高三第一轮复习10----常用逻辑用语与不等式训练题
高三大一轮复习-常用逻辑用语(含答案)
绝密★启用前高三大一轮复习-常用逻辑用语一、选择题（题型注释）1.已知命题022,:2>++∈∀x x R x p ,则p ⌝是（ ）A ．,0R x ∈∃022020<++x xB ．,R x ∈∀0222<++x xC ．,0R x ∈∃022020≤++x x D ．,R x ∈∀0222≤++x x 2.下列说法错误．．的是 （ ） A ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题．C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件 3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B ．任意一个有理数，它的平方是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数4.在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨5.已知命题p ：“[]1,2x ∀∈， 20x a -≥”，命题q ：“x R ∃∈，2220x ax a ++-=”，若命题“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]{},21-∞-⋃B. ][(,21,2⎤-∞-⋃⎦C. [)1,+∞D. []2,1- 6.“y x lg lg >”是“y x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知i 是虚数单位，m ，R n ∈，则“1m n ==”是“()22m ni i -=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知圆()222:1(0)C x y r r -+=>.设条件p ： 03r <<，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线30x +=的距离为1，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9.已知条件p ：|4|6x -≤ ；条件q ：22(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．[21，＋∞）B ．[9，＋∞）C ．[19，＋∞）D ．（0，＋∞）10.下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则 ②已知变量和满足关系，若变量与正相关，则与负相关③“已知直线，和平面、，若，，，则”为真命题 ④是直线与直线互相垂直的充要条件A. 1B. 2C. 3D. 4 11.已知命题：将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上单调递增；命题：定义在上的函数满足，则函数图像关于直线对称，则正确的命题是（ ） A. B. C. D.12.已知命题p ： R x ∃∈，使2254x x ++≤；命题q ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()4sin sin f x x x=+的最小值为4.下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()()p q ⌝∧⌝ C. ()p q ⌝∧ D. ()p q ∧⌝第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是__________．14.“若a ＞b ，则ba22>”的逆否命题为 ．15.“||2b <是“直线y b +与圆2240x y y +-=相交”的______________条件．16.设有两个命题， p :关于x 的不等式1xa >（0a >,且1a ≠）的解集是{|0}x x <； q :函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R .如果p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则实数a的取值范围是____.17.给出如下四个命题：①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；②命题“若4x ≥且2y ≥，则6x y +≥”的否命题为“若4x <且2y <，则6x y +<”；③在ABC ∆中，“030A >”是“1sin 2A >”的充要条件； ④已知条件043:2≤--x x p ,条件096:22≤-+-m x x q ,若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,则m 的取值范围是(][)+∞⋃-∞-,44,；18.已知命题:p “方程2191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”, 命题:q “方程2212x y k k+=-表示双曲线”．（1）若p 是真命题,求实数k 的取值范围； （2）若q 是真命题,求实数k 的取值范围； （3）若“p q 或”是真命题,求实数k 的取值范围．19.设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2＜0，其中a≠0，命题q ：实数x 满足,(1)若a=1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
高考数学一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性 互异性 无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】 由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】 由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】 －1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】 当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】 －2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】 当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】 由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)． 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)． 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1， 所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 课堂评价1. BCD 【解析】 对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误； 对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点， 集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】 由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4， 所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ， 所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }． 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲 充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】 因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要 必要 【解析】 因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分 必要 非充分 非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】 由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】 依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， 所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2， 故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】 由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0， 因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立； 若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |， 即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】 对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲 全称量词和存在量词链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】 若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】 若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】 因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】 由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题． 当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意． 当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】 假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本 激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AC【解析】 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】 设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】 若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】 取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a <b <1，所以b －a∈(0,1)，所以lg(b －a )<0，故D 正确．故选ABC.5.(－4,2) (1,18)【解析】因为－1<x <4,2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.因为－3<3x <12,4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.【解答】(1)原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a <b <0，所以|b |<|a |成立，故选C. 2. C3. ABCD 【解析】 关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确； 当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确； 当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0， 所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确； 对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲 基本不等式链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】 因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】 令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】 因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】 因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】 方法一(换元消元法)： 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】 对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ， 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】 原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12， 则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】 因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )， 得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数， 所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)． 所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】 若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】 由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。
新高考2024版高考数学一轮复习：常用逻辑用语
专练2常用逻辑用语[基础强化]一、选择题1．已知命题p：∀x≥1，2x－log2x≥1，则命题p的否定为()A．∀x＜1，2x－log2x＜1B．∀x≥1，2x－log2x＜1C．∃x＜1，2x－log2x＜1D．∃x≥1，2x－log2x＜12．[2023·全国甲卷(理)]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则() A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．[2023·福建泉州模拟]在等比数列{a n}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{a n}单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0<a<1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设p ：|x －a |>3，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若¬p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是()A．－4，72B．(－∞，－4]∪72，＋∞8．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|”是“△ABC 为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．(多选)下列命题说法错误的是()A．∃x ∈R ，e x ≤0B．∀x ∈R ，2x >x 2C．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1二、填空题10．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称．②f (x )的图象关于原点对称．③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．11．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a )的定义域为集合B .“若x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．12．已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分而不必要条件，则m 的取值范围为________.[能力提升]13．(多选)若“存在x ∈12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能是()A．32B．22C．3D．9214．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－5，＋∞)D．(－∞，－3)15．[2023·新课标Ⅰ卷]设S n 为数列{a n }的前n 项和，设甲：{a n }为等差数列；等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．专练2常用逻辑用语1．D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p 的否定为“∃x ≥1，2x －log 2x ＜1”．故选D.2．B 甲等价于sin 2α＝1－sin 2β＝cos 2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin 2α＝cos 2β＝1－sin 2β，即sin 2α＋sin 2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.3．C a n ＝q n －1，当0<q <1时，0<a n ＋1a n＝q <1，所以数列{a n }单调递减，故充分性成立，若数列{a n }单调递减，则0<a n ＋1a n<1，即0<q <1，故必要性成立，所以0<q <1是数列{a n }单调递减的充要条件．故选C.4．B 由x 2－5x <0可得0<x <5.由|x －1|<1可得0<x <2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．5．B 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ；a ≠0时，由不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 知，>0，＝4a 2－4a <0，得0<a <1.∴当0≤a <1时不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ，即p ：0≤a <1，又(0，1)[0，1).∴p 是q 的必要不充分条件．6．B 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m <1，由函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，得0<m <1，∴“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．7．B p ：x <a －3或x >a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，¬p ：a －3≤x ≤a ＋3.因为¬p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，得a ∈(－∞，－4]∪72，＋∞8．A |AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得到AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，得AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形，充分性成立；若△ABC 为直角三角形，当∠B 或∠C 为直角时，|AB →＋AC →|≠|AB →－AC →|，必要性不成立．故选A.9．ABC 根据指数函数的性质可得e x >0，故A 错误；x ＝2时，2x >x 2不成立，故B 错误；当a ＝b ＝0时，a b没有意义，故C 错误；因为“x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D 正确．故选ABC.10．②③解析：要使函数f (x )＝sin x ＋1sin x有意义，则有sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z ，∴定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin xx f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，∴①是假命题，②是真命题．对于③，要证f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，只需证∵1sin＝cos x ＋1cos x，1sin＝cos x ＋1，∴令sin x ＝t ，－1≤t ≤1且t ≠0，∴g (t )＝t ＋1t，－1≤t ≤1且t ≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f (x )的最小值不为2.∴④是假命题．综上所述，所有真命题的序号是②③.11．(－∞，－3]解析：由x 2＋x －6<0得－3<x <2，即：A ＝(－3，2)，由x －a >0，得x >a ，即：B ＝(a ，＋∞)，由题意得(－3，2)(a ，＋∞)，∴a ≤－3.12．[9，＋∞)解析：由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m ，设p ，q 表示的范围为集合P ，Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．因为是q 的充分而不必要条件，所以P Q .>0，m ≤－2，m ≥10，解得m ≥9.13．AB 因为“存在x ∈12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立”是假命题，所以对任意x ∈12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立，即2x ＋1x≥λ对任意x ∈12，2恒成立．因为2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时，等号成立)，所以λ≤2 2.故选AB.14．A 方法一设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.方法二令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B，C；同理，取a ＝－4，排除D.故选A.15．C 若{a n }为等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝a 1＋(n ＋1－1)·d 2－[a 1＋(n －1)·d 2]＝d 2，为常数，所以{S n n }为等差数列，即甲⇒乙；若{S n n }为等差数列，设其公差为t ，则S n n ＝S 11＋(n －1)t ＝a 1＋(n －1)t ，所以S n ＝na 1＋n (n －1)t ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na 1＋n (n －1)t －[(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)t ]＝a 1＋2(n －1)t ，当n ＝1时，S 1＝a 1也满足上式，所以a n ＝a 1＋2(n －1)t (n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝a 1＋2(n ＋1－1)t －[a 1＋2(n －1)t ]＝2t ，为常数，所以{a n }为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.16．[0，3]解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .又∵S ≠∅，如图所示．m ≤1＋mm ≥－2m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3].。
