高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；

（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围

（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.

例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2

3[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(∆吗？），即.4

21-

.55271,5370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2-≤<-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-<<->++++≥+⇔⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于

⎩⎨⎧<<0)3(0)1(f f 即⎩

⎨⎧<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-

⎩⎨⎧<>0)4(0g m 或,0

)4(0⎩⎨⎧>

x f ，若0)(

（2）已知x x x f 4)(2+-=，当]1,1[-∈x 时，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取

值范围。 解：（1）0)(

22+<⇔x a 有解⇔.2|1

2|max 2=+)(恒成立⇔.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时，5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a

【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([；（2）

a x f <)(恒成立⇔a x f )(有解⇔a x f >max )]([；

（4）a x f <)(有解⇔.)]([min a x f <

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴

a

a x 2210-=的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。

解、0=a 时，3)(--=x x f ，

)(x f 在]2,2

3[-上不能取得1，故0≠a . )0(3)12()(2≠--+=a x a ax x f 的对称轴方程为.2210a

a x -= （1）令1)2

3

(=-f ，解得3

10-=a ， 此时]2,23[20230-∈-=x ， 因为0

（2）令1)2(=f ，解得43=a ， 此时]2,23[310-∈-=x ， 因为]2,2

3[31,0430-∈-=>=

x a ，且距右端点2较远，所以)2(f 最大，合适。 （3）令1)(0=x f ，得)223(2

1±-=a ， 验证后知只有)223(2

1--=a 才合适。 综上所述，43=a ，或).223(21+-=a