4-几种特殊形式的光波-平面波

=
0
∇
2
r H
− με
∂
2
r H
∂t 2
=0
1. 平面光波 (Plane Light Wave)
首先说明：¾ 光波中包含有电场矢量和磁场矢量；
¾ 从波的传播特性来看，它们处于同样
的地位；
¾ 但从光与介质的相互作用来看，其作 用不同：
9 在通常应用的情况下，磁场的作 用远比电场弱，甚至不起作用；
9 通常把光波中的电场矢量 E 称为 光矢量，把电场 E 的振动称为光
r E(z, t )
=
r 2π ⋅ j( z / λ − ft ) E e0
=
r E0e
−
j(ωt −kz )
采用这种形式，就可以用简单的指数运算代 替比较繁杂的三角函数运算。
光场复数表示下光强的计算：
光强是振幅的平方E20； 复数形式下强度是复数场乘以它的共轭复
数，即，
E⋅
E*
=
E e − j(ωt −kz ) 0
种形式取实部得到相同的函数。
复数表示，可以将时间相位因子与空间
相位因子分开来写
E
=
E e − j(ωt −kz ) 0
=
( E0e jkz )e − jωt
=
E~0e − jωt
其中：E~0 = E0e jkz 称为复振幅。
若考虑场强的初相位，复振幅为
E~0
=
E e j(kz−ϕ0 ) 0
¾ 复振幅表示场的振幅和相位随空间的变化； ¾ 在许多应用中，由于 exp(-jωt) 因子在空间各处
则波动方程为：
∂
2
r f
∂x 2
−
1 v2
∂
2
r f
∂t 2
=
0
为了求解波动方程，先将其改写为：
(∂
−1
∂
)( ∂
+1
∂
r )f =0
∂z v ∂t ∂z v ∂t
变量代换，令
p = z − vt q = z + vt
可以证明
∂
= 1( ∂
−1
∂ )
∂p 2 ∂z v ∂t
∂
= 1(∂
+1
∂ )
∂q 2 ∂z v ∂t
几种特殊形式的光波
(Several Light Waves with Special Forms )
1. 平面光波 (Plane light wave) 2. 球面光波 (Spherical light wave) 3. 柱面光波 (Cylindrical light wave) 4. 高斯光束 (Gaussian beams)
由于此时的波阵面是垂直于传播方向 z 的 平面，所以 fl 和 f2 是平面光波。
x
O kz
y
rr
r
r
r
f = f1( p) + f2(q) = f1(z − vt) + f2 (z + vt)
在一般情况下，沿任一方向 k、以速度 v 传播 的平面波，如下图所示。
x
k
O
y
z
1-2单色平面光波
rr
r
r
3
¾ 假设有一个平面光波的波矢量 k 平行于 xOz 平
面，在 z＝0 平面上的复振幅为
E~0
=
E ej
(
r k
⋅rr
−ϕ
0
)
0
=
E e e − jϕ0 jkx⋅sinγ 0
式中的 γ 为 k 与 z 轴的夹角。 x
γ
z
O
E
x
γz O
E
z=0
⎫
kx = k sin γ
⎪ ⎬
⇒
k
⋅
r
=
kx
⋅
x
=
kx sin
r
f = f1( p) + f2(q) = f1(z − vt) + f2 (z + vt)
波动方程在平面光波情况下的一般解形式。 根据具体条件的不同，可以采取不同的具体
函数表示。 最简单、最普遍采用的是三角函数形式，即：
f = f1( p) + f2(q) = Acos( p) + B sin(q) = Acos(ωt − kz) + B sin(ωt + kz)
1.2 几种特殊形式的光波
上节得到的交变电场 E 和交变磁场 H 所满足的波动
方程，可以表示为如下的一般形式：
∇2
r f
− με
∂
2
r f
∂t 2
=
0
这是一个二阶偏微分方程。
根据边界条件的不同，解的具体形式也不同，
例如，可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束。