2023版高考数学一轮总复习专题检测1-2常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语一、选择题1.(2022届豫北名校联盟10月联考,4)已知命题p:若x>0,y>0,则xy>0,则p的否命题是( )A.若x>0,y>0,则xy≤0B.若x≤0,y≤0,则xy≤0C.若x,y至少有一个不大于0,则xy<0D.若x,y至少有一个小于或等于0,则xy≤0答案 D 否命题应在否定条件的同时否定结论,原命题中的条件是“且”的关系,所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”.而结论的否定是“xy≤0”,故选D.2.(2022届贵州五校联考(二),3)已知命题p:“∀x∈N,x2<2x”的否定是“∃x0∈N,x02>2x0”;命题q:∃α0∈R,sinα0+cosα0=1.下列说法不正确的是( )A.(xp)∧q为真命题B.p∨(x q)为真命题C.p∨q为真命题D.x q为假命题答案 B 由全称命题的否定为特称命题知,命题“∀x∈N,x2<2x”的否定为“∃x0∈N,x02≥2x0”,所以命题p为假命题,x p为真命题.当α0=0时,sinα0+cosα0=1,所以命题q为真命题,x q为假命题,所以(xp)∧q为真命题,p∨(x q)为假命题,p∨q为真命题,所以A,C,D正确,B不正确,故选B.3.(2022届山西百校联盟强化训练(一),5)有下列四个命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中,是真命题的为( )A.①②B.②③C.④D.①②③答案 D ①中逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②中否命题为“面积不相等的三角形不是全等三角形”,是真命题;③中原命题是真命题,所以它的逆否命题也是真命题;④中原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.故选D.4.(2022届重庆西南大学附中9月考试,2)命题“∃x>0,x+1x≥3且sinx≥1”的否定是( )A.∀x≤0,x+1x<3且sinx<1B.∃x>0,x+1x<3或sinx<1C.∀x>0,x+1x<3且sinx<1D.∀x>0,x+1x<3或sinx<1答案 D 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x>0,x+1x≥3且sinx≥1”的否定是“∀x>0,x+1x<3或sinx<1”.故选D.5.(2022届T8联考,1)“0<θ<π3”是“0<sinθ<√32”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由正弦函数的单调性可知,当0<θ<π3时,0<sinθ<√32,充分性成立;当0<sinθ<√32时,θ∈(2xπ,2xπ+π3)∪(2xπ+2π3,2kπ+π),k∈Z,必要性不成立,所以“0<θ<π3”是“0<sinθ<√32”的充分不必要条件,故选A.6.(2022届山东日照校际联考,2)“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B |x-1|<2的解集为{x|-1<x<3},令A={x|-1<x<3}.x(x-3)<0的解集为{x|0<x<3}.令B={x|0<x<3}.因为B⫋A,所以“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的必要不充分条件,故选B.7.(多选)(2022届河北武强中学月考,10)下列命题中为真命题的是( )A.“a-b=0”的充要条件是“xx=1”B.“a>b”是“1x <1x”的既不充分也不必要条件C.命题“∃x∈R,x2-2x<0”的否定是∀x∈R,x2-2x≥0”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件答案BC 对于A,由xx =1⇒a-b=0,但a-b=0⇒/xx=1,所以“xx=1”是“a-b=0”的充分非必要条件,故A中命题错误.对于B,取a=2,b=-1,满足a>b,但1x >1x,所以a>b⇒/1x<1x;同理,取a=-1,b=2,满足1x <1x,但a<b,所以1x<1x⇒/a>b,所以“a>b”是“1x<1x”的既不充分也不必要条件,故B中命题正确.对于C,命题“∃x∈R,x2-2x<0”的否定是∀x∈R,x2-2x≥0”,故C中命题正确.对于D,因为a>2,b>2⇒ab>4,但ab>4⇒/a>2,b>2,所以“a>2,b>2”是“ab>4”的充分不必要条件,故D中命题错误.故选BC.8.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),1)已知命题p:∀x∈(0,+∞),lnx>x-1,则命题p的否定是( )A.∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1B.∃x∈(0,+∞),lnx>x-1C.∀x∈(0,+∞),lnx<x-1D.∃x∈(0,+∞),lnx≤x-1答案 D 命题∀x∈(0,+∞),lnx>x-1的否定是∃x∈(0,+∞),lnx≤x-1,故选D.9.(2022届河南10月调研,8)设p:∀x∈[2,3],kx>1,q:∃x∈R,x2+x+k≤0.若p或q为真,p 且q为假,则k的取值范围为( )A.(-∞,14)∪(12,+∞)B.[14,1 2 )C.(-∞,14]∪(12,+∞)D.(14,12)答案 C 若p 为真,则{2x >1,3x >1,解得k>12,若q 为真,则Δ=1-4k≥0,解得k≤14.因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p,q 一真一假. ①若p 假q 真,则{x ≤12,x ≤14,解得k≤14;②若p 真q 假,则{x >12,x >14,解得k>12.故k 的取值范围是(-∞,14]∪(12,+∞).故选C.10.(2022届江西新余月考(三),5)已知命题p:∃x∈R,使sinx=√52;命题q:∀x∈R,都有x 2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题 ②命题“p∧xq”是假命题 ③命题“xp∨q”是真命题 ④命题“xp∨xq”是假命题 其中正确的是( ) A.①②③ B.②③ C.②④ D.③④答案 B 由已知得命题p 为假命题,命题q 为真命题,所以p∧q 为假命题,p∧x q 为假命题,xp∨q 为真命题,xp∨x q 为真命题,所以正确的结论序号有②③,故选B. 二、填空题11.(2022届吉林10月月考,14)已知命题“∃x 0∈R,x 02-ax 0+a≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是 . 答案 (0,4)解析 由已知可得,“∀x∈R,x 2-ax+a>0”是真命题,则Δ=a 2-4a<0,解得0<a<4.12.(2022届豫北名校联考(二),14)若命题“∀a>0,长为1,2,a 的三条线段不能构成三角形”是假命题,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,3)解析 根据题意可知,命题“∃a>0,使得长为1,2,a 的三条线段能构成三角形”是真命题,故{x >2-1,x <1+2,x >0,解得1<a<3,即实数a 的取值范围为(1,3).三、解答题13.(2022届广东湛江一中、深圳实验学校10月联考,18)函数f(x)=sinx+cosx+sin2x,x∈(0,π2)的值域为集合A,函数g(x)=ln x -x 2-√2x -x的定义域为集合B,记p:x∈A,q:x∈B.(1)若a=0,则p 是q 的什么条件?(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解析 令t=sinx+cosx=√2sin (x +π4),则sin2x=t 2-1,因为x∈(0,π2),所以t∈(1,√2],函数f(x)的值域就是函数y=t 2+t-1,t∈(1,√2]的值域,根据二次函数的性质可知,函数y=t 2+t-1在(1,√2]上单调递增,于是可求得A=(1,√2+1].要使函数g(x)=ln x -x 2-√2x -x有意义,则有x -x 2-√2x -x>0,即[x-(a 2+√2)](x-a)<0.因为a 2+√2-a=(x -12)2+√2-14>0,所以B=(a,a 2+√2).(1)若a=0,则B=(0,√2),又A=(1,√2+1],所以可得p 是q 的既不充分也不必要条件. (2)若p 是q 的充分不必要条件,则A ⫋B,即{x ≤1,x 2+√2>√2+1,解得a<-1.14.(2022届山东济宁兖州期中,18)已知p:函数f(x)=(a-2m)x在R 上单调递减,q:关于x 的方程x 2-2ax+a 2-1=0的两根都大于1. (1)当m=3时,p 是真命题,求a 的取值范围;(2)若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件,求m 的取值范围. 解析 (1)因为m=3,所以f(x)=(a-6)x.因为p 是真命题,所以0<a-6<1,解得6<a<7,故a 的取值范围是(6,7).(2)若p 是真命题,则0<a-2m<1,解得2m<a<2m+1.关于x 的方程x 2-2ax+a 2-1=0的两根分别为a-1和a+1.若q 是真命题,则a-1>1,解得a>2.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件,所以2m≥2,所以m≥1.。
集合、常用逻辑用语 不等式
质量检测(一)测试内容：集合、常用逻辑用语不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|2<x<4}，那么集合A∩B等于( ) A．{x|x>3} B．{x|2<x<3}C．{x|3<x<4} D．{x|x<4}解析：A∩B＝{x|x>3}∩{x|2<x<4}＝{x|3<x<4}，故选C.答案：C2．(2012年合肥第一次质检)集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{4} B．{4，－1}C．{4,5} D．{－1,0}解析：本题主要考查集合的运算与韦恩图．由图可知阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为B＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因此(∁U B)∩A＝{4，－1}，选B.本题为容易题．答案：B3．(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A＝{0，m2}，B＝{1,2}，则“m ＝1”是“A∪B＝{0,1,2}”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当m＝1时，m2＝1，A＝{0,1}，A∪B＝{0,1,2}，若A∪B＝{0,1,2}，则m2＝1或m2＝2，m＝±1或m＝±2，故选B.答案：B4．若a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是( )>1b>1b>－b D．|a|>－b解析：∵1a－1b＝b－aab>0，∴A一定成立；∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴－a>－b，即C一定成立；|a|＝－a；∴|a|>－b⇔－a>－b，成立，∴D成立；当a＝－2，b＝－1时，1a－b＝1－2＋1＝－1＝1b，所以B不一定成立，故选B.答案：B5．设A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A ＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B等于( ) A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：∵A＝[0,2]，B＝(1，＋∞)，∴A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.答案：A6．(2012年厦门模拟)设命题p：若a>b，则1a<1b，q：若1ab<0，则ab<0.给出以下3个复合命题，①p∧q；②p∨q；③綈p∧綈q.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：p 为假命题，q 为真命题，所以只有②正确，故选B. 答案：B 7．在算式“4△＋1□＝30□×△”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小．则这两个正整数构成的数对(□，△)应为( )A ．(4,14)B ．(6,6)C ．(3,18)D ．(5,10)解析：题中的算式可以变形为“4×□＋1×△＝30”．设x ＝□，y ＝△，则4x ＋y ＝＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝5，y ＝10时取等号，所求的数对为(5,10)．故选D.答案：D8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( )>12 ＋1b≤1≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D9．(2012年广东番禺模拟)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]解析：若p 真，则a ≥e；若q 真，则16－4a ≥0⇒a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．故选A.答案：A10．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：可行域如图所示：由⎩⎨⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解，∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D11．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时， 由⎩⎨⎧a －2<0Δ＝4a －22＋4×4a －2<0，解得－2<a <2，∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C 12．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．－2≤b ≤2B ．－2≤b <2C ．－2<b <2D ．b ≤2解析：A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件， 则有－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1， 所以－2<b <2，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是______． 答案：∃x ∈R ，f (x )<m14．(2012年安徽)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：①作出可行域，如图中阴影部分；②作出零线x －y ＝0并平移，判断A ，B 点坐标； ③由⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3解得A (1,1)，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，x ＝0解得B (0,3)，∴(x －y )max ＝1－1＝0，(x －y )min ＝0－3＝－3，∴x －y ∈[－3,0]．答案：[－3,0]15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件．解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1. ∵q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q . 答案：充分不必要16．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是______________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2，∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．设全集U＝R，函数y＝log2(6－x－x2)的定义域为A，函数y＝1x2－x－12的定义域为B.(1)求集合A与B；(2)求A∩B，(∁U A)∪B.解：(1)函数y＝log2(6－x－x2)要有意义需满足6－x－x2>0，解得－3<x<2，∴A＝{x|－3<x<2}．函数y＝1x2－x－12要有意义需满足x2－x－12>0，解得x<－3或x>4，∴B＝{x|x<－3或x>4}．(2)A∩B＝Ø，∁U A＝{x|x≤－3或x≥2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤－3或x≥2}．18．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A 与B的差集，记作A－B.据此回答下列问题：(1)若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，求A－B；(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；(3)若集合A＝{x|0<ax－1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}，有A－B＝Ø，求实数a的取值范围．解：(1)根据题意知A－B＝{1,2}．(2)(3)A ＝{x |0＜ax －1≤5}，则1＜ax ≤6， 当a ＝0时，A ＝Ø，此时A －B ＝Ø，符合题意； 当a >0时，A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，6a ，若A －B ＝Ø，则6a ≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫6a ，1a ，若A －B ＝Ø，则6a >－12，即a <－12.综上所述：实数a 的取值范围是a <－12或a ≥3或a ＝0. 19．(1)求函数y ＝2xx 2＋1在x >0时的最大值；(2)已知x ＋y ＋xy ＝2，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 而x ＋1x ≥2，故0<1x ＋1x ≤12，则0<2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1x即x ＝1时，y 的最大值为1.(2)由xy ＝2－(x ＋y )及xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22得 2－(x ＋y )≤x ＋y 24，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0.解得x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥23－2， 当且仅当x ＝y 且x ＋y ＋xy ＝2，即x ＝y ＝3－1时，x ＋y 的最小值为23－2.20．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠Ø.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：若|f (a )|＝|1－a3|<2成立，则－6<1－a <6， 即当－5<a <7时p 是真命题；若A ≠Ø，则方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0有实数根， 由Δ＝(a ＋2)2－4≥0，解得a ≤－4，或a ≥0， 即当a ≤－4，若a ≥0时q 是真命题；由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假， p 真q 假时，⎩⎨⎧－5<a <7－4<a <0，∴－4<a <0.p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤－5或a ≥7a ≤－4或a ≥0，∴a ≤－5或a ≥7.故知所求a 的取值范围是(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)．21．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大解：设甲、乙两种产品每天分别生产x 吨和y 吨，则每天所得的产值为z ＝7x ＋10y 万元．依题意，得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.(※)由⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝160，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2007，y ＝907.由⎩⎨⎧5x ＋2y ＝200，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70019，y ＝15019.设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，907，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019，则不等式组(※)所表示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分)．令z ＝0，得7x ＋10y ＝0，即y ＝－710x .作直线l 0：y ＝－710x .由图可知把l 0平移至过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019时，即x ＝70019，y ＝15019时，z 取得最大值6 40019. 答：每天生产甲产品70019吨、乙产品15019吨时，能获得最大的产值6 40019万元． 22．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即x 10，0<x ≤10)，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z倍．(1)设y ＝ax ，其中a 是满足13≤a <1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y ＝23x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围． 解：(1)由题意知某商店定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10元，npz 元， 因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝⎛⎭⎪⎫1－y 10， ∴z ＝1100(10＋x )(10－y )，在y ＝ax 的条件下， z ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －51－a a 2＋100＋251－a 2a ， 由于13≤a <1，则0<51－a a ≤10，要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x ＝51－aa .(2)由z ＝1100(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x >1，解得0<x <5.。
2024版高考数学一轮复习专题基础练专题一集合常用逻辑用语与不等式专题综合训练作业课件
充分也不必要条件,故C错误.对于D,当α⊥β时,若m∥α,则m∥β或m⊂β或m,β相交,若m∥β,则m∥α或m⊂α或m,α相交,
故“m∥α”是“m∥β”的既不充分也不必要条件,故D错误.故选ACD.
专题综合训练
答案
1
15.CD 对于A,集合A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|mx-1=0},∵A∪(∁UB)=R,∴B⊆A,∴当B=∅时,m=0;当B≠∅时,m=-3
1
11
或m=2.故实数m的取值构成的集合为{0,-3,2},故A错误.
因为集合M={x∈Q|(x2-2)(x2-1)=0}={-1,1},N={x∈N*|-2<x<2}={1},所以M∩N={1},A错误;M∪N={-1,1},
B错误;N⫋M,C错误,D正确.故选D.
