两个基本计数原理教学案
两个基本计数原理的教学设计
两个基本计数原理的教学设计一、地位作用计数原理是数学中的一个重要的研究对象，本章所学的排列组合是组合数学的初步知识，这种以计数为特征的内容在中学数学中是较为独特的，它不仅影响广泛，是学习统计概率以及高等数学有关分支的准备知识，而且由于它的思想方法灵活独特，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。
本节课讲的两个基本计数原理是计数原理这一章的重点内容，它们不仅是推导排列数组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终。
从思想方法的角度看，两个原理一个是将问题进行分类处理，另一个是将问题进行分步处理，从而达到分解问题、解决问题的目的。
因此对两个原理的理解掌握和运用，成为本章内容的一个关键。
二、教学目标引导学生通过典型的、学生熟悉的实例归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，初步学会区分“分类”和“分步” , 能够用两个计数原理解决简单的计数问题。
通过例题引导学生体会计数原理的基本思想及应用方法。
正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，体会理论来源于实践井应用于实践的辩证唯物主义观点. 从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、内容分析分类计数原理和分步计数原理都是设计完成一件事的不同方法的总数，它们的区别在于分类计数原理是将办事方法分为若干类，每一类方法之间是相互独立的，用任一种方法都可以完成这件事情；而分步计数原理是将办事方法分成若干步进行，各个步骤相互依存，必须是各个步骤都完成了，这件事情才完成。
因此，分辨清楚办事方法是分类还是分步，是科学使用两个原理的前提，也是本节课的一个难点。
四、教学过程（一）引入课题:1、高二一班男生9 名.女生20 名.从中选出1 名男生和1名女生担任主题班会主持人，有多少不同的选法?2、把我们班的同学排成一排，共有多少种不同的排法?3、一次集会共50 人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少?设计意图:在运用排列、组合方法时.经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.（二）讲授新课1、分类加法计数原理师生活动:（1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码?（2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3 班，汽车有2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?结论:分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法‘那么完成这件事共有N=m+n. 种不同的方法.（3）如果完成一件事有三类不同方案. 在第1 类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方案中有m2 种不同的方法，在第3 类方案中有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?一般归纳（略）理解:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2、分步乘法计数原理师生活动:⑷用前6个大写英文字母和1-9九个阿拉伯数字，以A1A2A3A4…,B1B2,的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码a用列举法可以列出所有可能的号码（分析略）（5）你能说说这个问趣的特征吗结论:分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m 种不同的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=mxn 种不同的方法.如果完成一件事需要三个步骤，做第I 步有m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同的方法，做第3 步有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?一般归纳（略）理解分步乘祛计数原理:分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后甲才算完成这件事.（6）分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点?①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.是合作完成.（三）例题讲解:课本例1 到例4（四）练习P6 1 、2、3（五）小结 1 、分类加法计数原理2、分步乘法计数原理（六）作业。
两个基本计数原理教案
两个基本计数原理教案第一章：概述1.1 计数原理的定义解释计数原理的概念和重要性强调计数原理在数学和实际生活中的应用1.2 两个基本计数原理介绍两个基本计数原理：排列原理和组合原理解释排列原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列方式的个数解释组合原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合方式的个数第二章：排列原理2.1 排列原理的公式介绍排列公式：P(n, m) = n! / (n-m)!解释排列公式的含义和推导过程2.2 排列原理的应用举例说明排列原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用排列原理计算不同的排列方式个数第三章：组合原理3.1 组合原理的公式介绍组合公式：C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]解释组合公式的含义和推导过程3.2 组合原理的应用举例说明组合原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用组合原理计算不同的组合方式个数第四章：排列与组合的综合应用4.1 排列与组合的区别与联系解释排列与组合的概念及其区别强调排列与组合在解决实际问题中的综合应用4.2 综合应用举例举例说明排列与组合在实际问题中的综合应用练习题：根据给定的问题，运用排列与组合原理计算不同的方式个数第五章：练习与拓展5.1 练习题提供一系列练习题，巩固排列与组合原理的应用鼓励学生自主思考，提高解题能力5.2 拓展与应用探讨排列与组合原理在其他领域的应用鼓励学生发现生活中的数学问题，运用排列与组合原理解决第六章：排列与组合在概率论中的应用6.1 排列与组合在概率计算中的作用解释排列与组合在概率计算中的重要性介绍排列与组合在计算事件概率时的应用6.2 具体案例分析通过具体案例，展示排列与组合在概率计算中的应用练习题：根据给定的概率问题，运用排列与组合原理进行计算第七章：排列与组合在日常生活中的应用7.1 排列与组合在日常生活中的实例探讨排列与组合原理在日常生活中的应用实例强调排列与组合原理在解决实际问题中的重要性7.2 