两类阶次分布参数系统的控制研究
自控原理 二阶系统
自控原理二阶系统自控原理是控制工程的基础知识之一，其中的二阶系统更是控制工程中的重要组成部分。
二阶系统通常由两个一阶系统级联或串联而成，具有比一阶系统更高的动态性能和控制精度。
在现实生活中，我们常常可以遇到二阶系统的例子。
比如，我们乘坐的汽车通常都是由发动机和传动系统来控制车辆的速度和行驶方向，这就是一个典型的二阶系统。
在这个系统中，发动机和传动系统分别起到加速和减速的作用，通过调节二者之间的协调关系来实现对汽车行驶状态的控制。
二阶系统的特点之一是具有振荡性。
在控制工程中，我们常常会遇到振荡现象，就好比一个摆动的钟摆。
这种振荡现象往往会对系统的稳定性产生负面影响，因此在设计二阶系统时需要注意对振荡进行控制。
控制二阶系统的一种常用方法是PID控制器，即比例-积分-微分控制器。
PID控制器通过对系统进行反馈调节，根据系统输出与期望输出之间的差异进行比例、积分和微分运算，从而实现对系统的精确调节和控制。
除了PID控制器，还有许多其他的控制方法可以应用于二阶系统。
例如，模糊控制和神经网络控制等，这些方法能够通过建立适当的数学模型来实现对二阶系统的控制。
在实际应用中，二阶系统广泛应用于各个领域，如航空航天、工业自动化、医疗仪器等等。
在飞行器中，二阶系统可以用来控制飞机的姿态和高度；在工业领域中，二阶系统可以用于控制机器人的运动和精确定位；在医疗仪器中，二阶系统可以用来控制心脏起搏器的工作频率和波形等。
总之，二阶系统作为自控原理中的重要组成部分，具备振荡性和动态性能较高的特点。
通过合理设计和选择控制方法，我们可以对二阶系统进行精确的调节和控制，从而实现对系统的稳定性和性能的优化。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适当的控制方法，以满足系统的要求，提高生产效率和工作质量。
二阶系统分析
573.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。
系统闭环传递函数为Ks s T Ks ++=Φ21)(化成标准形式2222)(nn ns s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 121)(22++=Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6）式中，KT T 1=，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。
ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。
二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。
二阶系统闭环特征方程为02)(22=++=n n s s s D ωξω其特征特征根为122,1-±-=ξωξωλn n若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。
如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数te1λ，te 2λ，, tn eλ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。
如果特征根中有多重根λ，则模态是具有tte λ， ,2t e t λ形式的函数。
如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与te )j (ωσ-可写成实函数模态t etωσsin 与t e t ωσcos 。
每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。
3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为()n T ωξξλ11211---=-= ()n T ωξξλ11222-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换sT s T s s R s s C n1)1)(1()()()(212++==ωΦ进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(211221-+-+=--T T eT T e t h T t T t0≥t （3-7）59过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。
二阶系统闭环参数ω和对时域响应ξ的影响
二阶系统闭环参数ω和对时域响应ξ的影响闭环系统的参数ω和ξ对系统的动态响应有着重要的影响。
ω是系统的自然频率，决定了系统的振荡速度；ξ是系统的阻尼比，决定了系统的振荡衰减速度。
本文将从时间域分析闭环系统对ω和ξ的影响，具体表现在系统的稳态误差、超调量、上升时间和振荡周期等方面。
首先，稳态误差是指系统在输入信号稳定后的偏差大小。
对于二阶系统，稳态误差与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，稳态误差较小。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，稳态误差较大。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，稳态误差较小。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，稳态误差较大。
其次，超调量是指系统响应的最大偏差值与系统稳定值之间的差别。
对于二阶系统，超调量也与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，超调量较小。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，超调量较大。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，超调量较小。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，超调量较大。
再次，上升时间是指系统从0%到100%响应稳定值所需的时间。
在二阶系统中，上升时间与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，上升时间较短。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，上升时间较长。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，上升时间较短。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，上升时间较长。
最后，振荡周期是指系统响应从一次峰值到下一次峰值所经历的时间。
对于二阶系统，振荡周期也与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，振荡周期较短。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，振荡周期较长。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，振荡周期较短。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，振荡周期较长。
