3.3 垂径定理(1)
3.3数学垂径定理(1)
三、练中知
练习1：
三、练中知
练习2：
三、练中知 练习3、
三、练中知
例2：
三、练中知
练习1：
三、练中知 练习2、
三、练中知 练习3、
四、拓中悟：
如图：图中是一个下水道的横截面。 为了测量下水道的水深，先测得了水管的直径为10m, 然后又测得了水面的宽度为8m， 你能根据所提供的数据求得水深吗？
O A D C B
四、拓中悟：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
A
B
C O C D O
D
（1）
（2）
五、结中得：
1、垂径定理 牢记垂径定理使用时必须具备的 两个条件，一是直径，二是直径垂直 于弦。 2、垂径定理的应用 要明确在圆中解决有关弦及弧的 问题，垂径定理的作用非常大。
3.31垂 径 定 理(一）
一、启中入
已知⊙O中,M是弦AB的中点 L
(1）直线L⊥AB且过M,那么L 过圆心O吗?
(2)直线L⊥AB且过圆心O, 那么L过M吗?
·O M
(3)直线L过O、M,那么L⊥AB吗？ A
·
B
教学目标：
1、知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，能说出圆的对称轴 和对称中心。 2、能说出并会运用符号表示垂径定理，能分清垂径定理的题设和 结论。 3、会用垂径定理进行简单的计算和证明。 4、在运用定理的过程中通过对变式图形的认识提高学生的识图能力。
重点：垂径定理的运用 难点：垂径定理的证明
二、读中思
E A G O D
已知： ⊙o中，EF是直径， AD是弦，垂足为G
3.3 垂径定理 教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册
教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。
九(下)3.3.1 垂径定理(1)
§3.3.1 垂径定理（1）〖学习目标〗1.利用圆的轴对称性研究垂径定理（重点）；2.运用垂径定理解决相关问题（难点）．〖导学流程〗浅层加工【知识链接】1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？深度建构【情境引入】如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？【探究活动一】垂径定理如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．学海拾贝总结纠错文字语言：___________________________________________________________．（垂径定理） 数学语言：条件：如图，在⊙O 中，① CD 是直径，AB 是弦；② CD ⊥AB ．结论（等量关系）：_______________，_________________，____________________．【探究活动二】垂径定理的应用例1.如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )A ． 23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm即学即练1：已知⊙O 的半径为5，弦AB ∥CD ，AB ﹦6，CD ﹦8，则AB 和CD 之间的距离为____________．例2.如图，已知P 是⊙O 内一定点，AB ，CD 是过点P 的弦，AB ⊥OP ，CD 与OP 不垂直． 求证：AB <CD ．即学即练2：如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，E ，F 是⊙O 上两点（位于AB 同侧），且∠ACE ﹦∠ADF ﹦45°，AB ﹦8，求CE ﹢DF 的值．【融合应用】1. 完成“情境引入”2. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m ．3.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．自我提升一、总结反思：（1）你学到了什么知识？（2）你学到了哪些数学思想方法？（3）你的困惑？二、检测拓展1．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（）A．10 B．16 C．6 D．82．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F 分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是．3．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB＝6，求CD的长．。
专题3.3垂径定理(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
3.3-垂径定理-第1课时公开课
填一填 研一研 练一练
在 Rt△AEO 中，OE＝ OA2－AE2＝ 132－122＝5，在 Rt △CFO 中，OF＝ OC2－CF2＝ 132－52＝12，∴EF＝OF－OE ＝12－5＝7.
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填一填 研一研 练一练
(2)当圆心O在AB，CD之间时，如图(2)所示，过O作 OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，同样可得 OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.
