3.2.2基本不等式与最大(小)值

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北师版数学高二-必修5课件基本不等式与最大(小)值

x
+
9yx≥2
y x
·9yx=6,当且仅当yx
=
9yx,即
y=3x
时,取等号.
又1
x
+
9y=1,∴x=4,y=12.
∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.
解法二:由1x + 9y=1,得 x=yy-9.∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=yy-9+y=y+y-y9-+9 9=y+y9-9+1=y-9+y9-9+10.∵y>9,∴y-9>0.
会得出错误答案,就会陷入困境.例如,当 x>1 时,函数 f(x)=x+x1-1≥2 xx-1,所以
函数 f(x)的最小值是 2
xx-1.由于 2
x 是一个与
x-1
x
有关的代数式,很明显这
是一个错误的答案.在出现这种情况时,可以通过对所求代数式的合理配凑,
转化为“和式”或“积式”是定值的形式后再进行求解.例如当 x>1
时,f(x)=x+x1-1=(x-1)+x1-1+1≥2 (x-1)·x1-1+1=3,即该函数的最小值为 3.
-4-
3.2 基本不等式与最大(小)值
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(3)“三相等”,即等号能够成立,即存在正数 x,y 使基本不等式两边相等, 也就是存在正数 x,y 使得 xy = x+2y.如果忽视这一点,就会得出错误答案.
例如,y= x2 + 2 + x21+2,满足“正”和“定值”的条件,但要取等号必须 x2 + 2 = x21+2,即 x2+2=1,这是不可能的,所以其最小值不是 2.

《3.2 基本不等式与最大(小)值》课件2-优质公开课-北师大必修5精品

忽视基本不等式的条件致误求函数 y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为 y＝1－(2x＋x3)． ∵2x＋x3≥2 2x·3x＝2 6.当且仅当 2x＝x3，即 x＝±26时取等号． ∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6. ∴函数的值域为(－∞，1－2 6]．
【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．
法二 ∵a＋2b＝1，∴1＝a＋2b≥2 a·（2b），即 ab≤212，∴ab≤18，当且仅当aa＝＋22bb＝1，即ba＝＝1214时，ab 取得最大值81.
利用基本不等式解决实际问题
(2013·临沂高二检测)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图 3－3－3，设池塘所占总面积为 S 平方米．
2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、 “添项”、“凑系数”、“常值代换”等．
已知 x＜45，求函数 y＝4x－2＋4x1－5 的最大值．【解】 ∵x＜54，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3 ＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x即 x＝1 时等号成立， ∴当 x＝1 时，ymax＝1.
∴当车速 v＝40 千米/小时时，
车流量最大为 11.1 千辆/小时．
(2)由题意：v2＋39v2＋0v1 600＞10，整理得 v2－89v＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得 25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时时，车流量超过 10 千辆/小时．

