小学四年级秋季奥数培训教材

二〇二〇年七月五日catalogue目 录01定义新运算 07020603040105数字谜 简便运算 错中求解 图形的计算 综合应用题植树问题 平均数问题小学四年级秋季奥数培训资料第一讲定义新运算【专题分析】随着现代科学技术的发展，尤其是计算机技术的广泛应用，我们常常需要设计一些特定的计算程序（这里所说的程序就是认为约定的某种计算程序）。

在小学数学竞赛中，常出现一些按指定程序计算的问题，解答这类题虽然不需要新的数学知识，但必须仔细阅读题目，严格按指定程序进行计算，才能求出正确的结果。

【王牌例题】例1 设ａ※b表示ａ的3倍减去b的2倍，即ａ※b＝3×ａ－2×b。

例如，当ａ＝5，b＝4时，5※4＝5×3－4×2＝7（1）计算：7※8 （2）8※7【思维点拨】这类题关键是抓住定义本质，这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面数的2倍即为运算结果。

由此就可以把这种新运算转化成普通的数运算。

【模仿训练】（1）设ａ、b都表示数，规定ａ○b＝5×ａ－3×b。

试计算：3○4。

（2）设ａ、b都表示数，规定ａ◇b＝3×ａ＋2×ｂ。

试计算：5◇ｂ。

例2对于两个数ａ与ｂ，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ＋ａ＋ｂ。

试计算：6⊕3。

【思维点拨】这道题规定的运算本质是：将运算符号“⊕”的前后两个数的积加上这两个数，即为运算结果。

由此转化为普通算式计算。

【模仿训练】（1）对于两个数ａ与b，规定ａ⊕ｂ＝ａ×ｂ－（ａ＋ｂ）。

试计算：3⊕5。

（2）对于两个数A与B，规定A◎B＝A×B÷2。

试计算：6◎4。

例3 对于两个数ａ与ｂ，规定ａ▽ｂ＝（ａ＋3）×（ｂ－5），试计算：5▽（6▽7）。

【思维点拨】算式5▽（6▽7）中小括号的定义与常规运算相同，有括号的要先计算括号里的，再计算括号外的。

5▽（6▽7）＝5▽[（6＋3）×（7－5）]＝5▽18＝（5＋3）×（18－5）＝104【模仿训练】（1）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ○ｂ＝ａ＋3ｂ，试计算：3○4○5。

（提示：3ｂ就是3×ｂ的简写）（2）对于两个数ａ与ｂ，规定ａ□ｂ＝ａ×ｂ÷2试算：5□6□2。

例4 如果2△3＝2＋3＋4，5△4＝5＋6＋7＋8，按此规定计算：（1）3△5 （2）8△3【思维点拨】这道题规定的运算本质是从运算符号前面的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。

【模仿训练】（1）如果3□4＝3＋4＋5＋6＝18，6□5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。

试计算：1995□5（2）如果2▽4＝24÷（2＋4），3▽6＝36÷（3＋6）。

按此规律计算：8▽4。

例5 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。

以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼；但是狼与羊在一起狼就吃掉羊只剩下狼。

同学们很希望羊能战胜狼，所以我们补充规定一种☆运算，用符号表示：羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼。

这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但由于羊多便能战胜狼，当狼与羊在一起时，狼便被羊赶走了而只剩下羊。

对于羊和狼，可以用上面规定的两种运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。

运算的结果或是狼，或是羊。

求下面算式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）【思维点拨】这道题必须确切理解两种运算的规定，并正确运用运算顺序。

【模仿训练】（1）刚才例5是狼战胜了羊，同学们想不想羊能战胜狼，运用例5的运算规定求下面算式的结果看羊战胜狼了吗？羊☆（羊△狼）△狼☆（羊△羊）（2）有一个数字符号“”使下列算式成立：6 2＝12,4 3＝13,3 4＝15,5 1＝8，按此规律计算：8 4。

【巩固练习】1、设ａ与ｂ都表示数，规定ａ△ｂ＝3×ａ＋2×ｂ。

试算：（1）6△3 （2）8△4 （3）2△（2△3）2、有两个数A和B，规定A※B表示A与B的积减去A与B的差，试算：（1）5※4 （2）6※（5※4）3、如果5⊙2＝5×6，2⊙3＝2×3×4，按此规律计算：8⊙44、定义运算◎为：A◎B＝A×B－（A＋B）。

求：（1）8◎12 （2）12◎（3◎3）5、规定：ａ△ｂ＝（ａ＋ｂ）÷2。

求：3△（6△8）6、对于两个数ａ与ｂ，ａ⊙ｂ表示ｂ×5－ａ×2，计算（1）29⊙57 （2）38⊙（14⊙23）7、定义新运算ａ⊕ｂ＝（ａ×ｂ）＋（ａ＋ｂ），求：（1）6⊕2 （2）（1⊕2）⊕38、对于两个数ａ和ｂ，ａ△ｂ等于ａ＋ｂ－1，计算：（1）（7△8）△6 （2）（5△20）△61【拓展提高】1、定义运算为：ａ▽ｂ＝（ａ＋1）÷ｂ，求2▽（3▽4）的值。

