(人教版初中数学)人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
初三数学知识点 第一章二次根式知识点1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a 。
2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=∙b a ab b a ；()0,0>≥=b a baba 。
3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=，S 是三角形的面积，p 为2cb a p ++=。
第一章二次根式21.1二次根式练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x +x 2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习1. 当0a ≤，0b __________=。
2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算：_____________=。
5. ，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。
6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）7. 已知0xy ，化简二次根式的正确结果为（ ）C.8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+a b =+22a b =+a b =+9. -和- ）A. -- ---=-不能确定10. ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为3 11. 计算：()1()2()(()30,0a b -≥≥ ())40,0a b()5()6⎛÷ ⎝12. 化简：())10,0a b ≥≥ ()2()3a13. 把根号外的因式移到根号内：()1.-()(2.1x -第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习1. ）2. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 不是同类二次根式的是（ ）4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）5. 若12x ）6. 10=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±7. x ，小数部分为y y -的值是（ ）A. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-2==9. 是同类二次根式的是 。
人教版初一数学二次根式的运算
人教版初一数学二次根式的运算二次根式是初中数学中一个重要的概念，也是数学运算的基础之一。
在人教版初一数学教材中，二次根式的运算是一个重要的知识点。
本文将从基本概念、运算法则等方面进行讲解，帮助学生更好地掌握二次根式的运算。
一、基本概念在初一数学中，我们学习了一次根式，它是一个数的 n 次方根。
而二次根式则是一个数的平方根。
如果一个数 a 的平方等于 b，则表示 a是 b 的平方根，记作√b=a。
在这里，b 是被开方数，a 是开方后得到的结果。
二、运算法则1. 同号相乘法则当两个二次根式的被开方数具有相同的正负号时，可以将它们的被开方数相乘，再开平方，结果仍然具有相同的正负号。
例如：√a * √b = √(a * b)。
2. 开方的分配律如果 a 和 b 都大于等于 0，那么有：√a + √b = √(a + b)。
同理，对于减法也成立，即：√a - √b = √(a - b)。
3. 分数的二次根式运算对于二次根式的运算，特别需要注意分数的情况。
如果一个分数先开方，然后再化简，结果通常不等于先化简再开方。
例如：√(2/3) ≠ √2 / √3。
因此，在进行二次根式的运算时，需要特别注意对分数进行化简后再做运算。
三、练习题1. 计算√4 + √9的值。
解：根据同号相乘法则，可以得到√4 + √9 = √(4 * 9) = √36 = 6。
2. 计算2√3 + 3√2的值。
解：根据开方的分配律，可以得到2√3 + 3√2 = √(2^2 * 3) + √(3^2 *2) = 2√6 + 3√6 = 5√6。
3. 计算√(2/3)的值。
解：根据前面提到的分数的二次根式运算注意事项，需要先化简再开方。
√(2/3) = √(2 * 1/3) = √(2 * 1) / √3 = √2 / √3。
四、总结二次根式的运算是初中数学中的重要内容，需要掌握运算法则以及化简分数的方法。
通过数学练习题的反复练习，可以巩固对二次根式的运算法则的理解和掌握。
21二次根式知识点+典型例题+习题
21.1 二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
二次根式a 的特点：（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。
（2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。
（3）a 可以是数，也可以是式。
（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。
(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。
3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 相关例题1.二次根式的概念例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的个数是（）考点： 二次根式的概念．分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可． 解答： 解：3a ，12-b 有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。
点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，12-x 一定是二次根式的有()个。
解：①被开方数a 有可能是负数，不一定是二次根式；②被开方数y+z 有可能是负数，不一定是二次根式；③被开方数6a 一定是非负数，所以③一定是二次根式；④被开方数32+a 一定是正数，所以④一定是二次根式；⑤被开方数22)3(96+=++x x x 一定是非负数，所以⑤一定是二次根式； ⑥被开方数12-x 有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有3个，故选C ．点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数．2.二次根式中字母的取值范围的基本依据例题二：函数y=31-x 中自变量x 的取值范围是 _______ ．考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解． 解答： 解：依题意，得x ﹣3＞0，解得x ＞3．点评： 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．变式二：若式子x x 1+有意义，则x 的取值范围是_______ ．考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x ≥﹣1，又因为分式的分母不能为0，所以x 的取值范围是x ≥﹣1且x ≠0．点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子a （a ≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．3.二次根式的相关等式例题三：对任意实数a ，则下列等式一定成立的是（ ）A ．a a =B ．a a -=2C ． a a ±=2D ． a a =2 考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答： 解：A 、a 为负数时，没有意义，故本选项错误；B 、a 为正数时不成立，故本选项错误；C 、a a =2，故本选项错误．D 、故本选项正确． 故选D ．点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．练习题 11x x>0）、2、当x在实数范围内有意义？3、当x11x+在实数范围内有意义？4、下列式子中，是二次根式的是（）A．．x 5．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1 x6．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对7．形如________的式子叫做二次根式．8．面积为a的正方形的边长为________．9．负数________平方根．10、计算1．2（x≥0）2．23．24． 2课后作业1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？3．4.x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．6、计算（1）2 （2）-）2 （3）（122 （4）（ 2(5)练习题与课后作业答案练习题1、 x>0）、x ≥0，y ≥0）；不、1x 1x y +．2、 解：由3x-1≥0，得：x ≥13， 当x ≥13在实数范围内有意义．3、 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义． 4．A 5．D 6．B7a ≥0） 8 9．没有10、解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9作业题1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-46、．（1）2=9 （2）-2=-3 （3）（122=14×6=32（4）（2=9×23=6 (5)-621.2二次根式的乘除法知识点1.二次根式的乘法 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a ),0(o b a b a ab ≥≥⋅=2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：)0,0(>≥=b a ba b a)0,0(>≥=b a ba b a （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
