浙江省苍南县姜立夫杯2015年高一上学期数学竞赛试卷

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浙江省苍南县姜立夫杯2015年高一上学期数学竞赛试卷

浙江省苍南县姜立夫杯2015年高一上学期数学竞赛试卷

2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项:1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)1.已知a 为给定的实数,那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为( ) A .1 B .2 C .4 D .不确定 2.函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是( )A .)1,(--∞B .)1,(-∞C .),1(+∞D .),3(+∞ 3.函数221)(xx x f x --=( )A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是偶函数又是奇函数D 既不是偶函数也不是奇函数 4.设3log 2=a ,ln 2=b ,125-=c ,则( )A .c b a <<B .a c b <<C .<<c a bD .<<c b a5.设函数()()2log 2xf x m =+,则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m构成的集合为( )A .{}0m m =B .{}0m m ≤C .{}0m m ≥D .{}1m m = 6.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 47.如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集,则实数a 的取值范围是( )A .(,7)-∞B .(],7-∞C .(,5)-∞D .(],5-∞ 8.已知(),(),()f x g x h x 为一次函数,若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩,则()h x 的表达式为( )A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)9.已知点(在幂函数()y f x =的图象上,则()4f = ▲ .10.设,a b 为不相等的两个实数,若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =,则()2f 的值为 ▲ .11.已知函数()315(1)()(1)x a x x f x ax ì--<ï=í³ïî是实数集R 上的增函数,则实数a 的取值范围为 ▲ .12.已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数,且()2(2)20-+-<f x x f x ,则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数,且对任意∈x R ,都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ,则(2)f 的值等于▲14.已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤,则当b da c e++取最小值时,a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案)二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分. 请将正确的答案填在横线上)9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题(本大题共3小题,第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程)15.设集合}023|{2≤++=x x x A ,}0|{2≤++=b ax x x B , (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(,求b a ,的值; (2) 若1=b ,且A B A = ,求实数a 的取值范围.16.已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.(1)求k 的值; (2)若23)1(=f ,且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-, 求m 的值.17.设二次函数c bx ax x f ++=2)((0,,,≠∈a R c b a )满足条件: ①当R x ∈时,(1)(3)-=-f x f x ;②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

(i ) 5 2 ,此时 1 且 5 ,无解;
22
2
4
(ii) 5 9 2 ,此时有 9 5 ;
件等价于:存在整数 k, l (k l) ,使得
2k 2l 2 .

2
2
当 4 时,区间[, 2]的长度不小于 4 ,故必存在 k, l 满足①式.
当 0 4 时,注意到[, 2] (0, 8) ,故仅需考虑如下几种情况:


答案: 2015 1007i .
解:由已知得,对一切正整数 n ,有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i , 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i .
4. 在矩形 ABCD 中, AB 2, AD 1 ,边 DC 上(包含点 D 、 C )的动点 P 与 CB 延 长线上(包含点 B )的动点 Q 满足 DP BQ ,则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为

答案:24.
解:设 K1 (x, y) x 3y 6 0 .先考虑 K1
在第一象限中的部分,此时有 x 3y 6 ,故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部.
同理,设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ,则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部.
由点集 K 的定义知, K 所对应的平面区域是被

2015年全国高中数学联赛试题答案

2015年全国高中数学联赛试题答案
1≤i ≤ k
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个.又由于 A1 ⊆ Ci ( i = 1, , t ) ,故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ,即在剩下的 n − s − t 个集合中, k
包含 a1 ,因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t (利用 k ≥ 2 ) = +t ≥ k k k n . ……………40 分 ≥ (利用 t ≥ s ) k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 , i =1 所以①得证,从而本题得证.
…………………40 分
证法二:首先,由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性,可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an .此 n 外,若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号,则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减,而右边的 ∑ ai2 不变,并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取,因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j (柯西不等式) …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j (利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ) ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j (利用 [ x ] ≤ x ) n = i =1 j +1 2

2015年全国高中数学联赛试题及答案解析

2015年全国高中数学联赛试题及答案解析



5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点,过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点,则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 . x y z 解:设此平面的方程为 1 , a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距,又点 P 在平面 ABC 内, a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ,即 ,得 VOABC abc 45 .当 , 故 1 ,由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时, VOABC 的最小值为 45.
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ,则 A B = 解:由于 1 + x ¹ x ,故 1 + x = y .由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ,又因为 1 + x > 0 ,所以 3

2

1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan

3 , u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中,已知 a1 2 , a2 4 ,且 a2 n 1 , a2 n , a2 n 1 成等差数列, a2 n , a2 n 1 , a2 n 2 成 解:因为 an 单调递增, a1 0 ,所以 an 0 .因为 a2 n 1 , a2 n , a2 n 1 成等差数列, a2 n , a2 n 1 , a2 n 2 成等 比数列,所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列, n 1, 2,3, .那么, a100 _________.

