的长为 8,P 是弦 AB 上的一个动点,求 OP 长的取值范围. 思路分析:求出 OP 长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该 题创新点在于把线段 OP 看作是一个变量,在动态中确定 OP 的最大值和最小值.事实上 只需作 OM⊥AB,求得 OM 即可.
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5 . “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年 5 月 12 日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图(1).最高 的圆拱的跨度为 110 米,拱高为 22 米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.
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*3.3 垂径定理
1.如图,AB 是⊙O 的弦,CD 是⊙O 的直径,CD⊥AB.
三、课后巩固(30 分钟训练) 1.如图,⊙O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于 B、C,则 BC 等于
九年级数学北师大版下册:33垂径定理(无答案).doc
一、选择题1 •下列语句中不正确的有( )① 相等的圆心角所对的弧相等;② 平分弦的直径垂直于弦;③ 圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴;④ 半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2•在圆0中,圆0的半径为5肋,圆心0到弦AB 的距离为4cm,则弦AB 的长为()3•如图,圆0过点A 、B,圆心0在止AABC 的内部,AB=2V3,OC=1,则圆0的半径为() A.V3B.2C.V5D.V74•半径等于12的圆屮,垂直平分半径的弦长为() A.3V6 B.12A /3 C.6V3 D.18V35•如图,AB 、AC 是圆的两条弦,AD 是圆的一条直径, 且AD 平分ZBAC,下列结论中不一定正确的是() A A A o A AA.AB = DBB.BD = CDC.BC 丄 ADD.ZB=ZC 6•如图,AB 是圆0的直径,点M 是圆0上一点,若AM=8cm,AB=10cm, ON 丄BM 于点N,则BN 的长为()3 A-C777B.3C 7?7C.5cmD.6cm 2 3. 3垂径定理A.3 cm C.2y/41cm D.6cm D7•有一边长为2苗的正三角形,则它的外接圆的面积为()A.2V37T B.4V37T C.4 兀 D.12兀8•如,O是AABC的外接圆,A0B=6° ABA=2,则弦BC的为()A.V3B.3C.2V3D.4二、解答题9•如图,(DO的直径AB垂直弦CD于点E, AB=8,ZA=22.5°,求CD 的长.10.如图是一块车轮碎片的示意图,点0是这块轮片的圆心,AB=24cvn, C是弧AB上一点,OC1AB,垂足为D,CD=4cm,求原轮片的半径.11.如图,。
0屮,半径CO垂直于直径AB, D为0C 的中点,过D作弦EF〃AB, EB与0C交于点P・(1)求ZABE的度数.(2)若连结AB=8,求EF的长.。
2019届北师大版九年级数学下册练习:3.3 垂径定理
*3.3 垂径定理基础题 知识点1 垂径定理1.如图所示,⊙O 的半径为13,弦AB 的长度是24,ON⊥AB,垂足为N ,则ON =(A)A .5B .7C .9D .112.(2017·阿坝)如图,AB 是⊙O 的弦,半径OC⊥AB 于点D ,若⊙O 的半径为5,AB =8,则CD 的长是(A)A .2B .3C .4D .53.如图,⊙O 的直径CD =10 cm ,AB 是⊙O 的弦,且AB⊥CD,垂足为P ,AB =8 cm ,则sin∠OAP 的值是(C)A.34B.45C.35D.434.如图,已知⊙O 的直径AB⊥CD 于点E ,则下列结论一定错误的是(B)A .CE =DEB .AE =OE C.BC ︵=BD ︵D .△OCE≌△ODE5.(2017·大连)如图,在⊙O中,弦AB=8 cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3 cm,则⊙O的半径为5cm.6.(2017·长沙)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为5.知识点2 垂径定理的推论7.如图,⊙O的半径为10,M是AB的中点,且OM=6,则⊙O的弦AB等于(D)A.8B.10C.12D.16知识点3 垂径定理的应用8.(2017·金华)如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB 的长为(C)A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm9.