综上所述，二阶系统的参数ω和ξ对系统的动态响应有着重要的影响。
其中，ω决定了系统的振荡速度，ξ决定了系统的振荡衰减速度。
二阶系统的控制方法
二阶系统的控制方法
有多种控制方法可用于二阶系统，以下是其中几种常见的控制方法：
1. 比例控制（P控制）：在比例控制中，控制器的输出与误差
信号成正比。
该控制方法能够提供输出信号的调节，但无法解决系统的稳定性和超调问题。
2. 比例-积分控制（PI控制）：在比例-积分控制中，控制器的
输出由误差信号的比例和积分组成。
积分项可以消除稳态误差，并提供更好的稳定性和抗干扰能力。
3. 比例-微分控制（PD控制）：在比例-微分控制中，控制器
的输出由误差信号的比例和微分组成。
微分项可以提供更快的响应速度，并减小超调现象。
4. 比例-积分-微分控制（PID控制）：PID控制是最常用的控
制方法之一，将比例、积分和微分三个项结合起来。
PID控制
器能够提供快速响应、稳态精度和抗干扰能力。
此外，还有一些高级控制方法适用于二阶系统，如模糊控制、自适应控制和最优控制等。
选择合适的控制方法需要考虑到系统的性能指标、控制要求和实际应用等因素。
二阶系统的频率响应与频率特性测量
实验四二阶系统的频率响应与频率特性测量一、实验目的1．掌握频率特性的实验测试方法，进一步理解频率特性的物理意义2．掌握根据频率响应实验结果绘制Bode图的方法3．根据二阶系统的Bode图，确定系统的数学模型4．掌握二阶系统的频域指标与时域指标的对应关系二、实验仪器与设备1．自动控制原理学习机2．计算机（安装自动控制原理实验系统）3．万用表及接线三、实验原理1．输入、输出波形直接测试法如图4-1所示，给定的被测对象是一个稳定的系统。
由实验系统提供正弦信号，每选择一个频率，即可利用实验系统获得输入、输出随时间变化的曲线，取输出稳定后同周期的输入、输出曲线如图4-2。
图4-1 测量被控系统的频率响应图4-2 稳定后系统的输入输出曲线幅频特性)(2)(2)(ωωωmmXYjG=相频特性oTtjG360)(⨯∆-=∠ω2．李沙育图形法取被测对象某一选定频率下的输入信号x （t ）和输出信号y （t ）（去掉不稳定部分），利用实验系统做X-Y 图，得到一个椭圆图形，如图4-3所示。
图4-3 李沙育图形幅频特性：)(2)(2)(ωωωm m X Y j G =相频特性：如图4-3，椭圆长轴在第一、三象限，()()()ωωωφm 01-2Y 2Y sin=若椭圆长轴在第二、四象限，()()()ωωωφm 01-o 2Y 2Y sin-180=随着角频率的增加，大多数情况下椭圆逆时针运动，表明输出信号Y （t ）滞后于输入信号X （t ），相位的计算结果要添加一个负号，如果椭圆顺时针运动，Y （t ）超前于X （t ），计算结果为正。
幅值取两倍是为了便于测量。
3．测试频率的选取选取合适的实验测试频率范围是准确确定系统频率特性的关键。
控制系统多为低通滤波器，在频率很低时，系统的输出能够复现输入信号，通常，取被测对象转折频率的1/10作为起始测试频率，若对象模型未知，则先确定最大测试频率，方法是先测出输入信号频率为0时输出的幅值Y （0），逐渐增大输入信号频率，直至输出幅值Y m 为Y （0）/（50-100），此时频率便可确定为最大测试频率，测试频率可以在0与max ω之间选取若干点。
二阶系统的最优控制
二阶系统的最优控制Ξ肖 滨(海军潜艇学院 青岛 266071) 摘 要 应用最优控制理论验证了二阶系统最优控制为典型的Bang 2Bang 控制,通过理论推导得出了其相轨迹,并讨论了二阶系统最优控制的实现。
关键词 最优控制 二阶系统 Bang 2Bang 控制The Opti m al Con trol of Second -Order SystemX iao B in(N avy S ub m arine A cad e m y ,Q ing d ao ,266071) ABSTRACT T h is paper demo strated that the op ti m al contro l of second 2o rder system is the typ ical Bang 2Bang contro l by app lying the Op ti m al Contro l T heo ry .T he state track about th is contro l m ethod is obtained also by using theo ry inference ,and how to realize the op ti m al contro l of second 2o rder system is discussed deep ly at last .KEY WOR D S op ti m al contro l ,second 2o rder system ,Bang 2Bang contro l在雷达声纳等控制系统中,都涉及到目标自动搜索及跟踪问题,而其控制一般都采用闭环自动控制和调整实现,对于二阶系统而言,如何获得最优控制,使系统动态性能达到最快速的跟踪控制效果,一直是人们所关注的问题。
二阶系统的传递函数为 H (S )=k mS (S T m +1)(1)采用图1所示的闭环控制后,其传递函数为H (S )=K m T mS 2+S T m +K m T m (2)图2是二阶闭环系统阶跃响应曲线,可以看出:当系统阻尼太大时,系统响应时间长;而当系统阻尼太小时,输出超调量又太大。
典型二阶系统的z变换
典型二阶系统的z变换摘要：1.引言2.二阶系统的定义和特点3.Z 变换的定义和性质4.典型二阶系统的z 变换方法5.典型二阶系统的z 变换应用6.结论正文：1.引言在控制系统中，二阶系统是一种常见的系统类型，其动态性能和稳定性至关重要。
为了更好地分析这类系统，我们需要了解其数学模型以及相关的变换方法。
其中，Z 变换是一种常用的数学工具，可以有效地分析和设计二阶系统。
本文将介绍典型二阶系统的Z 变换方法及其应用。
2.二阶系统的定义和特点二阶系统是指其传递函数中包含两个存储器的系统，通常用一阶系统G(s) 和二阶系统H(s) 的串联或并联组合来描述。
二阶系统的特点是其阶跃响应存在超调量和稳态误差，且系统的稳定性取决于系统的阻尼比。
3.Z 变换的定义和性质Z 变换是一种在复平面上的积分变换，可以将系统的时域信号转换为频域信号。
其定义为：Z 变换Y(z) = ∫X(s)e^(-s/z)ds，其中X(s) 为输入信号，Y(z) 为输出信号，z 为复变量。
Z 变换具有以下性质：线性性、时域卷积定理、时域微分定理、初值定理等。
4.典型二阶系统的z 变换方法对于典型的二阶系统，我们可以通过求解微分方程或传递函数的方式得到其Z 变换。
具体方法如下：(1) 求解微分方程：首先将系统的微分方程转换为传递函数G(s)，然后通过Z 变换求解得到输出信号的Z 域表示。
(2) 传递函数直接求解：对于已知的传递函数G(s)，可以直接利用Z 变换的定义进行计算。
5.典型二阶系统的z 变换应用(1) 分析系统稳定性：通过求解系统的Z 变换，可以得到系统的频率响应，从而分析系统的稳定性和稳态误差。
(2) 设计系统控制器：根据系统的Z 变换，可以设计合适的控制器，以满足系统的性能要求。
(3) 系统仿真和实验：通过Z 变换，可以在频域上进行系统的仿真和实验，便于观察系统的动态性能。
6.结论典型二阶系统的Z 变换是一种重要的数学工具，可以有效地分析和设计控制系统。
二阶系统的模糊控制