专题综合训练
4. [2020全国Ⅰ卷(理)]设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=
42 + 16 < 0,
专题综合训练
9. [2023广东惠州一调]在等比数列{an}中,已知a2 020>0,则“a2 021>a2 024”是“a2 022>a2 023”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
9.A
∵q≠0,a2 020>0,∴若a2 021>a2 024,则a2 020q>a2 020q4,∴q(1-q3)>0,∴q(1-q)(1+q+q2)>0,得q(1-q)>0,∴0<q<1;
专题1集合与常用逻辑用语(必刷1~60题)【一轮必刷600题】高三数学一轮复习专项训练(含答案)
专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【必刷24】若集合{}4A y y x ==-，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}xx <≤∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷55】设x ∈R ，则“|1|4x -<”是“502x x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷56】已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷57】已知命题2:log 1p x >，命题2:20q x x ->，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷58】设a 、b都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且a b∥B ．a b=-r r C ．a b∥D ．2a b= 【必刷59】已知向量a 和b ，则“||||a b a b ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷60】设实数0x >，则“2log 1x <”成立的一个必要不充分条件是（）A ．122x <<B ．12x <<C ．1x <D ．2x <专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【答案】A【解析】先写出集合M ，然后逐项验证即可；【详解】由题知{2,4,5}M =，对比选项知，A 正确，BCD 错误，故选：A【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ ，23,x ∴≤x Z ∈ ，1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知，集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】先求得A B ，然后求得A B 子集的个数.【详解】{}0,1A B = ，所以A B 子集的个数为224=个.故选：B【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解方程组可求得A B ，根据A B 元素个数可求得真子集个数.【详解】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}0,0,1,1A B ∴= ，即A B 有2个元素，A B ∴ 的真子集个数为2213-=个.故选：C.【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B = ，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【答案】A【解析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解.【详解】因为{}{}{}293310123B x |x x |x ,A ,,,,,=<=-<<=-所以{}1012M A B ,,,,==- 所以M 的子集共有42=16（个）.故选：A【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】联立=+12+2=1可得=0=1或=−1=0，故集合A ∩B 中元素的个数为2，故选：C ．【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=.故选：B.【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】解不等式求得A ，然后求得A ⋂Z ，进而求得正确答案.【详解】222x x ≤⇒≤，所以A ⎡=⎣，所以{}1,0,1A ⋂=-Z ，所以A ⋂Z 子集的个数是328=.故选：D【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】求出集合A 后可得其子集的个数.【详解】{}{}2224|log 2|2,1,1,20x x Z x x Z x ⎧⎫⎧≤⎪⎪∈≤=∈=--⎨⎨⎬≠⎪⎪⎩⎩⎭，故该集合的子集的个数为：4216=.故选：C.【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【答案】D【解析】先求得集合B ，然后求得A B ，从而求得A B 的真子集的个数.【详解】{0,1,2}B = ，{2,0,1,2}A B ∴⋃=-，A B 的真子集的个数为42115-=个.故选：D【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合T ，然后根据交集的定义求出S T ，最后根据真子集的定义求出真子集的个数.【详解】∵{}21,S s s n n Z ==+∈，{}33T x x =-<<，∴{}1,1S T =- ，∴S T 的真子集个数为2213-=，故选：C .【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合A B 的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合A B 有3个元素，所以集合A B 的真子集的个数为7，故选：C【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}13,5A =,，{}3,4,5B =，可得{}3,5A B = ，可得{}()1,2,4U A B = ð，即阴影部分表示的集合为{}1,2,4，所以阴影部分表示的集合的子集个数为328=.故选：D.考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R 2P x x =≤ð.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤ ð，故选：B.【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到R A ð，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R |2A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 4,5A B = ð，故选：B.【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】由题意{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1244216x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(]4,4A B =- .故选：C.【必刷24】若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【答案】A【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ==≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【答案】C【解析】解对数不等式确定集合A ，解二次不等式确定集合B ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<，{|22}B x x =-≤≤，所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=- ．故选：C ．【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【答案】B【解析】应用集合的交补运算求()U A B I ð.【详解】由题设{2,4,6,7}U A =ð，又{2,3,4,6}B =，所以()={2,4,6}U A B = ð，故选：B【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先化简集合N ，再去求M N ⋂即可解决【详解】{}{}ln 0N x y x x x ===>，则{}{}{}12002M N x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤，故选：C【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【答案】C【解析】求出函数2e x y =-的值域，再利用交集的定义求解作答.【详解】因e 0x >，则22e x -<，即(,2)B =-∞，而{}Z 33A x x =∈-<<，所以{2,1,0,1}A B =-- .故选：C【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【答案】D【解析】先求解集合B 的补集，再利用并集运算即可求解.【详解】由题得{}0,4,5U B =ð，又{}0,1,2A =，所以(){}0,1,2,4,5U B A ⋃=ð，故选：D.【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}x x <≤∣C ．{12}x x ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【答案】B【解析】解指数不等式得到{}02N x x =<<，进而求出交集.【详解】因为124x <<，所以02x <<，所以{}02N x x =<<，所以M N = {}01x x <≤，故选：B【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【答案】D【解析】求出,A B A B ，阴影表示集合为()A B A B ð，由此能求出结果.【详解】矩形表示全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，{}{}2,3,1,0,2,3,5,6,7A B A B ∴⋂=⋃=-，则阴影表示集合为(){}1,0,5,6,7A B A B ⋃⋂=-ð.故选：D.【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ，即可根据集合的补集以及并集运算求得答案.【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R ð，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ðU ，故选：C.【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，阴影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【答案】D【解析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，(){}{}{{}22ln 33003B x y x xx x xx x ==-=->=<<.所以，()2,3A B =- .故选：D.【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【答案】D【解析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =，所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=- ，故选：D ．【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D【解析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【答案】C【解析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a或211a +- 解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭， ，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a或211a +- ，即 2.a 综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞U .故选：C.【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B = ，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9【答案】A【解析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ，故选：A ．考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①由2320x x -+=解得1x =或2x =，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值2πϕ=-，代入判断．【详解】①2320x x -+=，则1x =或2x =“1x =”是“1x =或2x =”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg lg10x ≥=，命题p 为真命题，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题，③为假命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为“若2πϕ≠，则()sin 2y x ϕ=+不是偶函数”若2πϕ=-，则sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为偶函数，④为假命题故选：C ．【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D【解析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．【详解】命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错；命题:R p x ∃∈，210x x +-<的否定是R x ∀∈，210x x +-≥，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x +=++在定义域内是增函数，()11f -=，(2)10f =，所以12x -<<时，()1212log 210x x +<++<满足()122log 210x x +++<，但()122log 210x x +++<时，22x -<<不满足12x -<<，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q ∨为真命题，D 正确．故选：D ．【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】利用全称命题的否定可判断A ，由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ，通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”，正确；B.在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a bR R≥（R 为外接圆半径），a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；反之，A B ≥可得a b ≥，由正弦定理可得sin sin A B ≥，即为充要条件，故正确；C.当0,0a b c ==≥时满足20ax bx c ++≥，但是得不到“0a >，且240b ac -≤”，则不是充要条件，故错误；D.若1sin 2α≠，则6πα≠与6πα=则1sin 2α=的真假相同，故正确；故选：C【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】同时否定条件和结论即可，注意x =0且y =0，的否定为0x ≠或0y ≠.【详解】命题“若220x y +=，则0x y ==”即为“若220x y +=，则0x =且0y =”所以否命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠.故选：D【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A ，根据奇函数的定义判断B ，利用特殊值判断C ，根据三角形的性质及正弦定理判断D ；【详解】对于A ：2000:,2310p x R x x ∃∈++>则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++≤，故A 错误；对于B ：由(0)0f =，得不到函数()f x 是奇函数，如2()f x x =满足(0)0f =，但是2()f x x =为偶函数，由函数()f x 是奇函数也不一定得到(0)0f =，如()1f x x=为奇函数，当时函数在0处无意义，故B 错误；对于C ：当2x =时22x x =，故C 错误；对于D ：因为A B >根据三角形中大角对大边，可得a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故D 正确；故选：D【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，①对；对于②，因为{}2a a >（{}5a a >，故“2a >”是“5a >”的必要不充分条件，②错；对于③，“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题，所以，p q ⌝∧⌝为真命题，③对；对于④，假设1x ≤且1y ≤，则2x y +≤，与2x y +>矛盾，假设不成立，④对.故选：B.【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到答案.【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x ≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【答案】D【解析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sin x R x x ∃∈≤；故选：D.【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【答案】C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】由全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】D【解析】A 选项直接否定条件和结论即可；B 选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否定结论；C 选项“且”命题是一假必假；D 选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件作出判断.【详解】对于A ，命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错误；对于B ，命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-≥，B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 有一个假命题即可；C 错误；对于D ， 2320x x -+>1x ∴<或2x >11x x ∴<⇒<或2x >，即“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，D 正确.故选：D考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；【详解】由题意可知当2,1x y =-=时，满足11x y<，但不满足22log log x y >；由22log log x y >，得0x y >>，满足11x y <，所以“11x y<”是“22log log x y >”的必要不充分条件，故选：B ．【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在ABC 中，A B =，则22A B =，必有sin 2sin 2A B =，而,63A B ππ==，满足sin 2sin 2A B =，此时ABC 是直角三角形，不是等腰三角形，所以“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件.故选：B【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用抽象函数的定义域可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义可判断B 选项；利用函数零点的定义可判断C 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，对于函数()1y f x =+，则有111x -≤+≤，解得20x -≤≤，即函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-，A 错；对于B 选项，若正三角形ABC 的边长为2，则cos1202AB BC AB BC ⋅=⋅=-，B 错；对于C 选项，已知函数()()2log 11f x x =+-，令()0f x =，解得1x =，所以，函数()y f x =的零点为1，C 错；对于D 选项，若2παβ==，则tan α、tan β无意义，即“αβ=”⇒“tan tan αβ=”；若tan tan αβ=，可取4πα=，54πβ=，则αβ≠，即“αβ=”⇐/“tan tan αβ=”.因此，“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件，D 对.故选：D.【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭，得1x <，解不等式21x <，得11x -<<，。
集合与常用逻辑用语,不等式测试题
《集合、逻辑、不等式》测试(满分150分)姓名 得分一、选择题：每小题5分.1．已知全集U 和集合A ，B 如图所示，则(∁U A )∩B ( )A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{3}D ．{0,4,5,6,7,8}2．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．13．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－14.设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2，或a ≥4}C ．{a |a ≤0，或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}5．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．186．已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为( )A ．∃x 0∈R ，x 0<sin x 0B ．∀x ∈R ，x ≤sin xC ． ∃x 0∈R ，x 0≤sin x 0D ．∀x ∈R ，x <sin x 7.已知关于x 的不等式x 2−ax −b <0的解集是{x ∣2<x <3},则a +b 的值是( )A.−11B.11C.−1D.18.已知a,b ∈R ,则“a +b <0”是“a ∣a ∣+b ∣b ∣<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二．多选题(每题5分)9.下列关系中正确的为（） （1）{}；00∈（2）Ø⊆{0}；（3）{0,1}⊆{（0,1）}；（4）{（a,b ）}={(b,a)}；（5）{a,b}={b,a}.A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（5）10.下列命题中假命题是( )A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数三．填空题（每题5分）13.已知集合{0，-1，a2}={0,a,b}，则a2021+b2021的值为（）14.已知函数f(x)=x2−2x+3a,g(x)=2x−1,若对任意x1∈[0,3],总存在x2∈[2,3],使得∣f(x1)∣≤g(x2)成立,则实数a的值为__________.15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|mx=1},若B⊆A，则m的取值个数为（）16．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．四．解答题17．（10分）设全集U＝R，A＝{x|2512xx+<-}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．求(1)∁U(A∪B)；(2)(∁U A)∩(∁U B)．18．（12分）已知集合A={x|-2<x ≤5},(1)若B ⊆A,B={x|m+1≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B,B={x|m-6≤x ≤2m-1},求实数m 的取值范围.19．（12分）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．.（12分） 20.12 0,0, 24,..1x y x y x y >>+=++若求的最小值21.（12分）解不等式12x2－ax＞a2（a∈R）.。
2025年高考数学一轮复习-集合与常用逻辑用语、不等式-基础巩固测试卷【含答案】
