浙教版九年级上册 《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结

《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”
2、与圆有关的概念
（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）
（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧
（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）
（5）点和圆的位置关系：
如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：
（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外
（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心
（7）三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运
动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：
1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；
2、找出关键点；
3、找出关键点的对应点；
4、作出新图形；
5、写出结论。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt△，再结合勾股定理求解.
推论：圆中两平行弦所夹的弧相等
选择题
1.如图，已知⊙O的直径AE=10 cm，∠B=∠EAC，则的长为（）
【A】5cm【B】5cm【C】5cm【D】6cm
【答案】B.
【解答】连接EC，由圆周角定理得，∠E=∠B，∠ACE=90º,
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∴CE=CA，
∴AC=AE=5cm，
故选B
2. 如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70º，则∠ADC的度数是（）
【A】70º【B】35º【C】45º【D】60º
【答案】B
【解答】∵A、B. C. D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB(垂径定理)，
∴∠ADC=∠AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半)；
又∠AOB=70º，
∴∠ADC=35º.
故选B.
3．在⊙O中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（）【A】2cm【B】3cm【C】cm【D】cm
【答案】A
【解答】解：过点O作OD⊥AB于思安D，连接OA，
∵AB=cm, OD⊥AB，
∴AD=AB=×cm,
在直角△AOD中，OA==2cm，
故选A
填空题
1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为_____．
【答案】90º
【解答】∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90º.
故答案为：90º.
2. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AB是直径，弦AC=6，CD平分∠ACB，BD=，则BC的长等于_____．
【答案】8
【解答】连接AD
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90º，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45º，
∴∠BAD=∠ABD=45，
∴AD=BD，
∵BD=
∴AB==10
∴BC==8
3. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是
cm．
【答案】1.5cm
【解答】连结OC,如图
设⊙O的半径为R，
∵AB⊥弦CD，
∴CE=DE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=R−1，
∵=+，
∴=+,解得R=2.5，
∴OE=2.5-1=1.5(cm).
故答案为1.5.
解答题
1.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E
（1）求证：OD∥AC
（2）若BC=8，DE=3，求⊙O的直径．
【答案】详见解答
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90º，
∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90º，
∴OD∥AC；
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE=CE=，由勾股定理得：=+，
解得：，
所以⊙O的直径为．
2.如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=90º，BD与AC的交点为E．
（1）求点O到BD的距离及∠OBD的度数；
（2）若DE=2BE，求COS∠OED的值和CD的长．
【答案】详见解答
【解答】（1）解：作OF⊥BD于点F，连接OD，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵为的直径，，
∴．
在中，∵，，，
∴，
即点到的距离等于1；
（2）解：∵，于点，
∴．
由，设，则，，，．
∵
∴，
在中，，∵
∴，，∴，∴，∴
∴。