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析

33 ,
.
22
于是每个小三角形的面积为
1 2
×4×
3 2
= 3,
所以阴影部分的面积为 3 × 8 = 24.
y
33 A,
22
O
x
7. 设 ω 为正实数,若存在 a, b(π ⩽ a < b ⩽ 2π),使得 sin ωa + sin ωb = 2,则 ω
的取值范围是
.
解答
依题意,存在
k, l

Z,使得
设 A(x1, y1), B(x2, y2), F1(−1, 0),则
y1
+
y2
=
2km −k2 + 2,
y1y2
=
m2 − 2. k2 + 2
且 ∆ = 4k2m2 − 4(k2 + 2)(m2 − 2) = 8(k2 − m2 + 2) > 0.
于是
kAF1
+
kBF1
=
y1 x1 +
1
+
y2 x2 +

1 2
=
1007

z2015
=
2015
+
1007i.
4. 在矩形 ABCD 中,AB = 2, AD = 1,边 DC 上 (包含点 D、C) 的动点 P 与
CB 延长线上 (包含点 B) 的动点 Q 满足 |D# P»| = |B# Q»|,则向量 P# A» 与向量
#» PQ
的数量积
#» #» PA · PQ
为满足 d = 0 的 P 类数的个数,记 A 为满足 d = 0 的 P 类数的集合.

2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)

2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)

2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一.选择题:本大题共5小题,每小题6分,共30分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一个正确的答案。

1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$,$N=\{x|x\leq -3\}$,则集合$M\cap N$=()A。

$\{x|x0\}$ D。

$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$,则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于()A。

2 B。

$-\frac{2}{3}$ C。

1 D。

$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数,且$f(1)=0$,则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为()A。

$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。

$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。

$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为()A。

3 B。

2 C。

1 D。

05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。

& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$,则$f(\log_2 5)$=()A。

$-\frac{11}{23}$ B。

$\frac{1}{23}$ C。

$\frac{11}{23}$ D。

$\frac{19}{23}$二.填空题:本大题共5小题,每小题6分,共30分。

将正确的答案写在题中横线上。

6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$,则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。

7.已知:$a,b,c$都不等于0,且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$,则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80},$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。

2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2k 2 1 m2 .②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知,
y1 x1 1
y2 2k x2 1
,又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ,所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ,化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8,故所求概率为 8 2 . 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域(如图所示)的面积为
◆答案: 24 ★解析:设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} . 先考虑 K1 在第一象限中的部分,此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知, K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部.
同理,设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ,则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部.
由点集 K 的定义知,K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4

cos 2 sin 2 sin
sin 2

(1 sin )(1 cos2 )

2 sin
cos2

2.
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1,zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ,其中 i 为虚数单位,zn 表

2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)

2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)

二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9.(本题满分 16 分)若实数 a, b, c 满足 2a 4b 2c , 4a 2b 4c ,求 c 的最小值. 解:将 2a , 2b , 2c 分别记为 x, y, z ,则 x, y, z 0 . 由条件知, x y2 z, x2 y z2 ,故
因此必有
x1
x2
2
0
,故由方程①及韦达定理知,
4km 2k2 1
( x1
x2
)
2
,即
mk 1 .

2k
由②、③知,
2k
2
1
m2
k
1 2k
2
,化简得
k
2
1 4k
2
,这等价于
k
2 .
2
2 反之,当 m, k 满足③及 k 2 时,l 必不经过点 F1(否则将导致 m k ,与③矛盾),
而此时 m, k 满足②,故 l 与椭圆有两个不同的交点 A 、 B ,同时也保证了 AF1 、 BF1 的斜率
当 0 4 时,注意到[, 2] (0, 8) ,故仅需考虑如下几种情况:
(i ) 5 2 ,此时 1 且 5 ,无解;
22
2
4
(ii) 5 9 2 ,此时有 9 5 ;
22
4
2
(iii) 9 13 2 ,此时有 13 9 ,得 13 4 .
依次成等差数列知, y1 x1 1
y2 x2 1
2k

又 y1 kx1 m, y2 kx2 m ,所以
(kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) .