二阶系统的模糊控制本程序用于输出参考输入为1时的模糊控制系统响应，并进行典型二阶系统的模糊控制与传统PID控制的性能比较。
控制执行结构具有0.07的死区和0.7的饱和区，取样时间间隔T＝0.01。
模糊控制是利用模糊数学的基本思想和理论的控制方法，模糊控制原理图如下图所示yPID控制的本质是一个二阶线性控制器。
定义：通过调整比例、积分和微分三项参数，使得大多数的工业控制系统获得良好的闭环控制性能。
PID积分分离算法过程如下图所示在本模糊系统中输入变量有两个，e和ec，e代表系统的误差，ec代表系统误差的微分，e 与ec的范围都是-6到+6：a=addvar(a,'input','e',[-6 6]);a=addvar(a,'input','ec',[-6 6]);输出变量有一个，u表示对系统的控制，范围是-3到+3：a=addvar(a,'output','u',[-3 3]);PID控制与模糊控制的阶跃响应如下图所示模糊控制器的输入输出曲面如下图所示程序如下clc;num=10;den=[2,8,1];[a1,b,c,d]=tf2ss(num,den);x=[0;0];T=0.01;h=T;umin=0.07;umax=0.7;td=0.02;Nd=td/T;N=500;R=1*ones(1,N);%传统PID控制e=0;ec=0;ie=0;kp=5;ki=0.1;kd=0.001;for k=1:Nuu1(1,k)=-(kp*e+ki*ec+kd*ie);%延迟环节u=uu1(1,k-Nd);%死区和饱和环节if abs(u)<=uminu=0;elseif abs(u)>umaxu=sign(u)*umax;end%利用龙格-库塔法进行系统仿真k0=a1*x+b*u;k1=a1*(x+h*k0/2)+b*u;k2=a1*(x+h*k1/2)+b*u;k3=a1*(x+h*k2)+b*u;x=x+(k0+2*k1+2*k2+k3)*h/6;y=c*x+d*u;%计算误差、微分和积分e1=e;e=y-R(1,k)ec=(e-e1)/T;ie=e*T+ie;yy1(1,k)=y;end%模糊控制a=newfis('simple');a=addvar(a,'input','e',[-6 6]);a=addmf(a,'input',1,'NB','trapmf',[-6 -6 -5 -3]); a=addmf(a,'input',1,'NS','trapmf',[-5 -3 -2 0]); a=addmf(a,'input',1,'ZR','trimf',[-2 0 2]);a=addmf(a,'input',1,'PS','trapmf',[0 2 3 5]);a=addmf(a,'input',1,'PB','trapmf',[3 5 6 6]);a=addvar(a,'input','ec',[-6 6]);a=addmf(a,'input',2,'NB','trapmf',[-6 -6 -5 -3]); a=addmf(a,'input',2,'NS','trapmf',[-5 -3 -2 0]); a=addmf(a,'input',2,'ZR','trimf',[-2 0 2]);a=addmf(a,'input',2,'PS','trapmf',[0 2 3 5]);a=addmf(a,'input',2,'PB','trapmf',[3 5 6 6]);a=addvar(a,'output','u',[-3 3]);a=addmf(a,'output',1,'NB','trapmf',[-3 -3 -3 -2]); a=addmf(a,'output',1,'NS','trimf',[-2 -1 0]);a=addmf(a,'output',1,'ZR','trimf',[-1 0 1]);a=addmf(a,'output',1,'PS','trimf',[0 1 2]);a=addmf(a,'output',1,'PB','trapmf',[2 3 3 3]);%模糊规则矩阵rr=[5 5 4 4 35 4 4 3 34 4 3 3 24 3 3 2 23 3 2 2 1];r1=zeros(prod(size(rr)),3);k=1;for i=1:size(rr,1)for j=1:size(rr,2)r1(k,:)=[i,j,rr(i,j)];k=k+1;endend[r,s]=size(r1);r2=ones(r,2);rulelist=[r1,r2];a=addrule(a,rulelist);%采用模糊控制器的二阶系统仿真e=0;ec=0;x=[0;0];ke=60;kec=2.5;ki=0.01;ku=0.8;for k=1:N %输入变量变换到论域e1=ke*e;ec1=kec*ec;if e1>=6e1=6;elseif e1<=-6e1=-6;endif ec1>=6ec1=6;elseif ec1<=-6ec1=-6;endin=[e1,ec1]uu(1,k)=ku*evalfis(in,a)-ki*ie;if k<=Ndu=0elseu=uu(1,k-Nd)endif abs(u)<=uminu=0;elseif abs(u)>umaxu=sign(u)*umax;endk0=a1*x+b*u;k1=a1*(x+h*k0/2)+b*u;k2=a1*(x+h*k1/2)+b*u;k3=a1*(x+h*k2)+b*u;x=x+(k0+2*k1+2*k2+k3)*h/6;y=c*x+d*u;%计算误差、微分和积分e1=e;e=y(1,1)-R(1,k)ec=(e-e1)/T;ie=e*T+ie;yy(1,k)=y;end%绘制结果曲线kk=[1:N]*T;figure(1);plot(kk,R,'k',kk,yy,'r',kk,yy1,'b'); xlabel('时间（0.01秒)');ylabel('输出');gtext('模糊控制');gtext('PID控制'); figure(2);gensurf(a);。
南方电网安全稳定计算分析导则
Q/CSG 中国南方电网有限责任公司企业标准南方电网安全稳定计算分析导则Guide on security and stability analysis for CSG中国南方电网有限责任公司发布目次前言 (II)1 范围 (1)2 术语 (1)3 安全稳定计算数据 (2)4 安全稳定计算内容和标准 (5)5 安全稳定分析和措施 (10)6 安全稳定计算工作要求 (11)附录1（资料性附录）安全稳定计算分析报告 (13)前言为了规范南方电网的电力系统安全稳定计算分析工作，提高南方电网安全稳定水平，依据《电力系统安全稳定导则》（DL 755-2001），制定本标准。
电力系统安全稳定计算分析是电网安全稳定工作的重要一环，其的目的是通过对电力系统进行详细的仿真计算和分析研究，确定系统稳定问题的主要特征和稳定水平，提出提高系统稳定水平的安全稳定措施，指导电网的规划、建设和运行。
本标准在《电力系统安全稳定导则》（DL 755-2001）的基础上，对计算数据、计算标准以及计算管理等进行了更加具体的规定。
本标准由中国南方电网电力调度通信中心提出、归口并负责解释。
本标准的主要起草单位：中国南方电网电力调度通信中心本标准的参与起草单位：中国南方电网有限责任公司计划发展部、中国南方电网有限责任公司电网技术研究中心本标准的主要起草人：苏寅生、李建设、余文奇、吴小辰、胡飞雄、周剑、梁宇、柳勇军南方电网安全稳定计算分析导则1范围本标准规定了南方电网安全稳定计算分析工作应遵循的标准和要求。
本标准适用于南方电网的安全稳定计算分析及其管理。