(带答案)人教版初中数学二次根式重点知识点梳理
（带答案）人教版初中数学二次根式重点知识点梳理（文末附答案）单选题1、如果一个三角形的三边长分别为1、k 、4. 则化简|2k －5|－√k 2−2k +36的结果是……（ ）A ．3k －11B ．k+1C ．1D ．11－3k2、下列各式中正确的是（ ）A ．√42=±4B ．√(−4)2=−4C ．−√(−4)2=−4D ．√(a)2=a3、式子√a+1a−2有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞24、下列根式中是最简二次根式的是( )A ．√23B ．√3C ．√9D ．√125、对于无理数√3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（）． A ．2√3−3√2B ．√3+√3C ．(√3)3D ．0×√36、下面说法正确的是（ ）A ．被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B ．√8与√80是同类二次根式C ．√2与√150不是同类二次根式D ．同类二次根式是根指数为2的根式7、在根式√2，√75，√150，√127，√15中，与√3是同类二次根式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、下列各式是最简二次根式的是（ ）A ．√13B ．√12C ．√a 2D ．√53填空题9、计算：√27−√3＝_____10、已知数a 、b 、c 在数粒上的位置如图所示，化简√a 2−|a +c|+√(c −b)2−|−b |的结果是______．11、如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________cm 2.12、计算：√27⋅√83÷√12=__________． 13、计算6√5﹣10√15的结果是_____． 解答题14、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3=√3√3×√3=53√3， √23=√2×33×3=√63，√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=2×(√3−1)(√3)2−12=√3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3√3√3+1=√3−1（1）请用不同的方法化简√5+√3；（2）化简：√3+1√5+√3√7+√5+⋅⋅⋅√2n+1+√2n−1．15、计算：（1）√8−√273+|√2−3|；（2）(2+√3)(2−√3)−√18÷√2．（带答案）人教版初中数学二次根式_00E参考答案1、答案：A解析：试题解析：∵三角形的三边长分别为1，k，4，∴{1+4>kk<5，4−1<k，解得3<所以，2k–5>0，k–6<0，∴|2k–5|–√k2−12k+36=2k–5–√(k−6)2=2k–5–[–（k–6）]=3k–11．故选A．2、答案：C解析：根据二次根式的性质化简即可．解：A、√42=4，故本选项错误；B、√(−4)2=4，故本选项错误；C、−√(−4)2=−4，故本选项正确；D、√(a)2=|a|，故本选项错误；故选：C．小提示：此题考查了二次根式的性质，掌握基本性质是解题的关键．3、答案：C解析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.解：由题意得，a +1≥0,a ≠2解得，a ≥-1且a ≠2，所以答案是：C.小提示：本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.4、答案：B解析：A ．√23=√63，故此选项错误； B ．√3是最简二次根式，故此选项正确；C ．√9=3，故此选项错误；D ．√12=2√3，故此选项错误；故选B ．5、答案：D解析：分别计算出各选项的结果再进行判断即可．A ．2√3−3√2不能再计算了，是无理数，不符合题意；B ．√3+√3=2√3，是无理数，不符合题意；C ．(√3)3=3√3，是无理数，不符合题意；D ．0×√3=0，是有理数，正确．故选：D ．小提示：此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．6、答案：A解析：试题解析：A 、被开方数相同的二次根式若能化简，化简后一定被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；B 、∵√8=2√2；√80=4√5； ∴√8与√80不是同类二次根式，故本选项错误；C 、∵√150=√5050=5√250=√210，∴√2与√150是同类二次根，故本选项错误；D 、同类二次根式不仅是根指数为2的根式，还要化简后被开方数相同，故本选项错误．故选A ．7、答案：B解析：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，继而可得出答案．∵√75=5√3，√150=√210，√127=√39，故与√3是同类二次根式的有：√75，√127，共2个,故选B. 小提示：本题考查了同类二次根式的知识，解题的关键是掌握同类二次根式是化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．8、答案：A解析：根据最简二次根式的定义即可求出答案．解：A、√13是最简二次根式，故选项正确；B、√12=2√3，不是最简二次根式，故选项错误；C、√a2=|a|，不是最简二次根式，故选项错误；D、√53=√153，不是最简二次根式，故选项错误；故选：A小提示：本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．9、答案：2√3解析：先将√27化为3√3，再合并同类二次根式即可．解：√27−√3=3√3−√3=2√3．所以答案是：2√3．小提示：此题考查了二次根式的加减法，把√27化为3√3是解答此题的关键．10、答案：0解析：首先根据数轴可以得到c＜a＜0＜b，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．解：根据数轴可以得到：c＜a＜0＜b，则c-b＜0，a+c＜0，则原式=|a|−|a+c|+|c−b|−|−b|=-a+（a+c）+（b-c）-b=-a+a+c+b-c-b=0．故答案是：0．小提示：本题考查了二次根式的性质、整式的加减、以及绝对值的性质，解答此题，要弄清√a2=|a|11、答案：8√3-12解析：根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，√12＝2√3cm，∴AB＝4cm，BC＝（2√3＋4）cm，∴空白面积＝（2√3＋4）×4－12－16＝8√3＋16－12－16＝（8√3－12）cm2，故答案为8√3－12.小提示：本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB、BC的长度，从而求出空白部分面积.12、答案：12解析：根据二次根式的乘除运算计算即可；√27⋅√83÷√12=√27×83×2=√9×16=3×4=12．故答案是12．小提示：本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．13、答案：4√5解析：首先化简√15，然后再合并同类二次根式即可．解：原式=6√5-10×√55=6√5-2√5=4√5，故答案为4√5．小提示：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．14、答案：（1）√5−√3；（2）√2n+1−12解析：（1）分母有理化的两种方法：①分子因式分解达到约分的目的；②同乘分母的有理化因式达到约分的目的；（2）先分母有理化，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．（1）①√5+√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)=√5−√3；②√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=2(√5−√3)2=√5−√3；（2）原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋅⋅⋅+√2n+1−√2n−12=√3−1+√5−√3+√7−√5+⋅⋅⋅+√2n+1−√2n−12=√2n+1−12．小提示：本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．15、答案：（1）√2；（2）−2解析：（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简绝对值，进而根据实数的性质进行计算即可；（2）根据平方差公式，二次根式的除法运算进行计算即可（1）解：原式=2√2−3+3−√2，=√2．（2）解：原式=1−3，=−2．小提示：本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．。