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填一填 研一研 练一练
类型之二 垂径定理在实际生活中的应用 例3 “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的 一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”． 题目用现在的数学语言表达是：“如图3－3－9所 示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1 寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”
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填一填 研一研 练一练
填一填
【知识管理】 1．圆的轴对称性 圆是__轴__对__称__图__形___，每一条过圆心的直线都是圆的
___对__称__轴___． 注意：圆有无数条对称轴。
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2．垂径定理 定理：垂直于弦的直径___平__分____这条弦，并且 __平__分__弦__所__对__的__弧_____． 如图 3－3－1 所示，CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的 弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，则 EA＝EB，C︵A＝C︵B，D︵A ＝D︵B.
即半径 OA 是377m.
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填一填 研一研 练一练
练一练
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浙教版数学九年级上册_《垂径定理(1)》导学案1
3.3垂径定理(1)【自主卡】一、预学内容：九年级上册3.3垂径定理P76-78二、预学目标：1、经历探索垂径定理的过程；2、掌握垂径定理；3、会用垂径定理解决一些简单几何问题。
三、预学活动1、将图1沿着直径CD所在的直线对着，你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？弦AB与直径CD有何位置关系？点：线段：圆弧：垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且______弦所对的弧。
图1定理证明：如图1，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD，求证AE=BE,AC=BC,AD=BD。
几何语言: CD是⊙O的直径，AB⊥CD∴____________________________________________________________，叫做这条弧的中点。
2、阅读书本例一，用直尺和圆规作出⊙O的圆心O，并说说作法。
作法：3、一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm（如图）。
求截面圆中弦AB的长。
思考：①半径OD与弦AB有怎样的位置关系？②什么叫做弦心距？③弦心距、半径与弦AB的半径满足怎样的数量关系？【合作交流】点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦。
【测评卡】1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜52．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．23．如图，AB是⊙O的弦，已知∠OAB=30°，AB=4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．4．小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（）A．4m B．5m C．6m D．7m5、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．6、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．7、如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5．求AB的长度．8、如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．9、如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．（1）求此圆形门洞的半径；（2）求要打掉墙体的面积．。
3.3垂径定理(1)
D
直径CD⊥AB
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言
∵CD为直径，CD⊥AB
C ⌒ A
O
E
D
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
⌒
⌒
⌒
B
（ 弧的中点.如上图中，C是AB的中点，D是ADB
（
的中点.
分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条
Hale Waihona Puke 已知：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 如线段OC的长度称为弦AB的弦心距.
1. ⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距 为3cm，则⊙O的半径为（ ） A、4cm B、5cm C、8cm D、10cm 2. 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D， 已知⊙O的半径为2，AB=3，求DC的长.
3. 一个底部呈球形的烧瓶， 球的半径为5cm，瓶内液体 的最大深度CD=2cm（如 A 图），求截面圆中弦AB的长.
OA⊥CD于点P，求证：BC=BD.
C
( (
P
A
D
O
B
⌒ 已知AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
A
B
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
m
F
E G
n
A
B
D
∴点E、F、G就是所求的四等分点
求弧AB的四等分点． 错在哪里？
Ｅ
C Ｍ G Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
O
4. 如上图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC （1）求∠C的度数 （2）若⊙O的半径为r，求弦AB的长
└
3.3垂径定理(1)学案
3.2圆的轴对称(1)学案一、探索研讨 【活动1】在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠.你发现了什么? 我们发现: 【活动2】1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂直的弦AB ，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 归纳：①EA = ②AC = ；AD = 我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：______________________________________________________． 垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ ， 【活动3】例1：已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点)【活动4】例2:一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．二、巩固练习1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A ．一条B 两条C ．一条D ．无数条 2. 下列说法正确的是（ ）A. 直径是圆的对称轴B. 经过圆心的直线是圆的对称轴OACBC. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴3. 如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E (如图)，那么下面结论中错误的是（ ）A. CE ＝DEB. BC BD =C. ∠BAC ＝∠BADD. AC ＞AD到4.如图，O 的直径为26cm ，弦AB 长为24cm ，则点OAB 的距离OP 为三、当堂检测1、⊙O 的弦AB 长为8cm ，弦AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为（ ） （A ）4cm （B ）5cm （C ）8cm （D ）10cm2、如图，在⊙O 中，半径OC AB ⊥于点D 。
已知⊙O 的半径为2，AB =3，求DC 的长（精确到0.01）。
3.3 垂径定理(一)
3.3 垂径定理（一）
1.如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，C 是半圆上的一点，连结AC ，过点O 作OE ⊥AC 交AC ︵于
点E ，交弦AC 于点D.若AC ＝8 cm ，DE ＝2 cm ，则OD 的长为 cm. 2.如图，该桥可近似地看成是圆弧形，若桥跨度AB 约为40 m ，主拱高CD 约为10 m ，则桥弧AB 所在圆的半径约为__________.