南方电网公司各部门和单位应严格执行本标准，公司以外有关单位在进行南方电网的规划、设计、运行、试验和科研时，也应遵守本标准。
本标准适用于电压等级为220kV及以上电网，220kV以下电网可参照执行。
2术语2.1 N-1原则正常运行方式下的电力系统中发生发电机、线路、主变、直流单极、大型负荷等单一元件无故障或因故障断开，电力系统应能保持稳定运行和正常供电，其他元件不过负荷，电压和频率均在允许范围内。
自控二阶系统的分析与设计
好的解决自动控制方面的一些问题。
1.2设计要求
初始条件：某单位反馈系统结构图如图1所示：
图1
图2
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写
等具体要求）
9、 试求，上升时间，峰值时间，调节时间，超调量
10、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差
系数及输入信号为单位阶跃信号、斜坡信号及单位加
参考文献
[1]胡寿松.《自动控制原理（第四版）》.科学出版社 [2]王万良.《自动控制原理》.高等教育出版社 [3]薛定宇.《反馈控制系统设计与分析—MATLAB语言应用》.清华大学 出版社
课程设计任务书
31
学生姓名：
专业班级：
指导教师： 张立炎
工作单位： 自动化学院
题 目: 二阶系统综合分析与设计
初始条件：某单位反馈系统结构图如图1所示：
图1
图2
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写
等具体要求）
Hale Waihona Puke 1、 试求，上升时间，峰值时间，调节时间，超调量 2、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为单
设计过程中不仅要求我对知识的掌握能力，还要细心和耐心。一个
参数，一个符号的错误都会造成结果的很大偏差。这就要求我们认真仔 细的对待每一步的运算，了解每一步设计的含义，注意每一步程序的编 写。通过本次的课程设计是我学到了很难有机会学到的事，意识到了自 己的不足之处。在今后的学习中我要锻炼自己独立分析问题，解决问题 的能力，端正态度努力学习，不断的完善自己，充实自己。
即 根据标准型二阶系统传递函数可得： 当时 取5% 此时取 加入比例微分控制后的系统开环传递函数为： 闭环传递函数为： 由此可得： 零点为 根据图像可知当时 程序： num=[0.0084 0.6];den=[0.01 0.1084 0.6]
二阶系统的动态过程分析
二阶系统的动态过程分析二阶系统是指具有两个自由度的动态系统，常见的有二阶低通滤波器、二阶惯性系统等。
在工程和控制领域中，对二阶系统的动态过程进行分析有助于了解系统的响应特性、设计控制器以及优化系统性能。
一、二阶系统的数学模型一般来说，二阶系统可以用以下微分方程来描述：$M(s)Y(s)=S(s)X(s)$其中，$M(s)$表示系统的传递函数，$X(s)$和$Y(s)$分别表示输入和输出信号的拉普拉斯变换，$s$表示复频域变量。
对于线性、时不变的二阶系统，传递函数$M(s)$可以表示为：$M(s) = \frac{K}{(s+a)(s+b)}$其中，$K$表示系统的增益，$a$和$b$分别表示系统的两个极点。
极点的位置和系统的动态响应有密切关系。
二、二阶系统的零极点分布1.两个实根：当两个极点都为实数时，系统响应会表现出一种振荡的特点。
极点的距离越小，振荡的频率越高，振荡的衰减速度越快。
2.两个共轭复根：当极点为共轭复根时，系统响应不会出现振荡，而是呈现一种渐进衰减的特性。
共轭复根的实部决定了响应的衰减速度，虚部决定了振荡的频率。
3.一个实根和一个共轭复根：这种情况下，系统的响应既会出现振荡，又会呈现渐进衰减的特点。
实根决定了振荡的频率，共轭复根的实部决定了衰减速度，虚部决定了振荡的频率。
三、二阶系统的动态响应1.响应时间：表示系统从0到达稳定状态所需要的时间。
可通过单位阶跃响应来测量。
2.超调量：表示响应曲线最大值与稳定值之间的差值。
对于二阶系统，根据极点位置不同，超调量有不同的计算方式。
3.峰值时间：指的是响应曲线达到超调量的最大值所需要的时间。
四、二阶系统的稳定性分析对于二阶系统而言，稳定性的判断可以通过极点的位置来进行。
当且仅当所有的极点实部都小于零时，系统才是稳定的。
针对具体的二阶系统，可以通过极点的特征方程来进行分析。
如果特征方程有两个负实数根，系统就是稳定的；如果有一个或两个正实数根，系统就是不稳定的。
二阶系统的最小二乘辨识和广义预测控制仿真
二阶系统的最小二乘辨识和广义预测控制仿真1. 二阶系统模型1.1 系统模型及输入输出变量设传递函数为()G s =25+31s s +，()1H s =，且为负反馈，系统结构如图1. 1所示。
图1. 1 系统结构图系统的闭环传递函数为式(1-1)（程序如附件I ）。
2()5()()36C s s R s s s φ==++ (1-1) 取采样周期为0.1，在MATLAB 中采用零阶保持器离散化得到脉冲传递函数如式(1-2)（程序如附件II ）。
1112(0.0226+0.0204)()1 1.68920.7408z z G z z z----=-+ (1-2) 根据极点分布如图1. 2，判断系统稳定（判别程序如附件III ）。
对式(1-2)进行差分处理，则可以得到式(1-3)。
() 1.6892(1)0.7408(2)0.0226(1)0.0204(2)y k y k y k u k u k =---+-+- (1-3)在实际的工作过程中，存在一定的误差或者环境会造成参数有所偏差，会导致实际测量到的输出有噪声干扰，因此输出要考虑噪声对过程的干扰。
差分方程为式(1-4)。
() 1.6892(1)0.7408(2)0.0226(1)0.0204(2)+()y k y k y k u k u k w k =---+-+- (1-4) 由式(1-4)可知，(1)[(1),(2),(1),(2)]T k y k y k u k u k ϕ-=----，[-1.6892,0.7408,0.0226,0.0204]T θ=，最小二乘法的自回归方程如式(1-5)。
()(1)()T y k k w k ϕθ=-+ (1-5)其中()y k 为过程输出，()k ϕ 为观测数据向量，θ为回归参数向量，()w k 为统计噪声或误差。
图1. 2 零极点分布图1.2 辨识准则函数及辨识方法由于成批型最小二乘(Batch Least-square , BLS )法不仅计算量大，占用内存多，而且不能很好适用于在线辨识。
二阶系统与主导极点
c(t ) a a j e
j 1
q
p jt
2 k k t bk2 ck e sin( k 1 k2 t k ) k 1
r
（衰减系数pj、kk ） 极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰 减的快慢 距离越远衰减越快 减的快慢，距离越远衰减越快；
调节时间ts
t
调节时间
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin(n 1 2 t )
n t
1 e
/ 1
2
ts
4
n
3
ts
n
实际的ωnts—ξ曲线
性能指标与闭环极 点的关系
ts 4
越大，超调量越大
n
/ 1 2