人教版九年级数学上学期 第二十一章 专题复习 二次根式小结与复习
二次根式小结与复习本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质：①②③④3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．①二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
即：先化简二次根式，但二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数，然后合并被开方数相同的二次根式．注意：对于二次根式的加减，•关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．②二次根式的乘法：③二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式．④二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成8．⑤有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：A．与；B．与C．与；D．与利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若m＜0，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．二次根式强化训练与复习巩固自测试题【时间60分钟满分100分】一、填空题：（每小题2分，共20分）1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．8．计算_________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．一、填空题：1． 8；2．；3．，；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．；8．；9．4；10．；二、选择题：（每小题2分，共20分）1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B． C．D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．9．的值为（）A．B．C．D．10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且二、选择题：1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；三、计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）三、计算与化简：（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．解：原式．四、求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．1．02．已知，求的值。
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
初中数学八年级《二次根式》知识点讲解及例题解析
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
九年级数学上册《第21章_二次根式》小结课件_人教新课标版
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
a a a 0, b 0 b b
二次根式的加法
8＋ 18 2 2＋3 2 （化成最简二次根式） 2＋3 2 5 2
（分配律）
分析上面计算 8＋ 18 的过程，可以看到，把 8 和 18 化 成最简二次根式 2 2 和 3 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 3 2 和 2 2 进行合并.
一、本章知识结构图
二次根式
a aa 0
2
a 2 aa 0
二 次 根 式 的 化 简 与 运 算
二次根式乘除
二次根式加减
二、回顾与思考 1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说， 对于 ，只有当a≥0时才有意义. a
2.二次根式的运算中，一般要先把式子中的二次根式适 当化简. 10. 2 = = 3
一般地，对二次根式的乘法规定：
a b ab a 0, b 0 .
二次根式的除法
1
2 2 4 4 ( )， ( 9 9 3 3
)；
2
2 2 = ______ ; 3 3
3
二次根式相减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
4.结合本章内容，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用.
3 2 a 2 2, , 10 a
这些式子有如下两个共同点： （1） 被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
3.结合例子说明二次根式的加、减、乘、除运算法则.
二次根式的乘法
1 4
人教版初中数学二次根式技巧及练习题附答案解析
人教版初中数学二次根式技巧及练习题附答案解析一、选择题1．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 【答案】A 【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-由于25＜＜3，∴1＜45-＜2．故选：A ．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．2．把(1a b b a --根号外的因式移到根号内的结果为（ ）. A a b -B b a -C ．b a --D ．a b --【答案】C【解析】【分析】先判断出a -b 的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数10b a≥-，分母0b a -≠，∴0b a ->，∴0a b -<，∴原式(()211b a b a b a b a b a=--=-⋅=--- 故选C ．【点睛】 2a =|a |．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．3．a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．4．下列各式中计算正确的是（）A+=B．2+=C=D．22=【答案】C【解析】【分析】结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案．【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B.2=D.2=1，原式计算错误，故本选项错误．故选：C.【点睛】本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键．5．下列计算中，正确的是()A．=B1b=(a＞0，b＞0)C=D ．=【答案】B【解析】 【分析】a≥0，b≥0a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】A 、B 1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确；C ，故原题计算错误；D 32故选：B ．【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则．6．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）．A ．3B ．5C ．15D ．25【答案】C【解析】【分析】 【详解】解：=Q 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．7．下列各式计算正确的是( )A ．2＋b ＝2bB =C ．(2a 2)3＝8a 5D ．a 6÷ a 4＝a 2【答案】D【解析】解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C．（2a2）3=8a6，故错误；D．正确．故选D．8．下列计算结果正确的是()A3B±6CD．3＋＝【答案】A【解析】【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】A、原式=|-3|=3，正确；B、原式=6，错误；C、原式不能合并，错误；D、原式不能合并，错误．故选A．【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．(的结果在（）之间．A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【答案】B【解析】【分析】的范围，再求出答案即可．【详解】(==22∵45<∴223<<(的结果在2和3之间故选：B【点睛】本题考查了无理数大小的估算，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．