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8 m,则排水管内水的深度为0.8m.10.(教材P76练习T1变式)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高EF =1 m ,现计划安装玻璃,请帮工程师求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解:∵弓形的跨度AB =3 m ,EF 为弓形的高, ∴OE⊥AB. ∴AF=12AB =32m.∵AB ︵所在⊙O 的半径为r ,弓形的高EF =1 m , ∴AO=r ,OF =r -1.在Rt△AOF 中,AO 2=AF 2+OF 2, 即r 2=(32)2+(r -1)2.解得r =138.故r =138 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 11.下列说法正确的是(D)A .过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B .弦的垂直平分线平分它所对的两条弧,但不一定过圆心C .过弦的中点的直径垂直于弦D .平分弦所对的两条弧的直径平分弦 中档题12.已知⊙O 的半径OA =10 cm ,弦AB =16 cm ,P 为弦AB 上的一个动点,则OP 的最短距离为(B) A .5 cm B .6 cm C .8 cm D .10 cm13.(2017·呼和浩特)如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB =12,OM∶MD=5∶8,则⊙O 的周长为(B)A .26πB .13π C.96π5 D.3910π514.(2017·阿坝)如图,将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕AB 的长为(D)A .2 cm B. 3 cm C .2 5 cm D .2 3 cm15.如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A ,B ,AB =40 cm ,脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm ,则该脸盆的半径为25cm.图1 图216.(2018·孝感)已知⊙O 的半径为10 cm ,AB ,CD 是⊙O 的两条弦,AB∥CD,AB =16 cm ,CD =12 cm ,则弦AB 和CD 之间的距离是2或14cm17.(教材P77习题T3变式)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C ,D(如图).(1)求证:AC =BD ;(2)若大圆的半径R =10,小圆的半径r =8,且圆心O 到直线AB 的距离为6,求AC 的长.解:(1)证明:过点O 作OE⊥AB,垂足为E , 则AE =BE ,CE =DE , ∴AE-CE =BE -DE , 即AC =BD.(2)由(1)可知,OE⊥AB,OE⊥CD, 连接OC ,OA. ∵OE=6,∴CE=OC 2-OE 2=82-62=27, AE =OA 2-OE 2=102-62=8. ∴AC=AE -CE =8-27. 综合题18.如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB 为7.2 m ,拱高CD 为2.4 m. (1)求拱桥的半径;(2)现有一艘宽3 m ,船舱顶部为长方形并高出水面2 m 的货船要经过这里,问此货船能顺利通过拱桥吗?解:(1)连接OB. ∵OC⊥AB, ∴D 为AB 的中点. ∵AB=7.2 m , ∴BD=12AB =3.6 m.设OB =OC =r ,则OD =(r -2.4)m. 在Rt△BOD 中,根据勾股定理,得 r 2=(r -2.4)2+3.62,解得r =3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M,N(N在M的右边),连接ON,连接MN,交CO于点E. ∵CD=2.4 m,船舱顶部为长方形并高出水面2 m,∴CE=2.4-2=0.4(m).∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(m).在Rt△OEN中,EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2),∴EN= 2.96(m),MN=2EN=2× 2.96≈3.44 m>3 m.∴此货船能顺利通过这座拱桥.。
数学北师大版九年级下册垂径定理