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Hale Waihona Puke 1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的 响应函数叠加而成。 2）如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面，则随 着时间t→∞，c(∞)=a。，系统是稳定的。 3）极点的性质决定瞬态分量的类型； ）极点的性质决定瞬态分量的类型 实数极点非周期瞬态分量； 共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。 阻尼振荡瞬态分量
系统零点分布对时域响应的影 响
二阶多智能体系统的有限时间包容一致性控制
Vol. 27 No. 12Dec. 2020第27卷第12期2020年12月电光与控制Electronics Optics & Control 引用格式:崔艳，薛奇.二阶多智能体系统的有限时间包容一致性控制[J].电光与控制,2020, 27(12):26-31,73. CUI Y, XUE Q. Finite-timecontainment consensus control for second-order multi-agent systems [ J ]. Electronics Optics & Control, 2020, 27( 12) ：26-31, 73.二阶多智能体系统的有限时间包容一致性控制崔艳，薛奇（山西师范大学，山西临汾041000）摘 要：针对多智能体系统的有限时间包容控制只是将跟随者控制在领导者的凸包内，没有对跟随者实现一致性控制 的问题，提出一种分段函数形式的有限时间收敛的包容一致性控制算法;另外，考虑到速度信息未知情况，设计了速度观测器用来估计速度信息，并通过李雅普诺夫第二定理和齐次性有限时间稳定性定理分别证明了领导者能对跟随者实现 有限时间包容控制，且跟随者能够实现有限时间一致。
最后通过大量的数值仿真证明了控制算法的有效性。
关键词：多智能体系统；分段函数；包容一致性；速度观测器；有限时间中图分类号：TP13 文献标志码：A doi ：10.3969/j. issn. 1671 -637X.2020.12.006Finite-Time Containment Consensus Control forSecond-Order Multi-agent SystemsCUI Yan, XUE Qi(Shanxi Normal University, Linfen 041000, China)Abstract : The finite-time containment control for multi-agent systems only enables the followers be in theleaders convex hull, which does not realize the consensus control of the followers. To solve the problem, a containment consensus control algorithm in the form of piecewise function with finite-time convergence isproposed. In addition, in view of the unknown velocity information, a velocity observer is designed to estimatethe velocity infonnation. Through Lyapunov^ second theorem and homogeneous finite-time stability theorem, it is proved that the leaders can realize finite-time containment control of the followers and the followers can achieve finite-time consensus. Finally, the effectiveness of the control algorithm is proved by a large numberof numerical simulations.Key words : multi-agent system ； piecewise function ；o 引言近年来，由于多智能体系统在编队控制m 、智能交通0、足球机器人⑷等方面的广泛应用,多智能体一致 性问题，尤其是有限时间一致性问题越来越引起研究者的关注。
二阶系统参数与根轨迹
二阶系统参数与根轨迹引言概述：二阶系统是控制系统中常见的一种类型，其参数与根轨迹之间存在着密切的关系。
正确地选择和调整二阶系统的参数可以有效地影响根轨迹的形状和性能，从而实现对系统的控制。
本文将从六个大点出发，详细阐述二阶系统参数与根轨迹之间的关系。
正文内容：1. 系统的阻尼比（damping ratio）：1.1 阻尼比的定义与意义：阻尼比是描述系统阻尼程度的一个参数，其大小决定了系统的稳定性和响应速度。
1.2 阻尼比与根轨迹的关系：阻尼比的变化会导致根轨迹形状的改变，当阻尼比增大时，根轨迹的形状会变得更为收敛和稳定。
2. 系统的自然频率（natural frequency）：2.1 自然频率的定义与意义：自然频率是描述系统振动频率的一个参数，其大小决定了系统的振动特性。
2.2 自然频率与根轨迹的关系：自然频率的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当自然频率增大时，根轨迹的形状会变得更为扁平。
3. 系统的增益（gain）：3.1 增益的定义与意义：增益是描述系统输入与输出之间关系的一个参数，其大小决定了系统的放大倍数。
3.2 增益与根轨迹的关系：增益的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当增益增大时，根轨迹的形状会变得更为扁平。
4. 系统的超调量（overshoot）：4.1 超调量的定义与意义：超调量是描述系统响应过程中最大偏离稳态值的一个参数，其大小决定了系统的动态性能。
4.2 超调量与根轨迹的关系：超调量的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当超调量增大时，根轨迹的形状会变得更为扁平。
5. 系统的峰值时间（peak time）：5.1 峰值时间的定义与意义：峰值时间是描述系统响应过程中达到峰值的时间，其大小决定了系统的响应速度。
5.2 峰值时间与根轨迹的关系：峰值时间的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当峰值时间减小时，根轨迹的形状会变得更为收敛和稳定。
6. 系统的稳态误差（steady-state error）：6.1 稳态误差的定义与意义：稳态误差是描述系统输出与期望输出之间的偏差的一个参数，其大小决定了系统的准确性。
二阶系统的动态误差
二阶系统的动态误差一、引言二阶系统是指具有两个积分环节或两个一阶环节的系统。
在控制工程中，二阶系统广泛应用于机械控制系统、电力系统、化工过程控制等领域。
在实际应用中，由于各种因素的影响，二阶系统存在着动态误差问题，即在输入信号为稳态信号时，输出信号无法达到稳态值的问题。
本文将对二阶系统的动态误差进行详细介绍。
二、动态误差的定义动态误差是指当输入信号为稳态信号时，输出信号无法达到稳态值的问题。
在实际应用中，由于各种因素的影响，例如传感器噪声、系统摩擦力等因素都会导致二阶系统存在动态误差。
三、动态误差的分类根据输入信号类型和输出信号类型的不同，动态误差可分为静态误差和动态误差。
