大学物理相对论练习题

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解：固定在此星上的参照系测得的闪光 周期为固有时间τ 0 时间Δ t =5既包括地球上测得的闪光周期 τ ,还包括光信号传递的时间vτ /c ，即： Δt v τ τ = v Δ t= c + τ (1 + c ) 2 2 Δt v v τ 0= τ 1 c2 = v 1 c2 (1 + c ) 5 2 5 = 1 0.8 = 1+0.8 3 在此星上测得的闪光周期为5/3昼夜 结束 目录
天 航 国 中 天 航 国 中
飞船A在K′系中的速度为
8 2.0×108 u v 2.5 × 10 x u´ x = v ux = 8×2.0×108 2.5 × 10 1 c2 1 9.0×1016 8 m/s 1.125 × 10 =
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5-10 二只宇宙飞船相对某遥远的恒星以 0.8c 的速率向相反方向移开。试用速度变换 法则证明，二飞船的相对速度是1.6c/1.64， 并与们利略变换所得的结果进行比较。
天 航 国 中 天 航 国 中
飞船B 在K′系中的速度为
8 2.5×108 u v 2.0 × 10 x u´ x = v ux = 8×2.5×108 2.0 × 10 1 c2 1 9.0×1016 8 m/s 1.125 × 10 =
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(2) 设地球为K系，飞船B为K′系。由 已知条件可知K′系相对K系是速度为 v = 2.0×108 m/s K′ v 飞船A 在K系中的速度为 x B u´ K u 8 ux = 2.5×10 m/s x A
2 5 τ 0 ª 可得： v = ª c 1 ( c ) = 3 Δ t´
v t 3 5 Δ x Δ c ×2) (0 Δ x ´= = 2 2 3 v 1 c2 8m 6.71 × 10 = 所以在K′系测得两事件发生的空间间隔为： 6.71×108 m 结束 目录
ª ª ª
5-8 π+介于是一不稳定粒于，平均寿命 是2.6×l0-8 s（在它自己参考系中测得）． （1）如果此粒于相对于实验室以0.8c的速 度运动，那么实验室坐标系中测量的π+介子 寿命为多长？ （2）π+介于在衰变前运动了多长距离？
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解： (1)按〇相对论〈计算 当电子的速度为v1=1.0×106 m/s时的动能 E k1 = m 1c 2 m 0c 2 = 1 =( 1 v2 c2 =
1 1 2 1 ( ) 300
m 0c 2
1 v2 c2
m 0c 2
1 )m 0c 2
1 ×0.511×106×1.602×10-19
2 2 2
1 v2 c2
2
E q tc v = 2 2 2 2 2 m 0 c +E q t Eq tc v= 2 2 2 2 2 m 0 c +E q t 若不考虑相对论效应 Eq t v= m Eq t = m 0v 0
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5-16 设电子的速度为 (1)1.0×106 m/s; (2) 2.0×108m/s,试计算电子的动能各是多 少？如用经典力学公式计算电子动能又各为 多少？
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解：设观测者为K系，原子核为K′系。
电子在K′系中的速度为： u´ x = 0.8c K′系相对K系是速度为：
v = 0.5c
电子在K 系中的速度为：
u ´ 0.8 c 0.5 c x+ v + 0.93c ux = v u = = ´ 1+ 0.8× 0.5 1+ c 2 x 根据光速不便原理，光子的速度为 c 。
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5-9 地球上一观察者，看见一飞船A以速 度2.5×l03 m／s从他身边飞过，另一飞船B 以速度2.0×l08m／s 跟随A飞行。求： （1）A上的乘客看到B的相对速度； （2）B上的乘客看到A的相对速度。
A
天 航 国 中
B
天 航 国 中
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解：(1)设地球为K系，飞船A为K′系。由 已知条件可知K′系相对K系是速度为 v = 2.5×108 m/s B K′ v 飞船B 在K系中的速度为 ux K ux = 2.0×108 m/s A
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解：设 K′系相对于K 系以速度v 沿x 轴正 向运动,K系中观测到两事件同时发生Δt =0， 空间间隔Δx =1m；K′系中观测到这两事 件发生的时间间隔为Δt′，空间间隔Δx′ =2m。 v t Δ x Δ Δ x ´= 2 v 1 c2 Δt =0 解得： v= 3 c 2 2 1 Δx v = 1 2 = 2 c Δ x´