2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)

2015浙江省高等数学竞赛试题(答案)

2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题:(每小题14分,满分70分)1.求极限201cos cos 2lim x x xx→-。

解: 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x xx→+=20sin cos 24cos sin lim 2x x x x xx→+=20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x →+=52=2.求不定积分221(4)x dx x x ++⎰ 解:22111()44x dx x x +=-+⎰222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)x x dx x x x =-+--++⎰2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3.设1()ln()xf x t x dt =+⎰,求(1)f '的值。

解:令u t x =+211()ln()ln()x xxf x t x dt u du +=+=⎰⎰()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4.已知()y y x =由方程31xye y +=确定,求0x dy dx= 。

解:2()30xye y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+2033xy xyx ye e y y y='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞5.求极限 221limnn k kn k→+∞=+∑。

解:222111lim lim 1()nnn n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知,极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰二、(满分20分)设数列{}n a 为单调递增的正数列,试讨论极限1/lim n a nn a →∞解:当{}n a 有界时,lim n n a →∞一定存在,设lim n n a a →∞=,则11/lim na ann a a→∞=当{}n a 无界时,lim n n a →∞=+∞,1ln 1/0lim lim lim 1n n n nn na a a a a a n n n n a eee ''→∞→∞→∞====三、(满分20分)已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ,求V解: 213V ah π=因为211sin cos 22ah S a θθ== h ⇒== 2)32V ππθ⇒=<<所以当4πθ=时 322max 3V S π=四、求定积分220sin 1cos x xdx x π+⎰ 解: 220sin 1cos x xdx xπ+⎰ 2220sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-=+++⎰⎰ 22sin 1cos x x dx x ππ-+⎰20()sin()1cos ()u x u u du u πππππ=--++−−−→++⎰ 20()sin 1cos u u du u ππ+=+⎰ 因此220sin 1cos x x dx xπ+⎰=2200sin sin 21cos 1cos x x xdx dx x x πππ+++⎰⎰ 20sin 1cos x x dx x π+⎰02()sin()1cos ()t xt t dt t πππππ=---−−−→-+-⎰20()sin 1cos t tdt tππ-=+⎰2200sin sin 1cos 21cos x x xdx dx x x πππ⇒=++⎰⎰20arctan cos 24x πππ=-=所以2220sin 1cos x x dx xππ=+⎰五、(满分20分)证明:23ln(1)(1)23x x x x x +≤-+>- 。

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)高中数学联赛篇一:2015年全国高中数学联赛试题一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分1.设a,b为不相等的实数,若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b),则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ,则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, ),其中i为虚数单位,zn 表示zn的共轭复数,则z2015的值为4.在矩形ABCD中,AB 2,AD 1,边DC(包含点D,C)上的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中,点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数,若存在a,b( a b 2 ),使得sin a sin b 2,则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9),若a b,b c,c d,则称abcd为P类数,若a b,b c,c d,则称abcd为Q类数,用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数,则N(P) N(Q)的值为二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.(本题满分16分)若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c,求c的最小值.10.(本题满分20分)设a1,a2,a3,a4是4个有理数,使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ,求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点,2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B,焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列,求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一、(本题满分40分)设a1,a2, ,an(n 2)是实数,证明:可以选取1, 2, , n 1, 1 ,使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、(本题满分40分)设S A1,A2, ,An ,其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合(n 2),满足对任意的Ai,Aj S,均有Ai Aj S,若k minAi 2.证明:存在x Ai,1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合(这里X表示有限集合X 的元素个数).k 上一点,点K在线段AP上,使得三、(本题满分50分)如图,ABC内接于圆O,P为BCBK平分ABC,过K,P,C三点的圆与边AC交于D,连接BD交圆于点E,连接PE并延长与边AB交于点F.证明:ABC 2 FCB.(解题时请将图画在答卷纸上)四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k:(kn)!对任意正整数n,2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二:高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与差的三角函数,二倍角公式等等。