第3章第3节 3.2 基本不等式与最大(小)值

3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点用基本不等式求最值思考因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？答案错．显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．仅说明曲线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 的上方，仅在x ＝1时有公共点，但该点不是y ＝x 2＋1的最低点．使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．梳理基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．当a >0，b >0时，有21a ＋1b≤a ＋b2.(√)2．由于sin 2x ＋4sin 2x≥2sin 2x ·4sin 2x ＝4，所以sin 2x ＋4sin 2x的最小值为4.(×)类型一基本不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2处取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy＋10＝6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1，x >0，y >0，可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y )m.由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．所以这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．所以这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积．考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解如图，设Rt △ABC 的斜边AB ＝2，AC ＝b ，BC ＝a ，CD 为斜边上的高，则CD ＝AC ×BCAB ＝ab2，且a 2＋b 2＝4.则以AB 所在的直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为V ＝13π·CD 2×AD ＋13π×CD 2×DB＝13π·CD 2×AB ＝13π×⎝⎛⎭⎫ab 22×2＝π6(ab )2. 由a 2＋b 2＝4与a 2＋b 2≥2ab 得ab ≤2，当且仅当a ＝b ＝2时，取“＝”．所以V ＝π6(ab )2≤π6×22＝2π3.即当a ＝b ＝2时，V max ＝2π3.此时该几何体的表面积为S ＝π·CD ×AC ＋π·CD ×BC ＝π·CD ×(AC ＋BC )＝π×2×22(2＋2)＝22π. 即几何体的表面积为22π. 命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1<x 2. 则⎝⎛⎭⎫9x 1＋900x 1＋10 809－⎝⎛⎭⎫9x 2＋900x 2＋10 809 ＝9(x 1－x 2)＋900⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2. ∵15≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2<0，即y ＝9x ＋900x＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．∴当x ＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少．反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案 8解析设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时．1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 D解析由x ≥52>2得，f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥12×2(x －2)×1x －2＝1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案 C解析设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，所以ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab＝4＋22≈6.828(m)(当且仅当a ＝b 时，取等号)．因为要求够用且浪费最少，故选C.3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 B解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．4．已知0<x <1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x的最大值是________．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 2－2 5解析当0<x <1时，log 2x <0，所以f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 2x )＋5－log 2x ≤2－2 5.当且仅当－log 2x ＝5－log 2x ，即(log 2x )2＝5，即x ＝2，等号成立．1．用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、选择题1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 A解析 ∵x >1，y >1， ∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16D ．不存在考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上， ∴x ＋2y ＝3， ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立．3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 A解析将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·bc＝4，当且仅当4c b ＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题7．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______．考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案 14解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14，即S 的最大值为14. 8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用答案 20解析总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20时取等号． 9．设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为___________________．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.10．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 三、解答题11．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}．(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b 1－x，求函数f (x )的最小值．考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x>0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x 1－x ＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时，等号成立，∴f (x )的最小值为9.12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20 000x ＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时，上式取等号，所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000 元．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元．13．为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．考点基本不等式的实际应用题点基本不等式的实际应用解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20 ≤－2×n ×36n ＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．四、探究与拓展14．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5考点基本不等式求最值题点利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立． 15．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M,0∈MB ．2∉M,0∉MC ．2∈M,0∉MD ．2∉M,0∈M考点基本不等式中的参数问题题点基本不等式中的参数问题答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1. 当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)2－2k 2＋3k 2＋1＝(k 2＋1)2－2(k 2＋1)＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2(k 2＋1)·5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号)．∴2∈M,0∈M .。

高中数学第3章不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值教案高二数学教案

3.2 基本不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值思考：(1) 函数y＝x＋1x的最小值是2吗？[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋1x≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋3a取得最小值时，a的值是什么？[提示] 2a＋3a≥22a×3a＝26，当且仅当2a＝3a，即a＝62时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋4xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π) C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81C [A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ．]2．当x ＞0时，x ＋9x的最小值为________．6 [因为x ＞0，所以x ＋9x≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立．]3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________． 14[因为x ∈(0,1)，所以1－x ＞0，故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．]4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．8 [由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m＋4m n ≥8.]利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(1)6 (2)116 [(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．1．(1)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．(2)设0<x ≤2，则函数ƒ(x )＝x8－2x的最大值为(1)－2 (2)2 2 [(1)依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0，故ƒ(x )＝x 8－2x＝12·2x ·8－2x＝12·2x ·8－2x ≤12×82＝22，当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号，所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x8－2x的最大值为2 2.]利用基本不等式解实际应用题相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，⎝⎛⎭⎪⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0，所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500.当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140，代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0.易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案．2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)5 8 [每台机器运转x 年的年平均利润为yx＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．](2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.基本不等式的综合应用[探究问题]1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，xx 2＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故xx 2＋1有最大值12. 2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b的最小值是什么？[提示](1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当b ＝2a时等号成立；(2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b的最小值为3＋2 2.【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，求1a ＋1b的最小值．思路探究：(1)在xx 2＋3x ＋1中，分子、分母同时除以x ，求得xx 2＋3x ＋1的最大值，可得a 的范围．(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a ＋1b的最小值．[解] (1)设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求1a＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a＋b 的最小值．[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a ＋b＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b a ×a b ＝2，当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9.当a ＝b ＝3时等号成立．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2a ＋1×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．( )(2)函数y＝sin x＋1sin x的最小值为2.( )(3)函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2.( )[答案] (1)×(2)×(3)×[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与4sin x 的积为定值，但sin x≠4sin x；(2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．(3)错误，因为只有x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．2．若x>0，y>0且2(x＋y)＝36，则xy的最大值为( ) A．9 B．18C．36 D．81A[由2(x＋y)＝36得x＋y＝18.所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．]3．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．8 [设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．] 4．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值． [解] f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ，因为x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。

3.2基本不等式与最大(小)值 (2)