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(2) 设恒星为K系，飞船A为K′系。由已知 条件可知K′系相对K系是速度为： v = 0.8c 飞船B 在K系中的速度为： ux = 0.8c 飞船B在K′系中的速度为： ux v 0.8 c 0.8 c u´ x = v ux = 1+ ( 0.8c )2 c 2 = 1 c2 0.98c
5-7 在K系中观察到的两事件发生在空间 同一地点，第二事件发生在第一事件以后2s。 在另一相对K系运动的K′系中观察到第二事 件是在第一事件3s之后发生的，求在K′系 中测量两事件之间的位置距离。
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解：由已知条件 Δ x = 0 τ 0 =Δ t = 2s Δ t´= 3s τ 0 ´ t Δ 由时间膨胀公式： = 2 v 1 c2
H0 3.84 ×108 Δ t= v = = 4.27s 8 0.3×3.0×10 在飞船上测量，地球到月球的距离H为
2 2 2 v H = H 0 1 c 2 = 3.84×10 1-0.3 = 3.67×108m
在飞船上测量，飞船的旅行时间为：
8 H 3.67 × 10 Δ t′ = v = = 4.08s 8 0.3×3.0×10
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5-12 一光源在K′坐标系的原点0 ″ 发出一光线。光线在 x′y′平面内与x′ 轴的交角为θ′。设 K′相对K以速度 u 沿 x 轴运动。试求在 K 坐标中看到这 光线的传播方向。
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解：设该一光线在K系 x 轴的交角为θ。 光子在K′系中的速度为： u´ uy u´ ´ = c sinq ´ x = c cosq ´ z =0 在K 系中观察 u v ´ ´ c cos q x +v + ux = v = u v ´ u ´ x x 1+ c 2 1+ c 2 u´ y c sinq ´ 1 v 2 c 2 uy = = v u v u´ ´ x g (1+ 2 x ) 1+ c 2 c 2 2 u y sin ´ c v c 1 q tg q = ux = c cosq ´+ v 结束 目录
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解：设K′系相对K系以速度 v 沿x 轴正向运 动，由洛仑兹坐标变换 x ´= x v t 2 v 2 2 2 1 c2 x´ + y´ = a 代入式 y´ = z z´= 0 z´ = z 2 2 2 2 2 x vt y ( ) x v t y a + = 1 + = 2 2 v 2 a v 1 c2 a 1 c2 在K系中的观察者测得该质点作椭圆运 动，椭圆的中心以速度v 移动。
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v t Δ Δt 2 c Δ t ´= = 2 (0 2 v 1 c2 -8s 0.577 × 10 = ´
3 c ×1) 2 c2
所以在K′系中观测两事件相隔0.577×10-8s
发生。若K′系相对于K系沿 x 轴负向运动， 则 v = 3c ,Δt′= 0.577×10-8 s 2
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5-2 一观察者测得运动着的米尺长0.5m， 问此尺以多大的速度接近观察者？
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解：由长度收缩公式：
l = l0
2 2 v 1 c2
2 l 1 0.5 = 0.08c v =c 1 2 =c l0
8 m/s 2.6 × 10 =
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5-3 一张宣传画5m见方，平行地贴于铁 路旁边的墙上，一高速列车以 2×108m/s 速度接近此宣传画，这张画由司机测量将成 为什么样子？
5-5 假设宇宙飞船从地球射出，沿直线 到达月球，距离是3.84×108m，它的速率 在地球上被量得为0.30c。根据地球上的时 钟，这次旅行花多长时间？根据宇宙飞船所 做的测量，地球和月球的距离是多少？怎样 根据这个算得的距离，求出宇宙飞船上时钟 所读出的旅行时间？
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解：设地球至月球的距离为H0,飞船的速度为v,地 球上的观察者测得飞船从地球到月球的时间为Δt
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5-15 设有一静止质量为 m0 、带电荷量 为 q 的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中 加速，在时刻 t 时它所获得的速度是多少？ 如果不考虑相对论效应，它的速度又是多少？ 这两个速度间有什么关系？讨论之。
