浙教版九年级上册 《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
九年级上册数学书圆的知识点总结
九年级上册数学书中圆的知识点总结1. 圆的概念：圆是一个由曲线包围的形状，它由一个中心点（称为圆心）和到这个中心的固定距离（称为半径）的所有点组成。
这个形状可以看作是线段OA 绕着它的一个端点O旋转一周后，另一个端点A所形成的轨迹。
2. 圆心和半径：在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦长度相等，所对的弧长度相等，所对的弦的弦心距（即从圆心到弦的垂线段的长度）也相等。
这个规律是由于圆本身的性质决定的，它反映了圆的一个重要特性。
3. 弧、弦的关系：在同一个圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这个规律在证明一些几何定理时非常有用，它帮助我们理解圆中的角度和线段之间的关系。
4. 垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理是圆中一个重要的定理，它在证明一些与弦有关的定理时非常有用。
5. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理是圆中一个基本的定理，它帮助我们理解圆中的角的关系。
6. 切线：切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点称为切点。
切线在几何学中有着重要的应用，它可以用来证明一些关于圆的定理。
7. 切线定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
这个定理帮助我们判断哪些直线是圆的切线，以及如何找到圆的切线。
8. 三角形的外接圆与外心：任何一个三角形都有一个外接圆和外心。
外接圆的半径等于三角形外心的半径。
这个知识点帮助我们理解三角形的性质以及如何找到三角形的外接圆和外心。
9. 圆与正多边形：正多边形的各边长度都相等，各内角也相等。
这个知识点可以帮助我们理解正多边形的性质以及如何计算它们的面积和周长。
10. 反证法：在证明一个几何命题时，如果直接证明有困难，可以先假设命题不成立，然后推导出与已知事实或已证明的定理矛盾的结果，从而证明假设不成立，命题得证。
反证法是一种有效的证明方法，它在几何学中经常被使用。
九年级圆 知识点总结
九年级圆知识点总结在九年级数学学习中，圆作为一个重要的概念和知识点，被广泛涉及和应用。
本文将对九年级圆的相关知识进行总结和归纳，旨在提供一个全面而清晰的概述。
一、圆的基本性质1. 定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2. 要素：圆心、半径、直径、弧、弦、边界等。
3. 关键概念：- 圆心角：以圆心为顶点的两条射线所夹的角。
- 弧度制：用弧长和半径的比值来度量圆心角的单位制。
- 弧长：沿着圆周的一段弧的长度。
- 弦长：圆周上的两个点之间的弦的长度。
- 弦切线定理：若一条弦与一条切线相交，那么切线所对的弦长等于弧切分的弧长。
二、圆的计算公式1. 圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。
2. 圆的面积：A = πr²，其中r为半径。
三、圆与其他图形的关系1. 圆与直线的关系：- 点到圆的位置关系：在圆内、在圆上、在圆外。
- 切线与圆的关系：内切线、外切线、相切。
- 弦与圆的关系：一条弦平分圆，当且仅当它垂直于半径。
- 弧与圆的关系：圆周角、弦心角、相交弧、相等弧、截弧等。
2. 圆与三角形的关系：- 角平分线与圆的关系：三角形内接圆的圆心是角平分线的交点。
- 三角形内切圆的性质：内切圆与三角形的切点构成的线段相等、角度相等等。
- 外接圆与三角形的关系：外接圆的圆心是三角形外角的角平分线的交点。
三、实际问题中的圆1. 圆的应用：在现实生活中，圆的概念和性质常被用于解决与圆相关的问题，如圆的轨迹、钟表等。
2. 圆的建模：圆的模型可以应用于建筑、设计等领域，例如环形结构的承重分析、圆形花坛的设计等。
3. 圆的测量：利用测量工具可以测量圆的直径、半径、弧长等。
结语：通过对九年级圆的知识点总结，我们可以更好地理解圆的基本概念、性质与计算公式，并应用于实际问题中。
深入掌握圆的知识对于进一步学习几何学和解决实际问题都具有重要的意义。
注：文章中的内容不完全围绕九年级圆的知识点展开，因为题目描述没有提供具体的要求，请知悉。
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
浙教版九年级圆知识点
浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。
在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。
本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。
1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。
圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。
（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。
（3）半径垂直于弦，并且平分弦。
（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。