课外同步训练【轻松过关】1.下列说法中正确的是()A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径垂直于这条弦C.弧上一点到弦的距离叫做拱高 D.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦2.下列命题中,正确的是()A.弦的垂线平分弦所对的弧B.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心C.过弦的中点的直线平分弦所对的弧D.平分弦的直径垂直于这条弦3.如图3-4-6,O是两个同心圆的圆心,大圆的半径OA,OB分别交小圆于C,D,•则下列结论中正确的是()= B.AB=CD C.AB∥CD D.∠OCD≠∠BA.AB CD图3-4-6 图3-4-7 图3-4-8 4.如图3-4-7,在⊙O中,弧CD与直径AB相交,且AB平分CD,则下列结论错误的是(• )=A.AB⊥CD B.∠COE=∠DOE C.OE=BE D.AC AD5.如图3-4-8,AB是半圆的直径,点O是圆心,点C是半圆上一点,点E是弧AC的中点,OE交弦AC于点D,若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为_____cm.6.已知⊙O的弦AB长为4cm,弦AB的弦心距为2cm,则⊙O的直径为______cm.7.如图3-4-9,AD是⊙O的直径,AB=AC,∠BAC=120°,根据以上条件写出三个正确的结论(OA=OB=OC=OD除外):①__________________;②__________________;③__________________.8.如图3-4-10,大圆的半径为5,小圆的半径为4,弦AB=8,则AC=_______.图3-4-9 图3-4-109.如图3-4-11,已知AB为弓形AB的弦,半径OD所在直线垂直AB于点C.若OC=1,求弓高CD的长.图3-4-1110.如图3-4-12,已知⊙O的半径长6cm,弦AB与半径OC互相平分,交点为M,求AB 的长.图3-4-1211.如图3-4-13,BC是⊙O中的弦,点A是BC的中点,半径OA交BC于点D,且BC=8,AD=2,求⊙O的半径.图3-4-13【适度拓展】12.储油罐的截面如图3-4-14所示,装入一些油,若油面宽AB=600mm,油罐直径为650mm,求油的最大深度.图3-4-1413.如图3-4-15,AB是⊙O的直径,CD为弦,分别过A,B作弦CD的垂线,垂足为M,N,•求证:MC=DN.图3-4-15【探索思考】14.如图3-4-16,点O为ADB的圆心,∠AOB=120°,弓形高ND=2cm,矩形EFGH的顶点E,F在弦AB上,点H,G在AB上,且EF=4HE,求EF的长.图3-4-。
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的对称性》分层练习♦基础题1・如图,在中,半径0C与弦AB垂宜于点D 且AB二8, 005,则A. 3B. 2.5C. 2D. 12.如图,OO的直径AB=20cm, CD是(DO的弦,43丄CD,垂足为E, 0E:EB二3: 2,则CD的长是()A. 10cmB. 14c 血C・ 15cm D 16 cm3.00 的半径是13, ® AB//CD, AB二24, CD二10,则AB 与CD 的距离是()A. 7B. 17 C・ 7 或17 D・ 344•“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋在壁屮,不知大小,以锯锯Z,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现代的数学语言表示是:“如图,CD为(D0的直径,弓玄丄CD垂足为E, CE二1寸,A3二10 寸,求直径CD的长”•依题意,CD长为()A.厶寸B. 13寸C. 25寸D. 26寸25・如图,(DO的直径为10,弦AB=8, P是弦A3上一动点,那么OP长的取值范围是 _________ .6.在平面直角坐标系中,O为原点,QO的半径为7,直线y^mx - 3m+4交00于A、B两点,则线段AB的最小值为_______ ・7.如图,点P在一半径为3的。
0内,0P二羽,点人为OO上一动点,弦AB过点P,则最长为___________ , AB最短为_________ .8.如图,A3是00的直径,0D丄AC于点D BC二6cm,贝9 0D二cm.9.已知两同心圆,大圆的弦A3切小圆于M,若环形的面积为9”,求朋10.已知:如图,AB是的弦,半径OC、0D分别交AB于点E、F,且OE二OF.C Li♦能力题1 •如图,将半径为4c加的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则•折痕的长为()/BA. 2 ^3 cmB. 4 >/3 cmC. >/3 cmD. A/2cm2.据史料记载,雎水太平桥建于清嘉庆年间,已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,既没有用钢筋,也没有用水泥,全部由石块砌成,犹如一道彩虹横卧河面上,桥拱半径OC为13加,河面宽AB为24加,则桥高CD为()3.如图,在00中,弦AB的长为16cm 圆心。