1. 静态误差静态误差是指当输入信号为恒定值时，输出信号与稳定值之间存在偏差。
静态误差可以分为零偏误差和比例偏差。
（1）零偏误差：当输入信号为恒定值时，输出信号的稳态值与期望值之间存在偏差。
零偏误差通常由于系统本身存在的固有偏差或者传感器的不准确性导致。
（2）比例偏差：当输入信号为恒定值时，输出信号与期望值之间存在比例误差。
比例偏差通常由于系统增益不准确或非线性导致。
2. 动态误差动态误差是指当输入信号为稳态信号时，输出信号无法达到稳态值的问题。
动态误差可以分为超调误差、峰值时间、调节时间和稳态误差。
（1）超调误差：当输入信号为阶跃信号时，输出信号在达到稳定值之前会产生一定程度的超调现象。
超调现象会导致系统响应过程中出现震荡，并且可能会影响系统的稳定性。
（2）峰值时间：峰值时间是指从阶跃输入开始到输出响应达到最大幅度所需的时间。
峰值时间越短，说明系统响应速度越快。
（3）调节时间：调节时间是指从阶跃输入开始到输出响应达到稳定状态所需的时间。
调节时间越短，说明系统响应速度越快。
（4）稳态误差：稳态误差是指当输入信号为稳态信号时，输出信号与期望值之间存在的偏差。
稳态误差通常由于系统本身的特性或者环境因素的影响导致。
四、动态误差的分析方法在实际应用中，为了解决二阶系统存在的动态误差问题，需要进行动态误差分析，并采取相应的控制策略进行优化。
控制系统的带宽与二阶系统的简单定性理解
控制系统的带宽与⼆阶系统的简单定性理解先上⾃动控制原理上⾯的定义： 当控制系统的幅频特性下降到⽐零频率幅值低3dB时，所对应的频率为带宽频率，简称带宽。
系统的带宽反应了系统响应的快速性，也反映了对输⼊信号的复现能⼒。
带宽⼤，系统的响应越快咯，但是带宽过宽，那么现实世界中的噪声会引⼊系统，造成不利影响。
其实带宽可以⽤于很多的地⽅，但是对于控制系统⽽⾔，带宽就是伺服系统能响应的最⼤正弦波频率。
⽤专业⼀些的语⾔描述，就是幅频响应衰减到-3dB时的频率（-3dB带宽），或者相频响应滞后90度时的频率。
⽽-3db就是放⼤倍数为0.707的时候的频率值。
由于带宽和过渡过程时间成反⽐，所以说只要增⼤带宽可以是系统的快速性变好。
为了更严格，更有可操作性，《交流伺服驱动器通⽤技术条件》（JB T 10184-2000）规定了伺服驱动器带宽的测试⽅法：驱动器输⼊正弦波转速指令，其幅值为额定转速指令值的0.01倍，频率由1Hz逐渐升⾼，记录电动机对应的转速曲线，随着指令正弦频率的提⾼，电动机转速的波形曲线对指令正弦波曲线的相位滞后逐渐增⼤，⽽幅值逐渐减⼩。
相位滞后增⼤⾄90度时的频率作为伺服系统90度相移的频带宽度；幅值减⼩⾄低频时0.707倍的频率作为伺服系统-3dB频带宽度。
同时，-3dB带宽与90度相移带宽通常并不相等，所以说⼀个系统带宽是多少时，必须说明是-3dB带宽还是90度相移带宽。
读者可以根据控制系统设计中讲的输⼊信号的频谱看起是不是能够通过该系统，同时也就是说可以把整个系统看成为⼀个滤波器。
需要指出的是，带宽并不是伺服系统的唯⼀指标，还有精度，稳定性等等，使⽤当中要平衡各指标，结合具体的⽤途来综合考虑，并不是带宽越⼤就⼀定越好。
在成本⼀定的前提下，带宽提⾼就意味着其它指标的下降，如精度和稳定裕度。
⽽在保证其它指标不变的前提下，更⾼的带宽就意味着更⾼的成本。
同时笔者在学习电⼦技术的时候了解电⽓系统⾥⾯增益与带宽的乘积⼏乎为⼀个定值，所以我们设计系统的时候不能直视⼀直盯住⼀个值。
二阶控制论
二阶控制论一、引言二阶控制论是控制论的一个重要分支，它是指对于动态系统的控制问题进行分析和设计时，采用二阶控制器来提供稳定的控制。
本文将从以下几个方面深入探讨二阶控制论的相关内容。
二、二阶控制器的基本原理2.1 动态系统建模在进行二阶控制器设计之前，首先需要对动态系统进行建模。
动态系统的建模可以使用线性差分方程或传递函数等形式。
其中，差分方程可以描述离散时间系统的状态转移，传递函数则能够描述连续时间系统的输入输出关系。
2.2 二阶控制器的结构二阶控制器由比例环节、积分环节和微分环节组成。
其中，比例环节可以根据系统误差产生输出信号；积分环节能够消除系统积分误差；微分环节则可以提高系统的响应速度和稳定性。
2.3 二阶控制器的参数设计二阶控制器的参数设计是指根据系统需求和性能指标，确定比例环节、积分环节和微分环节的增益和时间常数等参数。
参数设计的好坏将直接影响系统的稳定性、响应速度和抗干扰能力。
三、二阶控制论的应用领域3.1 机械控制系统在机械控制系统中，二阶控制器常用于对于机器人关节角度和位置的控制。
通过采用二阶控制器，可以实现对机械系统的精确控制，提高系统的位置跟踪性能和抗干扰能力。
3.2 电力系统在电力系统中，二阶控制器通常被用于对发电机系统的电压和频率进行控制。
通过采用二阶控制器，可以使电力系统的运行更加稳定，提高系统的短路能力和恢复能力。
3.3 飞行器控制系统在飞行器控制系统中，二阶控制器被广泛应用于对飞行器的姿态和位置进行控制。
通过采用二阶控制器，可以实现对飞行器的精确控制，提高系统的稳定性和飞行性能。
3.4 化工过程控制系统在化工过程控制系统中，二阶控制器常用于对温度、压力、液位等参数进行控制。
通过采用二阶控制器，可以实现对化工过程的稳定控制，提高系统的响应速度和抗干扰能力。
四、二阶控制论的发展趋势4.1 非线性二阶控制器随着非线性控制理论的发展，非线性二阶控制器逐渐成为研究热点。
非线性二阶控制器能够更好地应对系统的非线性特性，提高系统的控制精度和鲁棒性。
二阶多个体系统控制受限下的无碰撞速度一致性问题
二阶多个体系统控制受限下的无碰撞速度一致性问题史玉石;朱建栋;陈腾【摘要】In this paper, for multi-agent systems with the second-order integrator dynamics, the velocity consensus problem with collision avoidance and amplitude constraint of control is investigated. Using a new energy function, a nonlinear control protocol is proposed. Under some conditions, the following three points are achieved; (I) all the agents' velocity vectors reach agreement asymptotically; (ii) there is no collision among the agents; (iii) the amplitude of control input is bounded by an expected value. These contributions generalize the results on consensus to the case of constrained control.%针对具有二阶积分器动态的多个体网络系统,研究了控制输入幅值受限情况下的无碰撞速度一致性问题.利用所给出的一个新的能量函数,提出了一个非线性控制协议,在一定条件下,实现了如下几点:1.每个个体的速度渐近地趋于一致；2.个体之间没有碰撞发生；3.控制输入的幅值不超过期望的界限.将已有的关于无碰撞速度一致性问题的研究成果推广到了控制输入幅值受限的情形.