3.3 垂径定理(1)

9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）

课题组

一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

2. 垂径定理解读：

（1）条件：“弦”可以是直径；

（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；

3. 垂径定理的三种语言：

文字语言 图形语言 几何语言

是直径（AB 过圆心）

二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）

1.回顾（补充）学习：

轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.

2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.

3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半

径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）

【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB

∠的正弦值．

一读：关键词：半径,弦.

二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.

重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.

三解：解： 过 圆心O 作 于M

;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A B

O M AB OM ⊥

在 中，

由勾股定理得： 在 中，

所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为

四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造

直角三角形解答.

四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）

1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与

CD 之间的距离.

核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:

圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.

答案：过点 作 于 ，则 于

连接 由垂径定理得,

在 中,

由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆

O 15

22=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF OD

OB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF

同理在 中,

两弦在圆心同侧时，两弦距离

两弦在圆心异侧时，两弦距离

2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．

核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，

由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，

答案： 连接 直径 弦

在 中，由勾股定理得：

cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2

226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC

7

22=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD

222OC CF OF =+

解得：

是 的中位线

132==∴BF DE CDE ∆CB

BE =CF

DF = 5.6=r FB ∴