3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。
（1）圆心：圆的中心点。
（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。
（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。
（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。
（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。
4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。
（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。
通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。
圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。
通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。
在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。
九年级数学圆形知识点归纳
九年级数学圆形知识点归纳九年级数学学习中，我们接触到了许多有关圆形的知识。
本文将对这些知识进行归纳总结，以便更好地了解和掌握圆形的特性和运用。
一、圆的定义和性质圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点组成的图形，这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆的性质有以下几个要点：1. 圆上的任意点与圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是两个任意点在圆上连线的最长线段，它的长度是圆的半径的两倍。
3. 圆的弧是两个点在圆上连线所得到的曲线部分。
4. 圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对的弧所在圆周的度数。
二、圆的计算公式在解决圆的相关问题时，我们需要运用一些计算公式。
以下是常见的圆的计算公式：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积。
三、圆的相关定理1. 同圆弧所对的圆心角相等。
2. 等弧所对的圆心角相等。
3. 在同一个圆或等圆中，圆心角大的所对的弧也大，圆心角小的所对的弧也小。
4. 在同一个圆或等圆中，与同一弧相交的弦所对的圆心角相等。
四、切线和切点的性质1. 切线是与圆只有一个交点的直线。
2. 在切点处，切线垂直于半径。
3. 半径和切线之间的夹角是直角。
五、圆锥和圆柱体1. 圆锥是以一个圆为底面，上方以一个顶点为端点的三维图形。
2. 圆柱体是以一个圆为底面，上下底面平行且等大小的三维图形。
六、几何图形的应用在生活中，我们经常会遇到一些与圆相关的几何图形。
以下是一些常见的应用场景：1. 钟表：钟表的表盘就是一个圆形，指针所指的位置是圆上的点。
2. 气球：气球形状都是圆形，用圆的表面面积计算气球的充气量。
3. 轮胎：轮胎是车辆底盘的重要组成部分，轮胎的结构和运动都与圆形有关。
通过对九年级数学圆形知识点的归纳总结，我们对圆形的定义、性质、计算公式、相关定理，以及在几何图形应用中的实际场景有了更深入的理解。
浙教版九年级数学知识点
浙教版九年级数学知识点•相关推荐浙教版九年级数学知识点在学习中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
还在为没有系统的知识点而发愁吗？以下是小编收集整理的浙教版九年级数学知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
浙教版九年级数学知识点11、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的'距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。
)8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
10、圆的切线判定。
(1)d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
11、圆的切线的性质(补充)。
(1)经过切点的直径一定垂直于切线。
(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
(1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。
九年级数学圆的知识点总结
九年级数学圆的知识点总结数学作为一门重要的学科，每个学生在学习过程中都会接触到各种各样的概念和知识点。
在九年级的数学课程中，圆是一个十分重要的内容。
圆的知识点涉及到圆的基本性质、弧长、面积、切线等。
在本文中，将对这些知识点进行总结和归纳。
一、圆的基本性质圆是平面上的一个特殊几何图形，由所有离某一点相等距离的点组成。
圆的基本性质有：1. 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：圆的直径是通过圆心的一条线段，其两个端点在圆上。
直径是半径的2倍，即d=2r。