集合与常用逻辑用语、不等式(基础巩固测试卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝()A.(1，3]B.[1，3]C.[－1，1)D.[－1，＋∞)2.命题“∀x≥0，sin x≤x”的否定为()A.∃x0＜0，sin x0＞x0B.∃x0≥0，sin x0＞x0C.∀x≥0，sin x＞xD.∀x＜0，sin x≤x3.下列命题为真命题的是()A.若a＜b＜0，则1a ＜1 bB.若a＞b＞0，则ac2＞bc2C.若c＞a＞b＞0，则ac－a＜bc－bD.若a＞b＞c＞0，则ab ＞a＋c b＋c4.设x∈R，则“x＞1”是“x2＋1≥2x”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁R M)∩N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)6.[2021·湖北模拟]已知正数a，b是关于x的方程x2－(m2＋4)x＋m＝0的两根，则1 a ＋1b的最小值为()A.2B.22C.4D.427.已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若(∁R N)⊆(∁R M)，则下列结论中正确的是()A.∀x∈N，x∈MB.∃x∈M，x∉NC.∃x∉N，x∈MD.∀x∈M，x∉∁R N8.用card(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝（A）－card（B），card（A）≥card（B），（B）－card（A），card（A）＜card（B），若A＝{x|2x－1＝0}，B＝{x||x2－2x|＝b，b∈R}，且A*B＝1，则b的取值范围是()A.0≤b≤1B.b≥1C.b≥1或b＝0D.b＞1或b＝0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A，B满足A∩B＝{0}，(∁U A)∩B＝{2，4}，(∁U B)∩A＝{1，3}，则下列判断正确的是()A.A＝{1，3}B.B＝{0，2，4}C.A∪B＝{0，1，2，3，4}D.∁U(A∪B)＝{5}10.已知1a ＜1b＜0，则下列结论一定正确的是()A.a2＜b2B.ba ＋ab2C.lg a2＞lg(ab)D.|a|a＜|a|b11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是()A.若ac2＞bc2，则a＞bB.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－cC.若a＞b，c＞d＞0，则ad ＞b cD.若ab＞0，bc－ad＞0，则ca －db＞012.下列说法中正确的是()A.∃x0∈R，x20－2x0＋2≥0B.若a＞1，则“b＜a”是“log a b＜1”的充要条件C.若a＜b＜0，则1a ＞1 bD.命题“∀x∈[1，3]，x2－4x＋3≤0”的否定为“∃x∈[1，3]，x2－4x＋3＞0”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合A＝{x|2≤x≤6－m}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∩B≠∅，则实数m 的取值范围为________.14.若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确结论的序号).①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.15.设函数f (x )＋1，x ≤0，x，x ＞0，设p ：{x |f (x )＞1}，q ：x ∈(m ，＋∞)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________.16.从集合U ＝{1，2，3，4，5}的子集中选出两个非空集合A ，B ，满足以下两个条件：①A ∪B ＝U ，A ∩B ＝∅；②若x ∈A ，则x ＋1∈B .共有________种不同的选择.四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.17.(10分)已知集合A ＝{x |x 2－(2a －2)x ＋a 2－2a ≤0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}.(1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18.(10分)已知函数f (x )＝|ax －3|，不等式f (x )≤2的解集为{x |1≤x ≤5}.(1)解不等式f (x )＜2f (x ＋1)－1；(2)若m ≥3，n ≥3，f (m )＋f (n )＝3，求证：1m ＋4n≥1.参考答案1.A[法一因为B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∩B＝{x|1＜x≤3}，故选A.法二因为1∈A且－1∈A，所以1∈(A∩B)且－1∈(A∩B)，故排除B，C，D，故选A.]2.B[原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因为否定的是结论而不是条件，所以A选项错误，B选项正确.故选B.]3.D[对于A，当a＝－2，b＝－1时，1a＞1b，故A是假命题；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B是假命题；对于C，当c＝3，a＝2，b＝1时，ac－a＝2，bc－b12，所以ac－a＞bc－b，故C是假命题；对于D，因为a＞b＞c＞0，则ab－a＋cb＋c＝a（b＋c）－b（a＋c）b（b＋c）＝（a－b）cb（b＋c）＞0，所以ab＞a＋cb＋c，故D是真命题.]4.B[由x2＋1≥2x得x∈R，所以x＞1是x2＋1≥2x的充分不必要条件，故选B.]5.C[由已知可得M＝{x|(x－2)2≤1}＝{x|－1≤x－2≤1}＝[1，3]，∴∁R M＝(－∞，1)∪(3，＋∞)，又N＝[－1，＋∞)，∴(∁R M)∩N＝[－1，1)∪(3，＋∞)，故选C.]6.C[由正数a，b是关于x的方程x2－(m2＋4)x＋m＝0的两根，可得a＋b＝m2＋4，ab＝m＞0，则1a＋1b＝a＋bab＝m2＋4m＝m＋4m≥2m×4m＝4，当且仅当m＝4m，即m＝2时等号成立.经检验，当m＝2时，方程x2－(m2＋4)x＋m＝0有两个正实1 a＋1b的最小值为4.故选C.]7.D[根据集合的运算，因为(∁R N)⊆(∁R M)，又M与N不相等，可得M N，所以∀x∈M，x∈N，所以∀x∈M，x∉∁R N.故选D.]8.D [集合A ＝{x |2x －1＝0}所以card(A )＝1，因为A *B ＝1，所以card(B )＝0或card(B )＝2，当card(B )＝0时，集合B 有0个元素，此时集合B 是空集，不符合题意；当card(B )＝2时，集合B 有2个元素，即|x 2－2x |＝b ，b ∈R 有两解，即函数y ＝|x 2－2x |与y ＝b 有两个交点，由图象可知，此时b ＝0或b ＞1，故b 的取值范围是b ＝0或b ＞1.故选D.]9.BCD [根据题意，可得到如图所示的Venn 图，则可得A ＝{0，1，3}，B ＝{0，2，4}，A ∪B ＝{0，1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{5}，故A 错误，BCD 正确.]10.AB[∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，则|a |＜|b |，∴a 2＜b 2，A 正确；∵b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b 2，当且仅当b a ＝a b 时取等号，又b a ≠a b ，∴b a ＋ab＞2，B 正确；∵b ＜a ＜0，∴0＜a 2＜ab ，∴lg a 2＜lg(ab )，C 错误；取a ＝－2，b ＝－3时，|a |a ＝14，|a |b ＝18，此时|a |a ＞|a |b ，D 错误.故选AB.]11.ABD [若ac 2＞bc 2，则c 2＞0，则a ＞b ，故A 正确；若a ＞b ，c ＞d ，则－d ＞－c ，则a －d ＞b －c ，故B 正确；当a ＝－1，b ＝－2，c ＝2，d ＝1时，满足a ＞b ，c ＞d ＞0，但a d ＝bc ＝－1，故C错误；若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＝bc －adab＞0，故D 正确.故选ABD.]12.ACD [由x 20－2x 0＋2＝(x 0－1)2＋1≥0，得A 正确；由b ＜a 不一定能推出log a b ＜1，所以充分性不一定成立，由log a b ＜1得b ＜a ，所以必要性成立，故B 错误；由a ＜b ＜0，得1a －1b ＝b －a ab ＞0，所以1a ＞1b ，故C 正确；根据全称量词命题的否定是存在量词命题知D 正确.故选ACD.]13.12，72[因为A ∩B ≠∅，所以A ，B ≤6－m ，－1≤2m ＋1，解得－2≤m ≤4.同时，要使A ∩B ≠∅，则需－1≤2，m ＋1≥2，或－1≤6－m ，－m ≤2m ＋1，解得12≤m ≤3或53≤m ≤72，即12≤m ≤72.综上，12≤m ≤72.]14.①③⑤[对于①，由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.①正确；对于②，令a ＝b ＝1时，不成立，所以②错误；对于③，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.③正确；对于④，令a ＝b ＝1时，不成立，所以④错误；对于⑤，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.⑤正确.所以正确的结论为①③⑤.]15.(－∞，0)[函数f (x )＋1，x ≤0，x，x ＞0的图象如下：由图象可知，当f (x )＞1时，x ＞0，所以p ：{x |x ＞0}，若p 是q 的充分不必要条件，则m ＜0即m ∈(－∞，0).]16.7[(1)A 中只有一个元素：A ＝{1}，B ＝{2，3，4，5}；A ＝{2}，B ＝{1，3，4，5}；A ＝{3}，B ＝{1，2，4，5}；A ＝{4}，B ＝{1，2，3，5}.(2)A 中有两个元素：A ＝{1，3}，B ＝{2，4，5}；A ＝{1，4}，B ＝{2，3，5}；A＝{2，4}，B＝{1，3，5}.综上，共7种不同的选择.故答案为7.] 17.解A＝{x|x2－(2a－2)x＋a2－2a≤0}＝{x|a－2≤x≤a}，B＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}.(1)因为A∩B＝∅，所以a－2＞4或a＜1，即a＞6或a＜1.所以实数a的取值范围是(－∞，1)∪(6，＋∞).(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B－2≥1，≤4，解得3≤a≤4，经检验，等号可取到，所以实数a的取值范围是[3，4].18.(1)解由f(x)≤2，得－2≤ax－3≤2，1≤ax≤5，f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，则a＞01，5，得a＝1.不等式f(x)＜2f(x＋1)－1可化为|x－3|＜2|x－2|－1，≥3，－3＜2（x－2）－1，≤x＜3，x－3）＜2（x－2）－1，＜2，x－3）＜－2（x－2）－1，解得x≥3或83＜x＜3或x＜0，|x＜0，或x(2)证明因为m≥3，n≥3，所以f(m)＋f(n)＝|m－3|＋|n－3|＝m－3＋n－3＝3，即m＋n＝9.所以1m＋4n＝19(m＋n＋4＋n m ＋＋1，当且仅当n m ＝4mn ，即m ＝3，n ＝6时取等号.所以不等式得证.。
2021届高三数学一轮复习——集合与常用逻辑用语、不等式
2021届高三数学一轮复习——集合与常用逻辑用语、不等式(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B等于()A．{3} B．{0,1,2}C．{1,2} D．{0,1,2,3}答案B解析∵A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{0,1,2}．2．(2020·邢台模拟)若集合A＝{x|0<x<6}，B＝{x|x2＋x－2>0}，则A∪B等于()A．{x|1<x<6} B．{x|x<－2或x>0}C．{x|2<x<6} D．{x|x<－2或x>1}答案B解析∵B＝{x|x<－2或x>1}，A＝{x|0<x<6}，∴A∪B＝{x|x<－2或x>0}．3．(2020·郑州模拟)设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝1－x2}，则A∩B的子集个数为() A．4 B．8 C．16 D．32答案C解析∵A＝{x∈Z||x|≤2}＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{y|y＝1－x2}＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{－2，－1,0,1}, A∩B的子集个数为24＝16.4．已知命题p：“∀x∈R，x2－2mx＋m2－4＝0”，则綈p为()A．∃x0∈R，x20－2mx0＋m2－4≠0B．∃x0∈R，x20－2mx0＋m2－4＝0，C．不存在x∈R，x2－2mx＋m2－4＝0D．∀x∈R，x2－2mx＋m2－4≠0答案A解析因为p：“∀x∈R，x2－2mx＋m2－4＝0”，所以綈p：“∃x0∈R，x20－2mx0＋m2－4≠0”．5．“－2≤a ≤2”是“关于x 的不等式ax 2－ax ＋1a ≥0的解集为R ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为关于x 的不等式ax 2－ax ＋1a ≥0的解集为R ，所以有a >0且(－a )2－4a ·1a≤0，所以有0<a ≤2，显然由－2≤a ≤2不一定能推出0<a ≤2，但由0<a ≤2一定能推出－2≤a ≤2， 故“－2≤a ≤2”是“关于x 的不等式ax 2－ax ＋1a ≥0的解集为R ”的必要不充分条件．6．若a ，b ∈R ＋，则下列结论：①2ab a ＋b ≤a ＋b2，②ab ≤a ＋b 2，③a 2＋b 22≤a ＋b 2，④ba＋ab≥a ＋b ，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 ①a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ， ∴(a ＋b )2≥4ab ，∴2ab a ＋b ≤a ＋b 2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，∴①正确．②a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，∴②正确．③∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， ∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴③正确．④b a ＋ab －a －b ＝(a －b )(a －b )ab ≥0，故b a ＋ab≥a ＋b ，∴④正确．7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且1＋2ab ＝9a ＋b ，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[1,9]B ．[1,8]C ．[8，＋∞)D ．[9，＋∞)答案 B解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，可得1ab ≥4(a ＋b )2，当且仅当a ＝b ＝12或a ＝b ＝4时等号成立． ∵1＋2ab ＝9a ＋b ，∴2ab ＝9a ＋b －1≥8(a ＋b )2， 化为(a ＋b )2－9(a ＋b )＋8≤0，解得1≤a ＋b ≤8， 则a ＋b 的取值范围是[1,8]．8．已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎫－∞，47 C.⎝⎛⎭⎫33，＋∞D.⎝⎛⎭⎫47，＋∞ 答案 A解析 x ∈(0,2]时，不等式可化为ax ＋3ax <2，当a ＝0时，不等式为0<2，满足题意； 当a >0时，不等式化为x ＋3x <2a ，则2a >x ＋3x ≥2x ·3x＝23，当且仅当x ＝3时等号成立， 所以a <33，即0<a <33； 当a <0时，x ＋3x >2a恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，33. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题正确的有( ) A ．A ∪∅＝∅B ．∁U (A ∪B )＝(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩B ＝B ∩AD ．∁U (∁U A )＝A 答案 CD解析 在A 中，A ∪∅＝A ，故A 错误；在B 中，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，故B 错误；在C 中，A ∩B ＝B ∩A ，故C 正确；在D 中，∁U (∁U A )＝A ，故D 正确．故选CD. 10．下列命题中，是真命题的是( )A ．已知非零向量a ，b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则a ⊥bB ．若p ：∀x ∈(0，＋∞)，x －1>ln x ，则綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0－1≤ln x 0C ．在△ABC 中“sin A ＋cos A ＝sin B ＋cos B ”是“A ＝B ”的充要条件D ．若定义在R 上的函数y ＝f (x )是奇函数，则y ＝f (f (x ))也是奇函数 答案 ABD解析 A 中，|a ＋b |＝|a －b |，两边平方得，a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0，即a ⊥b ，A 正确；B 中，是全称命题的否定，条件中将∀改成∃，结论否定即可，B 正确；C 中，在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝sin B ＋cos B ， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4， 所以A ＋π4＝B ＋π4或A ＋π4＝π－⎝⎛⎭⎫B ＋π4， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，C 不正确；D 中，因为y ＝f (x )在R 上是奇函数，即f (－x )＝－f (x )，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，所以y ＝f (f (x ))也是奇函数，D 正确． 故选ABD.11．若1a <1b <0，则下列不等式中，正确的不等式有( )A ．a ＋b <abB ．|a |>|b |C ．a <b D.b a ＋a b>2 答案 AD解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a ＋b <0<ab ，故A 正确，C 错误． ∴－b >－a >0，则|b |>|a |，故B 错误． 由于b a >0，ab >0，∴b a ＋a b >2b a ·ab＝2，故D 正确． 故选AD.12．下列结论中，所有正确的结论有( ) A ．若a c 2>bc 2，则a －c 2>b －c 2B ．若a ，b ，m ∈R ＋，则a ＋m b ＋m >abC ．当x ∈(0，π)时，sin x ＋1sin x≥2 D ．若a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，则1a ＋1b ≥4.答案 ACD解析 对于A ，由于a c 2>bc2，所以a >b ，故a －c 2>b －c 2，故正确；对于B ，a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，又a ，b ，m ∈R ＋，当b >a 时，不等式成立，当b <a 时，不等式不成立，故错误． 对于C ，x ∈(0，π)时，sin x ＋1sin x≥2sin x ·1sin x ＝2，当且仅当x ＝π2时，等号成立，故正确．对于D ，若a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故正确．故选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞)解析 因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件， 所以(m ，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，所以m >3.14．(2020·惠州调研)设x ，y 为正数，若x ＋y 2＝1，则1x ＋2y 的最小值是________，此时x ＝________.(本题第一空3分，第二空2分) 答案 4 12解析 1x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝2＋y 2x ＋2xy ≥2＋2y 2x ·2x y ＝4，当且仅当y 2x ＝2x y ，即y ＝1，x ＝12时等号成立．15．(2019·山东实验中学月考)已知命题p ：“∃x 0∈R,4x 0－2x 0＋1＋m ＝0”．若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 因为命题綈p 是假命题，所以p 是真命题， 即∃x 0∈R,001420xx m ＋－＋＝，所以m ＝－4x ＋2x ＋1，x ∈R 有解即可，令y ＝－4x ＋2x ＋1＝－(2x )2＋2×2x ,2x >0，利用二次函数可知y ≤1，故m ≤1.16．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________． 答案 [25，＋∞)解析 令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎨⎧Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，m －116＞1，f (1)＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ＞17，m ∈R ，∴m 的取值范围是[25，＋∞)． 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解 (1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根分别为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <12. 18．(12分)(2020·大同联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1，所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 所以m >5或m <－3.所以m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．19．(12分)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －1x ＋1≤1，x ∈R ，集合B ＝{x |－1≤x －a ≤1，x ∈R }． (1)求集合A ；(2)若B ∩∁R A ＝B ，求实数a 的取值范围．解 (1)由2x －1x ＋1≤1，得x －2x ＋1≤0，即－1<x ≤2，所以A ＝{x |－1<x ≤2}．(2)∁R A ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)， 因为－1≤x －a ≤1，所以a －1≤x ≤a ＋1， 即B ＝[a －1，a ＋1]， 由B ∩∁R A ＝B ，得B ⊆∁R A ，所以a ＋1≤－1或a －1>2，即a ≤－2或a >3， 所以a 的取值范围为(－∞，－2]∪(3，＋∞)．20．(12分)(2020·山东实验中学月考)已知命题p ：“对任意的－1≤x ≤1，不等式x 2－x －m <0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值范围；(2)若q ：－4<m －a <4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知m >x 2－x 在－1≤x ≤1恒成立， 所以m >(x 2－x )max (－1≤x ≤1)， 因为x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， 所以－14≤x 2－x ≤2，即(x 2－x )max ＝2，则m >2，所以实数m 的取值范围是(2，＋∞)． (2)由q 得a －4<m <a ＋4，因为q ⇒p ，所以a －4≥2，即a ≥6， 所以实数a 的取值范围是[6，＋∞)．21．(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}． (1)求不等式cx 2＋bx －1>0的解集；(2)当g (x )＝f (x )－mx 在x ∈[1,2]上具有单调性，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f (x )>0的解集为{x |1<x <2}， 则－x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |1<x <2}，即x 2－bx －c <0的解集为{x |1<x <2}， 则1,2是方程x 2－bx －c ＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝b ，1×2＝－c ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝－2，由cx 2＋bx －1>0，得－2x 2＋3x －1>0， 即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1，所以不等式cx 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. (2)由g (x )＝f (x )－mx ＝－x 2＋(3－m )x －2在x ∈[1,2]上具有单调性， 则3－m 2≤1或3－m2≥2， 解得m ≥1或m ≤－1.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．22．(12分)随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t (单位：分钟)满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p (t )(单位：人)与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：p (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 800－15(9－t )2，4≤t <9，1 800，9≤t ≤15，其中t ∈N . (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500，试求发车时间间隔t 的值；(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q ＝6p (t )－7 920t －100(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． 解 (1)当9≤t ≤15时，1 800≥1 500，不满足题意，舍去． 当4≤t <9时，1 800－15(9－t )2≤1 500， 即t 2－18t ＋61≥0，解得t ≥9＋25(舍)或t ≤9－25， ∵4≤t <9，t ∈N . ∴t ＝4.(2)由题意可得Q ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫90t ＋4 410t ＋1 520，4≤t <9，t ∈N ，2 880t －100，9≤t ≤15，t ∈N ，当4≤t <9时，Q ≤－290×4 410＋1 520＝260(元)(当且仅当90t ＝4 410t，即t ＝7时等号成立)，当9≤t ≤15时，Q ≤2 8809－100＝220(元)(当t ＝9时取得最大值)．答 (1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500，发车时间间隔为4 min.(2)当发车时间间隔为7 min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
2023版高考数学一轮复习新题精练第一章集合常用逻辑用语与不等式课件
集合、常用逻辑用语与不等式
考点1 集合的概念与运算
题组1 集合的含义与表示
16
1. [2022江西南昌摸底]集合A={n∈N|x= ,x∈N}的元素个数为
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
16
1.C 因为x∈N,n∈N,且x= ,所以n是16的正因数,即n的值可以是1,2,4,8,16,则A={1,2,4,8,16},集合A中有5个元素,
因为M={4,6,8},N={8,10},所以M∪N={4,6,8,10},又全集U={2,4,6,8,10,12},所以{2,12}=∁U(M∪N),故选C.