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解：
Eq t = m v = E q t =
2 2 2 2
m 0v 1 v2 c2 2 m2 v 0
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解：由长度收缩公式：
2 2 v 2 l = l 0 1 c 2 = 5 1 ( ) = 3.7m 3 h = l0= 5
画面的尺寸为 5×3.7 m2
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5-4 远方的一颗星以0.8c的速度离开我 们，接受到它辐射出来的闪光按 5昼夜的周 期变化，求固定在此星上的参考系测得的闪 光周期。
相对论 基础
爱因斯坦
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相对论习题
5-1 5-7 5-2 5-8 5-3 5-9 5-4 5-10 5-5 5-11 5-6 5-12
5-13
5-19
5-14
5-20
5-15
5-21
5-16
5-22源自文库
5-17
5-23
5-18
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5-1 一个质点，在惯性系K′中作匀速圆 周运动，轨道方程为： x´2+ y´2 = a 2 z´= 0 试证：在惯性系K中的观察者测得该质 点作椭圆运动，椭圆的中心以速度u 移动。
= 4.55×10-19 J
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当电子的速度为v2=1.0×108 m/s时的动能 E k2 = m 2c 2 m 0c 2 = 1 =( 1 v2 c2 =
1 1 ( 2.0 )2 3.0
m 0c 2
1 v2 c2
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解：由已知条件可得π+介子衰变的固有 时间为： τ 0 = 2.6×10-8 s
(1)在实验室中观测到π+介子的寿命为： -8 2.6 × 10 τ -8 s 0 4.33 × 10 Δ t= = = 2 2 v 1 0.8 1 c2 (2)在实验室坐标系中观测到π+介子的飞 行距离为： L = vΔ t = 0.8×3.0×108×4.33×108 =10.4m
5-13 如一观察者测出电子质量为2m。， 问电子速度为多少？（m。为电子的静止质 量）
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解：
2m 0 = m0 1 v2 c2
1 1 v2 c2 = 2 3 v = c = 0.866 c 2
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5-14 某人测得一静止棒长为人质量为m， 于是求得此棒线密度为ρ=m/l 。假定此棒 以速度 v 在棒长方向上运动，此人再测棒的 线密度应为多少，若棒在垂直长度方向上运 动，它的线密度又为多少？
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l = l´ 1 v2 c2 m m´= 1 v2 c2 m ρ ´= ´ l´ ρ m 解得： ρ ´= = 1 v2 c2 l (1 v 2 c 2 )
解：(1)
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(2)
l = l´ m m´= 1 v2 c2 m ρ ´= ´ l´
解得：
ρ m ρ ´= = l 1 v2 c2 1 v2 c2
而根据咖利略速度变换 v = 0.8c 0.8c = 1.6c > c u´ x = ux
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5-11 一原子核以0.5c 的速度离开一观察 者而运动。原子核在它运动方向上向前发射 一电子，该电子相对于核有0.8c 的速度；此 原子核又向后发射了一光子指向观察者。对 静止观察者来讲， （1）电子具有多大的速度； （2）光子具有多大的速度。
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飞船的飞行时间也可以这样求得：对于飞船 上的观察者来说，从地球出发及到达月球这两事 件都发生在飞船上，他所测得的时间为固有时间 τ0由时间膨胀公式可得:
τ
0
2 v 2 = Δ t 1 c 2 = 4.27 1 0.3 = 4.08s
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5-6 在K系中观察到两个事件同时发生在 x 轴上，其间距离是1m，在K′系中观察这 两个事件之间的空间距离是2m，求在K′系 中这两个事件的时间间隔。