练习题提供一系列与日常生活相关的练习题，运用排列与组合原理进行解答鼓励学生自主思考，提高解决实际问题的能力第八章：排列与组合在算法与编程中的应用解释排列与组合在算法与编程中的应用介绍排列与组合在解决算法与编程问题时的作用第八章：排列与组合在算法与编程中的应用8.1 排列与组合在算法中的应用解释排列与组合在算法中的重要性介绍排列与组合在算法设计中的应用实例8.2 排列与组合在编程语言中的应用探讨排列与组合在编程语言中的应用实例强调排列与组合在编程问题解决中的重要性第九章：排列与组合在数学竞赛中的应用9.1 排列与组合在数学竞赛中的题目特点分析数学竞赛中排列与组合题目的特点解释排列与组合在数学竞赛中的重要性9.2 练习题提供一系列数学竞赛中的排列与组合题目，进行练习鼓励学生自主思考，提高解决竞赛题目的能力第十章：总结与提高10.1 排列与组合原理的总结回顾本教案的主要内容，总结排列与组合原理的重要性和应用强调排列与组合原理在数学和实际生活中的重要性10.2 提高题与研究性学习提供一系列提高题，鼓励学生深入研究排列与组合原理鼓励学生开展研究性学习，探索排列与组合原理在其他领域的应用重点和难点解析六、排列与组合在概率论中的应用重点：排列与组合在概率计算中的作用，具体案例分析难点：理解排列与组合在概率计算中的应用，以及如何将实际问题转化为概率问题七、排列与组合在日常生活中的应用重点：排列与组合在日常生活中的实例，练习题难点：将抽象的排列与组合原理应用到具体的生活情境中，提高解决实际问题的能力八、排列与组合在算法与编程中的应用重点：排列与组合在算法与编程中的应用，练习题难点：理解算法与编程中排列与组合的概念，以及在实际编程中应用这些概念九、排列与组合在数学竞赛中的应用重点：排列与组合在数学竞赛中的题目特点，练习题难点：解决数学竞赛中的排列与组合问题，需要学生具备较高的逻辑思维和解题能力十、总结与提高重点：排列与组合原理的总结，提高题与研究性学习难点：巩固所学知识，进一步探索排列与组合原理在其他领域的应用全文总结与概括：本教案主要介绍了排列与组合两个基本计数原理，通过讲解排列与组合的概念、公式及其在概率论、日常生活、算法与编程、数学竞赛等领域的应用，使学生能够理解并掌握这两个基本计数原理。
计数原理小学数学教案
计数原理小学数学教案
课题：计数原理
目标：通过本课的学习，学生能够掌握计数原理的基本概念，了解计数的方法和技巧。
教学内容：计数原理的概念、分组计数、排列组合
教学重点：学生理解计数原理的基本概念，能够灵活运用计数方法进行问题解决。
教学难点：排列组合的运用和理解
教学准备：
1. 教材《小学数学》PPT课件
2. 计数原理的练习题
3. 学生小组讨论的工具
教学过程：
一、导入（5分钟）
老师通过提问引导学生回顾上一节课的内容，复习计数的基础知识。
二、讲解（15分钟）
1. 计数原理的概念介绍
2. 分组计数的方法和技巧
3. 排列组合的概念和应用
三、练习（20分钟）
老师布置练习题让学生进行练习，鼓励学生在小组中相互讨论解答，提高学生的计算能力和思维能力。
四、总结（5分钟）
老师对本节课的内容进行总结，强调计数原理在日常生活和数学问题中的重要性。
同时鼓励学生多加练习，巩固所学知识。
五、作业布置（5分钟）
布置练习题和课后作业，要求学生在家里认真完成，为下节课的学习做好准备。
六、课堂反思
老师总结本节课的教学过程，对学生的表现进行评价，并对下节课的教学内容进行安排。
（以上为教案范本，实际教学过程根据具体情况调整）。
计数原理教案
计数原理教案一、教学目标1. 了解计数原理的概念和基本概念。
2. 掌握二进制计数的方法和规则。
3. 理解计数器的原理和应用。
4. 能够使用计数器进行数字计数和频率测量。
二、教学准备1. 教具：投影仪、计算器、计数器元件、示波器等。
2. 教材和参考资料：计数原理教材、电子技术课本等。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示数字时钟的图片或实物，向学生引入计数原理的概念，并引发他们的思考，数字时钟是如何进行计数和显示时间的。
2. 讲解计数原理的基本概念（10分钟）2.1 计数原理的概念计数原理是指通过对事件或物体进行计数操作，实现对数量、时间等信息的获取和处理的方法。
计数原理广泛应用于电子技术领域，例如计算机中的二进制计数、数字电子钟等。
2.2 二进制计数二进制计数是计算机中最常用的计数方法，它由0和1两个数字组成。
通过不断变化二进制数的位数来进行计数。
例如，二进制数中的第一位是1，表示1个单位；第二位是0，表示0个单位；第三位是1，表示2个单位，以此类推。
3. 讲解计数器的原理和应用（20分钟）3.1 计数器的概念计数器是一种用于计数操作的电子元件，可以根据特定的输入信号进行计数，并将结果输出。
计数器常用于频率测量、时钟电路等系统中。
3.2 计数器的工作原理计数器是由触发器和逻辑门构成的电子电路。
通过触发器存储计数的数值，根据输入的时钟信号进行状态转移，并通过逻辑门判断和控制计数过程。
3.3 计数器的应用计数器广泛应用于各种电子系统中，例如数字电子钟、计时器、频率计等。
通过对输入信号进行计数，实现对时间、频率等信息的获取和处理。
4. 实验操作（30分钟）4.1 实验一：二进制计数器的实验通过实际操作二进制计数器元件，让学生亲自体验二进制计数的过程，并观察计数结果。
4.2 实验二：使用计数器测量频率使用计数器和示波器进行实验，让学生学会使用计数器测量频率，并进行实际操作和结果观察。
5. 总结和小结（10分钟）通过让学生总结本节课的主要内容和重点，加深对计数原理和计数器的理解和应用。
两个基本计数原理教案共5页
第一章计数原理第1节两个基本计数原理教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。
但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析⑴知识与技能①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．教法、学法分析教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.教学过程一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）：该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是：第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.第四步由教师板书分类计数原理(加法原理）并说明由于总方法数是各类方法数之和，树立学生平时学习生活中的讲道理意识.在分类计数原理中设计如下问题情境，问题2与问题1的背景一样：都是乘车方法的计数问题.对于问题2的处理办法是：第一步由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有问题1般简单所以就有了第二步教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.第三步问题引申将问题引申为若从兰州到天水新增一辆4号汽车，则有多少种乘车方法？设计的意图是：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.