中考数学-圆的切线证明方法

专题-------圆的切线证明

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

D

∴OD∥AC.

∵DM⊥AC，

∴DM⊥OD.

∴DM与⊙O相切

证明二：连结OD，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900.

即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线

例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.

求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD.

∴DC 是⊙O 的切线.

例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP .

求证：PC 是⊙O 的切线.

C

D

证明：连结OC

∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，

OC

OP

OD OC

. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.

二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切.

证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵D F⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF.

∴F在⊙D上.

∴AC与⊙D相切.

练习：（公共点明确，连半径，证垂直；公共点不明，做垂直，证半径）

1．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。

(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求CF:CE 的值。

2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若35AC AB ，求

AF

DF

的值。

(第1题图) B

3．如图，Rt ABC

△中，90

ABC

∠=°，以AB为直径作O

⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O

⊙的切线；

（2）连接OC交DE于点F，若OF CF

=，求tan ACO

∠的值．

4．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．

(1) 求证：直线PB与⊙O相切；

(2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

C E B

A

O F

D

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