2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

2015年全国高中数学联赛一试二试试题及详细解析

一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性,可得22a b a+=-,即20a b +=,所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知,2cos sin αα=,反复利用此结论,并注意到22cos sin 1αα+=,得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得,对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时,min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ,它共有12条棱,从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数,由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即AB 、AD 、AE 的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ,则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ,共2种可能,当AD 方向取棱是EH 或FG 时,AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知,3条棱两两异面的取法数为4×2=8,故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面 积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==,而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于:存在整数()k l k l <,,使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时,注意到[,2]0,8w w πππ⊆(),故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤(此时15,24w w ≤≥且无解;59)2,22ii w w ππππ≤<≤(此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤,此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii (、、并注意到4w ≥亦满足条件,可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅,,,对其中每个b , 由9b a <≤及9b c <≤知,a 和c 分别有9-b 种取法,从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题(本大题共3个小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 9. (本题满分16分)若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ,则,,0x y z >由条件知,222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此,结合均值不等式可得,4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ,即312y =时,z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124,符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知,123411,4,642a a a ==-==-,a 或者123411,4,642a a a =-==-=,a . 经检验知这两组解均满足问题的条件,故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->(, 即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又,所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++(( 化简并整理得,12)(2)0m k x x -++=(假如m=k ,则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F (-),不符合条件.因此必有122=0x x ++,故由方程(1)及韦达定理知,z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即 由22212321=2k m k k +>+()、()知,(),化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足(3)及2||2k >l 必不经过点1F (否则将导致,m k =与(3)矛盾),21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减,故由(4)得,(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一.(本题满分40分)设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明:[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求,[].)x x (这里,表示实数的整数部分1事实上,()的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑)([]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑)+2(n-(柯西不等式)[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1)2([(利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑)+(n+1)(利用)[]221n+1(1.ni i a =≤∑()),所以()得证,从而本题得证 二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设,,在,,中除去,,,12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--,,后,在剩下的个集合中,设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个(1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空,即包含某个,从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中,1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个,又由于故,,都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用 三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂,则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-(((由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由()知,本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明,所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面,由于对任意正整数成立,故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面,若不是的方幂,设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数,使得(因为(( ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得( z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于,由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知,对任意整数,数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故(的二进制表示中均不包含,故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知,所求的k 为2 z 学科xx 网k。

2015全国高中数学联赛一试试题及答案(A卷)

2015全国高中数学联赛一试试题及答案(A卷)

由b a 9 下面计算 A0 :对任一四位数 abc0 A0 ,b 可取 0, 1, , 9 ,对其中每个 b ,

及 b c 9 知, a 和 c 分别有 9 b 种取法,从而

9
N ( P ) N (Q) A B A0 A1 B A0 .
A0 (9 b) 2 k 2
奥 林
于是 a2
1 a1a2 , 8 a a 1, 1 3 a2 a4 3, a3 a4 24,

ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ,最大与次大的两个
2 当 2y
3
10. (本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 是 4 个有理数,使得
ai a j
求 a1 a2 a3 a4 的值.
3 1 1 i j 4 24, 2, , , 1, 3 , 2 8
(i )
9 5 13 综合 (i ) 、 (ii) 、 (iii) ,并注意到 4 亦满足条件,可知 , , . 4 2 4
数;若 a b, b c, c d ,则称 abcd 为 Q 类数.用 N ( P ) 与 N (Q) 分别表示 P 类数与 Q 类 数的个数,则 N ( P ) N (Q) 的值为 答案:285. .
…………………8 分
z
1 3 1 1 33 y4 y 1 2 y 2 1 1 3 2 y2 2. 2 y y 4 2y 4 y y 4

2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)

2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)

2015年浙江省高中数学竞赛试卷说明:(1)本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的20题组成,即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前18题组成,即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

(2)考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6人,共48分)1、“a=2,是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b+=∈≠经过点1)”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ,m+1,m+2,则实数m 的取值范围为( )A.m>1B.1<m<32C. 32<m<3D.m>33、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是BB 1的中点,则二面角M -CD 1-A 的余弦值为 ( )B.124、若实数a ,b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩,则22a b a b ++的最大值为 ( )A.1B.54C.75D.25、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△PQR ,△ABC 的面积分别为S △PQR ,S △ABC ,则PQRABCS S ∆∆的最小值为( )A.12B.13C.14D.156、已知数列{a n }的通项a n =(1)(21)(1)nxx x nx +++,n ∈N *,若a 1+a 2+…+a 2015<1,则实数x 等于( )A.32-B.5-C.9-D.11-7、若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能...等于 ( ) A.1617B.365C.265D.196538、若集合A={(m ,n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015,m ∈Z , n ∈N *},则集合A 的元素个数为( ) A.4030 B.4032 C.20152 D.20162二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9~14题每题7分,15题8分,共50分)9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)=0,且f(23)=1,则f(10003)=10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3-n 2,n ∈N *,则20151182ii a i =+-∑= 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点,点A(3,1),M 是抛物线上的动点。