题组3 集合的基本运算
19.[2022名师原创]已知全集U=R,集合A={y|y=2x,x≥1},B={x|y=lg(9-x2)},则图中阴影部分表示的集合为
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.D 因为A={x∈N*|x<3}={1,2},A∪B={1,2,3},所以集合B中必含有元素3,(题眼)
所以满足条件的集合B有{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4个,故选D.
题组2 集合间的基本关系
6.[2022名师原创]已知集合A={x|x=2n,n∈Z},若A∪B=A,则集合B可以是
A.{4}
B.{3,4}
C.{4,5}
D.{3,5}
答案
20.C
由题意得A∪B={-1,0,1,2,3},则题图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)={4,5},故选C.
题组3 集合的基本运算
21.[2022高三名校联考]已知集合A={x|x2-4x+3<0},集合B={x|x2-x-a>0},若A∩B={x|2<x<3},则a=
2025年高考数学一轮复习-集合与常用逻辑用语、不等式(能力提升卷)【含答案】
集合与常用逻辑用语、不等式(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{3，4，5}，B ＝{1，2，5}，则{1，2}＝()A.A ∩BB.(∁U A )∩BC.A ∩(∁U B )D.(∁U A )∩(∁U B )2.已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≥0，则下列说法正确的是（）A.p 的否定是存在量词命题，且是真命题B.p 的否定是全称量词命题，且是假命题C.p 的否定是全称量词命题，且是真命题D.p 的否定是存在量词命题，且是假命题3.使得“x ＞1”成立的一个必要不充分条件是()A.x 2＞1B.x 3＞1C.1x＞1 D.x ＞24.已知U 为全集，非空集合A ，B 满足A ∩(∁U B )＝∅，则()A.A ⊆BB.B ⊆AC.(∁U A )∩(∁U B )＝∅D.(∁U A )∪(∁U B )＝U5.在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A.y ＝x ＋1xB.y ＝sin x xC.y ＝x 2＋5x 2＋4D.y ＝e x ＋4ex －26.已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3).若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－∞，4]C.[2，＋∞)D.[4，＋∞)7.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝5n ＋3，n ∈N *}，C ＝{x |x ＝7n ＋2，n ∈N *}，若x ∈(A ∩B ∩C )，则下列选项中符合题意的整数x 为()A.8B.127C.37D.238.数学里有一种证明方法叫做proofs w ithout w ords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示的图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD ＝a ，BD ＝b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a ＞0，b ＞0)B.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)C.2ab a ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0)D.a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若不等式x2－2x－3≤0对任意x∈[a，a＋2]恒成立，则实数a的值可能为()D.2A.－2B.－1C.1210.已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18＜0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27＜0}，则下列命题中正确的是()A.若A＝B，则a＝－3B.若A⊆B，则a＝－3C.若B＝∅，则a≤－6或a≥6D.若B A，则－6＜a≤－3或a≥611.已知a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，则()A.3a－4b＞3B.a＋2b≤13C.log2a＋log2b≤－6D.a2＋16b2＜1812.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁U B)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.下列说法正确的是()A.若U＝{1，2，3，4，5，6}，则F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一个环B.若U＝{a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C.若U＝Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈FD.若U＝R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[0，2]∈F三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.伟人毛泽东的《清平乐·六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的________条件(用“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”填空).14.能够说明“若a ＞b ，则1a ＋3a＜1b ＋3b”是假命题的一组非零实数a ，b 的值依次为________.15.已知正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c abc ＝1，则a ＋2b 的最小值为________，c 的取值范围是________.16.设m ，a ∈R ，f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1，g (x )＝mx 2＋2ax ＋m4.若“对于一切实数x ，f (x )＞0”是“对于一切实数x ，g (x )＞0”的充分条件，则实数m 的取值范围是________.四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.17.(10分)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋2－4a (a ≠0)，且对任意的x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立.(1)若g (x )＝f （x ）x，x ＞0，求函数g (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[－1，1]，不等式f (x ＋t )＜f t 的取值范围.18.(10分)设集合S＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数不大于集合B中的最小数，记满足条件的集合对(A，B)的个数为P n.(1)求P2的值；(2)求P n的表达式.参考答案1.B[法一由全集和补集的概念，得∁U A＝{1，2}，∁U B＝{3，4}，又由交集的定义知A∩B＝{5}，(∁U A)∩B＝{1，2}，A∩(∁U B)＝{3，4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选B.法二由全集和补集的概念，得∁U B＝{3，4}，易知1∉A，排除A，C，1∉(∁U B)，排除D，故选B.]2.A解析：命题p：∀x∈R，sin x≥0，该命题为假命题.p的否定是存在量词命题，且是真命题.故选A.3.A[对于A选项，由x2＞1得x＞1或x＜－1，因为{x|x＞1}是{x|x＞1或x＜－1}的真子集，所以x2＞1是x＞1的必要不充分条件，A正确；对于B选项，由x3＞1得x＞1，所以x3＞1是x＞1的充要条件，B错误；对于C选项，由1x＞1得0＜x＜1，所以1x＞1是x＞1的既不充分也不必要条件，C错误；对于D选项，x＞2是x＞1的充分不必要条件，D错误，故选A.]4.A[如下图所示：∵A∩(∁U B)＝∅，由图可知，A⊆B，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U A，故选A.]5.D [对于选项A ，①当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，②当x <0时，y ＝x ＋1x≤－2，故A 不合题意.对于选项B ，由于0<x <π2，因此0<sin x <1，函数的最小值取不到2，故B 不合题意.对于选项C ，函数的关系式转换为y ＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥52，故C不合题意.故选D.]6.D [1＋3＝－b －2＝b 2，1）×3＝－c 2，＝4，＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.因为对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，所以对任意的x ∈[－1，0]，m ≥2x 2－4x －2恒成立.因为y ＝2x 2－4x －2在[－1，0]上的最大值为4，所以m ≥4.故选D.]7.D [因为8＝7×1＋1，则8∉C ，选项A 错误；127＝3×42＋1，则127∉A ，选项B 错误；37＝3×12＋1，则37∉A ，选项C 错误；23＝3×7＋2，故23∈A ，23＝5×4＋3，故23∈B ，23＝7×3＋2，故23∈C ，则23∈(A ∩B ∩C )，选项D 正确；故选D.]8.B[由图可知，OC ＝12＝a ＋b 2，OD ＝|OB －BD |＝|a ＋b 2－b|＝|a －b2|，在Rt △OCD 中，CD ＝OC 2＋OD 2＝a 2＋b 22，显然OC ≤CD ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22.故选B.]9.BC[不等式x 2－2x －3≤0的解集是[－1，3]，因为不等式x 2－2x －3≤0对任意x ∈[a ，a ＋2]恒成立，所以[a ，a ＋2]⊆[－1，3]≥－1，＋2≤3，解得－1≤a ≤1，结合选项，所以a的值可能是－1，12.故选BC.]10.ABC[A＝{x∈R|－3＜x＜6}，若A＝B，则a＝－3，且a2－27＝－18，故A正确；当a＝－3时，A＝B，故D不正确；若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；当B＝∅时，a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确.]11.ABC[对于A，因为a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，所以8b＝1－2a，则2a－8b＝2a－(1－2a)＝4a－1＞－1，所以32a－8b＞3－1＝13，所以3a－4b＝32a－8b＞33，故A中式子正确；对于B，(2a＋8b)2＝2a＋8b＋22a·8b＝1＋2·2a·8b≤1＋(2a＋8b)＝2，所以2a＋8b≤2，当且仅当2a＝8b，即a＝14，b＝116时取等号，故a＋2b≤1，故B中式子正确；对于C，log2(2a)＋log2(8b)＝log2(16ab)≤log＝－2，当且仅当2a＝8b，即a＝14，b＝116时取等号，故log2(2a)＋log2(8b)＝1＋log2a＋3＋log2b≤－2，则log2a＋log2b≤－6，故C中式子正确；对于D，已知a＞0，b＞0，且2a＋8b＝1，所以(2a＋8b)2≤2(2a)2＋2(8b)2，即1≤8a2＋128b2，即a2＋16b2≥18，当且仅当2a＝8b，即a＝14，b＝116时取等号，故D中式子错误.]12.ABC[对于A，由题意得F＝{∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确；对于B，若U＝{a，b，c}，则U的子集有8个，其所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确；对于C，如F＝{∅，{2}，{3，5}，{2，3，5}}满足环的要求，且含有4个元素，{2}，{3，5}∈F，故C正确；对于D ，令A ＝[0，3]，B ＝[2，4]，∵A ，B ∈F ，∴A ∩(∁U B )＝[0，2)∈F ，B ∩(∁U A )＝(3，4]∈F ，A ∪B ＝[0，4]∈F ，设C ＝[0，2)，则A ∩(∁U C )＝[2，3]∈F ，设D ＝[0，4]，E ＝[2，3]，则D ∩(∁U E )＝[0，2)∪(3，4]∈F ，再加上∅，F 中至少有8个元素，故D 错误.故选ABC.]13.必要不充分[设綈p 为不到长城，推出綈q 非好汉，即綈p ⇒綈q ，则q ⇒p ，即为好汉⇒到长城，故“到长城”是“为好汉”的必要不充分条件.]14.1，－1(答案不唯一)[只要第1个数大于0，第2个数小于0即可，即a ＞0＞b ，故答案可取a ＝1，b ＝－1.]15.3＋22，43[由a ＋b ＝ab ，得(a －1)(b －1)＝1.又a ＞0，b ＞0，所以a ＞1，b ＞1，且a ＝1b －1＋1，则a ＋2b ＝1b －1＋1＋2b ＝1b －1＋2(b －1)＋3≥2·1b －1×2（b －1）＋3＝22＋3，当且仅当1b －1＝2(b －1)，即b ＝1＋22时等号成立，所以a ＋2b 的最小值为3＋22.因为a ＋b ＝ab ≥2ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以ab 的取值范围是[4，＋∞).由a ＋b ＋c abc ＝1，得c ＝a ＋b ab －1＝ab ab －1＝1＋1ab －1.因为ab ≥4，所以0＜1ab －1≤13，所以1＜1＋1ab －1≤43，即c ，43.]16.[6，＋∞)[∵f (x )＞0在R 上恒成立，∴Δ1＝(a －1)2－4＜0，解得－1＜a ＜3.若g (x )＞0在R 上恒成立，首先m ≤0＞0，2＝4a 2－m 2＜0，解得－m 2＜a ＜m2.∵“对于一切实数x，f(x)＞0”是“对于一切实数x，g(x)＞0”的充分条件，－m2≤－1，3，0，解得m≥6.]17.解(1)∵对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立，∴ax2－x＋2－4a≥0对x∈R恒成立，＞0，＝1－4a（2－4a）≤0，＞0，4a－1）2≤0，解得a＝1 4，∴f(x)＝14x2＋x＋1.∵g(x)＝f（x）x＝14x＋1x＋1，x＞0，又14x＋1x≥2x4·1x＝1(当且仅当x4＝1x，即x＝2时取等号)，∴g(x)min＝1＋1＝2.(2)由f(x＋t)＜f1 4(x＋t)2＋(x＋t)＋1＜14·＋x2＋1，即3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t＜0，∴对任意的x∈[－1，1]，不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t＜0恒成立.令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，（－1）＝4t2＋8t－5＜0，（1）＝4t2＋24t＋11＜0，解得：－52＜t＜－12，∴实数t －5 2，－18.解(1)当n＝2时，S＝{1，2}.若A＝{1}，则B的可能情况为：{1}，{2}，{1，2}；若A＝{2}或{1，2}，则B＝{2}.综上所述，P2＝5.(2)若集合A中的最大元素为k(k∈N*)，则集合A的其余元素可在1，2，…，k －1中任取若干个(包含不取)，此时，集合A的个数为集合{1，2，…，k－1}的子集个数2k－1，集合B中的元素只能在k，k＋1，k＋2，…，n中任取若干个(至少取一个)，此时，集合B的个数为集合{k，k＋1，k＋2，…，n}的真子集个数2n－k＋1－1，所以，(A，B)的个数为2k－1(2n－k＋1－1)＝2n－2k－1，当k依次取1，2，3，…，n 时，可分别得到集合对(A，B)的个数，因此，P n＝(2n－20)＋(2n－21)＋(2n－22)＋…＋(2n－2n－1)＝n·2n－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝n·2n－1×（1－2n）1－2＝(n－1)2n＋1(n∈N*，n≥2).。
集合、逻辑用语、不等式小题强化训练(43题)(解析版)—2025年新高考数学一轮复习