到AB的距离为6cm,则00的半径是()6. 如图,00的半径OD 丄弦AB 于点C,连结AO 并延长交于点E, 连结EC,若二4, CD 二1,则EC 的长为 ___________ ・7. 如图,CD 为(DO 的直径,CD 丄AB,垂足为点F, A0丄BC,垂足为点E, CE=2.(1) 求A3的长;(2) 求00的半径.8. 有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如下图所示,正常水位下水面宽AB=60m, 水面到拱项距离CD 二18加,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m 时,高度为5加的船 是否能通过该桥?请说明理由.B. 10cmC. 8cmD. 20cm4.如图,CD 为圆O 的直径,弦AB 交CD 于E,上CEB 二30。
, DE 二6cm,♦提升题1.如图,在00内有折线OABC,点、B 、C 在圆上, OA 二4c 加,BC 二10cm, ZA=ZB=60° ,则 AB 的长为( 为3,函数y 二无的图象被OP 截得的弦AB 的长为4血,则。
的值是(3.如图,在5X5 IE 方形网格屮,「一条圆弧经过4, B, C 三点,已知点A 的坐标是(-2, 3),点C 的坐标是(1, 2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标 是 _________ •其中 6cm C. 7cm D. 8am2.如图,在平面直角坐标系中,QP 的圆心坐标是半径C. 3A /2D. 3 + V34.如图,AB、AC是OO的弦,0M丄AB, ON丄AC,垂足分別为M、N.如果MN二2.5,那么BC二B直径CD丄弦于E, AMLBC于M,交CD于N,连(1)求证:AD^AN;求的半径.6.如图,AB是半圆O的直径,AC是弦,点P从点B开始沿边向点A以lc〃必的速度移动,若AB长为10c加,点O到AC的距离为4沏.(1)求弦AC的长;/XAPC是等腰三角形.答案和解析♦基础题I.【解答】C解:连接OA,设CZXr,・・・04二005,・・・OD二5-兀,TOC丄AB,.・.由垂径定理可知:AB=4,由勾股定理可知:52=42+ (5 -x) 2/.x=2, :.CD=2.2. A. 10cm B. Wcm C. 15cm D. 16cm【解答】D解:连接OC,设OE=3x, EB=2x f:.OB^OC=5x, TAB二20, A 10^=20, Ax=2, ・•・由勾股定理「可知:C£=4x=8, ・・・CD二2CE二16.3.【解答】C解:如图,AE=-A5=-X24=12, CF=-CP=-X 10=5, OE==5, OF二12, 2 2 2 2①当两弦在圆心同侧时,距离二OF - OE二12 - 5=7;②当两弦在圆心异侧时,距离二OE+OF二12+5二17・4.【解答】D解:连接04.设圆的半径是兀尺,在直角△ OAE中,OA=x, (9E=x-l, V OA2二O E+A£,则卡二(x- 1) 2+25,解得:兀二13.则CD二2X13二26 (cm).5・【解答】3WOPW5解:如图:连接04,作0M丄43与M, VO0的直径为10, A半径为5,A0P的最大值为5, V0M丄如?与M,・・・AM二BM, TAB二8,・\AM=4f在心△ AOM屮,OM二3, OM的长即为OP的最小值,・・.3WOPW5.6.【解答】4衙解:•・•直线y^mx - 3/72+4必过点D (3, 4), /.最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦,•・•点D的坐标是(3, 4),・・・0D二5,・・・。
0的半径为7,・・・ C (7, 0),・・・OA二OC=7, .-.AD=2>/6, :.AB的长的最小值为4舲.7.【解答】6, 2^6解:AB为过P点的直径时,则AB最长为6,当0P丄AB时,AB为过P点的最短弦,V 0P±AB9在心AAPO 中,AKPB二丄AB二怡,:・AB二2恵.8・【解答】3解:V ODA.AC于点D, :.AD=CD,乂:・0D 为、ABC的中位线,:・0D 二丄BC, •:BC=6cm, :. 0D^3cm ・29.解:环形的面积为9兀,根据圆的面积公式可得:JiXOA1 - Ji X OM2=9 兀,解得0才一0/二9,再根据勾股定理可知:9就是AM的平方,所以AM三3,A3二6.10.证明:如图,过点O作OM丄AB于点M,则AM二BM・又TOE二OF,♦能力题1.【解答】B解:如图所示,连接AO,过O作OD丄交AB于点D,交弦AB于点E,V AB折叠后恰好经过圆心…・・OE二DE,・・・。