考查了二次根式的混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的．10．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】2a ，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】2a ． 11．估计262值应在（ ） A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间 【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解． 【详解】 解：226122=∵91216<< 91216<<∴3124<<∴估计值应在3到4之间． 故选：A【点睛】 本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．12．如果一个三角形的三边长分别为12、k 、72|2k ﹣5|的结果是( )A ．﹣k ﹣1B ．k +1C ．3k ﹣11D ．11﹣3k 【答案】D【解析】【分析】求出k 的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【详解】 ∵一个三角形的三边长分别为12、k 、72， ∴72-12＜k ＜12+72， ∴3＜k ＜4，，=-|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k ，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．13．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】A 、B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C 选项符合最简二次根式的要求．【详解】解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式；B 10=，被开方数含有小数，不是最简二次根式；D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式；所以，这三个选项都不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．14．a =-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >【答案】A【解析】【分析】由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A 项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.15．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤【答案】A【解析】【分析】先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．【详解】9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤，当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．16．下列各式中是二次根式的是（ ）ABCDx ＜0）【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A3，不是二次根式；B1＜0，无意义；C的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；D的被开方数x ＜0，无意义；故选：C ．【点睛】a≥0）叫二次根式．17．2a =-，那么（ ）A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】B【解析】(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩，由此可知2-a≥0，解得a≤2.故选B点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质2(0)0(0)(0)a aa a aa a＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩可求解.18．实数,a b在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a ab b+++的结果是（）A．2a-B．2b-C．2a b+D．2a b-【答案】A【解析】【分析】利用2,a a=再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a bQ＜＜＞0,a b∴+＜22||a ab b a a b b∴+++=+++()a ab b=--++a ab b=---+2.a=-故选A．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．19．下列根式中属最简二次根式的是（）A．21a+B．12C．8D．2【答案】A【解析】试题分析：最简二次根式是指无法进行化简的二次根式.A、无法化简；B、原式=；C、原式=2；D、原式=.考点：最简二次根式20．若代数式1y x =-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．0x ≥且1x ≠C ．0x >D ．0x >且1x ≠【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【详解】根据题意得：010x x ≥⎧⎨-≠⎩ ， 解得：x≥0且x≠1．故选：B ．【点睛】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．。
(带答案)人教版初中数学二次根式重点知识归纳
（带答案）人教版初中数学二次根式重点知识归纳（文末附答案）单选题1、式子√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥−2C．x≤2D．x≥22、下列运算结果正确的是( )A．√(−9)2＝﹣9B．(−√2)2=2C．√6÷√2=3D．√25=±53、√(−3)2化简后的结果是（）A．√3B．3C．±√3D．±34、下列计算正确的是（）A．√22=2B．√(−2)2=−2C．√22=±2D．√(−2)2=±25、若﹣1＜x＜0，则√x2﹣√(x+1)2＝（）A．2x+1B．1C．﹣2x﹣1D．﹣2x+16、若a、b为实数，且√1-3a+√3a−1−b=5，则直线y＝ax−b不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7、下列计算正确的是（）．A．√7×√6=√42B．√7−√6=1C．√7×√6=42D．√7+√6=√138、函数y=√x−5中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．填空题9、若a＜1，化简√(a−1)2−1＝___．10、规定运算：(a*b)=｜a－b｜，其中a、b为实数，则（√7*3）+√7=________.11、我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=√14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，√5，则△ABC的面积为______．12、√2+1的有理化因式可以是______．（只需填一个）13、若x满足|2017-x|+ √x-2018 =x，则x-20172=________解答题14、已知x+1x =√7，求x−1x的值．15、阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用√5[(1+√52)n−(1−√52)n]表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．（带答案）人教版初中数学二次根式_007参考答案1、答案：D解析：由二次根式有意义的条件列不等式可得答案．解：由式子√x −2在实数范围内有意义，∴x −2≥0,∴x ≥2.故选D ．小提示：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．2、答案：B解析：解：因为√(−9)2=9,所以A 错误,因为(−√2)2=2,所以B 正确,因为√6÷√2=√3,所以C 错误,因为√25=5,所以D 错误,故选B.3、答案：B解析：试题分析：“√a ”表示的是a 的算术平方根，“±√a ”表示的是a 的平方根．√(−3)2=√9=3，故选B ．4、答案：A解析：由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．解：√22=√4=2，故A正确，C错误；√(−2)2=2，故B、D错误；故选：A．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．5、答案：C解析：直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．解：∵﹣1＜x＜0，∴x+1＞0∴√x2﹣√(x+1)2＝﹣x﹣（x+1）＝﹣x﹣x﹣1＝﹣2x﹣1．故选：C．小提示：本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简法则正确计算是本题的解题关键．6、答案：D解析：依据√1-3a+√3a−1−b=5即可得到a=13,b=−5进而得到直线y=13x+5不经过的象限是第四象限．解：∵√1-3a+√3a−1−b=5∴{1−3a≥03a-1≥0解得a=1 3 ,∴b=−5，∴直线y=13x+5不经过的象限是第四象限．