三角函数图像变换PPT
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
高中数学三角函数的图像与性质优秀课件
1
2 3
2
2
1 2
3 2
2
y cos x，x R
3 2
2
正、余弦函数的性质
y
2
sin
1 2
x
4
④周期性：形如y Asin x 或y Aco1sx 的
函数的周期T 2 .
2 1
3 2 5 3 7 4
2
2
2
2
y sin 2x 1
1
2 3 2
2 1
2
3 2
例1：已知函数y
Asin x A
0，
0，
2
，x
R
的部分图像，求函数解析式.
解：由图知A 2.
又 T 3 1 2，故T 8， 即 2 8， .
4
4
令 1 = 得= .
4
2
4
综上得，y
2sin
4
x
4
.
例2：函数f
x
Asin
x
0，
2
，x
R
的部分图像如图，则函数表达式为（
x
0
4
3
2
4
2x
0
3
2
2
2
y sin 2x
0
1
0
1
0
五点：0，0， 4 ，1， 2 ，0，
3
4
，1，，0.
1
3 2
2 1 2
2
五点作图法
例1：用“五点法”作y
2sin
1 2
x
4
，x
2
，7 2
的图像.
x
3
5
7
2
2
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数图象变换伸缩平移(共7张PPT)
得到y=Asin( x+)。
所有点的横坐标缩短（当 >1时）或伸长（当0< <1时）到原来的 倍（纵坐标不变），得到y=sin( x+ );
y=sinx 可以看作把正弦曲线上所有的点向左（当 >0时）或向右（当 <0时）平行移动| |个单位长度而得到．
=sin(2x+ )
2
三角函数图象变换伸缩平移
作出y=3sin(2x+ )的图象，
1 =sin(2x+ )
y=3sin(2x+ ) 3 可以看作把正弦曲线上所有的点向左（当 >0时）或向右（当
<0时）平行移动|
5 |个单位长度而得到3 ．
o 5 y=sinx的图象上所有的点向左（当 >0时） 或向右（当 <0时）平行移动| |个度，得到y=sin(x+
注：先横向伸缩再左右平移
三角函数图象变换伸缩平移
小结3
函数 ysixn ()x, R的图象
（其中 0）
可以看作把正弦曲线上所有的点
向左（当>0时）或向右（当<0时） 平行移动| |个单位长度而得到．
作用 左右平移
问题４
作出y=3sin(2x+ )的图象， 3
并指出它们与y=sinx图象之间
的关系
五点法作图：
列表：
• 把 y=sinx的图象上所有的点向左（当>0时） 或向右（当<0时）平行移动||个度，得到
y=sin(x+ );
• 再把 所有点的横坐标缩短（当>1时）或伸
长（当0< <1时）到原来的
变），得到y=sin(x+ );
1
所有点的横坐标缩短（当 >1时）或伸长（当0< <1时）到原来的 倍（纵坐标不变），得到y=sin( x+ );
y=sinx 可以看作把正弦曲线上所有的点向左（当 >0时）或向右（当 <0时）平行移动| |个单位长度而得到．
=sin(2x+ )
2
三角函数图象变换伸缩平移
作出y=3sin(2x+ )的图象，
1 =sin(2x+ )
y=3sin(2x+ ) 3 可以看作把正弦曲线上所有的点向左（当 >0时）或向右（当
<0时）平行移动|
5 |个单位长度而得到3 ．
o 5 y=sinx的图象上所有的点向左（当 >0时） 或向右（当 <0时）平行移动| |个度，得到y=sin(x+
注：先横向伸缩再左右平移
三角函数图象变换伸缩平移
小结3
函数 ysixn ()x, R的图象
（其中 0）
可以看作把正弦曲线上所有的点
向左（当>0时）或向右（当<0时） 平行移动| |个单位长度而得到．
作用 左右平移
问题４
作出y=3sin(2x+ )的图象， 3
并指出它们与y=sinx图象之间
的关系
五点法作图：
列表：
• 把 y=sinx的图象上所有的点向左（当>0时） 或向右（当<0时）平行移动||个度，得到
y=sin(x+ );
• 再把 所有点的横坐标缩短（当>1时）或伸
长（当0< <1时）到原来的
变），得到y=sin(x+ );
1
三角函数图像得画法 PPT
y
1 sin x
2
y= 2s in x
y=1 sinx
2
y=1 sinx 2
O
0
2
01
3
2
2
0 -1 0
0 2 0 -2 0
01
2
0
1 2
0
y=2sinx图象由y=sinx图象（横标不变）， 纵标伸长2倍而得。
2π
x
1 y=
sinx图象由y=sinx图象（横标不变），纵标伸长
倍而得。
2
水平伸缩变换
2图像向左平移源自63横坐标不变 y 3sin( 2x )
纵坐标变为3倍
3
例4. 画出函数
y3sin2(x) xR
3
的简图.
