第三章 复变函数的积分习题与解答

第三章 复变函数的积分习题与解答

3.1 如果函数()f z 是在【1】单连通区域；【2】复通区域中的解析函数，问其积分值与路径有无关系？

【答案 单连通 无关，复连通 有关】

3.2 计算积分 3||2d 1z z z =-⎰的值

【答案 0】 3.3 计算积分

22d L z z a -⎰:其中0a >．设 L 分别为 （1）(1)||/2; ||; (3)||z a z a a z a a =-=+=

【答案 (1)0；（2）πi

a ； (3)πi

a -】 3.4 计算积分 Im d C z z ⎰，其中积分曲线C 为

（１）从原点到2i +的直线段；

（２）上半圆周 ||1z =，起点为1，终点为1-；

（３）圆周|| (0)z a R R -=>的正方向（逆时针方向）

【答案 2(1)1i /2;(2)π/2;(3)πR +--】

3.5 计算积分 d ||C z z

z ⎰的值，

(1)||2; (2)||4;z z ==

【答案(1)4πi;(2)8πi 】

3.6 计算积分的值 π2i 0

cos d 2z z +⎰

【答案 1/e e +】

3.7计算下列积分的值 （1） ||1d cos z z z =⎰；（2）2||2

d z z

e z =⎰21||1||12i d d (3); (4)24()(2)z z z z z z z z ==++++⎰⎰ 【答案（1）0；（2） 0；（3） 0；（4） 4πi

4i +】

3.8 计算 2||2||232|i|1||1522||1|i|2(1)d ; (2)d ;3(1)(21)

cos (3)d ; (4)d (i)(2)

d (5)d ; (6)(4)z z z z

z z z z z e z z z z z z z e z z z z z e z z z z z ==-===-=--+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

【答案 （1）0；（2）0；（3）πicosi -；（4）3πi 2-；（5）πi 12（6）π8-】

3.9 计算积分

（1）π61i i 000(1)sin d ; (2)ch3d ; (3)(1)d z z z z z z z e z --⎰⎰⎰

【答案 13(1)sin1cos1; (2)i; (3)1cos1i[sin(1)1]--+-】

3.10 计算复数 123cos (1)d C C z z z +⎰，其中1:||2C z =顺时针方向；2:||3C z =逆时针方向．

（2）3||1d ()z

z e z z a =-⎰，其中复常数||1a ≠

【答案 （1） 0；（2）当

||1,0;||1,πi a a a e ><】 3.11 设L 为不经过点b 和b -的简单正向（逆时针）曲线，b 为不等于零的任何复数，试就曲线L 与b 的各种可能计算积分的值．

d ()()L z I z z b z b =+-⎰

【答案 （1）L 不含b ±，则I=0;（2）L 含b ，πi b I =

；L 含b -，πi b I =-；（3）两点在内部 0I =】

3.12 已知 π3||2()d e h z z ξξξξ==-⎰，试求(i),(i)h h -，以及当||

2z >时，

()h z '的值.

【 ()π(i);(i)i);||2,()0h i h z h z '=-=>=】

3.13 计算积分 3d ()z

C ze z z a -⎰，其中 常数a 在闭曲线C 内部 【答案 1(2)2a

a e +】

3.14 设 C 为正向圆周1=z ，且||1a ≠，证明：积分

222π1||22

π||1||1 (||1)|d ||| (||1)a z a a z z a a -=-<⎧⎪=⎨->⎪⎩⎰ 3.15 利用积分 ||1d 2z z z =+⎰的值，证明2π012cos d 054cos θθθ+=+⎰

3.16 计算积分 2|||d |,(||)||z r z a r z a =≠-⎰

（提示：令

i i :|d |d ,r z c z re z z θ=⇒=注意到点2,r a a 是关于圆周||z r =的对称点）

3.17.已知 2πsin 4()d f z z ζζζζ==-⎰

求(12i),(1),(1)f f f '-． 3.18 计算积分（2）2||1cos d z z z z e z =⎰

本章计算机仿真编程

3.19 计算机仿真编程验证3.15的积分结果2π0

12cos d 054cos θθθ+=+⎰

3.20 计算机仿真计算下列积分的值 （沿非闭合路径的积分）

π63πi i i 2123πi 00(1)d ; (2)ch3d ; (3)(1)d ;z z I e z I z z I z e z --===-⎰⎰⎰

i

4211tan (4)d ,cos z I z z +=⎰其积分的路径为沿1到i 的直线段． (说明：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机仿真编程Matlab 直接求解)