3. 消元与整体代换的应用
4.在连续使用不等式时要注意等号条件的一致性
练习：
-8-
(1).已知向量AB (1, x 2),CD (2, 6 y),其中x 0, y 0，且AB / /CD,
则 3 1 的最小值等于(
)
xy
A、4B、6C、8D、12(2).已知x, y都是非负实数，且x y 2,则
即(t y6)(t1x1y8) 0,又y t x0,t 6
2
探究：3x当xx34y的y3,最y1小(1值时2 为，46x9)3y的5，最其小最值小为值6 为5. 5
如何应用基本不等式求含有等式条件的最值?
课堂小结
-7-
1. 不含等式条件的最值的常见方法.
2. 含等式条件的最值的常见方法.
当3x9且x3仅(4yx当y3x91y15)33(yyy1yx时y3等3xy)13号(3x1x成132立y4y.y)133((1x152(y33)yyx)62,429 11122xyy)3(1 y) 6 6
当又设且t 仅3xx当 1312y2y0,2则3(1t32xy11)，22ty即1y0182,1当, x0且, 仅3时当等x号 1成, y立 1 时等号成立
考向2 求含有等式条件的最值
例2、(1).若正数x, y满足x 3y 5xy,则3x 4 y的最小值是
(2).(2017江西南昌模拟)已知x 0, y 0,且x 3y xy 9, 则x 3y的最小值为
解析：(12))..(方x法 0二一, y)由已0x，知且0得,xyx30y9，x35yx3yy, x1y09,3,y50，0 y 3, 1 y y x
2 会用基本不等式解决简单的最大小值问题.

3.3.2《基本不等式与最大(小)值》课件(北师大版必修5)

6000 ＝15n＋ n ＋400A
2x＋3y＝18，由 2x＝3y， x＝4.5，解得 y＝3.
方法一：由于 2x＋3y≥2 2x· 3y＝2 6xy，
即 S≤ 2 ，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
3 方法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－2y. ∵x＞0，∴0＜y＜6，
1 1 1 12 ∴y＝2x(1－2x)＝4· (1－2x)≤4· 2x· 2 1 ＝， 16 1 1 即当 x＝时，ymax＝ 4 16
x2－1＋1 x2 1 (3)y＝＝＝x＋1＋ x－1 x－1 x－1 1 ＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， x－1 1 当且仅当＝xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1， x－1 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1， ∴当 x＝2 时，ymin＝4.
9 当且仅当 x＋1＝，即 x＝2 时取等号， x＋1 ∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 2.
2 (2)设 f(x)＝2x＋，x∈(a，＋∞) x－a ∴x－a＞0 2 ∴f(x)＝2(x－a)＋＋2a≥2 x－a ＝4＋2a 2 当且仅当 2(x－a)＝，即 x＝a＋1 时等号成立， x－a ∴当 x∈(a，＋∞)时，f(x)min＝4＋2a 又∵f(x)≥7 在(a，＋∞)恒成立，
s2 时，积xy取 4
2 p
时，和x＋y取
• 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小 • •
值，需满足的条件 (1)x，y必须是．正数 (2) 求积 xy 的最大值时，应看和 x ＋ y 是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是定值否为． (3)等号成立的条件是否满足．综上，解决问题时要注意“一正、二定、三相等”．

§3 3.2 基本不等式与最大(小)值

3.2 基本不等式与最大（小）值
1.进一步掌握基本不等式 1.进一步掌握基本不等式； 2.会应用基本不等式求有关函数的最值并能够解决一些 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解决一些会应用基本不等式求有关函数的最值简单的实际问题. 简单的实际问题.
你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩你可以把一段16cm长的细铁丝弯成形状不同的矩 16cm 形，怎样弯面积最大？怎样弯面积最大？
等号成立．当且仅当 2x = 3y 时，等号成立．解方程组
2x +3y =18, 2x = 3y,
x = 4.5, 得 y = 3.
每间虎笼设计长、答每间虎笼设计长、宽分别为 4.5m和 3m 时，可使面积最大．可使面积最大．
变式练习：（的矩形菜园，变式练习： 1）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，（2）一段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
2.
解法二： m.,宽为 ,则解法二：设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 x+2y=36, x+2y=36,矩形菜园的面积为 xy 36
由
m 。
2
x + 2y 36 2xy ≤ = =18，可得 : xy ≤162 2 2仅当 x=2y,即 x=18，y=9 时，等号成立。
2
则由“ 解（1）设每间虎笼长为 xm，宽为 ym，则由“有可围网长的材料” 36m 的材料” 得 4x + 6y = 36，，即

