第二章 物体的弹性

2.体变模量 体变模量(bulk modulus) 体变模量
体变时的弹性模量叫做体变模量，用符号 体变时的弹性模量叫做体变模量，用符号K 表示 体变模量
∆PV0 K =− =− θ ∆V ∆P
式中负号表示体积缩小时， 式中负号表示体积缩小时，压强是增大的 压缩率(compressibility): 压缩率 体变模量的倒数称为压缩率 用符号k 压缩率， 体变模量的倒数称为压缩率，用符号 表示
V −V0 ∆V = θ= V0 V0
∆V >0 时，θ 为正 0 ∆V < 0时，θ 为负
3．切应变（shearing strain） ．切应变（ ）
当一个正方体在一对切向力（剪力） 的作用下， 当一个正方体在一对切向力（剪力）F 的作用下，发生 切向形变，方块的上下底面产生相对位移△ ， 切向形变，方块的上下底面产生相对位移△x，二底面垂 比值△ 称为物体的切应变 剪应变， 切应变或 直距离为d，比值△x/d 称为物体的切应变或剪应变，用 符号γ 表示
F σ= S
物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力 物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力 线应变时， 线应变时，内力方向与截面正交 张应力 压应力 正应力
2．体应力（volume stress） ． ）
如果物体（ 各向同性）受到的压强发生变化时， 如果物体 （ 各向同性 ） 受到的压强发生变化时 ， 物体 将发生体应变。体应力用压强的增量△ 来表示。 将发生体应变。体应力用压强的增量△P 来表示。 体应力是压应力。 体应力是压应力。
二、管形弹性腔的力学问题
半径为R 半径为 的弹性管 设单位长度上的弹性膜张力为T， 设单位长度上的弹性膜张力为 ， 选管中任一长为l 选管中任一长为 的圆弧段为研究对象 F =T 2l sinθ 向下合力 F =∆P2l R sinθ ∆ 压力为 张力和压力平衡时 T 2l sinθ =∆P2l R sinθ ∆
1.杨氏模量(Young modulus) 1.杨氏模量( 杨氏模量 )
拉伸或压缩时的弹性模量称为杨氏模量， 拉伸或压缩时的弹性模量称为杨氏模量，用 称为杨氏模量 符号E 符号 表示
F L0F σ = S E= = ∆L S∆L ε L0
F L0F σ = S E= = ∆L S∆L ε L0
ES F =( )∆L = k∆L L0
∆d ∆l =µ d l0
式中μ是材料的特征常数（纯数），称为泊松比 式中μ是材料的特征常数（纯数），称为泊松比 ），
一些常见材料的杨氏模量、弹性限度和强度(单位： 表2-1 一些常见材料的杨氏模量、弹性限度和强度(单位：Pa) 材料 不锈钢 熟铁 铜 铝 玻璃 花岗石 砖 木材 拉伸） 骨（拉伸） 骨（压缩） 压缩） 腱 橡胶 血管 杨氏模量 19.7×1010 × 19.0×1010 × 12.6×1010 × 6.8×1010 × 5.5×1010 × 5.0×1010 × 2.0×1010 × 1.0×1010 × 1.6×1010 × 0.9×1010 × 0.2×108 × 0.01×108 × 0.002×108 × 弹性限度 30×107 × 17×107 × 20×107 × 18×107 × 抗张强度 50×107 × 33×107 × 40×107 × 20×107 × 5×107 × — — — 12 ×107 — 抗压强度 — — — — 110×107 × 20×107 × 4×107 × 10×107 × — 17×107 ×
一粗细均匀各向同性的细棒原长为L 在外力F 一粗细均匀各向同性的细棒原长为 0，在外力 的作用下 被拉长，伸长量为△ 。 与原长L 被拉长，伸长量为△L。△L与原长 0的比值称为该物体的 与原长 拉伸应变或张应变， 拉伸应变或张应变，用符号ε 表示
L− L0 − ∆L ε= = L0 L0
L0
F ∆L F
第一节 应变和应力 2.1 Strain and stress
一、应变(the strain) 应变
物体的体积、 长度和形状的变化与其原有值之比， 物体的体积 、 长度和形状的变化与其原有值之比 ， 称为应变。 称为应变。 线应变 应变 体应变 切应变 L0
F ∆L F
∆x
F
d ϕ
F
L
1．线应变（linear strain） ．线应变（ ）
L 当物体在外力作用下被压缩时， 表示缩短量， 当物体在外力作用下被压缩时，△L 表示缩短量，应变ε为 压应变。 负值，此种应变称为压应变 负值，此种应变称为压应变。 张应变和压应变都是线应变
2．体应变（volume strain） ．体应变（ ）
如果各向同性的物体在各个方向上受到的压力的改 变量相同时，物体的形状不变， 变量相同时 ， 物体的形状不变， 仅仅发生体积的变 体积的改变量∆ 与原体积 与原体积V 叫做体应 化 ， 体积的改变量 ∆ V与原体积 0 之比 ， 叫做 体应 变，用符号θ 表示