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
3.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
4.如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( )
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
5.如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，5个单位长为半径画圆，AB 是⊙O 的弦，点A 刚好在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，过点O 作OM ⊥AB 于点M .若AB ＝6，则点M 的坐标为( )
A. (3.2，2)
B. (4.8，2)
C. (4.8，2.4)
D. (3.2，2.4)
6.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M (0，－4)，N (0，－10)，
函数y ＝k x (x <0)的图象过点P ，则k 的值为________ .
7.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长.。
垂径定理（1）（学案）
3.3 垂径定理(1)学习目标1．经历探索垂径定理的过程．2．探索并掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧(垂径定理)．3．会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．学习过程结论在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？结论在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？垂径定理基本图形定理的几何语言如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DEC．OE＝BE D．︵BD＝︵BC例1已知︵AB，用直尺和圆规作这条弧的中点．求弧AB的四等分点．如图，M为⊙O内的一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M．并且使AM＝BM．你能画过点M最长的弦呢？你还能画过点M最短的弦呢？例2 如图，一条排水管的截面．已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16．求截面圆心O到水面的距离OC．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．如图，CD 为圆O 的直径，弦AB 交CD 于E ，∠CEB ＝30°，DE ＝9㎝，CE ＝3㎝，求弦AB 的长．小结拓展题1、过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ） A ．3 B ．6cm C ．√41 cm D ．9cm2、如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜53、已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB ＝12，CD ＝16，则AB 和CD 的距离为_________________．4、已知⊙O 的半径为13cm ，圆心O 到弦AB 的弦心距为5cm ，求弦AB 的长．5、在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算： (1)点O 与AB 的距离； (2)∠AOB 的度数． OE DC BA MOBA作业题1．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．2．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知⊙O的半径为2，AB＝3．求DC的长(精确到0.01)．3．过已知⊙O内一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．(1)求∠C的度数．(2)若⊙O的半径为r，求弦AB的长．5．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm(如图)．求截面圆中弦AB 的长．6．点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦．。
3.3垂径定理.3 垂径定理1
A D E B C
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
创设情境,引入新课
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是 有几条对称轴？ ３ （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的 对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
叫做这条弧的中点.
E B
O
例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点.