高中数学第1章预备知识 3 不等式 3.2 第2课时基本不等式的综合应用学案(含解析)北师大版

第2课时基本不等式的综合应用学习目标核心素养1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？ (2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？提示：(1)不一定，例如a 2＋2与1a 2＋2，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2)不一定，例如1＋a 2与1－a 2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．2aa －1D ．3 D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 （a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时，等号成立．] 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0， ∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．]3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意得y 1＝20x ，y 2＝45x 为仓库与车站的距离，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32，∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.]基本不等式求函数最值【例1】 (1)设0<x <2，求函数y ＝3x ()8－3x 的最大值； (2)若x >4，求y ＝3x －4＋x 的最小值． [思路点拨] (1)3x ＋()8－3x ＝8；(2)3x －4＋x ＝3x －4＋()x －4＋4 .可利用基本不等式求解．[解] (1)∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞2＞0， ∴y ＝3x （8－3x ）≤3x ＋（8－3x ）2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x （8－3x ）的最大值是4.(2)当x ＞4时，x －4＞0， ∴3x －4＋x ＝3x －4＋(x －4)＋4≥23x －4×（x －4）＋4＝23＋4，当且仅当3x －4＝x －4，即x ＝4＋3时，取等号； ∴当x ＝4＋3时，y ＝3x －4＋x 的最小值是23＋4.1．应用基本不等式求最值必须满足三个条件，“一正、二定、三相等”．2．应用基本不等式求最值时，“凑定值”是一个难点，常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．[跟进训练]1．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值.[解] 令x ＋1＝t >0，∴x ＝t －1，∴y ＝（t －1）2＋7（t －1）＋10t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，x ＝1时等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)取得最小值9.利用基本不等式求条件最值【例2】已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值.[思路点拨] 注意x ＋y ＝1的使用，构造出8y x和2xy利用基本不等式．[解] ∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x＝2xy，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b取最小值时所对应a 、b 的值也要一并解出来．2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”、“常值代换”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．[跟进训练]2．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]利用基本不等式解决实际问题【例3】从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．12[设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．]利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．[跟进训练]3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100 A [设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．]运用基本不等式a ＋b2≥ ab 求最值时．要注意：(1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件； (2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等号成立的条件都要满足．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是2a a －1. ( )(2)若a <0，则a ＋1a的最小值是－2.( )(3)x 2＋3x 2＋2的最小值是2.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．若x 2＋y 2＝1(x 、y ∈R )，则x 1＋y 2的最大值为( ) A ．1 B ．54C ． 2D ．以上都不对 A [ x 1＋y 2≤x 2＋()1＋y 222＝()x 2＋y 2＋12＝1，当且仅当x ＝1，y ＝0时取等号．]3．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2B [∵a 2x ＋b 21－x ＝(1－x ＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x ＝（1－x ）a 2x ＋xb 21－x ＋a 2＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当x ＝aa ＋b时，取等号，∴选B.]4．若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 5．已知0<x <12，求函数y ＝x 1－4x 2的最大值．[解] 因为0<x <12，所以1－4x 2＞0，所以y ＝x 1－4x 2＝12×4x 21－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x＝24时等号成立．所以函数y ＝x 1－4x 2的最大值为14.。

基本不等式与最大最小值

A． 0, 2
B. 2, 0
C. 2,
D. , 2
【解题提示】利用基本不等式求解.
1 例 2.已知 y x ( x 0) ，证明： y 2 ． x
证明：（１）当 x 0 时，由基本不等式，得 y x
1 2， x
1 当且仅当 x ，即 x 1 时，等号成立．函数草图如图： x
1.进一步掌握基本不等式. 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解决一些简单的实际问题.(重点、难点)
探究点
基本不等式在求最大（小）值中的应用
想一想：你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成形状不同的矩形，怎样弯面积最大？
设矩形的长为 x cm,宽为 y cm,则 x y 8 ．
1 即 y x 2 , x
综上可知， y应注意的三点： (1)x,y一定要是非负数. (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y
的最小值时, 看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够取到.
【变式练习】
1 求f (x) 2x 1(x 0)的最大值. x 1 分析：因为x < 0,所以2x < 0, < 0,不符合基本不等式 x 的条件.故应把负数转化为正数.
因为2 2x 3y 4 2x 3y 4 6xy 4 6 24 4 12 48,
当且仅当2x=3y时，等号成立.
2x 3y, x 6, 解方程组得 xy 24, y 4.
答：每间虎笼设计长、宽分别为6m和4m时，可使围成
a＋b a＋b a＋b2 显然 > ab，又因为 < a＋b，(由 a＋b> 2 2 4 a＋ b a＋b 也就是 <1 可得 ) ，所以 a＋b > > ab . 而 y ＝ 4 2 log 1 x 为减函数，故 Q>P>M.