1.0 ×1010 1.0 ×1010
试证明教材23页 作业二 试证明教材 页（2-4）式下一行文字 ） 中的结论——不可压缩材料（即：压缩前后总 不可压缩材料（ 中的结论 不可压缩材料 体积不变） 体积不变）的 µ = 0.5 同时请大家帮助解决一位同学遇到的困惑： 同时请大家帮助解决一位同学遇到的困惑：若 某长方体（横截面积为 × ，长度为2） 某长方体（横截面积为4×4，长度为 ）拉伸后 横截面积变为3× ，长度变为3， 横截面积变为 ×3，长度变为 ，满足µ = 0.5， 但是拉伸后总体积却变小了！ 但是拉伸后总体积却变小了！—— 错在什么地 方？为什么？ 为什么？
第二章 物体的弹性
物体受到外力作用时，将其形状和大小的改变叫做形变 物体受到外力作用时，将其形状和大小的改变叫做形变 去掉外力后物体能够完全恢复原状的性质称为弹性 去掉外力后物体能够完全恢复原状的性质称为弹性 弹性形变 形变 塑性形变 去掉外力后物体能够 完全恢复原状的形变 称为弹性形变 称为弹性形变 去掉外力物体不能 再完全恢复原状的 形变称为塑性形变 形变称为塑性形变
周边所受到的向下的合力
F = [2π (Rsinθ) T ] sinθ π = 2πRTsin2θ π
球冠所受压力的向上分力
F = ∆P π (Rsinθ) 2
在平衡状态时，上球冠所受到的张力和压力应大小相等， 在平衡状态时，上球冠所受到的张力和压力应大小相等， 方向相反
2πRTsin2θ =∆PπR2sin2θ π ∆ π
a点为正比极限 点为正比极限 b点为弹性极限 点为弹性极限 点为 c点为断裂点 点为断裂点 点为
展性 εb与εc差值较大 脆性 εb与εc差值较小
二、弹性模量(elastic modulus) 弹性模量
胡克定律： 胡克定律： 正比极限范围内应力与应变成正比 应力与应变的比值叫做该物体的弹性模量 应力与应变的比值叫做该物体的弹性模量 应力= 弹性模量× 应力 弹性模量×应变
讨论： 讨论：弹性 ∆L S∆L ε L0
的弹性圆棒，受到一拉力F 设有一原长为L0、截面积为S的弹性圆棒，受到一拉力 如果不考虑其截面积的微小变化， 的作用伸长到 L ， 如果不考虑其截面积的微小变化 ， 棒 所受到的拉力或所受到的内力为
L− L− L0 ES F = ES = ∆L L0 L0 ES = k 为定值 L0
W =∫
x
0
1 2 Fdx = ∫ kxdx = kx 0 2
x
上式表明： 上式表明：外力克服弹性力作功的结果是将其它 形式的能量转变成弹性体的弹性势能。 形式的能量转变成弹性体的弹性势能。弹性势能 的大小与伸长量的平方成正比， 的大小与伸长量的平方成正比，同时还与弹性体 自身的性质成正比。 自身的性质成正比。
x =∆L= L-L0 ∆ -
F=kx
表示弹性体的伸长量 表示弹性体的伸长量
k 为弹性体的力常数或叫做倔强系数 弹性体的力常数或叫做倔强系数(force constant) k 的单位: 的单位: N m-1
弹性体所受到的外力F 随着伸长量x的改变而不同 弹性体所受到的外力 随着伸长量 的改变而不同 弹性体在伸长过程中外力对弹性体所作的总功为
1Pa = N m-2
总之，应力就是作用在单位截面积上的内力 总之， 法向应力 与截面正交的应力
应力
切向应力
与截面平行的应力
在复杂形变中，可以同时具有正应力和切应力。 在复杂形变中，可以同时具有正应力和切应力。
第二节 弹性模量
一、弹性和塑性（elasticity and plasticity） 弹性和塑性（ ）
T ∆P = R
上式叫做管形弹性膜的拉普拉斯公式， 上式叫做 管形弹性膜的拉普拉斯公式， 常用它分析血管 管形弹性膜的拉普拉斯公式 的跨膜压
2πRTsin2θ =∆PπR2sin2θ π ∆ π
2T ∆P = R
上式叫做球面膜的拉普拉斯公式 上式叫做球面膜的拉普拉斯公式(Laplace′s formula) 球面膜的拉普拉斯公式 ′ 说明由弹性膜所形成的球面内外存在着压强差 在生理学上把细胞膜内外的压强差叫做跨膜压 在生理学上把细胞膜内外的压强差叫做跨膜压
∆x = tgϕ γ= d
ϕ为切变角。在形变很小时， 为切变角。在形变很小时， 一般都很小， 切变角ϕ 一般都很小，
d
ϕ
∆x
F
F
γ =ϕ
二、应力（stress） 应力（ ）
物体内部单位面积上受到的内力称为应力 物体内部单位面积上受到的内力称为应力
1．正应力 (normal stress) )
的大小成正比， 物体的拉伸应变与物体所受到的张力 F 的大小成正比， 成反比。 与物体的横截面积 S 成反比。 在外力F作用下，物体被拉伸时，物体内部单位面积上受 在外力 作用下，物体被拉伸时， 作用下 到的内力，叫做拉伸应力 张应力， 拉伸应力或 到的内力，叫做拉伸应力或张应力，用符号σ 表示