3. 弧长：圆上的一段弧，可以通过圆心的角来测量，用弧所对圆心角的度数（角度）来表示。
4. 弧度：圆上长为r的弧所对的圆心角的弧度数为1弧度。
二、弧长和扇形面积对于圆上的弧，我们经常需要计算其长度。
弧的长度等于弧所对圆心角的度数与半径的乘积。
换句话说，一个半径r对应的圆心角为360°时，弧长为2πr：弧长s = θ/360° × 2πr圆扇形是指圆心角小于360°的扇形区域，扇形面积的计算公式为扇形的圆心角度数θ与圆的面积πr²的乘积再除以360°：扇形面积A = θ/360° × πr²三、切线切线是指与圆相切且只与圆相交于一点的直线。
对于任意一个圆，其切线和半径的关系有以下几种情况：1. 切线和半径相垂直：当切线与半径相切的时候，切线和半径的交点与圆心连线相垂直。
2. 切线定理：切线与半径的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。
3. 外切线定理：若一条直线与一个圆外切，那么连接切点和圆心的线段垂直于这条直线。
四、圆的离心率圆的离心率是指由一个圆心O和两个焦点F1和F2一起组成的图形。
对于圆，其离心率值为0，即两个焦点完全重合。
圆是所有离心率值为0的曲线之一。
五、圆的作图在九年级数学课程中，我们需要掌握基本的圆的作图技巧。
常见的圆的作图有：1. 已知圆心和半径作圆。
九年级上数学圆知识点总结
九年级上数学圆知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，在九年级上学期，学生们学习了很多与圆相关的知识。
本文将从圆的定义、性质、公式等方面总结九年级上数学圆的知识点。
一、圆的定义与性质1. 圆的基本定义：圆是由平面内距离一定的一个点到这个平面内任意点的距离都相等的点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的直径：通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是半径的两倍。
4. 圆的弧：圆上的一段曲线被称为圆弧。
圆弧可以用角度或弧长来表示。
5. 圆的弦：圆上的一条线段，并且两个端点都在圆上，这条线段被叫做圆的弦。
6. 圆的切线：与圆仅有一个交点的直线，这条直线与圆相切。
7. 圆与角度的关系：圆的弧对应的圆心角是圆弧所对应的圆心角的一半。
二、圆的公式1. 圆的周长：圆的周长可以通过直径或半径来计算。
如果已知圆的直径D，那么圆的周长C等于π乘以直径值，即C = πD。
如果已知圆的半径r，则圆的周长C等于2π乘以半径值，即C = 2πr。
2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。
已知圆的半径r，则圆的面积A等于π乘以半径的平方，即A = πr²。
三、圆与其他几何图形的关系1. 圆与线段的关系：如果线段的两个端点都在圆上，那么这个线段是圆的弦。
2. 圆与直线的关系：如果直线与圆仅有一个交点，那么这条直线是圆的切线。
3. 圆与三角形的关系：圆内接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且三边均是切线。
圆外接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且圆的直径是三角形的一条边。
四、常见解题方法与技巧1. 圆的位置关系：通过观察圆与直线、线段、三角形之间的位置关系，可以运用相关的定理和性质进行解题。
2. 利用圆的对称性：圆具有轴对称性和中心对称性，可以利用这些对称性质进行解题。
3. 利用圆的比例关系：圆的周长和面积都与半径相关，可以通过比例关系进行运算和求解。
九年级上册圆知识点汇总
九年级上册圆知识点汇总在九年级上学期的数学课程中，圆是一个非常重要的知识点。
通过学习圆的性质和相关公式，我们可以更好地理解圆，解决与圆相关的问题。
下面将对九年级上册圆的知识点进行详细汇总。
一、圆的基本概念圆是由平面上与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
圆上的点称为圆上的点，确定圆的点称为圆心，圆心到圆上任意点的距离称为半径。
二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为圆的直径。
2. 圆的直径等于半径的两倍。
3. 圆的任意弧对应的圆心角是定值180°，即圆心角相等于属于同一圆弧的两个弧度的夹角。
4. 九年级上册还涉及到了圆与角的关系，包括圆周角和弧度制等内容。
三、圆的相关公式1. 圆的面积公式：S = πr²（其中S表示圆的面积，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14）2. 圆的周长公式：C = 2πr（其中C表示周长）3. 弧长公式：L = 2πr（其中L表示弧长，r表示半径）四、圆的相关问题解决方法根据九年级上册课程中关于圆的学习，我们可以应用所学的知识解决一些常见的与圆有关的问题。
1. 求圆的面积和周长：根据圆的面积和周长公式，我们可以根据给定的半径求解。
2. 求弧长和扇形面积：根据弧长公式和扇形面积公式，我们可以根据给定的圆心角、弦长或半径求解。
3. 求切线的长度和切点的坐标：通过利用圆的性质（如相切的圆与切线垂直）和相关公式（如勾股定理），我们可以求解与切线有关的问题。
五、习题解析在九年级上册的数学习题中，我们可以通过解析和理解圆的相关知识，更好地完成相关题目。
例如，对于一个给定的圆和一个与之相切的直线，可以利用切线与半径的性质求解所求的长度。
此外，还有一些有关弧的习题，例如求解给定圆弧对应的圆心角，或利用勾股定理求解弦长等。