x
y3si2xn 3 ()3si 2 (xn 6)
y sin x
5 2
3
3
6
12
3
7 12
5 6
y
ysin2(x)
y
sin(
x
3
)
3
由 y = s i n x 到 y = A s i n ( ω x + ) 的 图 象 变 换 步 骤
步骤1 步骤2
画 出 y = s i n x 在 0 ， 2 π 上 的 简 图
横坐标向左 (>0) 或向右(<0) 平移 || 个单位
得 到 y = s i n ( x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤3 步骤4
将各点的横坐标变为原来的 1/ω 倍(纵坐标不变).
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)；
三角函数的图像变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
看作是把y sin(x )上所有点的纵坐标
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函 数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、 画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
6
6
4 4
2
2
o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
-2
-4
-4
-6
-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的
伸长(当A 1时)或缩短(当0 A 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象旳纵向伸缩，决定函 数旳最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。
思索3: 怎么样由y sin x的图象得到y 2sin(2x )的图象？
3
1、 画出函数y sin x的图象;
1.5 y=Asin(ωx+φ)旳图像
新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置旳位移y与时间x旳关系：
新课引入
某次试验测得旳交流电旳电流y随时间x变化旳图象：
y
y
6
6
4 4
2
2
o2 4 6 8
-2
x
o 0.01 0.02 0.03 0.04
x
-2
-4
-4
-6
-6
将测得旳图像放大，能够看出它和正弦曲线很相同
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的 3 倍,纵坐标不变 4
(C)纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 3
(D)纵坐标缩短到原来的 3 倍,横坐标不变 4
2.把y sin(2x )的图象向右平移 个单位,
3
6
这时图象所表示的函数为 D
以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 旳函数（其中A, ω, φ都是常数）.
交流电电流随时间变化旳图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似,
从解析式来看,函数y sin x就是函数y Asin(x )在 A 1, 1, 0时的情况.
你认为怎样讨论参数,, A对y Asin(x )的
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
人教版高中数学必修四课件：1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)
x
sin x 2sin x 1 sin x 2
y
2
1
o
-1 -2
0
2
3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
小结1 函数 y Asin x, x R 的图象
（其中A 0且 A 1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 y Asin x, x R 的值域是 A, A
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图y象=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
x
0
4
• 再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到
y=Asin( x+ )。
变换2:
函数y=Asin(x+ )(其中A>0, >0)的
图象，可看作由下面方法得到：
• 把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当
>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 1 倍
函数y Asin(x )的图像
复习：
2．用五点法作函数 y sin x, x 0,2
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解：（1） m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象，并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.
《三角恒等变换》三角函数PPT教学课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)
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19
[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2245，
sin 2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝275，
() A．2sin 15°cos 15°
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ 23；
B．cos215°－sin215°
sin215°＋cos215°＝1，故选B.]
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
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7
2．sin 15°cos 15°＝________.