故选D．小提示：本题主要考查了一次函数的性质，解决问题的关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．7、答案：A解析：只有同类二次根式才可以进行加减运算，二次根式的乘法：把被开方数相乘，根指数不变，利用加法与乘法法则逐一判断即可得到答案.解：√7×√6=√42，运算正确，故A符合题意；√7,√6不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；√7×√6=√42,原运算错误，故C不符合题意；√7,√6不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；故选A小提示：本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的加减与乘法运算的运算法则”是解题的关键.8、答案：B解析：根据函数y＝√x−5可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可.由题意得，x－5≥0，解得x≥5．在数轴上表示如下：故选B．小提示：本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键.9、答案：﹣a解析：根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可．解：∵a＜1，∴a﹣1＜0，√(a−1)2−1＝|a﹣1|﹣1＝﹣（a﹣1）﹣1＝﹣a＋1﹣1＝﹣a．所以答案是：﹣a．【小提示】本题考查了二次根式的性质与化简，对于√a2的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即√a2=|a|．10、答案：3解析：根据题意得（√7*3）+√7=｜√7－3｜+√7=3-√7+√7=3，所以答案是：3.11、答案：1解析：把题中的三角形三边长代入公式求解.∵S=√14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，∴△ABC的三边长分别为1，2，√5，则△ABC的面积为：S=√14[12×22−(12+22−(√5)22)2]=1，故答案为1．小提示：本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．12、答案：√2−1解析：根据平方差公式和有理化因式的意义即可得出答案．解：∵(√2+1)(√2−1)=(√2)2−12=1，∴√2+1的有理化因式为√2−1，所以答案是：√2−1．小提示：本题考查分母有理化，理解有理化因式的意义和平方差公式是正确解答的关键．13、答案：2018解析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出x的取值范围，再根据绝对值的意义化简即可得出方程√x-2018 =2017，将方程的两边同时平方即可解决问题．解：由条件知，x-2018≥0，所以x≥2018，|2017-x|=x-2017.所以x-2017+ √x-2018 =x，即√x-2018 =2017，所以x-2018=20172，所以x-20172=2018，所以答案是：2018．小提示：本题主要考查了二次根式的内容，根据二次根式有意义的条件找到x的取值范围是解题的关键．14、答案：±√3解析：把x+1x 平方，先求出x²+1x²的值，再求出(x−1x)2的值，即可求出x−1x的值.解：∵x+1x=√7，∴(x+1x )2=x²+1x²+2=7∴x²+1x²=5∴(x−1x )2=x²+1x²−2=3∴x−1x=±√3小提示：此题主要考查二次根式的求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.15、答案：第1个数为1；第2个数为1解析：分别把1、2代入式子化简求得答案即可．当n＝1时√5[(1+√52)n−(1−√52)n]=√5[(1+√52)−(1−√52)]＝√5√5＝1当n＝2时，√5[(1+√52)n−(1−√52)n]＝√5[(1+√52)2−(1−√52)2]＝√5(1+√52+1−√52)(1+√52−1−√52)=√5√5＝1。
初中数学二次根式知识点-+典型题附解析
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A 5B ＝2y Ca=D =2． ）A B ．C ．D ．3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）AB C D4．下列计算正确的是（ ）A 3=±B 0-=C =D 5=-5的倒数是（ ）A B C ． D ．-6．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）A B C D7．当12x =时，多项式()20193419971994x x --的值为( ).A ．1B ．1-C ．20022D ．20012-8．下列属于最简二次根式的是( )A B CD 9．下面计算正确的是（ ）A ．BCD 2-10．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ＞3C ．x ≥3D ．x ≤3二、填空题11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________12．已知a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．13．已知2216422x x---=，则22164x x-+-=________．14．（1）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b+--+=_____________；（2）已知正整数p，q满足32016p q+=，则整数对()p q，的个数是_______________；（3）△ABC中,∠A=50°,高BE、CF所在的直线交于点O,∠BOC的度数__________. 15．设a﹣b=2+3，b﹣c=2﹣3，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．16．若2x﹣1=3，则x2﹣x=_____．17．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.18．已知实数m、n、p满足等式33352m n m n m n p m n p-+⋅--=+--+--，则p=__________．19．把1aa-的根号外的因式移到根号内等于？20．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．三、解答题21．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2 =022．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．23．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1.【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.24．（112=3=4=；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2=3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含nn， （3）证明：∵n 是正整数，故答案为5=256；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.25．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤188x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．26．计算 （1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差． 【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3；（2）原式=﹣3﹣2+﹣3=-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．27．一样的式子，其实我3==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）===== （2）原式2n +++=12. 考点：分母有理化．28．已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)114.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次根式的性质对A、B进行判断；利用分母有理化对C进行判断；利用二次根式的加减法对D进行判断．【详解】解：A、原式＝5，所以A选项错误；B、原式＝，所以B选项错误；=，所以C选项正确；CD D选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及合并同类项法则，正确化简各式是解题的关键．2．A解析：A【分析】先计算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=故选：A．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．3．C解析：C【分析】化简得到结果，即可做出判断．【详解】，不是最简二次根式；解：A2B，不是最简二次根式；3C是最简二次根式；D故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．