六、圆的实际应用除了课本中的习题，圆的应用在生活中也是非常广泛的。
例如，在建筑工程中，我们经常会用到圆的概念和相关公式，如计算圆形池塘的面积和围墙的周长等。
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
九年级上数学圆知识点归纳总结
九年级上数学圆知识点归纳总结数学是一门与实际生活密切相关的学科，其中的圆是一个非常重要的概念。
在九年级上学期，我们学习了关于圆的各种性质和定理。
在本文中，我将对九年级上学期数学中的圆知识点进行归纳总结。
一、圆的定义和性质圆是由平面上到一个固定点的距离等于定值的点的集合。
圆的性质有：1. 圆的半径是任意两点间的距离。
2. 圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
3. 圆的弦是连接圆上两点的线段。
4. 圆的弧是连接圆上两点的一段。
二、圆的元素及关系1. 圆心：圆中心点的位置，通常用大写拉丁字母O表示。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
3. 直径：通过圆心的线段，两端点都在圆上，通常用小写字母d表示。
直径等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：圆上的一段曲线，通常以两个端点来表示。
6. 弧长：弧所对应的圆心角的度数的长度。
7. 圆周：圆的边界，也是一个圆的周长。
8. 弦的性质：等长的弦对应的圆心角相等；等长的弧所对应的圆心角相等。
三、弦长和弧长的计算公式1. 弦长公式：如果弦的两边对应的圆心角是θ度，半径为r，则弦的长度L等于2πr(θ/360°)。
2. 弧长公式：如果一个弧所对应的圆心角是θ度，半径为r，则弧长S等于2πr(θ/360°)。
四、切线和切点1. 切线：与圆相切于圆上某一点的直线。
切线与半径垂直。
2. 切点：切线和圆相切的点。
五、圆与角的关系1. 圆心角：以圆心为顶点的角，其两边是由圆弧所确定。
2. 弧度制与角度制的换算：弧度制：以半径等于1的圆为单位圆时所对应的圆心角的弧长。
角度制：一个圆的周长的360分之一。
弧度制和角度制的转换公式：θ(弧度制) = θ(角度制) * π/180°。
六、圆的相交关系1. 外切：两个圆只有一个公共切点。
2. 内切：一个圆完全位于另一个圆的内部，并且两个圆有唯一的公共切点。
九年级上册圆知识点最全
九年级上册圆知识点最全圆是几何学中的重要概念之一，其知识点在九年级上册学习中占据了很大的比重。
下面将全面介绍九年级上册关于圆的各个知识点，包括定义、性质、定理等内容，帮助学生更好地理解和掌握圆的相关知识。
1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是一个固定的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的符号表示圆常用一个字母加一个圆圈表示，例如圆O可以表示为⭕(O)。
3. 圆的性质(1) 在同一个平面上，圆内任意两点都与圆心的距离相等。
(2) 圆上所有的点与圆心的距离都相等。
(3) 圆的半径相等的两个圆是同心圆。
4. 圆的元素(1) 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
(2) 圆的半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
(3) 圆的直径：过圆心的两个相对点之间的距离，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
(4) 圆的弦：圆上的两个点之间的线段，通常用字母AB表示。
(5) 圆的弧：圆上两个点之间的部分，通常用字母AB表示。
弧也可以表示为一段曲线。
(6) 圆的切线：与圆相切且在切点处与圆相切的线段。
5. 圆的定理(1) 圆的四个组成部分：半径、直径、弦、弧。
(2) 在同一个圆中，半径相等，直径是两倍的半径。
(3) 在同一个圆中，位于原弦之间且两弦的端点相连的两个弧是相等的。
(4) 在同一个圆中，位于圆心角上的弧是原弦的两倍。
(5) 位于圆心角上的弧大于位于同一个圆上其他的弧。
(6) 圆与定点的直线相交，相交点到圆心的距离等于定点到圆心的距离。
6. 圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到生活的各个方面。
在建筑设计中，圆形的窗户、圆顶等都可以为建筑增添美感和独特性。
在数学科研中，圆的性质和定理被广泛应用于几何学的研究和解决问题。
此外，圆的概念也运用在电子、通信、机械等众多领域，为各种设备和技术的实现提供了基础。
以上是九年级上册关于圆的知识点的全面介绍，希望通过这篇文章的阅读，学生们能够更好地理解和掌握圆的相关知识，并能在学习和生活中灵活应用，进一步提升数学水平。
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理
（米）.在中，（米），（米）.筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米.
知识点2 垂径定理的逆定理 重点
内容
数学语言
图示
定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
敲黑板在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么可以推出其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简记为“知二推三”.