第四步提出问题：你能否对照分类计数原理，归纳概括出问题2蕴含的计数规律,并尝试命名，这样设计一可指导学生通过类比给出分步计数原理，渗透类比思想第二也可在自主探究中掌握本节重点，当然重点的突破也为难点突破打下了知识基础第五部教师板书：分步计数原理（乘法原理），由学生说明其称为乘法原理的理由.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.二、建构数学在总结出两个计数原理的基础上让学生进行如下三个问题的探究，初步突破难点.探究1：对比两计数原理，指出相同点与不同点设计探究1的意图是通过自主探究合作探究，加深两个定理的理解并且在两个定理内容的比较中提高学生阅读数学的能力.探究方式：分组讨论（合作交流，加深理解）探究结果：共同点是：研究对象相同,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”由于学生的认识水平有限，在这里只要求认识到分类计数原理是“分类完成”,分步计数原理是“分步完成”.探究2：何时用分类计数原理,何时用分步计数原理探究方式：自主探究，代表发言，共同总结.探究结果：若完成一件事情有n类方法，则用分类计数原理.若完成一件事情有n个步骤，则用分步计数原理.设计意图：在探究1基础上进一步突破重难点，培养学生分析问题的能力.探究3：用两个计数原理解决计数问题的思维步骤探究方式：分组讨论，合作探究，代表发言,共同总结.探究结果：1、明确要完成什么事2、判断分类还是分步3、计算总方法数（一）两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.（二）例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
基本计数原理教案
基本计数原理教案基本计数原理教案主要包括以下步骤：一、教材分析●地位和作用：基本计数原理是学习排列组合的基础，是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。
●重点、难点和关键：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用。
二、学情分析和学法指导学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。
从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。
三、教学目标●知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
●能力目标：锻炼学生的观察能力和解决问题的能力。
●情感目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，建立自信心。
四、教学方法课堂上应积极引导学生进行思考和讨论，鼓励学生提问和发表自己的观点，以便更好地帮助他们掌握知识和提高能力。
五、教学过程●提出问题：从实例出发，提出有关排列与组合的问题，引导学生思考如何用计数原理来解决。
●讲解原理：详细解释分类计数原理和分步计数原理的定义和适用范围，对比两者的异同点。
●实例解析：通过具体的例子，让学生更好地理解如何运用计数原理来解决实际问题。
●总结反思：回顾分类计数原理和分步计数原理的主要内容，总结解题思路和方法，反思在解题过程中遇到的困难和问题。
●布置作业：根据教学内容和学生的学习情况，布置适当的练习题或思考题，巩固所学的知识。
六、教学评估通过课堂表现、作业完成情况、小组讨论等方式对学生的学习效果进行评估，及时发现问题并进行针对性的指导。
同时也可以设置一些测试题或小测验来检验学生对知识的掌握程度。
两个基本计数原理教案
§1.1 两个基本计数原理【学习目标】:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；【学习过程】一、情境引入：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C 村，共有多少种不同的走法?二、新课导学：1. 分类计数原理(又称为加法原理)：完成一件事，有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有_______________________________ 种不同的方法.2. 分步计数原理(又称为乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事有 __________________________种不同的方法.思考1：分类计数原理与分步计数原理的共同点，区别：三、例题欣赏：例1．一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？例2．(1) 在图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？(2) 在图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法例3．为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？(3) 密码为4-6位，每位均为0到9这10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？例4．如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,不同的涂色方案有多少种？变题1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？变题2：若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？【针对训练】班级姓名学号1．某中学的一幢5层教学楼有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有___________不同的走法?2．在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有__________种?3．四名研究生各从A 、B 、 C 三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。
1.1 两个基本计数原理-王后雄学案
张喜林制1.1 两个基本计数原理教材知识检索考点知识清单1. 分类加法计数原理完成一件事，可以有n 类办法，在第一类办法中有]m 种方法，在第二类办法中有2m 种方法……在第n类办法中有n m 种方法，那么，完成这件事共有N = 种方法．2. 分步乘法计数原理完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有]m 种方法，做第二步有2m 种方法……做第n步有n m 种方法．那么，完成这件事共有N= 种方法．3. 加法原理与乘法原理的区别在加法原理中，每一类办法中的每一种方法____，即这n 类办法彼此之间是 ；在乘法原理中，任何一步 ，即各步互依，缺一不可．要点核心解读1.分类加法计数原理(1)“做一件事，完成它可以有n 类办法”，这是对完成这件的所有办法的一个分类．分类时，要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不两类的两种方法是不同的方法．(2)加法原理的特点是：①完成一件事有若干不同方法，这法可以分成n 类；②用每一类中的每一种方法都可以完成事；③把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．