4．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】=，故此选项错误；3=，正确；D. 5=，故此选项错误；故选：B【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．B解析：B【分析】根据倒数的定义，即可得到答案.【详解】，；故选：B.【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题. 6．B解析：B【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】=，故A不是最简二次根式；2是最简二次根式，故B正确；，故C不是最简二次根式；=D不是最简二次根式；故选：B．本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．7．B解析：B【解析】【分析】由原式得()2211994x -=，得244+11994x x -=，原式变形后再将244+11994x x -=代和可得出答案.【详解】∵x =， ()2211994x ∴-=，即24419930x x --=，()()32241997199444199344199311x x x x x x x ∴--=--+---=-．∴原式()201911=-=-．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化. 8．B解析：B【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【详解】解：A ，不符合题意；BC =2，不符合题意；D 故选B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．9．B【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【详解】解：A A 选项错误；B ==＝3，故B 选项正确；C ==C 选项错误；D ．2(2)2-==，故D 选项错误；故选B ．【点睛】考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．10．C解析：C【详解】解：根据题意得：x-3≥0解得：x≥3故选C.二、填空题11．【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.【详解】将代入得：故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在解析：1-【分析】利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代入化简后的分式，计算即可.【详解】1x =====()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1x x =-将1x =1=-故答案为：1-【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．7【解析】解：∵=+，∴a 、b 的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即=4；②当a=60，b=60时，即=2； ③当a=15，b=60时，即=3； ④当a=60解析：7【解析】解：∵2，∴a 、b 的值为15，60，135，240，540．①当a =15，b =15时，即2=4；②当a =60，b =60时，即2=2；③当a =15，b =60时，即2=3；④当a =60，b =15时，即2=3；⑤当a =240，b =240时，即2=1；⑥当a =135，b =540时，即2=1；⑦当a =540，b =135时，即2=1； 故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．所有满足条件的有序数对（a ，b ）共有 7对．故答案为：7．点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a 、b 可能的取值．13．3【解析】设，则 可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为： 点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.14．（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°. 【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1, ∴222(1)4a a ab b +--+＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵32016p q +=， ∴20163p q =-，p=2016-62016+9q,∴p=14x 3(其中x 为正整数)，同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。
第二十一章 二次根式知识点总结及经典例题
第二十一章二次根式复习（1）：1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，=3 ，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。
二次根式的性质：1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a ≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。
21.2 二次根式的乘除1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。
也称“积的算术平方根”。
它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。
人教版初三九年级数学第二十一章二次根式全章复习PPT课件内容完整课件
主讲人：
时间:
初 三代 数
二次根式
（全章复习）
王润仁
七楼A座办公家园
一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习： 概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
七楼A座办公家园
二类二次根式
有理化因式
1、ab a ba 0,b 0
七楼A座办公家园
例3、计算：
1. 5 4 9 4 11 11 7 4 7
2.14 6 5 3 5
七楼A座办公家园
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
七楼A座办公家园
2、当 x 1994 1 , 2
求代数式 4x3 1997x 1994 2003
3、设S= 1 1 1 1 1 1 ........ 1 1 1
二 次
两个性质
a 2、 b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
七楼A座办公家园
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
数学人教版九年级上第21章二次根式(复习课件)
THANK YOU
运算顺序
遵循先乘除后加减的原则，同时注意括号内的运算优先级。
运算技巧
在混合运算中，灵活运用上述化简方法和运算技巧，简化二 次根式的计算过程。
03
二次根式的应用
代数问题
代数方程
二次根式在代数方程中经 常出现，如求解一元二次 方程的根等。
代数恒等式
利用二次根式的性质和运 算法则，可以证明或推导 代数恒等式。
二次根式的定义域
由于二次根式下的数必须是非负数， 因此定义域为非负实数集。
性质
非负性
由于二次根式下的数是非负的， 因此二次根式的值也是非负的。
根式的乘除法性质
当两个二次根式相乘时，其结果 为两个被开方数相乘；当两个二 次根式相除时，其结果为两个被 开方数相除。
特殊二次根式
最简二次根式
在二次根式中，如果被开方数既没有分母也没有能开得尽方的因数或因式，那 么这个二次根式就叫做最简二次根式。
因式分解法
适用于形如$sqrt{ab}$的 二次根式，通过因式分解 简化根式。
分母有理化
通过与共轭式相乘，将分 母转化为有理数，从而简 化根式。
运算技巧
乘法运算
根式的加减法
利用积的乘方公式，简化根式的乘法 运算。
合并同类项，简化根式的加减法运算 。
除法运算
利用商的乘方公式，简化根式的除法 运算。
混合运算
02
03
04
代数式求值
根据已知条件，求二次根式的 值。
代数式的化简
将复杂的二次根式进行化简， 使其更易于理解和计算。
方程求解
通过已知条件建立方程，求解 未知数。
实际应用
将二次根式与实际问题相结合 ，解决实际问题。
人教版初中数学二次根式知识点总结全面整理