基本不等式与最值说课课件

9/27/2012
3、本节课的教学重点和难点
重点：利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正,二定,三相等. 突出重点的方法：我将采用学案教学，难度梯次递增。强调基本不等式应用的条件；突出基本不等式成立的条件重要性。难点：如何构造定值利用基本不等式求最值. 突破难点的方法：教学中通过条件的变换体现构造定值的具体过程，配备适量的习题让学生亲身去体验，从而突破构造定值这个难点。
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x
和 x y 有最小值 2
P
y 时，
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y 时，积 xy 有最大
值
9/27/2012
1 4
S
2
即：积定和最小，和定积最大，
（二）、例题讲解：
例4 例2 设 x , y 为正实数，且 2 x 5 y 2 0, 求 u lg x lg y 的最大值 .
( x 1)的最小值 .
9/27/2012
课堂小结：
基本不等式的三个条件: 一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）
三、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；
四多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的

a
2
b 2
2
9/27/2012
新课引入：
你可以把一段16cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4cm的正方形；长5cm宽3cm的矩形；长6cm宽2cm的矩形………你会发现边长为4cm正方形的面积最大，面积为16cm2的所有不同形状的矩形中，边长为4cm正方形的周长最小

3.2基本不等式与最大(小)值

)
x 2 +
2
2
1 x 2
2
2 (B)y=sin x+ 2 sin x 1 (C)y= log x+2log 3(0<x<1) 2 1 (D)y= e +2e 2
3 x x -x
2 1 (2)若对 x>0,y>0 有(x+2y)· ≥m x y
恒成立,则 m 的取值范围是 .
2 ,2x+y=1, 2,
∴
1 xy
≥2
1 1 ∴ + x y
≥
2 xy
≥4
2,
1 1 即 + x y
的最小值是 4
2.
(不正确,因为在两次应用基本不等式时,等号成立的条件不一致)
(2)如何求解含条件形如 ax+by=m(a、b、x、 y 均为正数)的最值问题?
( 应用常值代换,
1 一般把 ax+by=m 化为 (ax+by)=1,在待求 m
1 x (200 x) 3 2
)
跟踪训练 1-1:(1)(2010 年高考山东卷)
x 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立, x 3x 1
则 a 的取值范围是 .
1 (2)已知:0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最 3
大值.
(1)解析:因为 x>0,
x 1 所以 2 = 1 x 3x 1 x 3 x
最值式中,找出或凑出 1 代换求值,注意转化与化归思想的应用 )
跟踪训练 2-1:函数 y=loga(x+3)-1(a>0, a≠1)的图像恒过定点 A,若 A 在直线