2、有两个整数是A和B，A◆B表示A与B的平均数，已知A◆6＝17，求A的值。

3、规定ａ△ｂ＝（ｂ＋ａ）×ｂ。

求：（2△3）△（5△8）的值。

4、有一种新运算符号“⊕”使下列算式成立：2⊕4＝10，5⊕3＝18，3⊕5＝14，9⊕7＝34。

求7⊕3。

5、定义运算“□”为x□y＝2xy－（x＋y）。

试求：12□（3□4）。

（提示：2xy 就是2×x×y）。

6、4※2＝4＋44＝48，2※3＝2＋22＋222＝246，1※4＝1＋11＋111＋1111＝1234，求2※5的值。

【本章节小结】本章所学习的定义新运算，它来源于人们的生活，反应了两种数量之间的一种新的对应关系。

在解决此类问题时，一定要严格按照新运算的规定来计算，一步步来不能随便套用普通四则运算中的运算定律。

第二讲数字谜第1节横式数字谜【专题分析】同学们都知道，在数学中有横式也有竖式，如果把式子中的一个或几个数字用字母、文字或符号代替，这样不完整的式子就是数字谜题目。

这些数字好像被虫子吃掉了，所以在我国古代称这种题为“虫食算”。

要求根据算式中给定的数量关系，运用运算法则进行推理判断，求出用字母、文字或符号代替的数。

这里先向同学们介绍横式谜的解法。

【王牌例题】例1 如果A－B＝6且A＋B＝112，那么A和B各代表什么数？【思维点拨】（1）根据被减数＝差＋减数，由A－B＝6推出A＝6＋B，把A＋B＝112中的A换成6＋B，得6＋B＋B＝112，可以求出B，再求A。

（2）可以根据和差问题解答，A－B＝6两数差，A＋B＝112两数和，再运用公式解答。

（1）6＋B＋B＝112 （2）A＝（112＋6）÷2B＋B＝106 ＝118÷2B＝53 ＝59A＝53＋6＝59 B＝59－6＝53【模仿训练】（1）如果△＋☆＝16，且☆－△＝2，那么△和☆各代表什么数？（2）如果☆＋△＝175，且☆÷△＝4，那么☆和△各代表什么数？例2 在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。

217÷□＝□□【思维点拨】根据217÷□的商是一个两位数，可知除数必须大于2，因此可能是3到9中的数，逐一试除得到：217÷3＝72......1 217÷4＝54......1 217÷5＝43 (2)217÷6＝36......1 217÷7＝31 217÷8＝27 (1)217÷9＝24 (1)根据以上分析只有217÷7＝31符合题意，所以只有一种填法。

【模仿训练】在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。

（1）456÷□□＝□（2）326÷□＝□□□……□（3）646÷□＝92 (2)例3 在下面方框中填上适当的数，使等式成立。

（1）156÷□＝8......4 （2）□÷7＝44 (6)（3）215÷4＝□......3 （4）41÷□＝□ (6)【思维点拨】根据有余数的除法中的几种关系，进行解答。

被除数＝除数×商＋余数除数＝（被除数－余数）÷商商＝（被除数－余数）÷除数【模仿训练】小马虎在做一道除法题时，做完后因为正确了而太高兴，一不小心将墨水涂在除数上如下式，你能求出正确的除数吗？（1）617÷□＝25……17 （2）371÷□＝□□例4 在□里填上适当的整数，使不等式成立。

（1）14<□×3<16 （2）17<4×□<23【思维点拨】根据“□”是整数，则“整数×整数”一定是整数，则可使问题简单。

（1）因为大于14而小于16的整数，只有15，所以□×3＝15，可得□＝15÷3＝5；（2）因为大于17而小于23的整数有18、19、20、21、22，5个数其中是4的倍数只有20，因此4×□＝20，所以□＝20÷4＝5。

【模仿训练】（1）在方框中填上适当的整数，使等式成立。

28<□×7<39 100>□×30>40（2）在方框里填上同一个数，是等式成立。

□÷□＋（□＋□－□）＝3【巩固练习】1、如果□＋△＝26，且□－△＝10，那么□和△分别代表什么数？2、在“□”里填上适当的整数，使不等式成立。

（1）120<□×35<160 （2）89>□×3>85 （3）86>23×□>603、如果○＋○＋○＝□，且□＋□＝120。

那么，○＝（），□＝（）。

4、在下面的方框里填上适当的数字，使等式成立。

（1）207÷□＝□□（2）183÷□＝□□ (1)（3）605÷□＝□□ (2)5、将0,1,2,3,4,5,6这七个数字填在圆圈内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。

○×○＝○＝○÷○【拓展提高】1、已知□＝△＋△＋△＋△，□×△＝16，求△＝（），□＝（）。

2、在下面的式子里加上括号使等式成立。

（1）7×9＋12÷3－2＝23 （2）7×9＋12÷3－2＝65（3）7×9＋12÷3－2＝77 （4）7×9＋12÷3－2＝473、在下列四个5之间，填上适当的运算符号＋、－、×、÷和（），使等式成立。