集合、逻辑用语、不等式小题强化训练一、单选题1．已知集合,M N ，则“M N M ⋂=”是“M N N ⋃=”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】C【详解】因为M N M ⋂=，所以M N ⊆， 因为M N N ⋃=，所以M N ⊆，所以“”M N M ⋂=是“”M N N ⋃=的充要条件, 故选：C.2．已知a b c >>，若11ma b b c a c+=−−−成立，则实数m 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【详解】令x a b =−，y b c =−，则x y a c +=−， 因为a b c >>，所以0,0x y >>， 因为11m a b b c a c +=−−−，所以()11a c m a b b c ⎛⎫+−= ⎪−−⎝⎭，则()11224y x m x y x y x y ⎛⎫=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当x y =时取等号，所以m 的最小值为4. 故选：C.3．设全集U =R ，集合{}2M x x =<，{}23N x x =−<<，则{}3x x ≥=（ ） A ．()U MN ðB ．()U N M ðC ．()U M N ⋂ðD ．()U M N ⋃ð【答案】A【详解】对于A ，由题意得{}3M N x x ⋃=<，所以(){}3U M N x x ⋃=≥ð．故A 正确； 对于B ，U M ð{}2x x =≥，{}23N x x =−<<，所以N ⋃()U M ð{}2x x =>−，故B 错误； 对于C ，}{22M N x x ⋂=−<<，U ð(){2M N x x ⋂=≤−或}2x ≥，故C 错误； 对于D ，U N ð{2x x =≤−或}3x ≥，M ()U N ð{2x x =<或}3x ≥，故D 错误.故选：A.4．已知2:230p x x +−<，2:20q x x +−<，则p 是q 的（ ）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】由2:230p x x +−<得31x −<<， 由2:20q x x +−<得21x −<<， 则p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.5．已知集合{}0A x x a =−<，{}B x x b x b =−=−，若[)1,2A B =，则a b −=（ ） A ．-3 B ．-1C ．1D ．3【答案】C【详解】{}{}0A x x a x x a =−<=<，{}{}B x x b x b x x b =−=−=≥， 若[)1,2A B =， 则1b =，2a =， 故1a b −=． 故选：C.6．已知0,0a b >>，则下列选项中，能使4a b +取得最小值25的为（ ） A ．36ab = B ．9ab a b =+C ．221a b +=D ．2216625a b +=【答案】B【详解】A 选项，424a b +≥=， 当且仅当4a b =，即3,12a b ==时，等号成立，A 错误；B 选项，因为9ab a b =+，所以911b a+=，故()913644491325a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当36a b b a =，即515,2b a ==时，等号成立，B 正确； C 选项，当4,5a b ==时，满足221a b +=，此时41652125a b +=+=<，C 错误；D 选项，0,0a b >>，设25cos ,25sin 4a b θθ==，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π425cos 25sin 4a b θθθ⎛⎫+=+=− ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,444θ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，故(π425,4a b θ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭， 显然4a b +取不到最小值25，D 错误. 故选：B7．已知集合{}{}20,,1,1,1A a B a a ==+−，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当1a =时，{0,1},{0,1,2}==A B ，则A B ⊆； 反之，当A B ⊆时，10a +=或10a −=，解得1a =−或1a =，若1a =−，{0,1},{0,1,2}A B ==−，满足A B ⊆，若1a =，显然满足A B ⊆， 因此1a =−或1a =，所以“1a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件. 故选：B8．已知集合{}N 5A x x =∈≤，集合{}2430B x x x =−+>，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}0,1,3,4,5C ．{}0,4,5D ．{}4,5【答案】C【详解】由题意可得{}{}N 50,1,2,3,4,5A x x =∈≤=，由()()243310x x x x −+=−−>，解得3x >或1x <，所以{1B x x =<或}3x >，所以{}0,4,5A B ⋂=， 故选：C9．已知a ，b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】a ，b 均为正实数，11a b>，故b a >， ()()22222332020a b ab a ab b a b a b +>⇒−+>⇒−−>，充分性，b a >，2b a >，故()()20a b a b −−>，充分性成立，必要性，()()20a b a b −−>，不妨设1,2a b ==，满足()()20a b a b −−>， 但不满足b a >，必要性不成立， 则“11a b>”是“2223a b ab +>”的充分不必要条件. 故选：A10．下列命题中假命题的是（ ） A ．0x ∃∈R ，0ln 0x < B ．(),0x ∀∈−∞，e 0x > C ．0x ∃∈R ，00sin x x > D ．()0,x ∀∈+∞，22x x >【答案】D【详解】由题意，对于A 中，例如：当01x e=时，此时01ln ln 10x e ==−<，所以A 为真命题；对于B 中，对任意(),0x ∈−∞，根据指数函数的性质，可得e 0x >成立，所以B 为真命题； 对于C 中，例如：当02x π=−时，此时0sin 1x =−，满足12π−>−，所以C 为真命题；对于D 中，例如：当2x =时，此时22x x =，所以D 为假命题. 故选：D .【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的真假判定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的真假判定方法，以及合理利用反例进行判定是解答的关键.11．已知集合{}{}20,320A x x m B x x x =<<=−+>，若R B A ⊆ð，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(,2]−∞B ．(1,2]C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【详解】因为23202x x x −+>⇒>或1x <， 所以{2,B x x =>或}1x <， 所以{}R |12B x x =££ð，又R B A ⊆ð，且{}0A x x m =<<， 所以m>2，所以实数m 的取值范围为(2,)+∞， 故选：D.12．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，则b c ba c a+>+ B ．若a b >，c d >，则a d b c −>− C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若a b >，则11a b a>− 【答案】B【详解】对于A ，可以取2a =，1b =，1c =−，此时b c ba c a+<+，所以A 错误. 对于B ：∵c d >，∴d c −>−，因为a b >，所以a d b c −>−，故B 正确；对于C ：取2a =−，1b =-时，则24a =，2ab =，21b =，则22a ab b >>，故C 错误； 对于D ：当1a =，1b =-时，112a b =−，11a=，则11a b a <−，故D 错误；故选：B.13．若命题“[]1,3a ∃∈,()2220ax a x +−−>”是假命题，则x 不能等于（ ）A ．1−B ．0C ．1D ．23【答案】C【详解】根据题意，知原命题的否定“[]1,3a ∀∈,()2220ax a x +−−≤”为真命题.令2()()22f a x x a x =+−−,{22(1)20(3)320f x x f x x =−−≤=+−≤,解得213x −≤≤. 故选:C.14．下列四个命题中，是假命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，且10,2x x x≠+≥ B ．x ∃∈R ，使得212x x +≤C ．若x ＞0，y ＞02xyx y≥+ D ．若52x ≥，则24524x x x −+−的最小值为1【答案】A【详解】解析：选A.对于A ，x ∀∈R ，且10,2x x x≠+≥对x ＜0时不成立； 对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2，2x ＝2，212x x +≤成立，正确；对于C ，若x ＞0，y ＞0，则()22222()248x y x y xy xy x y ++≥⋅=，2xyx y+，当且仅当0x y =>时取等号，C 正确；对于D ，2245(2)111(2)242(2)22x x x y x x x x −+−+⎡⎤===−+⎢⎥−−−⎣⎦，因为52x ≥，所以-20x >，所以111(2)1222x x ⎡⎤−+≥⨯=⎢⎥−⎣⎦，当且仅当122x x −=−，即3x =时取等号.故y 的最小值为1，D 正确. 故选：A15．已知全集U =R ，集合(){}223|log 11|14x A x x B x y ⎧⎫=−<=+=⎨⎬⎩⎭，，则能表示A B U ，，关系的图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】因为(){}{}3|log 11|14A x x x x =−<=<<，{}22|1|224x B x y x x ⎧⎫=+==−≤≤⎨⎬⎩⎭，所以{}|12A B x x ⋂=<≤， 对于A ，A B B =，错误； 对于C ，A B ⋂=∅，错误；对于D ，A B A =错误；B 选项符合题意， 故选：B.16．设实数a ，b ，c 满足，221a b c +≤≤则a b c ++的最小值为（ ）A 1B ．12−C ．D ．1−【答案】B【详解】由221a b c +≤≤可得：22221111()()2222a b c a b a b a b ++≥+++=+++−≥−，当12a b ==−时取等号，所以a b c ++的最小值为12−.故选：B17．记{}123max ,,x x x 表示123,,x x x 这3个数中最大的数．已知a ，b ，c 都是正实数，12max ,,b c M a a c b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最小值为（ ）AB C ．D ．【答案】A【详解】因为12max ,,b c M a a c b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以a M ≤，c M b ≤，所以1212b M M M a c +≤+≤，所以3MM ≤，即M ≥ca b==M 故选：A18．已知集合{}{}32,1,0,1,2,3,4,0,Z ,22x U A xx B x −⎧⎫=−−=≥∈=⎨⎬+⎩⎭，则()U AB =ð（ ）A ．{}2−B ．{}3,4C ．{}2,3,4−D ．{}2,0,3,4−【答案】C【详解】由题意知{}{}(3)(2)0,20,Z 1,0,1,2,3A x x x x x =−+≥+≠∈=−，{}13B x x =−≤<， 则{}1,0,1,2A B ⋂=−，所以(){2,3,4}U AB =−ð． 故选：C ． 二、多选题19．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ） A ．2c cd < B ．a c b d −<− C ．ac bd < D ．0c da b−> 【答案】AD【详解】对于A ，由0c d >>和不等式性质可得2c cd <，故A 正确； 对于B ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =−，2d =−， 则3a c −=，3b d −=，所以a c b d −=−，故B 错误；对于C ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =−，2d =−， 则2ac =−，2bd =−，所以ac bd =，故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，则110a b<<，又因0c d >>则0c d <−<−， 由不等式的同向皆正可乘性得，c d a b −<−，故0c da b−>，故D 正确． 故选：AD ．20．已知实数,a b 满足,1a b a b >+=，则（ ） A ．2a ab ＞ B ．2ab b > C ．14ab ≤D ．221a b +≥【答案】AC【详解】因为,10a b a b >+=>， 所以0,a b >的符号不确定， 由不等式的性质知2a ab ＞成立，但2ab b >不一定成立，故A 正确，B 错误；因()21111244ab a a a ⎛⎫=−=−−+≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为a b >，所以222a b ab +>，所以222()122a b a b ++>=，故D 错误.故选：AC.21．已知全集{}2230U x x x =∈+−≤Z ∣，集合{}210B x x =−=∣，若U A ð有4个子集，且A B ⋂=∅，则（ ） A ．1A ∉ B ．集合A 有3个真子集 C ．3A −∈ D ．A B U ⋃=【答案】ACD【详解】依题意，()(){}{}{}{}130313,2,1,0,1,1,1U x x x x x B =∈−+≤=∈−≤≤=−−−=−ZZ ∣∣， 而U A ð有4个子集，A B ⋂=∅，故{}3,2,0A =−−，故集合A 有7个真子集，B 错误，1A ∉，3A −∈，A B U ⋃=，ACD 均正确.故选：ACD.22．已知集合{2,3,5,7,11,13,17},{2,5,7,13},{3,7,13,17},{7,13}U A B C ====，则下列关系正确的是（ ） A ．()()()⋂=⋃U U U A B A B ððð B ．()()U U U U A B =ðððð C ．A C B C ⋂=⋂ D ．()U U A B C =ðð【答案】ACD【详解】因为集合{2,3,5,7,11,13,17},{2,5,7,13},{3,7,13,17},{7,13}U A B C ====，可得{2,3,5,7,13,17}A B =，{7,13}A B =，{3,11,17},{2,5,11}U U A B ==ðð且()(),U U U U A A B B ==ðððð，对于A 中，由()(){11}U UA B =ðð，(){11}U AB =ð，可得()()()⋂=⋃U U U A B A B ððð，所以A 正确；对于B 中，由()(),U U U U A A B B ==ðððð，可得()()U U U U A B ≠ðððð，所以B 不正确； 对于C 中，由{7,13},{7,13}A C B C ==，可得A C B C ⋂=⋂，所以C 正确；对于D 中， 由(){2,3,5,11,17}U A B =ð，{2,3,5,11,17}U C =ð，所以()U U A B C =ðð，所以D 正确. 故选：ACD.23．对于R 的两个非空子集,A B ，定义运算(){},,A B x y x A y B ⨯=∈∈，则（ ） A ．A B B A ⨯=⨯ B ．()()()A B C A B A C ⨯=⨯⨯C ．若A C ⊆，则()()A B C B ⨯⊆⨯D ．A A ⨯表示一个正方形区域 【答案】BC【详解】由题意知，(){},,A B x y x A y B ⨯=∈∈表示以数集A 中的数为横坐标，数集B 中的数为纵坐标的点的集合，故A B B A ⨯≠⨯，故A 错误； 因为()()(){},,A B C x y x A y B C ⨯⋂=∈∈⋂，又()()(){}(){},,,,A B A C x y x A y B x y x A y C ⨯⋂⨯=∈∈⋂∈∈， 所以()()()A B C A B A C ⨯=⨯⨯，则B 正确；若A C ⊆，则()()A B C B ⨯⊆⨯，故C 正确；若{}1A =，集合A A ⨯只包含一个点，故D 错误． 故选：BC ．24．已知正数,a b 满足()()111a b −−=，则下列选项正确的是（ ） A ．111a b+= B ．25ab b+³ C ．4a b +≥ D ．228a b +≥【答案】ACD【详解】对于A ，由题可得ab a b =+，即111a b+=，故A 正确；对于()1B,221221a b b b b +=+-+³-，当且仅当1b =+B 不正确；对于C ，()112224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，故C 正确；对于D ，2222()4822a b a b ++³³=，当且仅当2a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.25．已知命题p ：0x ∃∈R ，20440ax x −−=，若p 为真命题，则a 的值可以为（ ） A ．2− B ．1− C ．0 D ．3【答案】BCD 【详解】命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x −−=，p 为真命题，即2440ax x −−=有根， 当0a =时，=1x −成立，当0a ≠时，需满足2(4)4(4)0a ∆=−−⨯⋅−≥，解得1a ≥−且0a ≠，a ∴的取值范围为[1,)−+∞，故选：BCD ．26．已知22421a b ab ++=，则（ ）A ．ab 的最大值为16B ．224a b +的最小值为57C ．224a b +的最大值为2D ．ab 的最小值为13−【答案】AC【详解】对A ：由22a 4b 4ab +≥，得22426a b ab ab ++≥，所以16ab ≤， 当且仅当2a b =时取等号，故A 正确；对B ：由224222a b ab a b +=⋅≤，得()222234422a b a b ab +++≤，所以22243a b +≥，当且仅当2a b =时取等号，故B 错误； 对C ：由224222a b ab a b +=⋅≥−，得22224422a b a b ab +++≥，所以2242a b +≤，当且仅当2a b =−时取等号，故C 正确； 对D ：由2244a b ab +≥−，得22422a b ab ab ++≥−，所以12ab ≥−，当且仅当2a b =−时取等号，故D 错误.故选：AC.27．若表示集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M ，N 可能是（ ）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}{}2|1,1M x x N x x =<=−C ．{}1|log ,|e e xx M x y x N y y ⎧⎫====+⎨⎬⎩⎭D ．