⌒
⌒
C
A D
O A D E B
【最新浙教版精选】浙教初中数学九上《3.3 垂径定理》word教案 (1).doc
3.3垂径定理 教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC，AD=BD ． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？（课内练习1） 注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）． AB C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A⌒ ⌒ ⌒ ⌒然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ． 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB 的垂直平分线 CD ， 交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一： 求弧AB 的四等分点．思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB 的垂直平分线CD2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8，在Rt △OCB中，68102222=-=-=BC OB OC ∴圆心O 到水面的距离OC 为6．例3 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．思路：作OM ⊥AB ，垂足为M ， ∴CM=DM∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．⌒ ⌒ ⌒ ⌒O A B C ⌒ ⌒ ⌒答案：242．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC答案：C3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm答案：A注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<5答案：A5． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ． 答案：2或24 注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．6．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长． 思路：由垂径定理可得M 、N 分别是AB 、AC 的中点，所以MN=21BC=2． 六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．七、布置作业， 巩固新知P75作业题1~6，第7题选做．⌒ ⌒。
《3.3垂径定理(选学)》作业设计方案-初中数学浙教版12九年级上册
《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《垂径定理》的学习，使学生能够理解并掌握垂径定理的基本内容及其在几何问题中的应用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，为后续的几何学习打下坚实的基础。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕垂径定理展开，具体包括以下几个方面：1. 基础练习：让学生通过大量基础题目练习，加深对垂径定理的理解和记忆。
包括判断垂线、计算垂线段等基础题型的练习。
2. 理论应用：通过实际问题，让学生应用垂径定理解决几何问题。
如利用垂径定理求圆上两点的距离等。
3. 探究拓展：鼓励学生进行自主探究，通过小组讨论或个人思考，寻找垂径定理在其他几何问题中的应用，如与直角三角形、圆的其他性质等相结合的问题。
三、作业要求1. 完成基础练习部分，要求准确无误地完成每一道题目，理解并掌握垂径定理的基本内容。
2. 在理论应用部分，要求学生能够运用所学知识解决实际问题，并能够清晰地表达解题思路和步骤。
3. 在探究拓展部分，鼓励学生积极思考、主动探索，尝试将垂径定理与其他几何知识相结合，寻找新的应用场景。
4. 作业要求清晰、层次分明，既有基础知识巩固又有能力提升拓展。
作业量适中，不宜过多或过少，以保证学生能够认真完成。
四、作业评价教师将根据学生的作业完成情况进行评价，主要包括以下几个方面：1. 基础练习部分的正确率，以检验学生对垂径定理的理解和记忆情况。
2. 理论应用部分的解题思路和步骤，以评价学生的问题解决能力和表达能力。
3. 探究拓展部分的创新性和深度，以激发学生的探索精神和创新能力。
五、作业反馈教师将根据学生的作业完成情况给予及时的反馈和指导，具体包括：1. 对基础练习部分的错误进行纠正和指导，帮助学生巩固基础知识。
2. 对理论应用部分的解题思路和步骤进行点评和指导，帮助学生提高问题解决能力。
3. 对探究拓展部分的创新性和深度进行肯定和鼓励，激发学生的探索精神。
同时，教师还将根据学生的整体完成情况和作业质量，进行针对性的教学调整和优化，以更好地满足学生的学习需求。
九年级数学上册垂径定理课件(浙教版)
AEB O·
3. 如图，⊙O直径为10，弦AB的长为8，点P在AB
上运动. 则OP的取值范围是____3_≤_O__P_≤__5______.
O· AP B
•4. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，
AB=10，求直径CD的长.
A
解：连接OA.
∵ CD是直径，OE⊥AB， C E O·
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合,
∴A⌒A⌒CC和＝B⌒BC⌒C重，合A⌒，D⌒ A＝D和B⌒DB⌒.D重合.
归纳总结
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径， 提示：
C
A M└
B
CD⊥AB， ∴AM ＝ BM，
垂径定理是圆中一个 重要的结论，三种情 势要相互转化，形成
则下列结论中不成立的是（ C ）
A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE
C. OE=AE
⌒⌒
D. BD=BC
A
C
D
E
O·
B
•2. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, OE=6cm, 则AB= cm.
解：连接OA. ∵ OE⊥AB, ∴∠OEA=90°. ∴ AE OA2 OE2 102 62 8cm.
●O
条件
结论
D
由①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM＝BM， ④A⌒C＝B⌒C，
⑤A⌒D＝B⌒D.
