小学四年级秋季奥数培训教材

二〇二〇年七月五日

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目 录

01

定义新运算 07

02

06

03

04

01

05

数字谜 简便运算 错中求解 图形的计算 综合应用题

植树问题 平均数问题

小学四年级秋季奥数培训资料

第一讲定义新运算

【专题分析】

随着现代科学技术的发展，尤其是计算机技术的广泛应用，我们常常需要设计一些特定的计算程序（这里所说的程序就是认为约定的某种计算程序）。

在小学数学竞赛中，常出现一些按指定程序计算的问题，解答这类题虽然不需要新的数学知识，但必须仔细阅读题目，严格按指定程序进行计算，才能求出正确的结果。

【王牌例题】

例1 设ａ※b表示ａ的3倍减去b的2倍，即ａ※b＝3×ａ－2×b。例如，当ａ＝5，b＝4时，5※4＝5×3－4×2＝7

（1）计算：7※8 （2）8※7

【思维点拨】这类题关键是抓住定义本质，这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。由此就可以把这种新运算转化成普通的数运算。

【模仿训练】

（1）设ａ、b都表示数，规定ａ○b＝5×ａ－3×b。试计算：3○4。

（2）设ａ、b都表示数，规定ａ◇b＝3×ａ＋2×ｂ。试计算：5◇ｂ。

例2对于两个数ａ与ｂ，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ＋ａ＋ｂ。试计算：6⊕3。

【思维点拨】这道题规定的运算本质是：将运算符号“⊕”的前后两个数的积加上这

两个数，即为运算结果。由此转化为普通算式计算。

【模仿训练】

（1）对于两个数ａ与b，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ－（ａ＋ｂ）。试计算：3⊕5。

（2）对于两个数A与B，规定A◎B＝A×B÷2。试计算：6◎4。

例3 对于两个数ａ与ｂ，规定ａ▽ｂ＝（ａ＋3）×（ｂ－5），试计算：5▽（6▽7）。

【思维点拨】算式5▽（6▽7）中小括号的定义与常规运算相同，有括号的要先计算括号里的，再计算括号外的。

5▽（6▽7）＝5▽[（6＋3）×（7－5）]

＝5▽18

＝（5＋3）×（18－5）

＝104

【模仿训练】

（1）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ○ｂ＝ａ＋3ｂ，试计算：3○4○5。（提示：3ｂ就是3×ｂ的简写）

（2）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ□ｂ＝ａ×ｂ÷2试算：5□6□2。

例4 如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规定计算：

（1）3△5 （2）8△3

【思维点拨】这道题规定的运算本质是从运算符号前面的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。

【模仿训练】

（1）如果3□4＝3＋4＋5＋6＝18，6□5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。试计算：1995□5

（2）如果2▽4＝24÷（2＋4），3▽6＝36÷（3＋6）。按此规律计算：8▽4。

例5 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：

羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。

以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼；但是狼与羊在一起狼就吃掉羊只剩下狼。

同学们很希望羊能战胜狼，所以我们补充规定一种☆运算，用符号表示：

羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼。

这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但由于羊多便能战胜狼，当狼与羊在一起时，狼便被羊赶走了而只剩下羊。

对于羊和狼，可以用上面规定的两种运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或是狼，或是羊。

求下面算式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）

【思维点拨】这道题必须确切理解两种运算的规定，并正确运用运算顺序。

【模仿训练】

（1）刚才例5是狼战胜了羊，同学们想不想羊能战胜狼，运用例5的运算规定求下面算式的结果看羊战胜狼了吗？

羊☆（羊△狼）△狼☆（羊△羊）

（2）有一个数字符号“”使下列算式成立：

6 2＝12,4 3＝13,3 4＝15,5 1＝8，按此规律计算：8 4。

【巩固练习】

1、设ａ与ｂ都表示数，规定ａ△ｂ＝3×ａ＋2×ｂ。试算：

（1）6△3 （2）8△4 （3）2△（2△3）

2、有两个数A和B，规定A※B表示A与B的积减去A与B的差，试算：

（1）5※4 （2）6※（5※4）

3、如果5⊙2＝5×6，2⊙3＝2×3×4，按此规律计算：8⊙4

4、定义运算◎为：A◎B＝A×B－（A＋B）。求：

（1）8◎12 （2）12◎（3◎3）

5、规定：ａ△ｂ＝（ａ＋ｂ）÷2。求：3△（6△8）

6、对于两个数ａ与ｂ，ａ⊙ｂ表示ｂ×5－ａ×2，计算

（1）29⊙57 （2）38⊙（14⊙23）

7、定义新运算ａ⊕ｂ＝（ａ×ｂ）＋（ａ＋ｂ），求：

（1）6⊕2 （2）（1⊕2）⊕3

8、对于两个数ａ和ｂ，ａ△ｂ等于ａ＋ｂ－1，计算：

（1）（7△8）△6 （2）（5△20）△61

【拓展提高】

1、定义运算为：ａ▽ｂ＝（ａ＋1）÷ｂ，求2▽（3▽4）的值。

2、有两个整数是A和B，A◆B表示A与B的平均数，已知A◆6＝17，求A的值。

3、规定ａ△ｂ＝（ｂ＋ａ）×ｂ。求：（2△3）△（5△8）的值。

4、有一种新运算符号“⊕”使下列算式成立：2⊕4＝10，5⊕3＝18，3⊕5＝14，9⊕7＝34。求7⊕3。

5、定义运算“□”为x□y＝2xy－（x＋y）。试求：12□（3□4）。（提示：2xy 就是2×x×y）。

6、4※2＝4＋44＝48，2※3＝2＋22＋222＝246，1※4＝1＋11＋111＋1111＝1234，求2※5的值。

【本章节小结】

本章所学习的定义新运算，它来源于人们的生活，反应了两种数量之间的一种新的对应关系。在解决此类问题时，一定要严格按照新运算的规定来计算，一步步来不能随便套用普通四则运算中的运算定律。