(){}(){}22,|,,|}M x y x y N x y y x ====【答案】ACD【详解】由题意可知：集合N 是集合M 的真子集， 对于选项A ：可知集合N 是集合M 的真子集，故A 正确；对于选项B ：因为{}{}2|1|11M x x x x =<=−<<，可知集合M 是集合N 的真子集，故B 错误；对于选项C ：因为{}{}|log |0M x y x x x ===>，且e 0x >，则1e 2e x x y =+≥，当且仅当1e e x x =，即0x =时，等号成立， 可得{}1|e |2e xx N y y y y ⎧⎫==+=≥⎨⎬⎩⎭，可知集合N 是集合M 的真子集，故C 正确；对于选项D ：因为(){}(){}(){}22,|,|},|}M x y x y x y y x x y y x =====−U ，可知集合N 是集合M 的真子集，故D 正确； 故选：ACD.28．以下说法正确的有（ ）A ．“24−<<x ”是“22150x x −−<”的必要不充分条件B ．命题“01x ∃>，()0ln 10x −≥”的否定是“1x ∀≤，()ln 10x −<”C ．“ln ln a b >”是“22a b >”的充分不必要条件D ．设a ，R b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 【答案】CD【详解】A 选项，()()2215530x x x x −−=−+<，解得35x −<<，所以“24−<<x ”是“22150x x −−<”的充分不必要条件，A 选项错误. B 选项，因为由()ln 10x −≥，得1x −≥，即2x ≥，命题“01x ∃>，()0ln 10x −≥”的否定是“1x ∀>，2x <”，所以B 选项错误. C 选项，ln ln 0a b a b >⇔>>；所以2222ln ln a b a b a b >⇒>>⇒ln ln a b⎧⎨>⎩，所以“ln ln a b >”是“22a b >”的充分不必要条件， 所以C 选项正确.D 选项，由于0a ≠⇒000ab ab a ⎧≠⎪⎨≠⇒≠⎪⎩，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，所以D 选项正确. 故选：CD29．下列命题是真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若0a b >>，则33a b >C ．若ln ln a b >，则11a b <D ．若22a b +=，则244a b +≥【答案】BCD【详解】对于A ，当0c ≤时，ac bc >不成立，故A 错误；对于B ，由0a b >>，得()()33220a b a b a ab b −=−⋅++>，所以33a b >，故B 正确；对于C ，由ln ln a b >，得0a b >>，所以110a b<<，故C 正确；对于D ，因为22a b +=，所以244a b +≥===，当且仅当24a b =，即11,2a b ==时，等号成立， 故D 正确． 故选：BCD. 三、填空题30．已知集合{}230,{22},{}A xx x B x x C x x a =−<=−<<=<∣∣∣，且()A B C ⊆，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[)2,+∞【详解】依题意，{}230{03}A xx x x x =−<=<<∣∣，则{02}A B x x =<<∣， 由()A B C ⊆，得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故答案为：[)2,+∞31．已知实数x 、y 满足223x y −≤+≤，220x y −≤−≤，则34x y −的取值范围为 ． 【答案】[7,2]−【详解】解：设34(2)(2)x y m x y n x y −=++−，则2324m n m n +=⎧⎨−=−⎩，解得12m n =−⎧⎨=⎩，所以34(2)x y x y −=−++2(2)x y −， 因为223x y −≤+≤，220x y −≤−≤， 所以3(2)2x y −≤−+≤，42(2)0x y −≤−≤， 所以7342x y −≤−≤， 故答案为：[7,2]−.32．已知集合{1,2,4}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈−∈∣，则集合B 的元素个数为 ． 【答案】2【详解】当1x =时，1y =，2，4，x y −分别为0,1,3−−,均不能满足x y A −∈， 当2x =时，1y =时可满足1x y A −=∈，2x =时，2,=0y x y =−，2x =时，4,=2y x y =−−均不满足x y A −∈，当4x =时，2y =可满足2x y A −=∈，4x =时，1,=3y x y =−，4x =时，4,=3y x y =−均不满足x y A −∈， 所以()(){}2142B =，，，，故集合B 的元素有2个， 故答案为：233．能够说明“设,,a b c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为 . 【答案】2,1,0−−（答案不唯一） 【详解】若a b <，当0c >时，ac bc <； 当0c =时，ac bc =； 当0c <时，ac bc >；“设,,a b c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为2,1,0−−， 故答案为：2,1,0−−（答案不唯一） 34．已知集合21{|0}1x A x x −=≤+，全集R U =，则U A =ð ． 【答案】(]1,1,2∞∞⎛⎫−−⋃+ ⎪⎝⎭【详解】解：集合21{|0}1x A x x −=≤+1|12x x ⎧⎫=−<≤⎨⎬⎩⎭，全集R U =，所以UA =ð(]1,1,2∞∞⎛⎫−−⋃+ ⎪⎝⎭， 故答案为：(]1,1,2∞∞⎛⎫−−⋃+ ⎪⎝⎭35．已知集合{}2|20A x x x a =−−+>，R B =，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是 ．【答案】1a ≤−【详解】因为R B =，A B ⋂=∅， 所以A =∅，则不等式220x x a −−+>无解， 所以440a ∆=+≤，解得1a ≤−. 故答案为：1a ≤−.36．已知集合{}220A x x x =∈−−≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =−+++=∣，若B A ⊆，则=a . 【答案】0或1【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈−−≤=∈−≤≤=NN ∣∣， (){}{}22210,1B x x a x a a a a =−+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =. 故答案为：0或1.37．如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x = 米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大．【答案】2【详解】由题意123AB x =−米， 则直角梯形花坛ABCD 的面积()()(()23123212311312182224x x x x x S x x +−⎡⎤+−⎣⎦==⨯−≤⨯=， 当且仅当3123x x =−，即2x =时，等号成立， 所以当2x =米时，直角梯形花坛ABCD 的面积最大． 故答案为：2.38．已知集合12|log (2)0A x x ⎧⎫=+<⎨⎬⎩⎭，集合()(){}|0B x x a x b =−−<，若“ 3a =− ”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】1b >−【详解】解：12{|log (2)0}{|1}A x x x x =+<=>−， 3a =−(){|()()0}3,B x x a x b b ∴=−−<=−或(,3)b −，由“A B ⋂≠∅”，得1b >−， 故答案为：1b >−．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及解不等式问题，考查集合的关系，是一道基础题．39．若命题：“0x ∃∈R ，使220(1)(1)10m x m x −−++≤”是假命题，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】1m ≤−或53m >【详解】由题意得，“0x ∀∈R ，使2200(1)(1)10m x m x −−++>”是真命题，当2101m m −=⇒=±时，易得1m =−时命题成立；当()2101,1m m −<⇒∈−时，由抛物线开口向下，命题不成立；当()()210,11,m m −>⇒∈−∞−+∞时，则命题等价于()()2221413250m m m m ∆=+−−=−++<，即()()35101m m m −+>⇒<−或53m >故答案为：1m ≤−或53m >40．已知函数()2f x ax =+()0a >，()21g x x =−，若[]11,2x ∃∈−，[]22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,)+∞【详解】由题意，函数()21g x x =−在[]2,3为单调递减函数，可得 ()12g x ≤≤， 即函数()g x 的值域构成集合[1,2]B =，又由函数()2(0)f x ax a =+>在区间 []1,2−上单调递增，可得()222a f x a −+≤≤+， 即函数()f x 的值域构成集合[2,22]A a a =−++，又由[]11,2x ∃∈−， []22,3x ∀∈，使()()12f x g x =成立，即 B A ⊆,则满足21222a a −+≤⎧⎨+≥⎩，解得 1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈， ()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有 ()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有 ()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈， []2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故 ()()min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈， []2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则 ()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 41．命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,5)−∞【详解】若命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x ”为真命题，则max 4a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，设4y x x =+，(1,3)x ∈，44x x +≥=，当2x =时，等号成立， 由对勾函数的性质可知，当()1,2x ∈时，函数单调递减，当()2,3x ∈单调递增，()15f =，()43353f =+<，所以445x x ≤+<，即5a ≥，所以命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则a 的取值范围为(),5−∞. 故答案为：(),5−∞42．设条件p ：231x +<；条件q ：()()22220x a x a a −+++…，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]3,2−−【详解】∵q 是p 的必要不充分条件，∴p q ⇒，且q p ⇒/. 记p ：{}{}|2312|1=+<=−<<−A x x x x ，q ：()(){}2220|2B x x a x a a =−+++≤={|x a x ≤≤}2a +，则A 是B 的真子集，从而221a a ≤−⎧⎨+≥−⎩解得32a −−≤≤.故实数a 的取值范围是[]3,2−− 故答案为：[]3,2−−【点睛】本题考查了含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法，充分必要条件，集合之间的关系等基本数学知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.43．由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是 . 【答案】1【详解】因为命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题， 所以命题“R x ∀∈，220x x m ++>”是真命题， 故2240m ∆=−<，即1m >，故1a =. 故答案为：1。
2020_2021年高考数学一轮复习考点专项练习常用逻辑用语
2020-2021年新高三数学一轮复习考点 常用逻辑用语1.最新考试说明：（1）考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题． 【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧ ②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论．【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．（2）考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【2015新课标】设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈= 【答案】C【解析】命题p 是一个特称命题，其否定是全称命题．【2015浙江】命题“**N ,()N n f n ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是A ．**N ,()N n f n ∀∈∉且()f n n >B ．**N ,()N n f n ∀∈∉或()f n n >C ．**00N ,()N n f n ∃∈∉且00()f n n >D ．**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n > 【答案】D【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“**N ,()N n f n ∀∈∈且()f n n ≤”的否定为“**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >”可知选D ．（3）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系． 【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥． 则下述命题中所有真命题的序号是 ．①41p p ∧ ②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论．【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表． （4）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解充分条件、必要条件及充要条件的定义．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x的取值范围.2.命题方向预测：（1）全称命题、特称命题的否定、真假的判断及逻辑联结词是高考的热点，常与其他知识相结合命题．题型一般为选择题，属容易题．相关内容往往与充要条件等轮番出现在高考题中，有时与相关内容同时考查．（2）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (3)题型主要以选择题、填空题的形式出现．（4）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识.3.课本结论总结：（1）一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．（2）两类否定①含有一个量词的命题的否定(i)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(ii)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．②复合命题的否定(i) ¬ (p∧q) ⇔(¬p)∨(¬q)；(ii) ¬ (p∨q) ⇔(¬p)∧(¬q)．(3)三条规律①对于“p∧q”命题：有假则假；②对“p∨q”命题：有真则真；③对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．（4）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（5）四种命题及其关系①四种命题及其关系②四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(6)充分条件与必要条件①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件. ②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件4.名师二级结论：（1）命题的否定形式：(2) 复合命题的否定① ¬ (p ∧q ) ⇔ (¬p)∨(¬q)； ② ¬ (p ∨q ) ⇔ (¬p)∧(¬q)． (3) 常见结论的否定形式(4)充要条件判定方法①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p是q 充要条件.②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若BA ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。
备考2025届高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第2讲常用逻辑用语