垂径定理
如图,小明的理由是：
连接OA,OB, 则OA＝OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA＝OB，OM＝OM， A M└
3.3 垂径定理 (1)(冯)
3.3 垂径定理（1）课型： 新授课 主备人:冯承光 审核人：班级 姓名学习目标1．经历圆的轴对称性；探索垂径定理的过程2．掌握垂径定理．学习过程一、探索圆的轴对称性1．用什么方法可以验证圆是一个轴对称图形？2．圆的对称轴是 ，有 条．二、探索垂径定理3．依照P76的“合作学习”进行操作，然后回答：（1） 叫做相等的圆弧；（2）相等的圆弧是 、 ．（3） 叫做这条弧的中点； （4）在上图中， 是弧CD 的中点，B 是 的中点．4．(1)垂径定理的内容是：(2)垂径定理判断题①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（ ）②弦的垂线必经过圆心。
（ ）③垂直与弦的直径平分弦。
（ ）5．用数学语言表示“垂径定理”：CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ， ．6．请证明垂径定理中的EA ＝EB ．已知： ， ． 求证：EA ＝EB ．证明：三、理解例题7．（模仿P77的例1）已知AB ⌒，用直尺和圆规求这条弧的中点． （保留作图痕迹，不写作法）．8．已知AB⌒，用直尺和圆规求这条弧的四等分点．B（保留作图痕迹，不写作法）．9．（模仿P77的例2）如图，在半径为5的⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为M ，若OM ＝3，求CD 的长．四、弦心距10． 到 距离．．叫做弦心距． 11．请在下面图中分别画出弦AB 、CD 的弦心距OM 、ON ．12．在上图中，若AB ＝CD ， 则OM 与ON 的大小有什么关系？跟踪练习：⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O 到弦AB 的距离是 ；⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝,那么弦AB 的长是 ； ⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 .五、总结13．找出垂径定理和等腰三角形三线合一的相同点（1）两者都是轴对称图形；（2）垂径定理：由 弦的直径得到 弦，并且 弦所对的弧；等腰三角形：由底边上的高可以得到平分底边，并且平分顶角．（3）画半径或画弦心距，构造 三角形，用勾股定理计算．。
垂径定理(1)课件
4.如图所示，是一个单心圆形隧道的截面，若路面AB宽为
10 m，高CD为7 m，则此隧道单心圆的半径OA是(
A．5 m
B.377 m
B)
C.357 m
D．7 m
．O
C．3<OM<5
D．4<OM<5
AM
B
3.已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，
CD＝10 cm，则两弦AB，CD的距离是
( D)
A．7 cm
B．17 cm
C．12 cm
D．7 cm或17 cm
【解析】(1)当圆心 O 在 AB，CD 同一侧时，如图(1)所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，延长交 CD 于 F，连结 OC，OA，∵AB∥CD， ∴OF ⊥CD.
C
O A EB
D
是
不是，因为 没有垂直
是
不是，因为CD
没有过圆心
垂径定理的几个基本图形
C
A
DB
O
O
O
A
E BA
DB
D
C
Cபைடு நூலகம்
C
A
B
D
O
O
A
C
B
新知讲解
典例精讲
例1、已知⌒AB如图，用直尺和圆规作这条弧的中点.
分析:要平分⌒AB,只要画垂直于弦AB的直径.而
这条直径应在弦AB的垂直平分线上.
A
作法:
1. 连结AB;
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
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9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）
课题组
一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；
2. 垂径定理解读：
（1）条件：“弦”可以是直径；
（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；
3. 垂径定理的三种语言：
文字语言 图形语言 几何语言
是直径（AB 过圆心）
二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）
1.回顾（补充）学习：
轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半
径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）
【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB
∠的正弦值．
一读：关键词：半径,弦.
二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.
重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
三解：解： 过 圆心O 作 于M
;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A B
O M AB OM ⊥
在 中，
由勾股定理得： 在 中，
所以，点 到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为
四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造
直角三角形解答.
四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）
1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与
CD 之间的距离.
核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:
圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.
答案：过点 作 于 ，则 于
连接 由垂径定理得,
在 中,
由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆
O 15
22=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF OD
OB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF
同理在 中,
两弦在圆心同侧时，两弦距离
两弦在圆心异侧时，两弦距离
2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．
核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，
由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用 勾股解答求出r ，从而求出 值，由三角形中位线得，
答案： 连接 直径 弦
在 中，由勾股定理得：
cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2
226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC
7
22=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD
222OC CF OF =+
解得：
是 的中位线
132==∴BF DE CDE ∆CB
BE =CF
DF = 5.6=r FB ∴。