∇
2
r E
− με
∂
2
r E
∂t 2
都相同，所以只考察场的空间分布。
x
O
k z 沿 z 方向传播
y
沿任一波矢 k 方向传播的平面简谐光波为：
x
k
O
r
y
z
实数表示：
E
=
E0
cos(ωt
−
r k
⋅
rr
+
ϕ0
)
复数表示：E~
=
E e−
j
(ωt
−
r k
⋅rr
+ϕ
0
)
0
=
E~0e− jωt
相应的复振幅为：
E~0
=
E e j(kr⋅rr−ϕ0 ) 0
因而，上面的方程变为：
∂
2
r f
=0
∂p∂q
求解该方程，f 可表示为
rr
r
r
r
f = f1( p) + f2 (q) = f1(z − vt) + f2(z + vt)
对于式中的 f1 (z - υ t)，
(z - υ t)为常数的点都处于相同的振动状态。 如图所示，t＝0 时的波形为 I，t＝t1时的波形Ⅱ
（f）、圆频率（ω）表征；
而由时空的对称性，空间周期性： 可用 λ、1/ λ 、k 表征，并分别可
以称为空间周期、空间频率和空间
圆频率。
2
r E
=
er
⋅
E0
cos[2π (
f
⋅
t
−
z λ
)]
单色平面光波的时间周期性与空间周期性密切相关,
并由 f ＝υ / λ 相联系。
为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复 数形式。
单色/ 单频：
方向不变
一个单色平面光波是一个在时间上无限
延续，空间上无限延伸的光波动，在时
属间于、时空空间周中期均量具：有周Er 期= 性er ⋅。E0 cos(ωt − kz)
= =
er er
⋅ ⋅
E0 E0
cos[2π ( f cos[2π ( t
T
⋅ −
t− z
z λ
)]
λ
)]
时间周期性:用周期（T）、频率
γ
k ⋅ r = kx ⋅ x + kz ⋅ z⎪⎭
4
⋅
E e + j(ωt −kz ) 0
=
E02
几点说明：


任意描述真实存在的物理量的参量都应
当是实数；
采用复数形式只是数学上运算方便；
复数形式的量进行线性运算后，只有取
实部后才有物理意义；
对平面简谐)]两种形式完全等效。 由于对
复数函数 exp[-j(ωt-kz)]与exp[j(ωt-kz)] 两
振动；
9 在讨论光的波动特性时，只考虑 电场矢量 E 即可；
作业：请找出E和H之 间的耦合数学关系。
9 E和H之间有一耦合关系，知道E 后，H可数学算出；反之亦然。
1-1、波动方程的平面光波解
在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式 为：
∇2 = ∂2 + ∂2 + ∂2 ∂x2 ∂y2 ∂z2
为简单起见，假设 f 不含 x、y 变量，
其中 : f1( p) = Acos( p); f2(q) = B sin(q)
若只计沿 + z 方向传播的平面光波，其电场E表示 式为：
r E
=
er
⋅
E0
cos(ωt
−
kz)
=
er
⋅
E0
cos[ω (t
−
z v
)]
=
er ⋅
E0
cos[2π ( t T
−
z λ
)]
这就是平面简谐光波的三角函数表示式。式中，e 是 E 振动方向上的单位矢量。
r E(z, t )
=
er ⋅
E0
cos[2π (
f
⋅t
−
z λ
)] =
er ⋅
E0
Re{e 2π ⋅ j(z / λ −
ft ) }
ψ (z, t ) = Ae2πj(z / λ − ft )
= A[cos 2π (z / λ − ft) + j sin 2π (z / λ − ft)]
例如，可以将沿 z 方向传播的平面光波写成
相对于波形 I 平移了υ t1 , ……。
1
f
Ⅰ t=0
t1
υt1
t2
t
z Ⅱ
Ⅲ
f1(z - υ t) 表示的是沿 z 方向、以 υ 速度传播的波； 类似地，分析可知 f2(z + υ t) 表示的是沿 - z 方向、以速度