分步乘法计数原理(1)“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．(2)乘法原理的特点是：①完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干种方法；③把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数，3.分类计数原理和分步计数原理的区别两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n 类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理；若完成某件事需分n 个步骤，这n 个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n 个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算.处理具体问题时，若用分类计数原理，要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数；最后用分类计数原理，即加法原理求和得到总数；若用分步计数原理，要做到步骤“完整”——完成了所有步骤，恰好完成所有任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，即乘法原理把完成每一步的方法数相乘得到总数．若从集合的角度去看，两个基本原理的意义及其区别就显得更加清楚，下面就n=2的情况加以说明（n=3，4，…依此类推）．完成一件事有A 、B 两类办法，即U B A B A =∅=,（即不重复、不遗漏）．在A 类办法中有]m 种方法，在B 类办法中有2m 种方法，即,)(,)(21m B card m A card ==那么完成这件事的不同方法的种数是 ⋅+=+=21)()()(m m B card A card B A card这就是当n=2时的分类加法计数原理．完成一件事情要分成A 、B 两个步骤，在实行A 步骤时有1m 种方法，在实行B 步骤时有2m 种方法，即,)(1m A card =,)(2m B card =那么完成这件事的不同方法的种数是card A card B A card ⋅=)().(⋅⋅=21)(m m B这就是当n=2时的分步乘法计数原理．典例分类剖析考点1 分类加法计数原理命题规律单独命题有关分类加法计数原理的试题极少，一般考查两个原理的综合运用．[例1] 2010届一名高中毕业生在填写高考志愿表中的第一批中的第一志愿（学校）和第一专业时了解到A 、B 两所大学各有一些自己感兴趣的专业，具体情况如下：那么，这名同学不同的填法共有多少种？[解析] 由于这名同学在A 、B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，因此符合分类加法计数原理、的条件．[解]这名同学可以选择A 、B 两所大学中的一所．在A 大学中有5种专业选择方法，在B 大学中有4种专业选择方法．因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4 =9（种）。
高二数学两个基本计数原理及排列组合
一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1*m2*...*m n种不同的方法.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3的五次3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是分两类.第一类有5种选法;第二类有4种选法.共9种（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？这样的等比数列有：1、2、4；4、2、1；2、4、8；8、4、2；1、3、9；9、3、1；4、6、9；9、6、4，共计8个，故答案为：8．5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？取中文和英文:9*7=63取中文和日文:9*5=45取英文和日文:7*5=35总共:63+45+35=143二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示.（4）从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
高中数学计数原理教案
高中数学计数原理教案
教学内容：计数原理
教学对象：高中学生
教学时间：一节课
教学目标：
1. 了解计数原理的概念和基本原理；
2. 能够应用计数原理解决相关问题；
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：
1. 计数原理的基本概念和原理；
2. 计数原理在实际问题中的应用。
教学难点：
1. 计数原理的具体运用；
2. 解决实际问题时的逻辑思维能力。
教学准备：
1. 计算器；
2. 实例题目。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾排列、组合的概念，并提出计数原理的概念。
通过一个简单的例子引导学生了解计数原理的基本原理。
二、讲解（15分钟）
1. 计数原理的概念和原理；
2. 巴斯卡三角形及其应用；
3. 实例分析和解决。
三、练习（15分钟）
教师布置几道相关计数原理的练习题，学生针对每道题进行思考并给出答案，教师引导学生讨论解题方法，帮助学生掌握计数原理的运用技巧。
四、总结（5分钟）
教师对本节课的教学内容进行总结和回顾，强化学生对计数原理的理解和运用。
五、作业（5分钟）
布置相关练习题作为课后作业，加深学生对计数原理的掌握和应用。
【教学反思】
本节课主要通过讲解概念、实例分析和练习训练，帮助学生掌握计数原理的基本原理和运用技巧。
在以后的教学中，可以结合实际问题，进一步提高学生的问题解决能力和创新思维。
计数原理教案
计数原理教案计数原理是数学中的一个重要概念，也是初中数学教学中的重点内容。
通过计数原理的学习，可以帮助学生建立起正确的计数思维方式，培养他们的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
本教案将围绕计数原理展开，通过生动的案例和简洁的语言，帮助学生更好地理解和掌握计数原理的相关知识。
一、引入。
我们身边的事物都是可以计数的，比如教室里的学生人数、家庭里的家庭成员人数等等。
但是当事物的数量非常大时，我们就需要运用计数原理来进行计数。
比如，如果一个班有8个男生和10个女生，那么这个班一共有多少种不同的座位排列方式呢？这就需要我们用到计数原理来解决。
二、基本概念。
1. 排列。
排列是指从给定的元素中按照一定的顺序取出若干个元素，如从A、B、C中取出2个字母进行排列，可以有AB、BA、AC、CA、BC、CB等不同的排列方式。
2. 组合。
组合是指从给定的元素中按照一定的顺序取出若干个元素，但不考虑元素的顺序，如从A、B、C中取出2个字母进行组合，只有AB、AC、BC三种组合方式。
三、案例分析。
1. 排列的应用。
假设有5本不同的数学书和4本不同的英语书，现在要从这些书中挑选3本书放在书架上，问一共有多少种不同的放法？解，根据排列的计数原理，可以得到答案为543=60种不同的放法。
2. 组合的应用。
假设有8个不同的水果，现在要从中选取4种水果放在果盘上，问一共有多少种不同的选择方式？解，根据组合的计数原理，可以得到答案为C（8，4）=70种不同的选择方式。
四、教学方法。
1. 生动案例法。
通过生活中的例子，引导学生理解计数原理的概念和应用，激发学生的学习兴趣，增强他们的学习体验。
2. 互动讨论法。
在课堂上引导学生进行小组讨论，共同探讨计数原理的相关问题，培养学生的合作意识和团队精神，激发他们的思维能力。
3. 练习巩固法。
通过大量的练习题，帮助学生巩固计数原理的相关知识，提高他们的计算能力和解决问题的能力。
五、教学反思。
在教学过程中，我们要注重培养学生的数学思维方式，引导他们从实际问题中学习，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
计数的基本原理
变：（1）、由数字1、2、……9可以组成多少个四位数？
（2）由数字0、1、2、……9可以组成多少个四位数？
（3）、由数字1、2、……9可以组成多少个无重复数字的四位数？
5、完成情境题目②某福利彩票
1、学生讨论完成题目并展示。
2、由问题2归纳分步计数原理：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
1、针对上面两个不同的问题，学生阅读课本，小组讨论并展示，师生共同总结出两个原理。
2、教师画图分析引领学生找出两个原理的要点，并类比两个原理。
1、通过以上两个简单的问题抽象构建数学原理，自学讨论加以总结。
2、体现由特殊到一般、类比的数学方法。
探究讨论、
个别指导
1、总结两个计数原理的联系和区别：
同：都是研究完成一件事共有多少种不同的方法
异：分类和分步，分类独立完成，分步各步关联。
2、两个例题
（1）、书架上层有不同的数学书3本，中层有不同的语文书4本，下层有不同的物理书5本，现要从书架上任取一本，问有多少种不同的取法？
②某彩票，1号到30号共30个号码球，从中按照次序任取7个共能组成多少种情况？
1、教师通过创设情境说明复杂计数要用科学的计数方法，导入并板书课题。
2、学生积极思考问题，联系预习内容。
1、由视频和实例导入，提高学生学习兴趣。
2、说明其在生产生活中应用的广泛性和学习的必要性。
教学环节
内容及方式
师生活动
设计意图
（2）、书架上层有不同的数学数3本，中层有不同的语文书4本，下层有不同的物理书5本，从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理优质课教案
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理民权高中教材分析:（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.（Ⅱ）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.（Ⅲ）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.课标要求：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：两课时，本节为第一课时实物投影仪教学过程：引入课题从狐假虎威的故事引入。
1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：狐狸从草地到小岛有几种逃生方法？问题1.2：你能举出类似的例子吗？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：狐狸从草地到房子共有几种逃生方法？用列举法可以列出所有可能的路径。
两个计数原理的应用教学案
两个计数原理的应用教学案介绍本文档将介绍两个计数原理的应用教学案，以帮助读者了解这些原理的应用。
1. 二进制计数器的应用教学案1.1 什么是二进制计数器？二进制计数器是一种电子数字电路，用于计算从0到2^n-1的数字。
它通过触发器和逻辑门实现，并且每个触发器都有两个输入端和两个输出端。
1.2 二进制计数器的工作原理当计数器的输入脉冲到达时，触发器的状态会根据触发器的输出以及逻辑门的输入决定新的状态。
触发器的输出也可以作为一个触发器的输入，可以实现串联或并联的计数器。
1.3 二进制计数器的应用案例•时钟：二进制计数器可以用于构建时钟电路，每个触发器表示一个时钟信号，从0到23，循环计数。
•计时器：二进制计数器还可以用于计时器，例如秒表。
每个触发器表示一个时间单位，如秒、分钟、小时等。
2. Gray 码的应用教学案2.1 什么是 Gray 码？Gray 码是一种二进制码，与标准二进制码不同的是，相邻的两个码只有一位不同。
2.2 Gray 码的工作原理Gray 码的生成方法是通过电路实现的。
首先将二进制码的最高位作为 Gray 码的最高位，然后依次按照以下公式计算各位的值：G(n) = B(n) ⊕ B(n-1)，其中 G(n) 是 Gray 码的第 n 位，B(n) 是二进制码的第 n 位。
2.3 Gray 码的应用案例•旋转编码器：Gray 码可以用于旋转编码器，这是一种用于测量旋转速度和位置的设备。
•通信系统：Gray 码可以用于减小误码率，在通信系统中具有较好的抗干扰性能。
3. 总结本文介绍了二进制计数器和 Gray 码的应用教学案。
通过学习这些案例，读者可以更好地理解这些计数原理的应用，并将其应用于实际的电子电路设计中。
以上就是两个计数原理的应用教学案的内容。
希望本文可以对读者的学习有所帮助。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计
分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学设计教学设计：分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念和应用；2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1.分类加法计数原理的基本概念和应用；2.分步乘法计数原理的基本概念和应用；三、教学过程第一节：分类加法计数原理1.导入（5分钟）-引入生活中的例子，例如：一把铲子可以分为“红色”和“蓝色”两类，一双筷子可以分为“金属”和“木质”两类等。
-引出问题：如果有一个包里有3只红色的铲子和2只蓝色的铲子，这个包里一共有几只铲子？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分类加法计数原理的概念：当一个集合可以分为若干互不相交的类别时，集合的元素个数等于各个类别元素的个数的和。
-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。
3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分类加法计数原理的基本公式写出来，即：总数=类别1数目+类别2数目+类别3数目+...+类别n数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。
4.练习应用（15分钟）-给学生发放习题册，让学生结合自己的实际情况完成其中的练习题。
-教师巡回指导，解答学生提出的问题。
第二节：分步乘法计数原理1.复习（5分钟）-复习分类加法计数原理的概念和应用，让学生回答一些与分类加法计数原理相关的问题。
-引出问题：如果有3件相同的红色上衣和2件相同的蓝色上衣，这些上衣一共有几种穿法？如何快速求解？2.概念解释（10分钟）-解释分步乘法计数原理的概念：当一个事件需要分为若干个步骤进行时，每一步的选择数目乘积等于总方案数。
-通过教师提供的实例，进一步让学生理解概念。
3.核心内容讲解（20分钟）-通过黑板或幻灯片等方式，将分步乘法计数原理的基本公式写出来，即：总方案数=第一步选择数目×第二步选择数目×第三步选择数目×...×第n步选择数目-以问题解决的方式，将公式的应用过程演示给学生。
《分类加法计数原理与分步乘法计数原理-两个基本原理》学案1(人教A版选修2-3)
计数与排列命题人：李娜使用日期2007年12月一、考试要求1理解分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题;2.理解排列的意义;掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.二．建构知识网络1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m 2+……+m n 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.两个计数原理用来计算完成一件事的不同方法种数的，是计算排列组合,概率统计的基础,在生产,生活及科学实验中有广泛的应用.4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.（1）排列数:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.（2）排列数公式:)1()2)(1(m n n n n Amn)!(!m nn .A n n=n!=n(n-1)!规定0！=15.带限制条件排列问题（1）限制条件的常见类型及解法：某元素在不在某位置——优先按排受限制的元素或位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；数的大小,先考虑首位或前几位;整除问题,先看末位;（2）一般思想方法:直接法,间接法,排除法,优先安排特殊元素或位置.务必做到分步清楚,分类明确,不重不漏. 三、经典例题【例1】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【例2】二次函数y=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c ，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（1）甲不在中间,乙必在两端；（2）甲不在左端,乙不在右端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.【例4】用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数? （2）求所有三位数的和;（3）能被4整除的三位数有多少？（4）比5231大的四位数有多少？六．同步练习1.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm 等于()A.0B.41 C.21 D.432.若2n 个学生排成一排的排法数为x ，这2n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为y ，则x 、y 的关系为（）A.x>yB.x<yC.x=yD.x=2y3.6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为A.4433AA B.44AC.3366AAD.3544AA （）４．已知集合A=｛5｝，B={1，2}，C ＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(A)33???(B)34???(C)35???(D)365.(2006全国Ⅰ)安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种（用数字作答）6.(2004四川模拟）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有__________.。
两个基本计数原理
能种植同一种作物，不同的种植方法共有
种（以数字作答）
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四、子集问题
规同律子：集n有元个集2 合n。A{a1,a2,...,an}的不
例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为
。
五、综合问题:
例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成;
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?
课堂小结
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m 1 m 2 种不 同m 的n方法.
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，
A
B
A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色
两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不 同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根
高二数学两个基本计数原理7省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
在图(2)中,按要求接通电路必须分两步进行:第一步,合上A中旳一只开关;第二步,合上B中旳一只开关。故有 2×3=6 种不同措施。
答:在图 (1)旳电路中,只合上一只开关以接通电路,有5种不同旳措施；图(2)旳电路中,合上两只开关以接通电路,有6种不同旳措施.
………...问Fra bibliotek情境1:问题 1.从南京到上海，有3条公路,2条铁路,那么从南京到上海共有多少种不同旳措施?
上海
宁波
问题2、增长杭州游，从南京到杭州旳路有三条，由杭州到上海旳路有两条。问：从南京经杭州到上海有多少种不同旳措施？
上海
宁波
杭州
完毕一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同旳措施,在第二类方式,中有m2种不同旳措施，……，在第n类方式,中有mn种不同旳措施. 那么完毕这件事共有 种不同旳措施。
分类计数原理
N=m1+m2+…+m n
例1: 某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.若学校分配给该班1名代表,有多少种不同旳选法?若学校分配给该班2名代表,且男女生代表各1名,有多少种不同旳选法?
例2: (1) 在图 (1)旳电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同旳措施? (2) 在图(2)旳电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同旳措施?
密码为4位,每位均为0到9这10个数字中旳一种数字,这么旳 密码共有多少个?
解:(1) 设置四位密码,每一位上都能够从0到9这10个数字中取一种,有10种取法,根据分步计数原理,四位密码旳个数是 10×10×10×10＝10000
密码为4位,每位是0到9这10个数字中旳一种,或是从A到Z这26个英文字母中旳1个,这么旳密码共有多少个?
数学问题解决的教学案例研究--以两个基本计数原理为例
数学问题解决的教学案例研究--以两个基本计数原理为例夏小强【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2016(000)008【总页数】3页(P24-26)【作者】夏小强【作者单位】江苏省南京市中华中学 210019【正文语种】中文1.1 研究背景我国古代数学家杨辉指出：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，毕设一题.”G·波利亚认为：“数学能力就是解决数学问题的能力，不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题，所以中学数学教学的首要任务就是加强解决问题能力的训练.” 数学的学习离不开解决数学问题，数学教学的一个重要的任务就是教学生学习如何解决数学问题，教学生进行“数学的思维”.计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，两个基本计数原理的教学也是数学问题解决的典型教学案例.两个基本的计数原理和现实生活联系紧密，学生从个人的经验中很容易发现、概括出原理的基本内容，所以教学过程的重点在于引导学生直观的认识，发展数学表达和概括能力，建立清晰、系统的知识.两个基本计数原理的学习属于数学问题解决的学习.学生在数学问题解决的过程中概括出一般的计数原理.贝尔指出：“原理是复杂的数学对象，是概念的顺序加上这些概念之间的关系，建构一个原理需要学生以一系列的行动对一系列的条件作出反应.”1.2 研究目的涂荣豹教授提出“数学教学的二重原理”——“数学教学与学生对应”和“教学与数学对应”.他指出，数学教学的着眼点不是单纯地按知识的逻辑体系进行系统讲授，也不是放任自流地让学生进行无目的的探索，而是兼顾学生的学习规律和数学的基础知识与基本方法，也就是落实数学教学的二重原理，让学生以再创造和再发现的方式经历数学知识的发生、发展过程，来获得基本方法的掌握和积极的情感体验.在两个基本计数原理的学习中，学生的认知过程需要经历直观经验、数学概念、关系判断、原理构建、算法形成、情境应用等一系列心理活动.根据“数学教学的二重原理”，教师一方面要准确把握数学知识的本质和课程要求，让学生掌握两个计数原理的本质，另一方面要准确把握学生的认知特点，设计适应学生心理的课堂活动.近期，笔者听了“两个基本计数原理”这堂课，本文将从“教与数学对应”和“教与学生对应”二重原理的角度，分析这课堂的教学，并为进一步优化教学提出自己的设想.2.1 教学路线图教学设计思路：创设情境问题→解决问题→抽取本质→编题举例→概括方法→例题运用→课堂总结.2.2 教学片断及分析教学片断1问题1 乘车从南京到苏州，一天中，火车有3班、汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从南京到苏州共有多少种不同的方法？生1： 5种.师：你是怎么得到的？生1：可以分成两种情况，要么乘火车，有3班，要么乘汽车，有2班，共有5种方法.师：也就是说，任选一种班次都能到达，你能列出算式吗?生1：3+2=5.师：两类，第一类有3种，第二类有2种，所以是5种.教师列式问题2 从南京到苏州，要从南京选乘火车到无锡，再于次日从无锡乘汽车到苏州.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么从南京到苏州共有多少种不同的方法？生2：应该有6种.师：哪6种？生2：坐第1班火车再坐第1班汽车；坐第2班火车再坐第1班汽车；坐第3班火车；坐第1班火车再坐第2班汽车；坐第1班汽车再坐第2班火车，再坐第2班汽车；坐第3班火车再坐第2班汽车.师：我们把这个式子也来列一列，怎么列式？生3：3×2=6.教师列式师：两个问题我们都看完了，我们来比较一下这两个问题的异同点，然后把你的意见在小组里面交流一下.这两个问题有什么异同？生4：我认为相同的地方就是两个问题都是从南京到苏州.不同点就是在问题1中，只需要一个步骤，只要直接从南京到苏州.在问题2中，从南京到苏州要分成两步：第一步先从南京到无锡，第二步是从无锡到苏州.第一个步骤和第二个步骤是有联系的.师：那么我们看到这两个问题，第一个问题分类完成的，选两类，一类火车，一类汽车；第二个它是相互依存的，我们必须是分步来完成的.一个是分步完成，一个是分类完成.我们日常生活中做很多事情，都是需要分类或者分步来完成，那么大家来举一举你身边的例子.(教师板书教学片断分析本节课目的是通过解决具体问题，进而探究计数原理两个数学模型的本质和方法.计数原理的数学模型是由模型概念和模型方法两部分构成.因此,创设情境问题必须要能清晰地揭示这两部分的本质特征.情境问题提供了计数模型的概念情境，问题解决过程提供了计数方法；两者共同揭示了模型概念和模型方法.这属于对数学本质意义理解的范畴，是“教与数学对应原理”的体现.对于数学教学而言，把握数学本质是第一位的.解题教学最重要的是理解题意，波利亚在《人是如何学习》中说：专家用大部分时间理解题意.这说明理解了题意可以事半功倍.但是学生很少有这样的习惯，他们总是急于求解，急于计算答案，结果往往容易出错，事倍功半.要理解题意，就需用多种方式“重述问题”，用图说明是很好的方法.波利亚说“尽可能画一张图”，用图揭示模型本质更清晰，模型的含义就比较直观.因此，可以画出如下的示意图.其中，图1，2分别是问题1，2的示意图.教学片断2生5：上学的时候，可以骑车子来，可以坐车来，也可以先骑车再坐车来.师：骑到公交站，然后再坐汽车来，这是怎样的事情呢？生5：一个分类，一个分步.生6：现在有A、B、C三类书，A类书有3本，B类书有4本，C类书有5本.如果按照分类的方法，就只能选择一本，有12种方法.师：就说我们班读书节的时候，让同学从三类书中任选一本.生6：这三类中每类选一本的话，这就是按分步的方法，共有60种方法.生7：中午吃饭，可以吃炒饭和面条，面条有3种，炒饭也有3种，总共有6种，是分类.然后是先喝汤，再吃饭，再吃面点；还是先吃面点，再吃饭，再喝汤，总共有3种,这是分步.教学片断分析本阶段的目的是引导学生初步感知体悟，寻找异同，探求规律.通过独立编题、情境迁移, 引导自主建构，探索两个计数原理的本质.分类本质是一步完成，即完成的方法共有若干类，每一类中有若干种方法；不论哪种方法一步即可完成.于是完成任务的计数方法就是把各类的所有方法的种数相加.分步本质是分步完成，即完成的过程分若干步，每一步中有若干种方法，所有的步骤都完成了，任务才算完成.于是完成任务的计数方法就是把各步的方法种数相乘.要求学生先编题举例，能有助于学生在这个过程中辨认本质、概括方法，进而对其中蕴涵的本质属性和非本质属性作出更多的辨析.经过这样的反复辨认概括，本质特征逐渐明晰，意义建构水到渠成.这有利于概念本质特征的抽取，而且由于素材的丰富，还有利于学生对新知识的迁移，增强知识的应用能力.不过教师没有利用好学生的举例，对学生的编题举例几乎没有教学反馈.其实教师可以通过追问的方式，引导学生在教师和自己创设的情境中建构新概念：分类和分步；创建新方法：加法原理和乘法原理.教学片断3师：从刚才我举的例子和你们举的例子中，你能概括出这两类问题的一般方法吗？生8：首先做分类概括，比如有很多种事情，解决第一个问题有n1种方法，解决第二个问题有n2种方法，第三个问题有n3种方法，……依次类推，那么解决这么多问题的方法，就是有n1+n2+n3+…种.师：说一下解决第一个问题.生8：解决这个问题，第一类办法总共有多少种，第二类方法有多少种，……只要依次类推，然后最后解决这个问题总共有多少种办法，就是把所有这些次数都加起来.师：分步问题呢？生8：分步就是解决一个问题有许多步骤，第一步骤有m1种方法，第二步骤有m2种方法，……依次类推，那么解决这个问题的方法数总共就是m1×m2×…种. 教学片断分析在本节课的教学设计中，对两个计数原理的本质的揭示、对解决问题的方法建构是第一位的.在求得情境问题答案以后，并没有立刻归纳概括，就是为了避免以结论的形式向学生直接呈现解题的结果.通过数学问题的解决，建构数学概念和解决问题的方法是一个探究的过程，探究必须由教师引导学生亲身经历运用科学研究方法的过程，经历如何建构新概念、创建新方法的过程.教师直接概括，学生仅仅是听，从获得知识的角度可能是懂了，能做题了，但从教“学生怎么学”角度，可能收效甚微.数学的教学要符合“数学教学与学生对应”.因此，教师对模型本质特征的提取概括放在学生编题举例之后.3.1 揭示数学对象的本质，提高教学效率在本节课中，计数原理的数学模型由模型概念和模型方法两部分构成.因此,创设“情境问题”必须要能清晰地揭示这两部分的本质特征.要达到这样的效果，情境问题的情境要能清晰地揭示本质，而问题解决的过程，则应能充分地揭示方法.“情境问题”提供了计数模型的概念情境，数学问题的解决过程提供了计数方法:两者共同揭示了模型概念和模型方法.这是“教与数学对应原理”的体现.这也表明对数学教学而言，把握数学本质是第一位的.数学问题解决的教学，有其自身的元认知规律，按照这样的规律进行有利于培养学生良好的解题习惯.两个计数原理对学生来说虽然是一个新内容，但这个内容的学习在教育心理学中属于“顺应学习”，即需要学生改造原有的认知结构使之与新知识相适应.在学习这个全新知识之时，学生的思维水平还原到起点.3.2 运用多种教学策略，促进学生自主建构选择教学的策略属于教育原理运用的范畴，是“教与学对应原理”的体现.对新概念的学习宜采用“概念形成”的方式，即学生通过对反映对象本质属性的大量素材进行分析、比较、归纳、抽象，最终由自己概括提炼出概念的意义.在问题情境用于暗示数学本质时，“暗”的程度要根据学生的情况而定.一般应该让学生比较容易发现为宜，必须明确：情境不是用来为难学生的，而是为了让学生经历“再发现”过程，体验运用一般科学研究的方法.情境问题解决过程中，如果能画一张图，则更易于学生自己探究揭示本质特征，这种“图形”也可以起到启发暗示的作用.这是以“图形暗示”作为启发手段.归纳建构是经验概括过程，宜采用“多到一” 的方法.如果材料太少，那么归纳基础单薄，本质特征不易暴露，归纳假设难以形成.仅由一个问题情境就强行归纳，学生不能在两者之间充分建立非人为和实质性联系，会造成学生只是接受而没有建构.根据以上分析，可以对本节课的教学过程进行如下改进.环节1——创设情境问题：问题情境保持不变，但对学生的回答进行补充和追问，让学生明白是完成一件什么事情、怎么才能完成、是一次完成还是分步完成，尽量画一个图.环节2——解决问题：提出探究任务“这两个问题有什么异同？”尽量板书学生的结论进行比较，强化学生对问题特征的认识.环节3——编题举例：学生举例，教师引导学生完整地表达，并解释例子，追问关键点，引导学生辨别本质属性，在头脑中建构新概念，即分类完成一件事情，利用加法计数；分步完成一件事情，利用乘法计数.环节4——概括方法：教师引导学生完整、规范地表达出两个计数原理，用多种方式进行表征，如文字语言和数学符号语言.环节5——例题运用：通过应用两个基本计数原理解决问题，尽量用图表示解决问题的过程.环节6——课堂总结：学生自己小结，教师启发为主.。
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§1.1两个基本计数原理
教学目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理
（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教学重点：分类计数原理与分步计数原理
教学过程
一．知识要点：
1、分类计数原理（加法原理）：完成一件事有n 类方式，由第1种方法中有1m 种不同的方法可以完成，由第2种方法有2m 种不同的方法可以完成，……由第n k 种途径有n m 种方法可以完成。
那么，完成这件事共有=N 种不同的方法。
2、分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，……做第 n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有=N 种不同的方法。
三、典例分析：
例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3
层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
例2．为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。
在某网站设置的信箱中，（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A 到Z 这26个英文字母中的1个。
这样的密码共有多少个？（3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。
这样的密码共有多少个？
例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
例4．用4种不同颜色给如左图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有
多少种不同的涂法？
变式：1、如果按照①、②、④、③的次序填涂，怎样解决这个问题？
2、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同
一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( )
A. 180
B. 160
C. 96
D. 60 若变为图二,图三呢?
练习：
1、乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后共有多少项？
2、（2006，北京，5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，
各位数字之和为奇数的共有 （ ）
A ．36个 B.24个 C.18个 D.6个
4、(2005,北京春（文），5分)从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数c bx ax x f ++=2)(的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数共有 个。
3、在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数？
思考：集合A=}{
4,3,2,1、B=}{d c b a ,,,，则从A 到B 可建立多少个不同的映射？其中一一映射有多少个？
图一 图二 图三。