教材深挖（教材第78页作业题第6题结论）
文字语言
图示
数学语言
两条互相平行的弦所夹的弧相等.
，.
典例2如图，是的弦，是的中点，连结并延长交于点.若，，则的半径为__.
通常连半径构造直角三角形
[解析]如图，连结.
在中，，由勾股定理，得.,,，解得.
,AB=2,OC与AB垂直.
中考常考考点
难度
常考题型
内容
数学语言
图示
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
2.
也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段，常见情况如图：
3.相关概念
（1）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.如表中图，是的中点，是的中点.
（2）弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.如表中图，的长是弦的弦心距.
第3章 圆的基本性质
3.3 垂径定理
学习目标
1.探索并掌握垂径定理及其逆定理.
2.会运用垂径定理及其逆定理进行简单的计算和证明.
3.会利用垂径定理及其逆定理解决实际问题.
知识点1 垂径定理 重点
浙教版圆的基本性质知识点总结
浙教版圆的基本性质知识点总结圆的基本性质是几何学中的一项基础知识，对于圆的性质的理解和掌握在圆的相关题目的解答和应用中扮演着重要的角色。
下面将对浙教版圆的基本性质进行总结。
一、圆的定义与术语1.定义：平面上距离其中一点恒定的点的轨迹叫做圆。
2.直径：圆上任意两点之间的线段叫做圆的直径。
直径的两个端点叫做圆的端点。
3.弦：圆上两点之间的线段叫做圆的弦。
4.弧：圆上两点之间的部分叫做圆的弧。
圆上的弦所确定的弧叫做弦所对应的弧。
5.弧长：弧的长度叫做弧长。
弦所对应的弧长叫做弦长。
二、圆的性质1.圆的半径相等性质：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离叫做圆的半径。
2.圆的直径性质：直径是圆的一条特殊的弦，它通过圆心且分割圆成两个相等的半圆。
3.圆的弦性质：等长的弦所对应的弧长相等。
4.圆的弦长性质：相等的弦所对应的弧长相等。
5.圆心角性质：圆心角对应的弧长相等。
6.弧度与弧长的关系：单位圆上的弧长等于弧度。
三、圆内角与弧长关系1.圆心角的度数等于所对应的弧度。
2.锐角的圆心角小于90°，所对应的弧长小于四分之圆的周长。
3.直角的圆心角等于90°，所对应的弧长等于四分之圆的周长的四分之一4.钝角的圆心角大于90°，所对应的弧长大于四分之圆的周长。
四、圆的周长与面积1.周长：圆的周长等于圆周上的任意弧长。
2.面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π。
五、圆的切线性质1.点到圆的切线长度是点到圆心的半径长度的倍数。
2.切线与半径的关系：切线与半径垂直。
3.切线与圆心角的关系：切线与圆心角所对应的弦垂直。
六、两圆的位置关系1.外切圆：外切圆对应的半径、切点和切线垂直。
2.内切圆：内切圆对应的半径、切点和切线垂直。
3.相交圆：相交圆对应的半径、切点和切线不垂直。
总结：浙教版圆的基本性质主要涉及圆的定义与术语、圆的性质、圆内角与弧长关系、圆的周长与面积、圆的切线性质以及两圆的位置关系等方面。
九年级上圆的知识点总结
九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容之一，也是中考的必考知识点。
在九年级上册的数学学习中，我们对圆的相关知识有了较为深入的了解。
下面就让我们来一起总结一下九年级上圆的知识点。
一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的表示方法通常用“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。
3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
5、等圆和等弧能够完全重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r；（2）点在圆上⇔ d ＝ r；（3）点在圆内⇔ d ＜ r。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
初中数学九年级上圆的知识点
初中数学九年级上圆的知识点圆是初中数学九年级上的一个重要知识点，下面将从圆的定义、圆的性质、圆的相关定理以及圆的应用等方面进行论述。
一、圆的定义圆是平面上的重要几何图形之一，是由与一个定点距离相等的所有点构成的集合。
这个定点称为圆心，距离称为半径，用字母r表示。
圆通常用圆的轮廓线表示，在数学表达中用字母O表示。
二、圆的性质1. 圆的任意两点到圆心的距离相等。
这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都相等，即圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离。
直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的弦是圆上任意两点之间的线段。
弦不一定通过圆心，可以在圆内或圆外。
4. 圆上的切线垂直于半径。
切线是与圆相切的线，与圆的切点处的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 弧与角的关系圆上的弧对应的圆心角是两个端点在圆心所对应的角，它们的度数相等。
2. 弧长与圆周角的关系圆的弧长是圆心角所对应的弧所在圆的一部分的长度，弧长等于这个圆心角所对应的圆周角度数的比值。