高中数学必修一3.2 第2课时基本不等式与最大(小)值

3.2 基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值课后训练·巩固提升1.若x>0,y>0,且x +y =1,则xy 有( )A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64xy=(2x +8y )xy=2y+8x ≥2√2y ·8x =8√xy ,∴√xy ≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是16.2.已知x ,y ,z 为正实数,则xy+yz x 2+y 2+z 2的最大值为( ) A.2√35 B.√22 C.45 D.23 x 2+12y 2≥√2xy ,z 2+12y 2≥√2yz ,x 2+y 2+z 2≥√2(xy+yz ), ∴xy+yz x 2+y 2+z 2≤√22,当且仅当x=z=√22y 时等号成立,故选B . 3.函数y=√x x+1的最大值为( )A.25B.12C.√22D.1 t=√x (t ≥0),则x=t 2,∴y=√x x+1=t t 2+1. 当t=0时,y=0;当t>0时,y=1t 2+1t =1t+1t .∵t+1t ≥2,∴0<1t+1t ≤12,当且仅当t=1时取等号,∴y 的最大值为12,此时x=t 2=1.4.若xy 是正数,则(x +12y )2+(y +12x )2的最小值是( )A.3B.72C.4D.6+12y )2+(y +12x )2=x 2+y 2+14(1x 2+1y 2)+x y +y x =(x 2+14x 2)+(y 2+14y 2)+(x y +y x ) +2=4. 当且仅当x=y=√22,或x=y=-√22时取等号.5.若函数y=x+1x -2(x>2)在x=a 处取最小值,则a=( )√2 B.1+√3 C.3 D.4 y=x+1x -2=x-2+1x -2+2. ∴x-2>0,∴y=x-2+1x -2+2≥2√(x -2)·1x -2+2=4,当且仅当x-2=1x -2,即x=3时等号成立.,y 在x=a 处取最小值,∴a=3.8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为240元/m 2和/m 2,那么水池的最低总造价为元.x m,宽为y m,水池总造价为z 元,根据题意,有2xy=8,则xy=4,于是4+160(2×2x+2×2y )=960+640(x+y )≥960+1280√xy1280×2=3520.x ,y 满足x+3y=5xy ,求3x+4y 的最小值.x+3y=5xy ,所以1y +3x =5,所以3x+4y=15(1y +3x )(3x+4y )=15(3x y +12y x )+135≥15×2×√36+135=5, 当且仅当3x y =12y x ,即x=2y 时取等号. 由{x +3y =5xy ,x =2y ,得{x =1,y =12,所以当x=1,y=12时,3x+4y 取得最小值5. ∞) B.[9,+∞) C.(0,9] D.(0,6]a ,b 是正数,∴ab=a+b+3≥2√ab +3(当a=b 时取“=”),即ab-2√ab -3≥0,∴√ab ≥3,或√ab ≤-),∴ab ≥9.2.已知点A (m ,n )在一次函数y=12−12x 的图象上,其中mn>0,则2m +1n 的最小值为( )√2 B.8 C.9 D.12 A (m ,n )在函数y=12−12x 的图象上,所以m+2n=1, 所以2m +1n =(m+2n )(2m +1n )=2+m n +4n m +2≥4+2√m n ·4n m =8,当且仅当m=2n=12时取等号.3.设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当z xy 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94=x 2-3xy+4y 2xy =x y +4y x -3≥2√x y ·4y x -3=1,当且仅当x=2y 时等号成立,此时z=4y 2-6y 2+4y 2=2y 2,y-z=4y-2y 2=-2(y-1)2+2≤2.0,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .a>0,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.由不等式x+y 2≤√x 2+y 22可知,√a+1+√b+32≤√a+1+b+32=3√22,所以√a +1+√b +3的最大值为3√2,当且仅当a=72,b=32时取等号.√25.已知两个正数x ,y 满足x+y=4,则使不等式1x +4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是 .x+y=4,∴x 4+y 4=1,∴1x +4y =(1x +4y )(x 4+y 4)=14+y 4x +x y +1=54+y 4x +x y ≥54+2√y 4x ·x y =54+2×12=94,当且仅当{y 4x =x y ,x +y =4,即{x =43,y =83时,取“=”,因此要使1x +4y ≥m 恒成立,只需m ≤94即可,故m 的取值范围是(-∞,94].-∞,94]6.已知a>0,b>0,且2a +1b ≥m 2a+b 恒成立,求m 的最大值. 因为2a +1b ≥m 2a+b ,所以m ≤(2a +1b )(2a+b )恒成立,所以m ≤[(2a +1b )(2a+b )]min . 而(a +1b )(2a+b )=5+2b a +2a b ≥5+2√4=9, 当且仅当a=b 时等号成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.7.已知正数x ,y 满足1x +1y =1,则4x x -1+9y y -1的最小值为 .9yy -1=41-1x +91-1y =41y +91x =9x+4y=(9x+4y )(1x +1y )=13+4y x +9x y ≥25,当且仅当x=53,y=52时取等2020年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位:万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位:万元)满足x=3-k m+1(k 为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2020年厂家销售该产品获得的利润y (单位:万元)表示为年促销费用m 的函数;2020年的促销费用为多少万元时,获得的利润最大?由题意,可知当m=0时,x=1, ∴1=3-k ,解得k=2,∴x=3-2m+1, 又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx 元,∴y=x (1.5×8+16x x )-(8+16x+m )=4+8x-m=4+8(3-2m+1)-m=-[16m+1+(m +1)]+29(m ≥0).(2)∵m ≥0,16m+1+(m+1)≥2√16=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时等号成立,∴y ≤-8+29=21,∴y max =21. 故该厂家2020年的促销费用为3万元时,获得的利润最大,最大利润为21万元.。