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)004【总页数】6页(P33-38)【关键词】二阶动态系统;无碰撞;控制受限;速度一致性【作者】史玉石;朱建栋;陈腾【作者单位】南京理工大学紫金学院,江苏南京210046;南京师范大学数学科学学院,江苏南京210046;南京师范大学数学科学学院,江苏南京210046【正文语种】中文【中图分类】O231.1近些年来，关于多个体系统运动的一致性问题引起了相关研究人员的极大关注．比如多个运动的智能机器人［1］、无人驾驶的飞机［2］，每个个体自身都有相同的或相似的动态方程，且不同个体之间可能有信息传递发生．它们各自要完成的任务，就是借助从其他个体那里得到信息，通过控制协议使自身的状态渐近地与其他个体的状态趋于一致．人们所要做的就是利用个体自身的动态方程和个体间信息传递的网络拓扑结构，设计控制输入协议，最终实现群体的一致性．因其广泛的实际应用背景，引起了控制理论界的广泛兴趣，并取得了丰硕的研究成果．关于具有一阶动态的多个体系统的一致性问题，比较早的文献可见［3-5］，文献［3］基于有向图对一致性问题建立了一个理论框架，并考虑了切换拓扑及信息传输时滞问题．针对固定拓扑情形，提出了一个线性控制协议，给出闭环系统实现一致性的一个充分条件，即有向图的强连通性．文献［4］则进一步给出了一致性的充要条件，即在有向图中存在有向生成树．文献［5］也给出了等价的结果．根据牛顿第二定律建立的数学模型往往是二阶动态方程，因此对二阶动态多个体系统的研究更具有实际意义．文献［6，7］较早地关注了这类问题，其中文献［6］提出了一种线性一致性协议，文献［7］提出了带有调节参数的控制协议，指出了闭环系统的一致性不仅与信息传输网络的拓扑结构有关，并且与参数的选择有关，得到实现一致性的一个充分条件．文献［8］则把一致性算法应用到了小车的编队控制中．［9］给出了更一般形式的控制协议，得到了一致性的充要条件，通过选择不同的参数，可得到不同形式的一致性状态．文献［10］在［9］的基础上又提出了加权平均一致性协议，并推广了［9］中的相关结果．此外，针对不同的二阶多个体系统模型，出现了许多优秀的研究成果，比如文献［11］考虑了随机切换拓扑情形，给出了新的一致性条件．在文献［12］中，假定位置信息和速度信息的传递网络拓扑可以是不同的，并给出有界的控制协议，使个体最终位置向量和速度分量各自趋于一致．近年来，群集运动的无碰撞一致性问题受到了研究人员的重视．具有相同动态方程的智能群体，通过所设计的控制协议使得智能群体的运动状态渐近地实现一致性，并且在运动的过程中个体之间没有碰撞发生．Tanner等在［13，14］中利用势场法和力学分析技巧，考虑了基于无向信息传输网络的智能群体群集运动控制问题，既涉及到固定拓扑情形，也包括切换拓扑情形．文献［15］基于结构能量函数和一致性协议提出了无向切换网络的群集运动控制算法，并讨论了避障和跟踪问题．文献［16］则利用一个新的能量函数，设计了一个新的群集运动无碰撞控制协议．需要提出的是，对无碰撞的一致性问题，一般考虑的是无向网络，所设计的控制协议也是非线性的．无碰撞的要求在编队控制中同样存在．在实际应用中，控制输入往往受到幅值或能量方面的限制．研究输入受限下的控制问题也更具有实际意义，这也是多年来控制理论领域的一个研究热点．文献［17］对二阶动态多个体系统提出了一个有界控制输入协议，并对输入上界进行了估计，但文中没有涉及无碰撞的要求．能否借鉴［17］中设计有界控制协议的思想在群集控制中设计输入受限的无碰撞一致性协议呢?本文正是围绕这一问题展开研究．关于这方面的研究成果还未见报道．本文对二阶多个体系统，给出了一种控制受限的控制输入协议．根据控制输入的界值，可以设定控制器中的参数，确定系统初值的范围，保证了控制受限下闭环系统实现速度一致性．文中个体系统的不同状态分量信息传递的网络拓扑结构可以是不同的．其中 ri，vi，ui∈Rm，i∈I，m ≥1．ri为个体i的位置向量，vi为个体i的速度向量，ui为控制输入项．个体间位置向量的信息传递网络为无向图G(A)，速度向量的信息传递网络为无向图G(B)，两者之间的拓扑结构不一定相同，即A≠B．因为G(A)，G(B)都是无向网络拓扑，所以A=［aij］，B=［bij］均是对角线上各元素为0，其余元素不全为0的对称矩阵．设计控制输入ui时，只能利用个体i的自身信息及在信息传递网络中所能直接接收的信息．定义1［16］本文所谓的控制受限的无碰撞速度一致性问题即为设计ui，使得整个闭环的网络系统满足(i)速度渐近实现一致，即|vi(t)-vj(t)|→0，t→∞，∀i，j∈I;(ii)个体之间无碰撞发生，即|ri(t)-rj(t)|≠0，∀t∈［0，+∞)，∀i≠j;(iii)控制受限，即|ui(t)|≤M，t∈［0，+∞)，其中M是控制项的幅值上界．为了设计控制协议，首先引入一个引理:引理函数(其中a，d都是常数)及其导数在x≥0时有如下性1考虑由n个个体构成的多个体系统，每个个体的动态方程为如下二阶积分器质: (I)φ(x)当x=0时有最大值时有最小值0，且 x＞d时，φ(x)＜1．1(II)φ(x)关于x的导数为当x＞ d1时，ψ(x)＞0;当时，ψ(x)有最大值时，ψ(x)有最小值图1为函数及其导数当a=1，d=2，1 x∈［0，20］时的图像．证明 (I)因为，不难看出，当且仅当 x=d1时，φ(x)=0，此时φ(x)值最小．又因为0＜a＜d1，所以当 x＞d1时，0＜x-d1＜x+a，则1．而在［0，d］区间内φ(x)为减函数，1因此当x=0时φ(x)有最大值(II)φ(x)的导数为再对其求导，易知ψ(x)在上为增函数，在上为减函数．因此当有最大值，为当x=0时，ψ(x)有最小值为(III)比较的大小，因为0＜a＜d1，则又因为所以本文中假设位置信息传递和速度信息传递的网络G(A)和G(B)的拓扑结构都是固定的，我们提出如下控制协议其中K1，K2＞0，tanh(·)为双曲正切函数，-1≤tanh(·)≤1．向量的双曲正切函数等于每个对应分量的双曲正切函数组成的向量，即若x=(x1，x2，…，xn)T，则tanh(x)=(tanhx1，tanhx2，…，tanhxn)T．从控制协议的形式看，ui只用到了个体自身的信息及网络中所能接收的信息．下面给出本文的主要结果．定理考虑由n个个体组成的多个体系统，每个个体的动态方程由(1)式表示．设位置信息传递网络G(A)为一个完全图，速度信息传递的网络G(B)为一个连通图．假设每个个体的初始位置满足0＜d1初始速度满足，令取K1=，则在控制协议(3)下，定义1所描绘的控制受限的无碰撞速度一致性问题可解．其中证明由于当 j∉Ni(A)时，aij=0，当 j∉Ni(B)时，bij=0，故由引理可知因为l所以再设计Lyapunov函数易知V≥0，对上函数求导，有根据Lasalle不变集原理，闭环系统的状态将收敛到若˙V=0，可得当bij≠0时，(vi-vj)Ttanh(vi-vj)=0，即vi=vj．又因G(B)为连通图，所以若˙V=0，有综之，对有，即速度向量渐近趋于一致．要证明个体之间没有碰撞发生，只需证对∀t≥0，i，j∈I，|ri(t)-rj(t)|不能为0．下面用反证法证明这一结果．假设在某时刻 t1，有某两个个体i1、i2有碰撞发生，即有 |ri1(t1)-ri2(t1)|=0，则有由引理可知将代入上式得又因为，则由引理可知将代入上式得则由(5)和(7)式可知这与V是非增的单调函数矛盾．因此对于任意时刻t和任两个结点i，j∈I，都不存在|ri(t)-rj(t)|=0的情形，所以个体之间是无碰撞的．定理得证．考虑4个个体的拓扑结构，每个个体有如(1)式的二阶动态系统，若位置信息传递网络拓扑结构和速度信息传递网络拓扑结构如图2所示，它们的赋权邻接矩阵分别为则有 n=4，am=0.9，aM=2.8，aA=11.2，bM=5．