人教版初中数学二次根式知识点总结全面整理单选题1、函数y=√x−5中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．答案：B解析：根据函数y＝√x−5可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可.由题意得，x－5≥0，解得x≥5．在数轴上表示如下：故选B．小提示：本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键.2、使√x−3有意义的x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3C．x≥3D．x＞3答案：C解析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∵式子√x−3有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选C．小提示：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．3、下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．√14B．√48C．√abD．√4a+4答案：A解析：根据最简二次根式的定义和化简方法将二次根式化简成最简二次根式即可：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.那么，这个根式叫做最简二次根式．解：A、√14是最简二次根式，故此选项符合题意；B、√48=4√3不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、√ab =√ab|b|不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D、√4a+4=2√a+1不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选A．小提示：本题主要考查了最简二次根式的判段，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．4、下列各式中正确的是（）A．√42=±4B．√(−4)2=−4C．−√(−4)2=−4D．√(a)2=a 答案：C解析：根据二次根式的性质化简即可．解：A、√42=4，故本选项错误；B、√(−4)2=4，故本选项错误；C、−√(−4)2=−4，故本选项正确；D、√(a)2=|a|，故本选项错误；故选：C．小提示：此题考查了二次根式的性质，掌握基本性质是解题的关键．5、下列各式中正确的是（）A．√42=±4B．√(−4)2=−4C．−√(−4)2=−4D．√(a)2=a 答案：C解析：根据二次根式的性质化简即可．解：A、√42=4，故本选项错误；B、√(−4)2=4，故本选项错误；C、−√(−4)2=−4，故本选项正确；D、√(a)2=|a|，故本选项错误；故选：C．小提示：此题考查了二次根式的性质，掌握基本性质是解题的关键．6、下列各式化简后的结果为3√2的是（）A．√6B．√12C．√18D．√36答案：C解析：A、√6不能化简；B、√12=2√3，故错误；C、√18=3√2，故正确；D、√36=6，故错误；故选C．点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．7、下列运算正确的是（）A．√a+√b=√a+b B．2√a×3√a=6√aC．(a+b)2=a2+b2D．(x2)5=x10答案：D解析：A.根据同类二次根式的定义解题；B.根据二次根式的乘法法则解题；C.根据完全平方公式解题；D.幂的乘方解题．解：A. √a与√b不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B. 2√a×3√a=6a，故B错误；C. (a+b)2=a2+2ab+b2，故C错误；D. (x2)5=x10，故D正确，故选：D．小提示：本题考查实数的混合运算，涉及同类二次根式、二次根式的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、下列运算正确的是（）A．√2 +√3=√5B．√18 =2√3C．√2•√3=√5D．√2÷√1=22答案：D解析：利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．解：A.√2与√3不能合并，所以A选项错误，不符合题意；B.原式=3√2，所以B选项错误，不符合题意；C.原式=√2×3=√6，所以C选项错误，不符合题意；D.原式=√2×2=2，所以D选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．填空题9、若m＜2√7＜m+1，且m为整数，则m＝_____．答案：5解析：利用二次根式的估值方法进行计算即可．解：2√7=√28，∵√25<√28<√36，∴5＜2√7＜6，又∵m＜2√7＜m+1，∴m＝5，所以答案是：5．小提示：本题考查了二次根式的估值求参数值的问题，熟练掌握二次根式的估值计算是解题的关键．10、如果√3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是________答案：x≤3解析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：∵二次根式√3−x在实数范围内有意义，∴3-x≥0，解得，x≤3，所以答案是：x≤3．小提示：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．11、若√17−n的值是整数，则自然数n的值为_____．答案：17或16或8或1解析：先根据二次根式的定义求出x的取值范围，再根据√17−n的值是整数这一条件对n的值进行讨论即可．由题意得：17-x≥0，解得，x≤17，当x=0时，原式=√17，不合题意；当x=1时，原式=√16=4，符合题意；当x=2时，原式=√15，不合题意；当x=3时，原式=√14，不合题意；当x=4时，原式=√13，不合题意；当x=5时，原式=√12=2√3，不合题意；当x=6时，原式=√11，不合题意；当x=7时，原式=√10，不合题意；当x=8时，原式=√9=3，符合题意；当x=9时，原式=√8=2√2，不合题意；当x=10时，原式=√7，不合题意；当x=11时，原式=√6，不合题意；当x=12时，原式=√5，不合题意；当x=13时，原式=√4=2；符合题意；当x=14时，原式=√3，不合题意；当x=15时，原式=√2，不合题意；当x=16时，原式=1；当x=17时，原式=0．综上所述，x=1、8、13、16或17．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义：概念：式子√a（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12、√12与最简二次根式5√a+1是同类二次根式，则a=_____．答案：2解析：先将√12化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．解：∵√12与最简二次根式5√a+1是同类二次根式，且√12=2√3，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．小提示：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．13、一个三角形的三边长分别为√8cm，√12cm，√18cm，则它的周长是___________cm．答案：5√2+2√3解析：试题解析：√8+√12+√18=2√2+2√3+3√2=5√2+2√3解答题﹣514、(1)计算：√12−√24√3(2)计算：6√13−14√48+(3√3−1)×√3答案：(1)﹣2√2﹣3；(2)9.解析：（1）先计算二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；（2）先将各二次根式化为最简，有括号的去括号，再化简合并即可. 解：(1)原式＝√123﹣√243﹣5＝2﹣2√2﹣5＝﹣2√2﹣3；(2)原式＝2√3﹣√3+9﹣√3＝9．小提示：本题考查了二次根式的混合运算，注意运算中符号的变化.15、化简求值：（1a+1−a−3a 2−1）÷2a+1，其中a ＝√2+1．答案：1a−1，√22解析：先通过分式的性质化简，在代入求值即可；解：原式＝[a−1(a+1)(a−1)−a−3(a+1)(a−1)]⋅a+12， ＝2(a+1)(a−1)⋅a+12，＝1a−1，当a ＝√2+1时，原式＝，√2+1−1，＝√2＝√2．2小提示：本题主要考查了分式化简求值，二次根式的运算，准确计算是解题的关键．。
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初三数学知识点 第一章二次根式知识点1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=•b a ab b a ；()0,0>≥=b a b aba . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2cb a p ++=.第一章二次根式21.1二次根式练习一、选择题1．下列式子中,是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,•底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？3有意义,．A ．0B ．1C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值．第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习1. 当0a ≤,0b时__________=.2. ,则_____,______m n ==.3. __________==.4. 计算：_____________=.5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）.6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ）C. D.8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+a b =+22a b =+a b =+9. -和- ）A. 32--B. 32--C. -=-不能确定10. 