1 4
[sin 15°cos 15°＝12×2sin
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1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
16
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17
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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(2)法一：左边＝cos2θ1－csoins22θθ ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边． 法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝cos2θ1－csoins22θθ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．
35
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36
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
19
[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2245，
sin 2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝275，
() A．2sin 15°cos 15°
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ 23；
B．cos215°－sin215°
sin215°＋cos215°＝1，故选B.]
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
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7
2．sin 15°cos 15°＝________.
1 4
[sin 15°cos 15°＝12×2sin
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1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
16
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17
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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(2)法一：左边＝cos2θ1－csoins22θθ ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边． 法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝cos2θ1－csoins22θθ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．
35
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36
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
三角函数函数y=Asinωx+φ的图象函数y=Asinωx+φ的图象及变换ppt
三角函数在信号处理中的应用
信号调制
在通信系统中，信息信号可以通过调制载波信号进行传输。 例如，幅度调制(AM)和频率调制(FM)都涉及到正弦和余弦函 数的运用。
滤波器设计
在数字信号处理中，滤波器用于提取特定频率范围的信号或 抑制不需要的频率成分。滤波器的设计需要使用三角函数。
三角函数在数学分析中的应用
余弦函数的图像和性质
图像为一个周期无限重复的曲线，最小正周期为2π，在[0,π]和[2π,3π]上单调递减，在 [π,2π]上单调递增
正切函数的图像和性质
图像为一个周期无限重复的曲线，最小正周期为π，在(-π/2,π/2)上单调递增
三角函数公式及其变换
01
两角和的正弦公式 02
sin(x+y)=sinxcosy&YOU.
y＝asinωx＋φ的变换
函数图象的平移变换
平移方向
沿x轴向右平移 |φ| 个单位；
平移距离
与y轴交点为(0, φ)，沿x轴向右平 移 |φ| 个单位至图象与x轴交点， 再向上平移1个单位至图象与y轴 交点；
变换公式
$y=asin(\omega x|\varphi|)+|\varphi|+1$。
函数图象的伸缩变换
振幅调整
振幅调整可以通过改变a值来实现，这可以扩大或缩小正弦曲线的振幅。
参数对函数图象的影响
角频率
ω的变化会影响正弦曲线的周期性，从而影响频 率和周期。
常数φ
通过改变常数φ，可以改变正弦曲线的起始相位 ，影响其波形和形状。
振幅a
振幅a的大小会影响正弦曲线的振荡幅度，从而 影响信号的强度和幅度。
03
变换公式
$y=asin(\omega x \cdot \pi\varphi*-π)$。
正弦,余弦函数的图像PPT课件
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
3
3
3
3
-1
y=sinx
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
x[0,2]
f(x2k)f(x)利用图象平移
y=sinx xR
正弦、余弦函数的图象
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
五点画图法
1
(2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
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引:
函数y=Asin(ωx+φ)表示一个振动量时
A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫
做这个振动的振幅。
往复振动一次所需要的时间T=
2
它叫做振动的周期。
为了研究形如y=Asin(ωx+φ)函数的图象下面分别研究：
（1）y=Asinx与y=sinx图象的关系
（2）y=sinωx与y=sinx图象的关系
2
y
2
1
o
-1 -2
0
2
3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
y
2
y=2sinx
1
y 1 sin x 3
o
2
2
y=sinx
x
-１
2
-2
上述变换可简记为:
y＝sinx的图象 各点的纵坐标伸长到原来的2倍y＝2sinx的图象
需将y=sin2x图象（ D ） • A. 向左平移π/3 个单位 • B. 向右平移π/3个单位 • C. 向左平移π/ 6个单位 • D. 向右平移π/6 个单位
Ex:为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
想一想?
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变.
注: ①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横 向伸缩
巩固练习
•1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象
（ D） A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 •2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ D ）
Y=sinx的图象
各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标
各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)
y=sin 1 x的图象
2
结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸 长(当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍 而得到.
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变. D.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就 得到y=sin(2x+ π/5 )的图象?