若令m=2，即位置分量、速度分量和控制输入均为二维的;再令，即，则有1，即有 d1=1，由定理得l=5 即．取 K2=5，则令初始速度为仿真时间为5，图3为ui的仿真结果．可以看出ui取值严格限制在(-50，50)之间，即满足条件|ui|＜50．随着各个个体速度分量趋于一致后，ui的值趋向于0．图4和图5为个体各状态分量随时间变化的仿真结果．由图可以看出4个个体的速度最终趋于一致，且个体间保持一定的距离，无碰撞发生．本文研究具有二阶动态系统的多个体系统，设计有期望幅值界限的控制协议，使得最终所有个体渐近地取得相同的速度向量，且个体两两之间没有碰撞发生．有向网络拓扑结构下的多个体系统控制受限下的协议设计还有待进一步研究．【相关文献】［1］ Fax J A，Murray R M．Information flow and cooperative control of vehicle formations［J］．IEEE Trans Automat Control，2004，49(9):1 465-1 476．［2］ Lian Z T，Deshmukh A．Performance prediction of an unmanned airborne vehicle multi-agent systems［J］．European Journal of Operational Research，2006，172(2):680-695．［3］ Saber R O，Murray R M．Consensus problems in networks of agents with switching topology and time delays［J］．IEEE Trans Automat Control，2004，49(9):1 520-1 533．［4］ Ren W，Beard R W．Consensus seeking in multi-agent systems under dynamically changing interaction topologies［J］．IEEE Trans Automat Control，2005，50(5):655-661．［5］ Lin Z Y，Francis 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二阶系统PPT课件
果将放大器增益增大到Ka＝1500或减小到Ka＝13.5，那
么响应的动态性能有何影响？
G(s)
5Ka
s(s 34.5)
解：系统属于单位负反馈，所以它的闭环传递函数为：
(s)
C(s) R(s)
s2
5Ka 34.5s
5Ka
将K＝200代入得：
(s)
C(s) R(s)
s2
1000 34.5s 1000
应的平稳性越差。 d n 1 2
结论：总的来说，要使系统阶跃响应的平稳性好，就要 求阻尼比ξ大，自然频率Wn小。
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快速性：
由曲线可以看出，阻尼比ξ过大，系统响应迟钝，
调节时间Ts长，快速性差；ξ过小，虽然响应的起
始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调
节时间也长，快速性差。
•
0 0.1
t(s)
lne ln0.3 1.2
0.36
1 2
tp d n
0.1秒
1 2
n
31.4 31.4 33.6秒1 1 2 0.934
• 结论： 对于ξ值相同的系统来说，过渡过程经历
的时间长短就正比于时间常数T，反比于Wn。
第14页/共40页
稳态精度：
h(t) 1
e nt
1 2
sin(dt
)(其中，
arccos )
系统的单位阶跃响应的稳态分量为1，动态分量均为衰
减的指数函数，因此，当时间t趋于无穷时，动态分量衰减 为零，因此，二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。
1 2
sin dt)
c(t) 1
e nt
1 2
s in(d t
)(其中，
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两类阶次分布参数系统的控制研究
一般而言,整数阶分布参数系统可以描述扩散过程,分数阶分布参数系统可以描述反常扩散过程和分数阶反应扩散过程。
这两类阶次系统广泛应用于工程、生态、社会、环境等领域,因而受到了人们的关注。
本文主要研究整数阶分布参数系统(通常简称为分布参数系统)和分数阶分布参数系统这两类阶次分布参数系统的控制问题,具体的研究工作如下:1.借助于静态传感器网络和PI控制器,研究了带有静态或移动污染源的扩散系统的控制问题。
通过构造优化执行器位置的目标函数和质心化的Voronoi剖分(centroidal Voronoi tessellations,CVTs)获得了执行器移动的路径。
基于Lyapunov稳定性理论证明了执行器位置的收敛性,也就是在带有PI控制器的控制输入的作用下执行器位置收敛到各自Voronoi单元的质心。
另外,再构造优化喷洒作用的目标函数来确立用于喷洒控制的PI控制器,使得喷洒量与污染物量的差异最小且避免喷洒过量造成二次污染。
最后建立了修正的整数阶仿真平台(Diff-MAS2D-PID仿真平台),并借此验
证了PI控制器对扩散过程的控制效果优于P控制器效果。
2.针对加权调和反常扩散系统的控制问题,将分数阶PI控制器引入系统的控制过程中用于移动执行器的运动控制和喷洒控制。
首次应用Lyapunov稳定性理论证明了移动执行器在带有分数阶PI控制器的控制输入作用下分别收敛到各自Voronoi区域的质心。
进一步而言,建立了一种基于分数阶PI控制器的新型CVT算法和一种修正的分数阶仿真平台(FO-Diff-MAS2D-FOPI仿真平台)。
最后,给出该反常扩散过程的数值仿真验证了所提分数阶PI控制器的有效性。
3.将反步法引入到具有混合或Robin边界条件的分数阶反应扩散系统,探讨了该系统的边界反馈控制问题。
这里系统的扩散率是不依赖于空间的,即扩散系数为常数。
基于反步法设计了Dirichlet,Neumann和Robin三种边界反馈控制器。
通过积分变换将在设计的控制器作用下的系统转化为Mittag-Leffler稳定的目标系统,控制问题转化为
求解积分变换的核函数问题。
应用分数阶Lyapunov方法证明了设计的边界反馈控制器可以使得闭环系统Mittag-Leffler稳定。
数值仿真表明了所提方法的有效性。
4.考虑了仅在边界
可测量具有混合边界条件的分数阶反应扩散系统的输出反馈控制问题。
在传感器和执行器同位和异位(即传感器和执行器在边界同一端和不同端)
两种情形下,分别设计了在Dirichlet执行力作用下的状态观测器,再结合前面
设计的基于反步法的边界反馈控制器得到了输出反馈控制器。
借助分数阶Lyapunov方法证明了该输出反馈控制器可以使得闭环系统Mittag-Leffler稳定。
数值仿真进一步验证了理论结果。
5.研究了含有空间依赖(非常数)扩散率的分数阶分布参数系统(原系统)的
边界镇定性问题。
该问题可以视为常数扩散率问题的推广,且更加符合实际情况。
通过变量变换将该系统转化为更具一般性的非常数扩散率的分数阶反应扩散系
统(新系统)。
利用反步法、积分变换设计新系统的边界反馈控制器,再根据给定的变量变换得到原系统的边界反馈控制器。
基于分数阶Lyapunov方法获得了在该边界反馈控制器作用下的原系统Mittag-Leffler稳定的充分条件。
数值仿真验证了该闭环系统的Mittag-Leffler稳定性。