第2讲常用逻辑用语1.[2024福建南平模拟]若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为（C）A.∃x＞0，x2－3x＋2≤0B.∃x≤0，x2－3x＋2≤0C.∀x＞0，x2－3x＋2≤0D.∀x≤0，x2－3x＋2≤0解析命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题p的否定为∀x＞0，x2－3x＋2≤0.故选C.，0），k∈Z”是“f（x）＝tan x的图象关于点A对2.[2024辽宁名校联考]“点A的坐标是（kπ2称”的（C）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件，0），k∈Z，若点A 解析若f（x）＝tan x的图象关于点A对称，可得点A的坐标是（kπ2，0），k∈Z，可得f（x）＝tan x的图象关于点A对称，故选C.的坐标是（kπ23.[2024河南名校联考]若直线l：Ax＋By＋C＝0的倾斜角为α，则“α不是钝角”是“A·B＜0”的（B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件＞0，则α不是钝角.若α＝0°或α＝90°，则A·B＝0.故“α解析若A·B＜0，则l的斜率－AB不是钝角”是“A·B＜0”的必要不充分条件.故选B.4.[2024长春市质量监测（一）]“a＞b＞1”是“log a2＜log b2”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若a ＞b ＞1，则有log 2a ＞log 2b ＞0，由不等式的性质得，1log 2a＜1log 2b，即log a 2＜log b 2，充分性成立.若log a 2＜log b 2，则当log a 2和log b 2异号时，log a 2＜0，log b 2＞0，所以0＜a ＜1＜b ；当log a 2和log b 2同号时，a ＞b ＞1或0＜b ＜a ＜1.明显必要性不成立.所以“a ＞b ＞1”是“log a 2＜log b 2”的充分不必要条件.故选A.5.[2024江苏镇江模拟]命题“∀x ∈[0，3]，x 2－2x －a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ A ） A.a ≥4 B.a ≥3 C.a ≥2D.a ≥1解析 由∀x ∈[0，3]，x 2－2x －a ≤0，得a ≥x 2－2x 在x ∈[0，3]恒成立.y ＝x 2－2x 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，则其在[0，3]上的最大值为32－2×3＝3，则a ≥3，结合选项可知，a ≥3的充分不必要条件为a ≥4，故选A.6.[2024山东聊城模拟]若存在x ∈（0，2]，使不等式ax 2－2x ＋3a ＜0成立，则实数a 的取值范围是（ A ） A.{a ｜a ＜√33} B.{a ｜0≤a ≤47} C.{a ｜a ＞√33}D.{a ｜a ＞47}解析 当x ∈（0，2]时，由ax 2－2x ＋3a ＜0，可得a （x 2＋3）＜2x ，则a ＜（2x x 2+3）max ，因为2x x 2+3＝2x ＋3x≤2√x ·3x＝√33，当且仅当x ＝3x（x ＞0），即x ＝√3时，等号成立，所以当x ∈（0，2]时，2xx 2+3的最大值为√33，故a ＜√33.故选A.7.[2024重庆模拟]“x ＞2”是“2x －42x ＞3”的（ C ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 令t ＝2x ，则t ＞0，（提示：指数函数的值域为（0，＋∞））由2x －42x ＞3得t 2－3t －4＞0（t ＞0），解得t ＞4.即2x ＞4，解得x ＞2.所以“x ＞2”是“2x －42x ＞3”的充要条件，故选C.8.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知{a n }是等比数列，则“a 2＜a 1＜0”是“{a n }为递减数列”的（ A ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 设数列{a n }的公比为q .充分性：若a 2＜a 1＜0，则a 1q ＜a 1＜0，所以q ＞1，所以a n ＝a 1q n －1＜0，a n+1a n＝q ＞1，所以a n ＋1＜a n ，所以{a n }为递减数列，充分性成立.必要性：当a 1＝12，q ＝12时，a n ＝12n ，满意数列{a n }为递减数列，此时a 1＞a 2＞0，必要性不成立.所以“a 2＜a 1＜0”是“{a n }为递减数列”的充分不必要条件，故选A.9.[浙江高考]已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的（ B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若l ，m ，n 在同一平面内，则可能有l ，m ，n 两两平行，所以l ，m ，n 可能没有公共点，所以不能推出l ，m ，n 两两相交，充分性不成立；由l ，m ，n 两两相交且l ，m ，n 不经过同一点，可知必有三个交点，设为A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定唯一平面α，易得l ，m ，n 均在α内，所以l ，m ，n 在同一平面内，必要性成立.故选B.10.[多选/2024广东广州模拟]下列命题中为真命题的是（ CD ） A.∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2＜0 B.∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 C.∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0D.∀x ∈R ，－x 2－1＜0解析 对于A ，∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝（x ＋1）2＋1≥1＞0，故A 为假命题；对于B ，当x 2＋x ＋1＝0时，Δ＝1－4＝－3＜0，故B 为假命题；对于C ，∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝（x －12）2 ≥0，故C 为真命题；对于D ，因为∀x ∈R ，x 2≥0，所以－x 2－1≤－1＜0，故D 为真命题.故选CD.11.[2024湖南模拟]已知“a ≤x ≤a 2＋1”是“－2≤x ≤5”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ C ）A.[－2，＋∞）B.[－2，2]C.（－2，2]D.（－2，2）解析 设A ＝{x ｜a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x ｜－2≤x ≤5}.若“a ≤x ≤a 2＋1”是“－2≤x ≤5”的充分不必要条件，则A ⫋B ，则{a ≥－2，a 2+1≤5，且等号不同时成立，解得－2＜a ≤2，故选C.12.[2024安徽六安模拟]已知向量a ＝（sin 2θ，cos θ），b ＝（1－sin θ，2cos θ），且θ∈[0，π]，则“θ＝π6”是“a ∥b ”的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 a ＝（sin 2θ，cos θ），b ＝（1－sin θ，2cos θ），且θ∈[0，π].若a ∥b ，则 2cos θsin 2θ＝cos θ·（1－sin θ），即cos θ（sin θ＋1）（2sin θ－1）＝0，解得θ＝π6或θ＝π2，故“θ＝π6”是“a ∥b ”的充分不必要条件.故选A.13.[与物理综合/多选]设计如图所示的四个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充要条件的电路图是（ BD ）解析 对于A ，开关S 闭合则灯泡L 亮，反之，灯泡L 亮不愿定有开关S 闭合，所以p ⇒q ，但q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件；对于B ，开关S 闭合则灯泡L 亮，反之，灯泡L 亮，则开关S 闭合，所以p 是q 的充要条件；对于C ，开关S ，S 1与灯泡L 串联，p ⇏q ，q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件；对于D ，开关S 闭合则灯泡L 亮，反之，灯泡L 亮则开关S 闭合，所以p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件.故选BD.14.已知函数f （x ）＝3x 2＋2x －a 2－2a ，g （x ）＝196x －13.若对随意x 1∈[－1，1]，总存在x 2∈[0，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数a 的取值范围为 [－2，0] . 解析 当x 2∈[0，2]时，g （x 2）∈[－13，6].f （x ）＝3x 2＋2x －a 2－2a ，其图象的对称轴方程为x ＝－13，所以当x ∈[－1，1]时， f （x ）min ＝f （－13）＝－a 2－2a －13，f （x ）max ＝f （1）＝－a 2－2a ＋5.即当x 1∈[－1，1]时，f （x 1）的值域为[－a 2－2a －13，－a 2－2a ＋5].又由题意可知，f （x 1）的值域是[－13，6]的子集，所以{－a 2－2a －13≥－13，－a 2－2a +5≤6，解得－2≤a ≤0.即实数a 的取值范围是[－2，0].。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常用逻辑用语与不等式训练题一、选择题：1．a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式0a cb d>>和ad bc <都成立的一组值（a ，b ，c ，d ）是 ．（只要写出适合条件的一组值即可）2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假5．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( )A ．1a b +≥B ．1a ≥C ．0.5,0.5a b ≥≥且D ．1b <- 6．在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；命题:q 函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞，则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 8．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与 xx 111<+ 9．不等式|2||x x≥的解集是（ ） A ．(-∞，0) B ．[)+∞,2 C ．(-∞，0)∪[)+∞,2 D ．[)[)+∞⋃-,20,210．a<b,d<c 且(c-a) (c-b)<0, (d-a) (d-b)>0，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A ．d<a<c<bB ．a<c<b<dC ．a<d<b<cD ．a<d<c<b11．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞12．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小, 则a 的取值范围是 ( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a << 13．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，2131 14．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <15．若()a ax x x f ++-=12lg )(2在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（ ）A ．[1,2)B ． [1,2]C ．[)1,+∞D ． [2,)+∞ 16．不等式22lg lg x x <的解集是 ( ) A ．1(,1)100 B ．(100,)+∞ C ．1(,1)100(100,)+∞ D ．(0,1)(100,)+∞17．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 18．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x<的实数x 的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（0，1） C ．（－1，0）（0，1） D ．（－∞，－1）（1，＋∞）19．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)20．函数()lg()(10)x x f x a b a b =->>>,则()0f x >的解集为(1,)+∞的充要条件是（ ） A ．a=b+1 B ．a<b+1 C ．a>b+1 D ．b=a+121．函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（ ）A ． {x|-552<x<0或552<x≤1} B ．{x|-1≤x<-552或552<x≤1} C ．{x|-1≤x<-552或552<x≤1} D ．{x|-552<x<552且x≠0} 二、填空题：22．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。
23．若方程2222(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数n =_______。
24．若*1(),()()()2f n n g n n n n N nϕ===∈,用不等号从小到大 连结起来为____________。
25． 设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是26．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。
27．不等式122log (21)log (22)2x x +--<的解集是_______________。
28．0xx≥的解集是________________。
29．不等式e |lnx|>x 2-2的解集为____________30．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a111++< ④a a a a 111++> 其中成立的是 ． 三、解答题：31．已知集合23(1)23211331|2,|log (9)log (62)2x x x A x B x x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-<-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎩⎭, 又{}2|0AB x x ax b =++<,求a b +等于多少？32．已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。
33．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
34． 如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？(14’)池塘池塘走道2米走道2米走道2米4米走道4米走道走道2米走道2米常用逻辑用语与不等式训练题参考答案一、 选择题：1．解析：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如（2，1，－3，2）． 评析：本题为开放题，考察学生对知识灵活处理问题的能力．2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题3．A ①220a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 ②0a b >>⇒ba 11< ，仅仅是充分条件；③330a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件4．B “p ⌝”为假，则p 为真，而p q ∧（且）为假，得q 为假 5．D 当1,0a b ==时，都满足选项,A B ，但是不能得出1a b +> 当0.5,0.5a b ==时，都满足选项C ，但是不能得出1a b +>6．B 当0170A =时，01sin170sin102=<，所以“过不去”；但是在△ABC 中， 0001sin 30150302A A A >⇒<<⇒>，即“回得来” 7．D 当2,2a b =-=时，从1a b +>不能推出1a b +>，所以p 假，q 显然为真 8．B 对于A ．727,,2x x <<与 7272x x +≤< 对于C ．31,3131x x x ->->-<-或与13>-x对于D ．33)1(x x >+与xx 111<+，当10x -<<时，xx 111<+ 不成立 9．C [方法一]数形结合：作出两边函数图象，通过图象得到C ；[方法二]等价转化：将不等式转化为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥x x x 20或⎪⎩⎪⎨⎧≥-<x x x 20，解得答案C10．A 且(c-a)(c-b)<0⇒a<c<b,(d-a)(d-b)>0⇒d<a 或d>b;由于a<b,d<c ，11．B 122+x ≤2421()24x x --=,221142,230,31,28x x x x x y +≤-+-≤-≤≤≤≤12．C 令22()(1)2f x x a x a =+++-，则(1)0f <且(1)0f -<即220,1030a a a a a ⎧+<⎪-<<⎨-+>⎪⎩13．B12112,0,,02x x x x x -<>><或 14．B 225312(1)1,1,222k k k x x x -+=-+>∴<-<15．A 令(]221,,1u x ax a =-+--∞是的递减区间，得1a ≥而0u >须恒成立，∴min 20u a =->，即2a <，∴12a ≤<；16．D 22l g l g ,l g 2l g 0,100,01x x x x x x <><><<或或 17．B 当20x ax a -+=仅有一实数根，240,04a a a a ∆=-===或，代入检验，不成立或21x ax a -+=仅有一实数根，2440,2a a a ∆=-+==，代入检验，成立！18．C 由()f x 为R 上的减函数可得：1||1x < 即：111x -<<再利用1y x=的图像得出结果。