4
5
9
3
2 4
3
5
7
x
4
4
4
-1
结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx 的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ| 个单位长度而得到.(简记为:左加右减)
注:φ 引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改
变图象的形状.φ 叫做初相.
巩固练习:4由.函y=数sinyx的s图in(象x _左_6_)_的平初移相__是_____个_6_单_,位它长的度图而象得是
A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍
3、函数图象的左右平移变换
问题3
作函数y=sin(x+ )和y=sin(x- )
3
4
的简图，并指出它们与y=sinx图象之
间的关系。
x _
2 7
x+
sin(x+3 )
练习二：
把函数y=sin(2x+
4
)的图象向右平移
8
个单位，再将横坐标缩小到原来
的 1 ，则其解析式为（ A ）
2
（A）y=sin4x
（B）y=sin(4x+3 )
8
（C）y=sinx
（D）y=sin(4x+ )
8
• 3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象， 只需将 y=sinx 图象（C ） A. 向左平移π/6个单 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 • 4. 要得到函数 y=sin（2x－π/3）的图象,只
(横坐标不变)
y＝sinx的图象各点的纵坐标缩短到原来的1/2y倍＝
(横坐标不变)
1 2
sinx的图象
结论: y＝Asinx （其中A>0) 的图象可看成是由y＝sinx 的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标伸长 （A>1时) 或 缩短(0<A<1时)到原来的A倍而得到.
注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。
（3） y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系
通过以上几种形式的讨论和研究，得出形如 y=Asin(ωx+φ)与y=sinx函数的图象间的关系。
1.作三角函数的图象的方法一般有： (1) 描点法；（2）几何法；
2. 作三角函数的简图：
主要先找出在确定图象性质时起 关键作用的五个点: (1)最大值点 (2) 最小值点 (3)与x轴的交点
2、用五点法画函数y=sinx在[0，2 ]的图象
的关键点是：(如图)
y
最高点 曲线与x轴交点
1
y=sinx
3
o
2
2
x
2
-1
1、函数图象的纵向伸缩变换
问题1 在同一坐标系中作出y=2sinx 及与yy==si12nxsi图nx象的间简的图关，系并。指出它们
x sinx 2sinx 1 sinx
3
3
0
0
6
2
1
y
36
3
2
0
-1
y=sin(x+
兀
3
)1
y=sinx
- 3
o
6
2 3
7
6
2
5
3
5
3
2
0
x
-1
x
x-
4
4
0
sin(x- )
4
0
y
y=sin(x+
兀
3
)1
-
3
o
4
3
5 7
9
4
4
4
4
2
3
2
2
1
0
-1
0
y=sinx y=sin(x- 兀 )
到.
6
5得.把到函函数数y=__syi_n_2_sxi_n_的(_2_图x__象__向)_的右图平象移.12个单位长度,
6
练（（习12））一将将：yy==ssiinn2( x12的x+图3象)的向图右象平经移过6向，右则平移所23得个图单象位 解变析换式可为得yy==ssinin12（x的2x图- 象3）
A的作用 纵向伸缩
2、函数图象的横向伸缩变换
问题2
作函数y=sin2x及y=sin
1 2
x的简
图，并指出它们与y=sinx图象间的
关系。
x
0
4
2
2x
0
2
sin2x 0
1
0
y y=sin2x
1
y=sinx
2
o 3
3
42 4
2
-1
3
4
3 2
2
-1
0
3
4
x
上述变换可简记为:
函数y=Asin(ωx+φ)表示一个振动量时
A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫
做这个振动的振幅。
往复振动一次所需要的时间T=
2
它叫做振动的周期。
为了研究形如y=Asin(ωx+φ)函数的图象下面分别研究：
（1）y=Asinx与y=sinx图象的关系
（2）y=sinωx与y=sinx图象的关系
2
y
2
1
o
-1 -2
0
2
3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
y
2
y=2sinx
1
y 1 sin x 3
o
2
2
y=sinx
x
-１
2
-2
上述变换可简记为:
y＝sinx的图象 各点的纵坐标伸长到原来的2倍y＝2sinx的图象
需将y=sin2x图象（ D ） • A. 向左平移π/3 个单位 • B. 向右平移π/3个单位 • C. 向左平移π/ 6个单位 • D. 向右平移π/6 个单位
Ex:为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
想一想?