3. 弦长与弦心角的关系弦上的弦长是弦心角所对应的弦所在圆的一部分的长度，弦长等于这个弦心角所对应的圆周角度数的比值的2倍。
4. 割线定理割线是两个切点之间的线段，割线上的两个切线段长度乘积等于这条割线与这两个切点之间的弦段长度乘积。
四、圆的应用1. 圆的测量圆的周长等于圆周上的任意一段弧长，即C=πd或C=2πr，其中d为直径，r为半径。
圆的面积等于圆内所包围的面积，即S=πr²。
2. 圆的位置关系两个圆之间的位置关系可以分为外切、内切、相交、相离四种情况，通过判断两个圆心的距离与两个圆的半径之间的关系可以确定两个圆的位置关系。
3. 圆的轴对称与旋转对称圆具有轴对称性和旋转对称性，利用这个特性可以解决一些与圆相关的问题。
综上所述，圆是初中数学九年级上的重要知识点，通过对圆的定义、性质、相关定理和应用进行论述，可以帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，提高数学学科的学习成绩。
九年级上册圆的知识点总结归纳
九年级上册圆的知识点总结归纳圆是我们数学学习中的重要概念之一，它在几何形状和代数运算中都有广泛的应用。
本文将对九年级上册涉及的圆的知识点进行总结和归纳。
一、圆的定义和基本性质圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
它的基本性质包括：1. 圆心和半径：圆心是固定点，用O表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
2. 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，且等于半径的两倍，用d表示。
3. 弦：在圆上任意取两点，这两点之间的线段叫做弦。
4. 弧：在圆上的两个点之间的部分叫做弧。
一个圆可以被弧所分成两部分，分别为小弧和大弧。
5. 弧长和弧度：弧长是指弧所对应的圆周的长度；弧度是指与弧等长的圆心角所对应的弧长占整个圆周长的比值。
二、圆的推导和计算1. 圆的周长和面积：- 周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14或3.1416。
- 面积公式：A = πr²。
2. 圆的弧长和扇形面积：- 弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中θ表示所对应的圆心角的度数。
- 扇形面积公式：S = πr²(θ/360°)。
3. 圆的切线和切点：- 切线：与圆只有一个交点的直线叫做切线。
- 切点：切线与圆的交点叫做切点。
4. 圆与直线的相交关系：- 直线与圆相交：直线与圆交于两个不同的点。
- 直线与圆外切：直线与圆只有一个切点。
- 直线与圆内切：直线与圆不相交，但可以通过一条切线与圆接触。
三、圆的证明和应用1. 圆的证明：- 证明两个圆相交：通过证明两个圆的半径和圆心距之间的关系，来判断它们是否相交。
- 证明两个圆相切：通过证明两个圆的半径和圆心距之间的关系，以及圆的切线与圆的位置关系，来判断它们是否相切。
2. 圆在几何形状中的应用：- 圆的切线性质可用于证明其他几何定理，如切线定理、切线与切线的性质等。
- 圆与三角形的关系：如内切圆、外接圆等。
- 圆与多边形的关系：如正多边形的内切圆、外接圆等。
九年级圆形知识点归纳
九年级圆形知识点归纳圆形是我们数学学科中的一个重要概念，它涉及到了很多重要的知识点。
在九年级学习阶段，圆形的相关知识点逐渐加深和拓展。
本文将对九年级圆形知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地学习和理解相关概念。
一、圆的基本概念圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
这个固定点叫做圆心，而确定这个距离的线段叫做半径。
圆上的任意一条线段，它的两个端点都在圆上，称为弦。
从圆心到弦的垂直线段叫做弦的垂直二分线，它经过弦的中点和圆心。
二、圆的性质1. 圆心角和弧度：圆心角是以圆心为顶点的角。
圆心角的大小等于它所对应的弧度的长度除以半径的长度。
弧度是圆周上的一段弧所对应的圆心角的大小。
1弧度的圆心角对应的弧长是半径的长度。
2. 弧长公式：弧长是沿圆周的一段弧的长度。
弧长公式是S =rθ，其中S是弧长，r是半径，θ是圆心角的大小（用弧度表示）。
3. 圆周角和弦的关系：圆周角是以圆上的两点和圆心为顶点的角。
圆周角等于所对应的弦所对应的圆心角的两倍。
4. 切线和法线：切线是与圆相切于一点并且与半径垂直的直线。
法线是与切线垂直的直线。
三、圆的性质应用1. 弧与弦的关系：当一个弦平分一个圆心角时，它也平分所对应的弧。
同样地，当一个弧中点与圆心相连时，它垂直平分所对应的弦。
2. 弦的性质：等长的弦所对应的圆心角相等，而较长的弦所对应的圆心角较大。
3. 相交弦的性质：当两条相交的弦在圆心处垂直相交时，它们彼此交换长度后的乘积相等。
4. 切线与切点的性质：切线和切点相切于圆上的一点。
切线与半径的垂直平分线相切于切点。
5. 切线与圆心角的关系：当切线与圆相交时，所对应的圆心角等于切线与切点之间的角。
四、圆的位置关系在平面几何中，圆与直线、圆与圆之间的位置关系也是非常重要的。
1. 圆与直线的位置关系：当直线与圆相交时，相交的点叫做圆与直线的交点。
当直线不存在交点时，我们称直线与圆相切。
当直线与圆没有交点且也不相切时，我们称它们为相离。
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《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”
2、与圆有关的概念
（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）