0的半径为4,・・・OE二丄OD二丄2 2 X4二2, V OD丄AB, :.AE=-AB,在Rt/XAOE中,AE=2 壬・:.AB=2AE=4y/j . 22. A. 15m B. 17m C. 18m D. 20m【解答】c解:连结OA,如图,・・・07)丄AB, /.AD=BD=-AB=- X24=12,在RtAOAD2 2屮,04二5, 00=5, ・・・CD二OC+CD二13+5二18 (m).得,OA=10cm.解:作 OMA.AB 于点 M,连接 OA,圆半径 04二丄(DE+EC) =4cm 0E 二DE 25如,在直角△。
劭中,ZC 如0。
‘则皿冷。
日皿在直角△如中,根据勾股定理:AM 二后 (cm), .9.AB=2AM=2y/15cm.解:过点C 作CE 丄A3,垂足为E, VZC=90° , AC 二5, CB=12, A 由勾股 定理,得如3, T5X12=13・CE,.心詈.•.由勾股定理,得遊. 由垂径定理得侔寻D. 20cm解:过点O 作OE 丄AB 于点E,连接OC, •・•弦AB 的长为16cm f 圆心O 到^的距离为6g.O“6m 停抖如,在Rt^AOE 中,根据勾股定理【解答】BB. 1OcmC. 8cm cmH -------- B6.【解答】V13解:连接BE, TOO 的半径0D 丄弦AB 于点C, AB 二2,.・.AC 二BC 二2,设04二x, VCD=1, :.OC=x- 1,在 Rt/\AOC^f AC^+O^OA^ A22+ (x - 1) 2=x ,55 3解得:尸—,・・・OA 二OE 二—,OC 二:・BE=2OC=3, VAE 是直径,二 ZB 二90。
,2 2 2 D7.解:(1)・:CDVAB, AO 丄 BC,.・.Z4FO 二ZCEO 二90° ,在厶AOF 和厶 COE 中,ZAFO = ZCEO< ZAOF = ZCOE , A AAOF^ACOE,・ *. CE^AF, •: CE=2, AAF=2, VCD AO = CO是00 的直径,CD 丄AB,・\ AF = BF=-AB f :.AB=4.(2) VAO 是(DO 的半径,AO 丄BC,:・CE 二BE 二2, TAB 二4, Z. BE = -AB ,Ar 2:・CE二届.V ZAEB-900 , A ZA=30°,又V ZAFO-900 , ••- c<?M=—=—=8.解:不能通过.设 OA=R,在 Rt^AOC 中,AC=30, CD 二 18, W 二 30,+ (R- 18) 2,疋二900+疋 -36R+324,解得 /?二34加,连接 OM,在 Rt^MOE 中,ME 二 16, 0丘二OS - 血 即6>^=342- 16 =900, ・・・OE 二30, :.DE=34 - 30=4,二不能通过.♦提升题1.【解答】B解:延长AO 交BC 于D 作OE 丄BC 于E,设AB 的长为私加,V ZA=Z B 二60° ,・・・ZADB 二60。
; A /\ADB 为等边三角形;.・.BD 二4D 二二x ; VOA=4cm, BC 二10cm, ・・・BE 二5cm, DE 二(兀-5) cm, OD 二(x- 4) cm,又 VZADB=60° , ・・・DE 二丄OD Ax- 5=丄(x-4),解得:x=6.2. 【•解答】B解:作PC 丄兀轴于C,交A3于D,作PE 丄AB 于E,连结PB,如图,・.・.G )P 的圆心坐标是(3, a ), AOC=3, PC-a,把兀二3代入)尸兀得y 二3, .•.£>点坐标为(3, 3),・・・CD 二3, :./\OCD 为等腰直角三角形,APED 也为等腰直角三 角形,・.・PE 』AB,・・・AE 二BE 二L AB 二忑=2忑,在 RtAPBE 屮,二3, Z.3. 【解答】(-1, 1)2 2PE 二1,:・PD二忑PE二近,:.+ V2 .解:如图线段AB 的垂直平分线和线段CD 的垂直平分线的交点M,即圆心4. 【解答】5解:VAB, AC 都是00的弓玄,0M 丄AB, ON 丄AC,:・N 、M 分另U 为AC 、AB 的中点,即 曲为厶ABC 的中位线,VW=2. 5,:・BC=2MN=5・5. 如图,OO 中,直径CD 丄弦AB “于E, AM 丄BC 于M,交CD 于N,连 接AD(1)求证:AD 二AN;A ZC+ZB=90° ,同理ZC+ZCNM 二90° , :. ZCNM 二ZB, •: ZCNM 二ZAND,:・ZAND二乙B, V AC = AC ,:.ZD 二ZB,:■乙AND 二ZD, :.AN^AD ;(2)解:设 OE 的长为兀,连接 04, •:AN 二AD, CD 丄AB,:・DE 二NE 二x+\, :.OD^OE+ED=x+x+1 =2x+1,二 0A 二0D 二2兀+1,・••在 &△OAE 中QF+AF 二0/V,5 5 13・・/+4 =(2xH)l 解得尸亍或尸-3(不合题意,舍去),・・・QA=222X 亍+1肓,的坐标是(- 1, 1).3沐~~――~~(1)证明:・:CD LAB, A ZCEB=90°D6.解:(1)过0作0D丄AC于D,易知A0=5, OEM,从而AD二3,.・.AO2AD二6;(2)设经过/秒ZXAPC是等腰三角形,则AP=10 - /,①若AC二PC,过点C 作CH丄AB 于H, V ZA=ZA, ZAHC二ZODA二90。