希尔伯特变换实现单边调制

希尔伯特变换在单边带系统中的应用

专业：信息安全

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希尔伯特变换在单边带系统中的应用

关键词:高斯白噪声 Matlab巴特沃兹滤波器 SSB

摘要：随机信号在通信系统中有着重要的意义，信号处理技术及通信网络系统与计算机分析技术的相互融合，都要求我们对研究分析随机信号经过系统的响应有一个深入的了解。我们将利用MATLAB仿真软件对随机信号经过数字信号处理进行系统仿真设计，并进行调试和数据分析，获得实验结果。

复杂的实际通信系统可以通过抽象与仿真来研究它的特性。本实验通过MATLAB中的仿真出理想高斯白噪声，并将其作为加性噪声模拟噪声对系统输入信号的影响，通过低通滤波器后，再经过希尔伯特变换后输出来仿真单边带系统对信号的影响，进而研究希尔伯特变换在单边带系统中的应用。

一、选题背景与目的

在单边带调制（SSB）中，利用公式对调制信号进行时域的推导是比较困难的，所以需要将其变换到表示直观、简明的频域进行分析。而跟相移法相比希尔伯特变换更加简便，并且可以更佳地处理加入噪声的调制信号，克服因为噪声函数的随机性导致的相移法无法处理噪声频移的缺点，具有更广泛的应用性。通过这次实验加深对希尔伯特变换的理解，以及对MATLAB中的信号处理的熟悉。

希尔伯特变换(Hilbert)在通讯等领域有着非常广泛的应用，它是信号分析与处理的重要工具，可以用来进行信号的调制与解调、对信号功率的测量、对窄带信号的检测、实现对瞬时频率的估计等，并且它可以用来统一的描述各种模拟调制方式（DSB、SSB、AM、FM）的原理，揭示这些方式之间的内在联系，简化理论分析。

希尔伯特变换是一种将信号相移90度的运算，与其他变换不同，它是属于相同域的变换。它有着一些很好的性质，如正交性、卷积特性等。特别的，对于任意的一个因果系统，它的实部和虚部、模与幅角，都存在着一定的希尔伯特变换关系。继而，由希尔伯特变换得出的任一信号的解析信号，其频率响应总是因果的，即其频率响应仅含有正频率项。

单边带调制（英文是Single-sideband modulation，缩写为SSB），是一种可以更加有效的利用电能和带宽的调幅技术。单边带调制与残留边带调制（VSB）有密切的关系。调幅技术输出的调制信号带宽为源信号的两倍。单边带调制技术可以避免带宽翻倍，同时避免将能量浪费在载波上，不过因为设备变得复杂，成本也会增加。单边带调制技术是原有频率分量的相对关系保持不变的调制技术，也可看作是调幅(AM)的一种特殊形式。调幅信号频谱由载频fc和上、下边带组成，被传输的消息包含在两个边带中，而且每一边带包含有完整的被传输的消息。因此，只要发送单边带信号，就能不失真地传输消息。显然，把调幅信号频谱中的载频和其中一个边带抑制掉后，余下的就是单边带信号的频谱。

一种生成单边带调制信号的方法是将其中一个边带通过滤波去除，只留下上边带或者下边带。而且载波一般也需要经过衰减或者完全滤除（抑制）。这通常称为抑制单边带载波。假如原调制信号的两个边带是对称的，那么经过这一变换后，并不会造成任何的信息遗失。因为最终的射频放大器只发射一个边带，这样有效输出功率就会比普通的调幅方式大。因此单边带调制具有使用带宽小、节省能量的优点，但是它无法被普通的调幅检波器解调。

单边带调制的实现方法有很多种，其中常用的一种就是利用希尔伯特变换，对调制信号进行频移，系统中包括载波信号和两个频移后的调制信号。两个频移后的调制信号分别在载波信

号的两侧，其中频率较低的那个信号是频率反转后的信号。

二、实验特点与原理

在单边带幅度调制中，可以保留上边带，也可以保留下边带。信号单边带调制可以提高信道的利用率。信号单边调制（SSB）有上边带（USB）和下边带（LSB）两种，一般利用希尔伯特变换来实现。

⒈利用希尔伯特实现单边带调制的原理框图如下所示：

图1 利用希尔伯特变换实现单边带调制框图

其中输入信号x(t)： x(t)=s(t)+n(t)。s(t)为频率为1KHz、幅值为1v的正弦波信号。载波为4 KHz、幅值为1v的正弦波信号。n(t)为高斯噪声。

⒉单边带幅度调制的时域表达式为

YUSB(t)=1

2

x(t)cos(ωct)−1

2

xh(t)sin⁡(ωct)

⁡YLSB(t)=

1

2

x(t)cos(ωct)+

1

2

xh(t)sin⁡(ωct)

式中：xh(t)为信号x(t)的希尔伯特变换。

⒊希尔伯特变换器的时域特性h(t)为

t

1

h(t)

π

=

对上式进行傅里叶变化，可得希尔伯特变换器的频率特性H(jw)为：

由以上可知，希尔伯特变换器的幅度响应为︱H(jw)︱=1,相

位响应为φ（w）=-

2

π

sgn(w)，因此，希尔伯特变换器是一个全通系统，称为90度相移器。

⒋希尔伯特变换器的输入与输出之间的关系在时域可表示为：

xh (t )=x (t )∗h (t )=x (t )∗

1πt =1π∫x(τ)t −τ

+∞

−∞

dτ

x (t )=xh (t )∗[−h (t )]=xh (t )∗(−1πt )=−1π∫xh(τ)

t −τ

+∞

−∞

dτ

对上式进行傅里叶变换，便可知希尔伯特变换器的输入x(t)与输出xh(t)在频域具有以

下关系：

Xh (ω)=X (jω)H (jω)=X (jω)[−jsgn(ω)]

X (jω)=Xh (jω)[−H (jω)]=Xh (jω)[jsgn(ω)]

⒌ 如果调制信号的频谱为X(jw)，则对ｙUSB(t)及ｙLSB(t)的时域表达式两边进行傅里叶

变换可得下式： YUSB(jw)=

)]()([)(2

121)]()([2121c c h c c w w w w j jw w w w w jw --+*X ⨯--++*X ⨯δδππδδππ）（=

))](())(([4

))](())(([41w w j w w j j

w w j w w j h h c c -X -+X --X ++X 利用上面Xh(jw)与X(jw)的关系，将Xh(jw)用X(jw)替换得： [])]

sgn(*))(()sgn())(([4

1))(()(41)(c c c c w w w w j w w w w j w w j w w j j YUSB --X -++X --X ++X =）（ω

)]

()([)(2

121)]()([2121)(c c h c c w w w w j jw w w w w jw j YLSB --+*

X ⨯+-++*X ⨯=

δδππδδππω）（=

))](())(([4

))](())(([41w w j w w j j

w w j w w j h h c c -X -+X +-X ++X = [])]sgn())(()sgn())(([41))(()(41c c c c w w w w j w w w w j w w j w w j --X -++X +-X ++X ）（所以，单边带一条信号的频谱为：

YUSB (jω)=12X(j (ω−ωc ))+1

2

X(j (ω+ωc ))⁡⁡⁡⁡|ω|≥ωc