以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为3 11. 计算：()1()2()(()30,0a b -≥≥ ())40,0ab()5()6⎛÷ ⎝12. 化简：())10,0a b ≥≥ ()2()3a13. 把根号外的因式移到根号内：()1.-()(2.1x -第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习1. 下列根式中,是同类二次根式的是（ ）2. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. ）4. 下列根式中,是最简二次根式的是（ ）5. 若12x, ）A. 21x -B. 21x -+C. 3D. -36. 10=,则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±7. x ,小数部分为y ,y -的值是（ ）A. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-2==9. ,是同类二次根式的是 .10.若最简二次根式,则____,____a b ==.11. ,则它的周长是 cm.12. ,则______a =.13. 已知x y ==则33_________x y xy +=.14. 已知x =,则21________x x -+=.15.)()20002001232______________+=.16. 计算：⑴.⑵(231⎛+ ⎝⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111++-17. 计算及化简：⑴. 22- ⑵⑶⑷-18. 已知：x y ==求32432232x xy x y x y x y -++的值.19. 已知：11a a +=求221a a+的值.20. 已知：,x y 为实数,且13y x -+,化简：3y -21. 已知11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值.第一章二次根式单元练习（一）判断题：（每小题1分,共5分）．1．2)2(＝2．……（ ）2．21x --是二次根式．（ ）3．221213-＝221213-＝13－12＝1．（ ）4．a ,2ab ,ac1是同类二次根式．（ ） 5．b a +的有理化因式为b a -．（ ）（二）填空题：（每小题2分,共20分）6．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________．7．当x ____________时,二次根式32-x 有意义．8．比较大小：3－2______2－3． 9．计算：22)21()213(-等于__________． 10．计算：92131·3114a ＝______________． 11．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则3a －2)43(b a -＝______________． 12．若8-x ＋2-y ＝0,则x ＝___________,y ＝_________________．13．3－25的有理化因式是____________．14．当21＜x ＜1时,122+-x x －241x x +-＝______________． 15．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式,则a ＝_______,b ＝_____．（三）选择题：（每小题3分,共15分）16．下列变形中,正确的是………（ ）（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)52(-＝－52（C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯17．下列各式中,一定成立的是……（ ）（A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1（C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ）b a ＝b1ab18．若式子12-x －x 21-＋1有意义,则x 的取值范围是………（ ） 11119．当a ＜0,b ＜0时,把ba化为最简二次根式,得………………………（ ） （A ）ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b-1 （D ）ab b20．当a ＜0时,化简|2a －2a |的结果是（ ）（A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a（四）在实数范围内因式分解：（每小题4分,共8分）21．2x 2－4； 22．x 4－2x 2－3．（五）计算：（每小题5分,共20分）23．（48－814）－（313－5.02） 24．（548＋12－76）÷325．50＋122+－421＋2(2－1)026．（b a 3－b a ＋2a b ＋ab ）÷a b（六）求值：（每小题6分,共18分）27．已知a ＝21,b ＝41,求b a b -－ba b+的值．28．已知x ＝251-,求x 2－x ＋5的值．29．已知y x 2-＋823-+y x ＝0,求(x ＋y )x的值．（七）解答题：30．（7分）已知直角三角形斜边长为（26＋3）cm,一直角边长为（6＋23）cm,求这个 直角三角形的面积．31．（7分）已知|1－x |－1682+-x x ＝2x －5,求x 的取值范围．第一章二次根式21.1二次根式练习答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x,则0.2x2=1,解答：2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩,320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时x 2在实数范围内没有意义．3.134．B 5．a=5,b= - 4第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习答案1. -2. 1、2；3. 18；4. -5；5. 2.83； 6——10： DDCAB11. ()()()()()()2221.6,2.15,3.20,4.5.1,6.x a b aba --12. ()()()123.0ab；13. ()()1.2.第一章二次根式21.3 二次根式的加减练习答案1——8：BAACCCCC10. 1、1；11. (； 12. 1； 13. 10；14. 4-；2； 16. ()()()()122,3.454.4-+； 17. ()()()()()21.4,23.,4.1x y y x-+-； 18. 5；19. 9+ 20. -1； 21. 2第一章二次根式单元练习答案（一）判断题：（每小题1分,共5分）．1．√；2．×；3．×；4．√；5．×． （二）填空题：（每小题2分,共20分）32a12． 8,2． 13． 3＋25． 14． 23－2x ． 15． 1,1． （三）选择题：（每小题3分,共15分）16． D ．17． B ．18． C ．19． B ．20． D ．（四）在实数范围内因式分解：（每小题4分,共8分）21．先提取2,再用平方差公式．【答案】2（x ＋2）（x －2）．22．【提示】先将x 2看成整体,利用x 2＋px ＋q ＝（x ＋a ）（x ＋b ）其中a ＋b ＝p ,ab ＝q 分解．再用平方差公式分解x 2－3．【答案】（x 2＋1）（x ＋3）（x －3）．（五）计算：（每小题5分,共20分）23．【提示】先分别把每一个二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式． 【答案】33．24．【解】原式＝（203＋23－76）×31＝203×31＋23×31－76×31 ＝20＋2－76×33＝22－221． 25．【解】原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1 ＝52＋22－2－22＋2＝52．26．【解】原式＝（b a 3－b a ＋2a b ＋ab ）·ba ＝b a 3·b a －b a ·b a ＋2a b ·b a ＋ab ·ba ＝a －2)(b a ＋2＋2a＝a 2＋a －ba ＋2． （六）求值：（每小题6分,共18分）27．【解】原式＝))(()()(b a b a b a b b a b +---+ ＝b a b ab b ab -+-+ ＝b a b -2． 当a ＝21,b ＝41时, 原式＝ 4121412-⨯ ＝2． 28．【解】∵ x ＝251-＝4525-+＝25+． ∴ x 2－x ＋5＝(5＋2)2－(5＋2)＋5＝5＋45＋4－5－2＋5＝7＋45．29．【解】∵ y x 2-≥0,823-+y x ≥0,而 y x 2-＋823-+y x ＝0,∴ ⎩⎨⎧=-+=-.082302y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.12y x∴ (x ＋y )x ＝(2＋1)2＝9．（七）解答题：30．【解】在直角三角形中,根据勾股定理： 另一条直角边长为：22)326()362(+-+＝3（cm ）． ∴ 直角三角形的面积为：S ＝21×3×（326+）＝23336+（cm 2） 答：这个直角三角形的面积为（23336+）cm 2． 31．【解】由已知,等式的左边＝|1－x |－2)4(-x ＝|1－x |－|x －4 右边＝2x －5．只有|1－x |＝x －1,|x －4|＝4－x 时,左边＝右边．这时⎩⎨⎧≤-≤-.0401x x 解得1≤x ≤4． ∴ x 的取值范围是1≤x ≤4．。