（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。
（3）等弧：能够互相重合的两段弧
（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）
（5）点和圆的位置关系：
如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：
（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外
（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心
（7）三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心到各顶点距离相等。
一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。
3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运
动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
旋转作图基本步骤：
1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；
2、找出关键点；
3、找出关键点的对应点；
4、作出新图形；
5、写出结论。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt△，再结合勾股定理求解.
推论：圆中两平行弦所夹的弧相等
选择题
1.如图，已知⊙O的直径AE=10 cm，∠B=∠EAC，则的长为（）
【A】5cm【B】5cm【C】5cm【D】6cm
【答案】B.
【解答】连接EC，由圆周角定理得，∠E=∠B，∠ACE=90º,
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∴CE=CA，
∴AC=AE=5cm，
故选B
2. 如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70º，则∠ADC的度数是（）
【A】70º【B】35º【C】45º【D】60º
【答案】B
【解答】∵A、B. C. D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB(垂径定理)，
∴∠ADC=∠AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半)；
又∠AOB=70º，
∴∠ADC=35º.
故选B.
3．在⊙O中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离为1cm，则⊙O的半径是（）【A】2cm【B】3cm【C】cm【D】cm
【答案】A
【解答】解：过点O作OD⊥AB于思安D，连接OA，
∵AB=cm, OD⊥AB，
∴AD=AB=×cm,
在直角△AOD中，OA==2cm，
故选A
填空题
1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转角为_____．
【答案】90º
【解答】∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90º.
故答案为：90º.
2. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AB是直径，弦AC=6，CD平分∠ACB，BD=，则BC的长等于_____．
【答案】8
【解答】连接AD
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90º，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45º，
∴∠BAD=∠ABD=45，
∴AD=BD，
∵BD=
∴AB==10
∴BC==8
3. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是
cm．
【答案】1.5cm
【解答】连结OC,如图
设⊙O的半径为R，
∵AB⊥弦CD，
∴CE=DE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=R−1，
∵=+，
∴=+,解得R=2.5，
∴OE=2.5-1=1.5(cm).
故答案为1.5.
解答题
1.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E
（1）求证：OD∥AC
（2）若BC=8，DE=3，求⊙O的直径．
【答案】详见解答
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90º，
∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90º，
∴OD∥AC；
（2）解：令⊙O的半径为r，
根据垂径定理可得：BE=CE=，由勾股定理得：=+，
解得：，
所以⊙O的直径为．
2.如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=90º，BD与AC的交点为E．
（1）求点O到BD的距离及∠OBD的度数；
（2）若DE=2BE，求COS∠OED的值和CD的长．
【答案】详见解答
【解答】（1）解：作OF⊥BD于点F，连接OD，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵为的直径，，
∴．
在中，∵，，，
∴，
即点到的距离等于1；
（2）解：∵，于点，
∴．
由，设，则，，，．
∵
∴，
在中，，∵
∴，，∴，∴，∴
∴。