“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题

“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题

“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项:1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)1.设常数,集合,若,则的取值范围为(▲)A. B.C.D.2.已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是(▲)A.相交B.相切C.相离D.与的取值有关[3.已知等比数列的前项和为,则下列一定成立的是(▲)A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若.则4.函数在上为单调递减函数,则实数的取值范围是(▲)A.B.C.D.5.在棱长为1的正四面体中,记,则不同取值的个数为(▲)A.6 B.5 C.3 D.2 6.在中,,,分别为的重心和外心,且,则的形状是(▲)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能7.设,,关于的不等式和无公共解,则最大值是(▲)A.3 B.5 C. 7 D.98.如图,某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道,某公园位于商业中心北偏东角,且与商业中心的距离为公里处,现要经过公园修一条笔直小路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小值为(▲)A.7公里B.8公里C.9公里 D.10公里填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)9.若,,则______▲_____10.已知等比数列中,,则= ▲ .11.若正数满足,则的值为___▲___12.求“方程的解”有如下解题思路:设,则在R上单调递减,且,所以原方程有唯一解.类比上述解题思路,方程的解集为▲.13.已知的三边长为满足,,则的取值范围是▲.14.对于实数,表示不超过的最大整数。

对于某个正整数,若恰好存在1000个正整数同时满足下列两个条件:(1),(2)均能被整除,则=____▲_____.“姜立夫杯”2015年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项:1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)1.设常数,集合,若,则的取值范围为(▲)A. B.C.D.2.已知直线,圆,则直线与圆的位置关系是(▲)A.相交B.相切C.相离D.与的取值有关[3.已知等比数列的前项和为,则下列一定成立的是(▲)A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若.则4.函数在上为单调递减函数,则实数的取值范围是(▲)A.B.C.D.5.在棱长为1的正四面体中,记,则不同取值的个数为(▲)A.6 B.5 C.3 D.26.在中,,,分别为的重心和外心,且,则的形状是(▲)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能7.设,,关于的不等式和无公共解,则最大值是(▲)A.3 B.5 C. 7 D. 98.如图,某商业中心有通往正东方向和北偏东方向的两条街道,某公园位于商业中心北偏东角,且与商业中心的距离为公里处,现要经过公园修一条笔直小路分别与两条街道交汇于两处,当商业中心到两处的距离之和最小值为(▲)A.7公里B.8公里C.9公里 D.10公里填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)9.若,,则______▲_____10.已知等比数列中,,则= ▲ .11.若正数满足,则的值为___▲___12.求“方程的解”有如下解题思路:设,则在R上单调递减,且,所以原方程有唯一解.类比上述解题思路,方程的解集为▲.13.已知的三边长为满足,,则的取值范围是▲.14.对于实数,表示不超过的最大整数。

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2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项:1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题有且仅有一个正确的答案)1.已知a 为给定的实数,那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为( ) A .1 B .2 C .4 D .不确定 2.函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是( )A .)1,(--∞B .)1,(-∞C .),1(+∞D .),3(+∞ 3.函数221)(xx x f x --=( ) A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数 4.设3log 2=a ,ln 2=b ,125-=c ,则( )A .c b a <<B .a c b <<C .<<c a bD .<<c b a5.设函数()()2log 2x f x m =+,则满足函数f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为( )A .{}0m m =B .{}0m m ≤C .{}0m m ≥D .{}1m m =6.已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 47.如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集,则实数a 的取值范围是( )A .(,7)-∞B .(],7-∞C .(,5)-∞D .(],5-∞ 8.已知(),(),()f x g x h x 为一次函数,若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩,则()h x 的表达式为( )A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分.)9.已知点在幂函数()yf x 的图象上,则4f ▲ .10.设,a b 为不相等的两个实数,若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =,则()2f 的值为 ▲ . 11.已知函数315(1)()(1)xa x x f x ax 是实数集R 上的增函数,则实数a 的取值范围为▲ .12.已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数,且()2(2)20-+-<f x x f x ,则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数,且对任意∈x R ,都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ,则(2)f 的值等于▲14.已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤,则当b da c e++取最小值时,a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案)二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分. 请将正确的答案填在横线上)9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题(本大题共3小题,第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程)15.设集合}023|{2≤++=x x x A ,}0|{2≤++=b ax x x B , (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(,求b a ,的值; (2) 若1=b ,且A B A = ,求实数a 的取值范围.16.已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.(1)求k 的值; (2)若23)1(=f ,且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-, 求m 的值.17.设二次函数c bx ax x f ++=2)((0,,,≠∈a R c b a )满足条件: ①当R x ∈时,(1)(3)-=-f x f x ;②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