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变.
注: ①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横 向伸缩
巩固练习
•1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象
（ D） A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 •2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ D ）
Y=sinx的图象
各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标
各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)
y=sin 1 x的图象
2
结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸 长(当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍 而得到.
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变. D.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就 得到y=sin(2x+ π/5 )的图象?
4
5
9
3
2 4
3
5
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x
4
4
4
-1
结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx 的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ| 个单位长度而得到.(简记为:左加右减)
注:φ 引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改
变图象的形状.φ 叫做初相.
巩固练习:4由.函y=数sinyx的s图in(象x _左_6_)_的平初移相__是_____个_6_单_,位它长的度图而象得是
A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍
3、函数图象的左右平移变换
问题3
作函数y=sin(x+ )和y=sin(x- )
3
4
的简图，并指出它们与y=sinx图象之
间的关系。
x _
2 7
x+
sin(x+3 )
练习二：
把函数y=sin(2x+
4
)的图象向右平移
8
个单位，再将横坐标缩小到原来
的 1 ，则其解析式为（ A ）
2
（A）y=sin4x
（B）y=sin(4x+3 )
8
（C）y=sinx
（D）y=sin(4x+ )
8
• 3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象， 只需将 y=sinx 图象（C ） A. 向左平移π/6个单 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 • 4. 要得到函数 y=sin（2x－π/3）的图象,只
(横坐标不变)
y＝sinx的图象各点的纵坐标缩短到原来的1/2y倍＝
(横坐标不变)
1 2
sinx的图象
结论: y＝Asinx （其中A>0) 的图象可看成是由y＝sinx 的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标伸长 （A>1时) 或 缩短(0<A<1时)到原来的A倍而得到.
注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。
（3） y=sin(x+φ)与y=sinx图象的关系
通过以上几种形式的讨论和研究，得出形如 y=Asin(ωx+φ)与y=sinx函数的图象间的关系。
1.作三角函数的图象的方法一般有： (1) 描点法；（2）几何法；
2. 作三角函数的简图：
主要先找出在确定图象性质时起 关键作用的五个点: (1)最大值点 (2) 最小值点 (3)与x轴的交点
2、用五点法画函数y=sinx在[0，2 ]的图象
的关键点是：(如图)
y
最高点 曲线与x轴交点
1
y=sinx
3
o
2
2
x
2
-1
1、函数图象的纵向伸缩变换
问题1 在同一坐标系中作出y=2sinx 及与yy==si12nxsi图nx象的间简的图关，系并。指出它们
x sinx 2sinx 1 sinx
3
3
0
0
6
2
1
y
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y=sin(x+
兀
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y=sinx
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sin(x- )
4
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y=sin(x+
兀
3
)1
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3
o
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3
5 7
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2
3
2
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0
-1
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y=sinx y=sin(x- 兀 )
到.
6
5得.把到函函数数y=__syi_n_2_sxi_n_的(_2_图x__象__向)_的右图平象移.12个单位长度,
6
练（（习12））一将将：yy==ssiinn2( x12的x+图3象)的向图右象平经移过6向，右则平移所23得个图单象位 解变析换式可为得yy==ssinin12（x的2x图- 象3）
A的作用 纵向伸缩
2、函数图象的横向伸缩变换
问题2
作函数y=sin2x及y=sin
1 2
x的简
图，并指出它们与y=sinx图象间的
关系。
x
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4
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2x
0
2
sin2x 0
1
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y y=sin2x
1
y=sinx
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o 3
3
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上述变换可简记为: