离散数学结构
离散数学结构 习题A
习题101、列出以下运算的运算表：(1) A={1,2,}，x∈A，x是x的倒数，即x=.(2) A={1,2,3,4},x,y∈A有x y=max(x,y),max(x,y)是x和y之中较大的数。
答案2、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：(1) 整数集合Z和普通的减法运算(2) 非零整数集合Z*和普通的除法运算(3) 全体n×n实矩阵集合M n(R)和矩阵加法及乘法运算，其中n≥2(4) 全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法运算，其中n≥2(5) 正实数集合R+和运算，其中运算定义为：ａ,ｂ∈R+,a b=ab-a-b(6) n∈Z+,nZ={nz|z∈Z}.nZ关于普通的加法和乘法运算。
(7) A={a1,a2,...,a n},n≥2.运算定义如下：a i,a j∈A,a i a j=a i.(8) S={2x-1|x∈Z+}关于普通的加法和乘法运算。
(9) S={0,1},S关于普通的加法和乘法运算。
(10)S={x|x=2n,n∈Z+}，S关于普通的加法和乘法运算。
答案3、对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律、结合律和分配律。
答案4、对习题2中封闭的二元运算找出它的单位元，零元和所有可逆元素的逆元。
答案5、S=Q×Q,Q为有理数集，*为S上的二元运算，<a,b>,<x,y>∈S有<a,b>*<x,y>=<ax,ay+b>(1) *运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？(2) *运算是否有单位元，零元？如果有，请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
答案6、R为实数集，定义以下六个函数f1,...,f6.x,y∈R有f1(<x,y>)=x+y,f2(<x,y>)=x-y,f3(<x,y>)=x·y,f4(<x,y>)=max(x,y),f5(<x,y>)=min(x,y), f6(<x,y>)=|x-y|(1) 指出哪些函数是R上的二元运算。
离散数学结构 第9章 集合基数复习
第九章集合基数主要内容1. 集合的等势与优势2. 集合的基数学习要求1. 掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的性质（自反性，对称性，传递性）2. 掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内容及证明方法3. 掌握：自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质4. 掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质9.1 集合的等势与优势一．集合的等势通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。
集合的势越大，所含的元素越多。
定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。
如果A不与B等势，则记作A B。
下面给出一些集合等势的例子。
例9.1 (1) Z≈N。
回顾上一章例8.6(3)，令f：Z→N，则f是Z到N的双射函数。
从而证明了Z≈N。
(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数，只需把中所有的元素排成一个有序图形，如图9.1所示。
N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点。
如果能够找到“数遍”这些点的方法，这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程。
按照图中箭头所标明的顺序，从<0，0>开始数起，依次得到下面的序列：<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，…↓↓↓↓↓↓0123 4 5设<m，n>是图上的一个点，并且它所对应的自然数是k。
考察m，n，k之间的关系。
首先计数<m，n>点所在斜线下方的平面上所有的点数，是1+2+…+(m+n)=然后计数<m，n>所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于<m，n>点之前的点数，是m.因此<m，n>点是第+m+1个点。
这就得到k=+m根据上面的分析，不难给出N×N到N的双射函数f，即f：N×N→Nf(<m，n>)=+m(3) N≈Q。
离散数学《离散结构R》教学大纲
《离散结构R》教学大纲课程编号：（00007732）课程中文名称：（离散结构R）注:此时为（离散结构R）课程英文名称：Discrete Mathematical Structures R总学时：（56）实验学时：（0）上机学时：（0）学分：（3.5）适用专业：计算机与软件学院——软件工程专业、计算机应用技术、物联网工程、信息安全专业一、课程性质、目的和任务（300字内）离散结构是现代数学的一个重要分支和计算机科学基础理论的核心学科，它充分描述了计算机科学离散性的特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的新兴基础学科。
离散结构是《离散的数学结构》的缩写。
研究对象是世间一切事物之间的关系。
所采用的研究方法有集合、代数、图、数理逻辑等。
与计算机的关系：第一部分集合论.。
集合：一种重要的数据结构；关系：关系数据库的理论基础；函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分。
第二部分代数系统。
计算机编码和纠错码理论；数字逻辑设计基础；计算机使用的各种运算。
第三部分图论。
数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础。
第四部分数理逻辑。
计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物。
二、课程教学内容及学时分配（每章均包括以下三项内容）离散数学的其基本内容为：离散数学的内容分为四部分：第一部分数理逻辑：命题演算、谓词演算。
第二部分集合论：集合、关系、函数。
第三部分代数系统：运算、代数系统、半群、群、环、域、格、布尔代数。
第四部分图论：点与边、路与圈、最短路、Euler图、Hamilton图、二分图、平面图、树。
第一部分：数理逻辑(18 学时)(一)、命题符号化及联结词［教学要求］掌握命题、原子命题、命题常项、命题变项、复合命题的概念、五种常用的命题联结词和对命题进行符号化。
［教学内容］命题逻辑的基本概念(二)、命题公式及分类［教学要求］1 、掌握命题公式的概念、命题公式的解释及公式的分类；2 、了解利用真值表及利用真值表判断公式的类型。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
离 散 的 数 学 结 构.
Discrete Mathematical Structures
《离散数学》参考书目
• 《离散数学》 祝颂和等编 西安交通大学出版社 • 《DICRETE MATHEMATICAL STRUCTURES》 BERNARD KOLMAN PRENTICE HALL • 《Discrete Mathematics and Its Applications》 Kenneth H.Rosen McGraw-Hill • 《离散数学结构及其在计算机科学中的应用》 J.P.Tremblay，R.manohar 著 罗远诠等译 • 《离散数学》S.Lipschutz 著 杜玮译 • 《离散数学基础》C.L.liu 著 刘振宏译 • 《离散数学结构导论》王遇科著 北京工业学院 • 《离散数学》王湘浩等编 吉林大学 • 《离散数学》左孝凌等编 上海交通大学 • 《离散数学导论》徐洁磐编 南京大学 • 《离散数学基础》洪帆编 华中工学院
人体由大脑、五官、四肢、心、肝、肺等器官所组成。 基本元素是各种细胞。
2. 房屋的结构
房屋由地基、墙、门、窗、地板、房顶等建筑物所组成。 基本材料是砖、瓦、钢筋、水泥、石灰等。
3. 学校的结构
学校由若干院、系、所、处、科室、班级等单位所组成。 基本成员是教师、学生、管理人员、实验人员等。
4. 计算机的结构
计算机由主板、CPU、内存条、硬盘、软驱、电源、机箱、 显示器、键盘、鼠标等部件所组成。 基本成员是各种超大规模集成电路芯片。
各个学科的结构
• 化学的结构 化学主要由无机化学和有机化学所组成。 基本成员是各种化学元素。 • 物理的结构 物理主要由力学、电学、光学、热学所组成。 基本成员是各种场。
• 数学的结构 数学主要由连续数学和离散数学所组成。 基本成员是各种集合的元素。
离散结构与离散数学
离散结构与离散数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：离散结构与离散数学是计算机科学中非常重要的两门课程。
它们为计算机科学学生提供了严密的思维训练和逻辑分析的能力。
本文将详细介绍离散结构与离散数学的概念、内容以及在计算机科学中的重要性。
离散结构是数学中的一个分支，研究的是离散（不连续）的数学结构。
离散结构的研究对象包括集合论、图论、离散函数、离散关系、离散逻辑等等。
离散数学是指集合、逻辑、代数、图论、关系、函数等各种数学概念的离散性质的研究。
它主要关注那些离散的、离散的、具体的或者是不连续的数学结构。
离散结构与离散数学在计算机科学中扮演着至关重要的角色。
离散结构可以用来描述计算机算法和数据结构中的许多问题，如图论可以用来描述计算机网络拓扑结构，逻辑可以用来描述计算机程序的正确性等等。
离散结构与离散数学提供了计算机科学学生严密的思维训练和逻辑分析的能力，这对他们未来的研究和工作都是非常重要的。
离散结构与离散数学也为计算机科学研究提供了丰富的理论基础，帮助科研人员探索计算机领域的未知领域。
离散结构与离散数学常见的概念包括集合、关系、函数、图论、逻辑、代数等等。
集合是数学中最基本的概念之一，用来描述一组对象的概念。
关系用来描述两个对象之间的联系，函数则可以看作是一种特殊的关系，描述输入和输出之间的对应关系。
图论是研究由节点和边构成的图结构的数学理论。
逻辑是研究命题之间的逻辑推理规律的学科。
代数则是研究代数结构及其上的变换的数学分支。
第二篇示例：离散结构与离散数学是计算机科学和数学领域中非常重要的概念。
它们涉及到一系列离散事件和对象的研究，与连续结构和数学在某种程度上相反。
在计算机科学领域，离散结构和离散数学通常用于解决各种问题，例如算法设计、数据结构、编程语言、计算理论等。
在数学领域，离散结构和离散数学则用于研究离散性的结构和性质，对组合数学、图论、离散数论、离散概率论等有着重要的应用。
离散结构包括一系列离散的基本概念，例如集合、函数、关系、图、树等。
离散数学结构第6章集合代数
离散数学结构第6章集合代数第六章集合代数1. 集合，相等，（真）包含，⼦集，空集，全集，幂集2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，⼴义交，⼴义并3. ⽂⽒图，有穷集计数问题4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同⼀律，排中律，⽭盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）学习要求1. 熟练掌握集合的⼦集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表⽰2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、⼴义交、⼴义并的定义及其性质3. 掌握集合的⽂⽒图的画法及利⽤⽂⽒图解决有限集的计数问题的⽅法4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同⼀律、排中律、⽭盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）5. 准确地⽤逻辑演算或利⽤已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式6.1 集合的基本概念⼀．集合的表⽰集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体就叫集合，⽽这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：⽅程x2－1＝0的实数解集合；26个英⽂字母的集合；坐标平⾯上所有点的集合；……集合通常⽤⼤写的英⽂字母来标记，例如⾃然数集合N(在离散数学中认为0也是⾃然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表⽰⼀个集合的⽅法有两种：列元素法和谓词表⽰法，前⼀种⽅法是列出集合的所有元素，元素之间⽤逗号隔开，并把它们⽤花括号括起来。
例如A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表⽰。
谓词表⽰法是⽤谓词来概括集合中元素的属性，例如集合B＝{x|x∈R∧x2－1＝0}表⽰⽅程x2－1＝0的实数解集。
许多集合可以⽤两种⽅法来表⽰，如B也可以写成{-1，1}。
但是有些集合不可以⽤列元素法表⽰，如实数集合。
集合的元素是彼此不同的，如果同⼀个元素在集合中多次出现应该认为是⼀个元素，如{1，1，2，2，3}＝{1，2，3}集合的元素是⽆序的，如{1，2，3}＝{3，1，2}在本书所采⽤的体系中规定集合的元素都是集合。
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习
离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的⽅法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在⾃然推理系统P中构造证明4. ①⾃然推理系统P的定义②⾃然推理系统P的推理规则：前提引⼊规则、结论引⼊规则、置换规则、假⾔推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假⾔三段式规则、构造性⼆难规则、合取引⼊规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，⽤②；在P系统中构造证明时⽤③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种⽅法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会⽤附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意⼀组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
⼆、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重⾔式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重⾔式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从⽽推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同⼀样是⼀种元语⾔符号，⽤来表⽰蕴涵式为重⾔式。
离散数学结构试题集1-4
第1章一.填空题1.2. 公式P→(Q→R)在联结词全功能集{﹁,∨}中等值形式为___________________。
3.4.5.6.7. 全体小项的析取式必为____________________式。
8. P,Q为两个命题，则德摩根律可表示为7. 全体小项的析取式必为_________式。
9. P,Q为两个命题，则吸收律可表示为____________________ 。
10. 设P：我有钱，Q：我去看电影。
命题“虽然我有钱，但是我不去看电影”符号化为_____ _______________。
11. 设P：我生病，Q：我去学校。
命题“如果我生病，那么我不去学校”符号化为_________ ___________。
12.13.14.15. 设P、Q为两个命题，交换律可表示为____________________。
16.17. 命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P：你看电影，Q：我看电影）的符号化为____________________ 。
18.19.20.21. P：你努力，Q：你失败。
命题“除非你努力，否则你将失败”的翻译为_______________ _____。
22.23.24. 一个重言式和一个矛盾式的合取是____________________。
25. 全体小项的析取式为____________________ 。
26. 命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P：你看电影，Q：我看电影）的符号化为____________________。
27.28. 设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质。
命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的符号化为____________________。
29.30.二.选择题1.2.3. 在除﹁之外的四大联结词中，满足结合律的有几个( )。
A. 2B.3C. 4D. 14. 判断下列语句哪个是命题( )。
离 散 的 数 学 结 构.
2. 房屋的结构
房屋由地基、墙、门、窗、地板、房顶等建筑物所组成。 基本材料是砖、瓦、钢筋、水泥、石灰等。
3. 学校的结构
学校由若干院、系、所、处、科室、班级等单位所组成。 基本成员是教师、学生、管理人员、实验人员等。
4. 计算机的结构
计算机由主板、CPU、内存条、硬盘、软驱、电源、机箱、 显示器、键盘、鼠标等部件所组成。 基本成员是各种超大规模集成电路芯片。
各个学科的结构
• 化学的结构 化学主要由无机化学和有机化学所组成。 基本成员是各种化学元素。 • 物理的结构 物理主要由力学、电学、光学、热学所组成。 基本成员是各种场。
• 数学的结构 数学主要由连续数学和离散数学所组成。 基本成员是各种集合的元素。
离 散 的 数 学 结 构
Discrete Mathematical Structures
《离散数学》参考书目
• 《离散数学》 祝颂和等编 西安交通大学出版社 • 《DICRETE MATHEMATICAL STRUCTURES》 BERNARD KOLMAN PRENTICE HALL • 《Discrete Mathematics and Its Applications》 Kenneth H.Rosen McGraw-Hill • 《离散数学结构及其在计算机科学中的应用》 J.P.Tremblay，R.manohar 著 罗远诠等译 • 《离散数学》S.Lipschutz 著 杜玮译 • 《离散数学基础》C.L.liu 著 刘振宏译 • 《离散数学结构导论》王遇科著 北京工业学院 • 《离散数学》王湘浩等编 吉林大学 • 《离散数学》左孝凌等编 上海交通大学 • 《离散数学导论》徐洁磐编 南京大学 • 《离散数学基础》洪帆编 华中工学院
离散数学结构第1章命题逻辑基本概念
离散数学结构第1章命题逻辑基本概念第1章命题逻辑基本概念主要内容1. 命题与真值（或真假值）。
2. 简单命题与复合命题。
3. 联结词：否定联结词┐，合取联结词∧，析取联结词∨，蕴涵联结词→，等价联结词。
4. 命题公式（简称公式）。
5. 命题公式的层次和公式的赋值。
6. 真值表。
7. 公式的类型（重⾔式（或永真式），⽭盾式（或永假式），可满⾜式）。
学习要求1. 在5种联结词中，要特别注意蕴涵联结的应⽤，要弄清三个问题：① p→q的逻辑关系② p→q的真值③ p→q的灵活的叙述⽅法2. 写真值表要特别仔细认真，否则会出错误。
3. 深刻理解各联结词的逻辑含义。
4. 熟练地将复合命题符号化。
6. 会⽤真值表求公式的成真赋值和成假赋值。
1.1 命题与联结词 (2)⼀、命题的概念 (2)⼆、复合命题与联结词 (2)三、复合命题真假值 (5)1.2 命题公式及其赋值 (6)⼀、命题公式的定义 (6)⼆、公式的层次 (6)三、公式的赋值 (6)四、真值表 (7)五、公式的真假值分类 (8)1.1 命题与联结词⼀、命题的概念引⾔中的例⼦就是要对“我戴的是⿊帽⼦”进⾏判断。
这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯⼀的。
判断给定句⼦是否为命题，应该分两步：⾸先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯⼀的真值。
例1.1 判断下列句⼦是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是⽆理数。
(3) x⼤于y。
(4) ⽉球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π⼤于吗？(7) 请不要吸烟！(8) 这朵花真美丽啊！(9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句⼦中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因⽽这3个句⼦都不是命题。
剩下的6个句⼦都是陈述句，但(3)⽆确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即⽆唯⼀的真值，因⽽不是命题。
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学 代数结构-代数系统
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对 象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数 结构。 代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。 代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值 叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组 成的系统称为一个代数系统，简称代数， 记作： < S ，f1，f2，…，fk > ． 例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
离散数学离散结构的研究
离散数学离散结构的研究在数学的广袤领域中，离散数学以其独特的魅力和广泛的应用，成为了一门重要的学科。
离散结构作为离散数学的核心研究对象，涵盖了众多有趣且实用的概念和方法，为解决各种实际问题提供了强大的理论支持。
首先，让我们来理解一下什么是离散结构。
简单来说，离散结构是指由离散的元素组成，并具有特定关系和性质的数学对象。
与连续结构相对，离散结构中的元素是相互独立、明确区分的，不存在连续性的变化。
集合是离散结构中最基础的概念之一。
一个集合就是一堆确定的、互不相同的对象的总体。
例如，一个班级里所有学生的姓名就可以构成一个集合。
集合的运算，如并集、交集和补集，为我们处理不同集合之间的关系提供了有效的工具。
通过这些运算，我们可以清晰地描述和分析各种问题中的元素组合情况。
在离散结构中，关系也是一个关键的概念。
关系可以理解为两个或多个集合元素之间的某种联系。
比如在一个班级中，“同学关系”就是一种关系，它描述了学生之间的相互联系。
关系可以用矩阵或者图来表示，这使得复杂的关系能够以直观的形式展现出来，方便我们进行研究和分析。
图论是离散结构中的一个重要分支。
图由顶点和边组成，可以用来表示各种实际系统中的关系和结构。
例如，交通网络可以用图来表示，顶点代表城市，边代表城市之间的道路。
通过图论的方法，我们可以研究最短路径、最小生成树等问题，从而优化交通规划、网络布局等。
另一个重要的离散结构是树。
树是一种特殊的图，具有无环、连通等性质。
在计算机科学中，二叉树、二叉搜索树等被广泛应用于数据的存储和搜索。
比如，在数据库中快速查找特定的信息，就离不开树结构的支持。
组合数学也是离散结构研究的重要内容。
它研究的是如何按照一定的规则安排离散对象。
例如，从一堆物品中选取特定数量的物品有多少种不同的选法，这就是组合数学要解决的问题。
组合数学在密码学、编码理论等领域有着重要的应用。
离散结构在计算机科学中有着广泛而深入的应用。
在算法设计中，离散结构的知识可以帮助我们分析算法的复杂度，优化算法的性能。
离散数学离散结构的研究
离散数学离散结构的研究在当今科技飞速发展的时代，数学作为科学的基石，发挥着至关重要的作用。
其中，离散数学及其离散结构成为了众多领域的关键支撑。
离散数学并非是一门孤立的学科，它与计算机科学、信息科学、物理学等诸多领域紧密相连，为解决实际问题提供了强大的理论工具。
首先，让我们来理解一下什么是离散结构。
简单来说，离散结构是指由离散的元素和它们之间的关系所组成的结构。
与连续结构不同，离散结构中的元素是相互分离、明确区分的，并且它们之间的关系也是清晰定义的。
比如，整数集合就是一个典型的离散结构，每个整数都是独立存在的，而且它们之间的大小关系、运算规则等都有明确的定义。
离散数学中的集合论是研究离散结构的基础。
集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
通过对集合的运算，如并集、交集、补集等，我们可以清晰地描述和处理各种离散对象之间的关系。
例如，在数据库管理中，我们需要对不同的数据集合进行操作，以提取有用的信息。
集合论为这种操作提供了坚实的理论基础。
图论也是离散数学中一个重要的组成部分。
图由顶点和边组成，可以用来表示各种实际问题中的关系结构。
比如，在交通网络中，城市可以看作顶点，道路可以看作边，通过图论的方法，我们可以研究如何优化路线规划，以提高交通效率。
在计算机网络中，节点可以表示计算机，连接可以表示网络链路，从而帮助我们分析网络的性能和可靠性。
再者，数理逻辑在离散数学中占据着核心地位。
它研究的是命题和推理的规则。
通过对逻辑表达式的构建和推理，我们能够准确地描述和判断问题的真假。
在计算机科学中，数理逻辑被广泛应用于程序的正确性验证、逻辑电路的设计等方面。
例如，在编写一个复杂的程序时，我们需要确保每个模块的逻辑是正确的，以避免出现错误的结果。
组合数学则关注的是离散对象的组合方式和计数问题。
它在密码学、编码理论等领域有着重要的应用。
比如，在密码学中，为了保证信息的安全传输，需要设计复杂的加密算法，而组合数学可以帮助我们计算出可能的密钥数量，从而评估加密系统的安全性。
离散结构与离散数学_概述说明以及解释
离散结构与离散数学概述说明以及解释1.引言1.1 概述：离散结构与离散数学作为计算机科学和数学的重要基础，对于计算机科学领域的研究和应用至关重要。
通过对离散结构和离散数学的深入研究，我们可以更好地理解计算机系统中的数据结构、算法、网络以及推理和证明等方面的原理。
本文旨在对离散结构与离散数学进行概述说明和解释，帮助读者全面了解这两个领域的基本概念、特点以及它们在实际应用中起到的作用。
1.2 文章结构：本文将按照以下顺序来展开对离散结构与离散数学的介绍：首先，在第2部分中，我们将概述离散结构与离散数学，并介绍它们各自的基本概念；然后，在第3部分中，我们将重点讨论离散结构中集合与子集合性质与操作方法的要点，以及图论和布尔代数在离散结构中的基本概念和应用；接着，在第4部分中，我们将深入探讨逻辑推理与命题逻辑、数理递归及其应用，以及抽象代数中群、环和域的概念及其性质；最后，在第5部分中，我们将总结福祉N，同时对离散结构与离散数学在未来发展趋势进行分析。
通过这样的文章结构安排，读者可以系统全面地了解离散结构与离散数学的核心知识点。
1.3 目的：本文的目的是为读者提供一个简洁但全面的介绍离散结构与离散数学的文章。
通过阅读本文，读者可以了解到离散结构与离散数学在计算机科学和数学领域中的重要性，并能够掌握它们各自的基本概念和关系。
希望本文能够为读者打下坚实的基础，为进一步深入学习和应用相关领域奠定基础。
2. 离散结构与离散数学概述：2.1 离散结构的定义和特点：离散结构是指由离散元素组成的集合，其中这些元素之间存在着明确的关系。
离散结构与连续结构相对，连续结构是由连续元素组成的集合，例如实数集。
而离散结构常用于描述和解决离散领域中的问题，如计算机科学、密码学等。
离散结构具有以下特点：- 离散性：离散结构中的元素个别存在且无法被进一步分割，不存在过渡状态。
- 有限性或可数性：在离散结构中，元素数量通常是有限或可数的。
离散结构及应用-ALL
离散结构及应用 - ALL什么是离散结构离散结构是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的或离散分布的数学对象。
离散结构包括了离散域、离散空间、离散时间等，在数理逻辑、计算机科学等领域具有广泛应用。
离散结构中常用的基本概念包括：集合集合是由一些确定的对象组成而成的整体。
通常用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素。
集合可以用列表方式列出其中的元素。
例如，一个集合 {1,2,3,4}，其中包含了 4 个元素 {1，2，3，4}。
函数函数描述了一种“输入输出”的关系，即每个输入都对应唯一的一个输出。
在离散结构中，函数可以看作是一组有序的元素对，其中每个元素对应一个唯一的“键”和“值”。
例如，一个函数 f(x) = 2x，其中每个 x 被映射到 2x 上。
运算离散结构中的运算有很多种，包括集合的交、并、补等，逻辑运算、数值运算、字符串运算、图论中的运算等。
例如，一个集合 A={1,2,3}，集合 B={2,3,4}，它们的交集为A∩B={2,3}。
离散结构的应用离散结构在计算机科学、数学、逻辑学等领域广泛应用，如下：编程语言计算机程序是由一系列语句组成的，这些语句基于离散结构进行设计和实现。
离散结构可以被用来描述计算机硬件、编程语言等。
例如，C++ 是一种使用离散结构实现的高级编程语言，它的实现方式包括了变量、数据类型、循环结构等。
数据库管理系统数据库管理系统是一种用来管理数据的软件系统，它基于离散结构进行实现。
数据库包含了大量的数据，可以通过使用离散结构来优化和管理数据。
例如，在数据库中，我们可以使用一个集合来表示用户，并使用一个函数将用户的 ID 映射到用户的信息。
算法和数据结构算法和数据结构是计算机科学中非常重要的领域，离散结构是实现算法和数据结构的基础。
算法和数据结构可以用来处理各种问题，包括图像处理、计算机视觉、人工智能等。
例如，双向链表是一种经典的数据结构，它基于离散结构实现，可以对数据进行快速的插入和删除操作。
离散的数学结构课程设计
离散的数学结构课程设计1. 概述离散的数学结构是计算机科学专业中一门重要的数学基础课程，它主要涉及图论、逻辑学、组合数学等方面的知识。
本课程设计目的在于巩固学生对离散数学的基础知识，提高他们的综合运用能力和问题解决能力。
2. 课程设计内容本次课程设计主要分为两大部分：图论和布尔代数。
2.1 图论图是解决现实问题中常用的一种数学模型。
本部分将主要涉及一些基本概念，如有向图，无向图，路径，回路，连通性等。
同时也会学习一些基本算法，如深度优先搜索，广度优先搜索等。
2.2 布尔代数布尔代数是一种离散的数学结构，它是解决逻辑问题的重要工具。
本部分将主要涉及一些基本概念，如布尔代数的基本运算和定理，卡诺图（Karnaugh map）等。
同时也会学习一些基本应用，如逻辑电路的设计，布尔函数的最小化等。
3. 课程设计要求3.1 基本要求每一位同学需要完成一个小型的课程设计，包括：•图论部分：实现有向图和无向图的基本操作，并实现其中一个基本算法；•布尔代数部分：实现布尔代数的基本运算和定理，并实现其中一个应用。
3.2 提高要求对于有一定编程经验的同学，还可以尝试一些提高要求：•图论：实现多种基本算法，并对其性能进行分析比较；•布尔代数：实现布尔函数的最小化算法，并对其进行性能分析比较。
4. 课程设计评价4.1 考核方式课程设计的考核方式为课程设计报告和展示。
•报告：每一位同学需要提交一份课程设计报告，包括设计思路，实现过程，实现结果以及其它需要说明的问题；•展示：每一位同学需要在班级中进行课程设计展示，主要对其实现的思路和结果进行展示。
4.2 课程设计评分课程设计的评分主要分为以下几个方面：•设计思路和方法：包括设计方案的合理性，算法的选择和实现思路等；•实现过程和结果：包括代码实现，实验数据结果等；•独立思考能力和解决问题能力：包括解决问题的思路，解决问题的能力等；•报告和展示：包括报告的撰写规范性，展示的内容和方式等。
离散数学结构
离散数学结构引言离散数学，作为数学的一个分支，主要研究离散结构和离散对象。
它与连续数学相对应，侧重于数学结构中的离散性或可数性。
在计算机科学、信息理论和密码学等领域，离散数学提供了重要的理论基础和工具。
集合论基础集合论是离散数学的基石之一，它涉及集合及其运算。
一个集合是一些明确定义的对象的汇总，这些对象称为集合的元素。
集合可以通过列举元素（如{苹果，香蕉，橙子}）、描述性质（如所有偶数构成的集合）或使用集合构造器（如并集、交集、差集和补集）来定义。
集合论的基本概念包括集合的成员关系、子集、幂集以及集合的等势和基数等。
逻辑和证明逻辑是研究有效推理的学科，它在离散数学中占有重要位置。
命题逻辑关注陈述的真实性，而谓词逻辑则进一步分析陈述内部结构。
证明方法是逻辑的核心内容，包括直接证明、反证法、归纳法和构造性证明等。
这些方法确保了数学结论的正确性和可靠性。
关系理论关系理论探讨的是对象之间的配对关系。
二元关系是最常见的类型，可以表示为笛卡尔积的子集。
关系的性质（如自反性、对称性、传递性）决定了其特征。
等价关系和偏序关系是两种特别重要的关系类型，它们分别支持等价类的概念和偏序集的研究。
图论图论是研究由节点（或顶点）和连接它们的边组成的图形结构的数学分支。
图可以用于表示网络、流程或任何类型的二元关系。
路径、回路、连通性以及图的着色和赋权都是图论的关键概念。
最小生成树、最短路径问题和网络流问题是图论中的一些经典问题。
组合数学组合数学关注有限或可数无限结构的组合性质，例如排列、组合和分区。
它涉及到计数原理，包括加法原理、乘法原理、容斥原理和波利亚定理等。
组合数学在概率论、统计学和算法设计中有广泛的应用。
结语离散数学结构为理解和处理数字世界中的离散现象提供了强有力的工具。
从集合论的基础到复杂的图论问题，离散数学的理论和方法对于解决实际问题至关重要。
通过学习离散数学，我们不仅能够深入理解数学的本质，还能够提高解决问题的能力，尤其是在科技迅速发展的今天。
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真值表 （P Q）
P T T F F Q T F下雨。
则：P Q：表示今天下雨当且仅当明天下雨。
真值表 （P Q）
P T T F F Q T F T F P Q T T T F
例：P：今天下雨。Q：明天下雨。
则：PQ：表示今天下雨或者明天下雨。
（4）条件（implication or conditional） 两个命题P和Q的条件是一 个复合命题，记作PQ。当且 仅当P的真值为T时，Q的真值 为F时，PQ 的真值为F，否 则PQ的真值都是T。
离散数学结构
离散数学结构
DISCRETE MATHEMATICAL STRUCTURES
杭州应用工程技术学院
计算机系
叶 绿
副教授
第一章 命 题 逻 辑 1-1 命题及其表示法
命题： 所谓目标语言就是 表达判断的一些语言的汇集， 而判断就是对事物有肯定或 否定的一种思维形式，因此 能表达判断的语言是陈述句， 它称作为命题。
（8） 我正在说谎。 （9） 我学英语，或者我学日语。 （10） 如果天气好，那么我去散步。 （11） The earth is round. （12） 2 + 3 = 5 （13） 3 – x = 5 （14） Take two aspirins. （15） The temperature on the surface of the planet Venus is 800F.The sun will come out tomorrow.
真值表 （PQ）
P T T F F Q T F T F PQ T F T T
例：P：今天下雨。Q：明天下雨。
则：PQ：表示如果今天下雨，那么明天下雨。
（5） 双条件( equivalence or biconditional ) 两个命题P和Q的双条件是 一个复合命题，记作P Q。当 且仅当P、Q真值相同时， P Q为T，在其它情况下， P Q的真值都是F。
1-2 联结词
(1) 否定 （negation）: 设P为一命题，P的否定 是一个新的命题，记作¬P。 若P为T，¬P为F；若P 为F，¬P为T。
(2) 合取 （conjunction） 两个命题P和Q的合取是一 个复合命题，记作PQ。当且 仅当P、Q同时为T时，PQ为 T，在其它情况下，PQ的真 值都是F。
真值： 一个命题，总是具 有一个“值”，称为真值。真 值只有“真”和“假”两种， 记作True（真）和False（假）， 分别用符号T和F表示。
原子命题：不能分解为更简 单的陈述语句，称作原子命题。
复合命题：由联结词，标点 符号和原子命题复合构成的命 题，称作复合命题。
Example 1. Which of the following are statements? （1）中国人民是伟大的。 （2）雪是黑的。 （3）1+101=110 （4）别的星球上有生物。 （5）全体立正！ （6）明天是否开大会？ （7）天气多好啊！
真值表 （PQ）
P T T F F Q T F T F PQ T F F F
例：P：今天下雨。Q：明天下雨。
则：PQ：表示今天下雨而且明天下雨。 PQ：表示今天与明天都下雨。 PQ：表示这两天都下雨。
(3) 析取 （disjunction） 两个命题P和Q的析取是一 个复合命题，记作PQ。当且 仅当P、Q同时为F时， PQ为 F ，在其它情况下， PQ的真 值都是T 。