(1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()()0+--=f x f m x n 恰有四个不同的实根,且四个实根之和为2,求实数n 的范围.2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分)9. 2 10. 4 11. (]1,3 12. (]2,3 13. 10 14. 132三、 解答题(本大题共3小题,满分32分.要求写出必要的解答过程)15.设集合}023|{2≤++=x x x A ,}0|{2≤++=b ax x x B , (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(,求b a ,的值; (2) 若1=b ,且A B A = ,求实数a 的取值范围.解:]1,2[--=A ,),1()2,(+∞---∞= A C R ,设b ax x x f ++=2)(. (1) 由R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(可得]2,2[-=B ,∴0,4.a b =⎧⎨=-⎩(2)∵A B A = ,B A ∴⊆.∴当Φ=B 时,由0<∆得22<<-a .当Φ≠B 时,若0=∆,则2±=a ,当2a =-时,{1}B =,不合题意;当2a =时,{1}B =-,符合题意.若 0>∆,则0,(1)0,.(2)0,12 1.f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪⇒∈Φ-≥⎨⎪⎪-≤-≤-⎪⎩综上,22≤<-a .16.已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.(1)求k 的值; (2)若23)1(=f ,且)(2)(22x f m a a x g xx ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-, 求m 的值.解:(1)由题意,对任意R ∈x ,)()(x f x f -=-, 即x x x xa k a a k a---+-=--)1()1(,即0)())(1(=+-+---x x xxa a aa k , 0))(2(=+--xxaa k ,因为x 为任意实数,所以2=k . (2)由(1)xxa a x f --=)(,因为23)1(=f ,所以231=-a a ,解得2=a . x xx f --=22)(,)22(222)(22x x x xm x g ----+=,令x x t --=22,则222222+=+-t x x ,由),1[∞+∈x ,得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t ,所以2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==,⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t 当23<m 时, )(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数,则223-=⎪⎭⎫⎝⎛h ,22349-=+-m , 解得1225=m (舍去). 当23≥m 时,则2)(-=m f ,222-=-m ,解得2=m ,或2-=m (舍去). 综上,m 的值是2.17.设二次函数c bx ax x f ++=2)((0,,,≠∈a R c b a )满足条件: ①当R x ∈时,(1)(3)-=-f x f x ;②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。

(1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()()0+--=f x f m x n 恰有四个不同的实根,且四个实根之和为2,求实数n 的范围.解:(1)由(1)(3)-=-f x f x 得()=y f x 的对称轴为1=x ,即2=-b a ,在241()21--≤≤+x f x x 中令1=-x 得3(1)3≤-≤f ,所以(1)3-=f ,即3-+=a b c ,结合2=-b a 得33=-c a ,所以2()233=-+-f x ax ax a ,由()41≥--f x x 恒成立,得()222430--+-≥ax a x a 恒成立,所以有0>a 及()()2424430∆=---≤a a a ,得()210-≤a ,所以1=a ,2()2=-f x x x ,经验证也满足2()21≤+f x x 恒成立,故2()2=-f x x x(2)由()()0+--=f x f m x n 得()()+-=f x f m x n令()()()=+-g x f x f m x ,则()()-=g m x g x ,得()g x 关于2=mx 对称, 故()=g x n 的四个实根之和为42•m ,故422•=m得1=m 。

故()()()22121=+-=-+-g x f x f x x x x ,由于()g x 关于12=x 对称,所以只需要 研究函数()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图象,()2212211*********⎧-++≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪--≥⎪⎩, , , x x x g x x x x x x ,得312<<ny。

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