高中数学《必修3》算法初步-算法与程序框图
最新人教版高中数学必修3第一章《算法与程序框图》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、算法的含义1.算法的定义广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,所以我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法,等等.在数学中,现代意义上的算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列.2.算法的要求我们现在学习的算法不同于求解一个具体问题的方法,它有如下要求:(1)写出的算法可适用于一类问题,并且再遇到类似问题时能够重复使用;(2)算法过程要做到能一步一步地执行,每一步执行的操作,必须确切,不能含混不清,且在有限步后必须得到问题的结果.辨析比较算法与数学问题的解法既有联系又有区别.(1)联系:算法与解法是一般与特殊的关系,也是抽象与具体的关系.譬如,教材先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发,归纳出了二元一次方程组的求解步骤;并且指出,这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组,这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法;(2)区别:算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称,也可理解为数学中的“通法通解”;而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤,是具体的解题过程.二、算法的特征及设计要求1.算法的特征对于某一个问题,找到解决它的某种算法是指使用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题,其中的每条规则必须是明确定义的、可行的,不能含糊其辞、模棱两可,同时应对所有的初始数据(而不仅是指对某些特殊数值)有效.算法从初始步骤开始每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,从而组成一个步骤序列,这个序列必须是有限的,序列的终止表示问题得到解决或指出问题没有解答.我们过去学习过的许多数学公式都是算法,加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法.算法可以概括出以下几个特点:(1)概括性:写出的算法必须能解决这一类问题,并能重复使用.例如课本中关于二元一次方程组的求解问题,也适用于其他二元一次方程组的解法.(2)逻辑性:也就是算法应具有正确性和顺序性.算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,前一步是后一步的基础,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都有确切的含义,从而组成了一个具有很强逻辑性的序列.(3)有穷性:算法的步骤序列是有限的.一个算法对任何合法的输入值必须总是在执行有穷步之后结束,且每一步都可在有穷时间内完成.(4)不唯一性:求解某个问题的算法不是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法,如课本关于二元一次方程组的求解问题可以用公式法,也可以用高斯消去法.(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,例如心算、手算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤去加以解决,同样一个工作计划、教学计划、生产流程都可以称为“算法”.辨析比较课本上有两种表示算法的语言:自然语言和算法语言.对于这两种算法,用自然语言叙述的算法便于理解,但比较冗长,而且操作性不是十分明朗;用数学语言描述的算法十分简洁,而且清晰,操作性强,但较抽象.2.算法的设计要求首先我们要知道,通常算法并不给出精确的解,而是说明如何得到解.算法由一系列加减乘除等运算以及顺序、判断、循环的操作指令完成.研究算法只是将研究解决一类问题的方法分解成一些合理的操作步骤.这些操作步骤必须明确有效并且能在有限步内完成.如何设计一个算法呢?首先应该从头到尾将这个问题解决的思路,以及各种可能出现的情况都想到,并且进行抽象概括.然后对过程进行细分,把每一个操作概括为一个简洁的算法语句,最后将算法一步步地写出来.一般情况下,一个问题对应很多不同的算法,我们在实际应用中可以选择一个效率最高的算法.算法设计的要求:(1)写出的算法必须能解决一类问题(如判断一个任意整数n是否为质数,求任意一个函数式的近似解等),并且能重复使用.(2)要使算法尽量简单,步骤尽量少,算法从初始步骤开始,每一个步骤只能有一个后继步骤,从而组成一个步骤序列,序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有答案.(3)算法过程要能一步一步执行,每一步执行的操作,必须确切不能含糊不清,而且在有限步后能得出结果.(4)尽量地从步骤和思想上优化算法,使得算法效率最高.深化升华(1)算法实际上就是解决问题的一种程式化方法,它通常指向某一个或某一类问题,而解决的过程具有程序性和构造性.算法又可看成是一种解决问题的特殊的有效方法,我们在学习的过程中应重点学习算法的构造过程.(2)算法与一般的解决问题的过程有联系,但算法是“傻瓜化”的,即算法要“面面俱到”,不能省略任何一个小小的步骤(只有这样做,人们才能在设计出算法后,把具体的执行过程交给计算机去完成).三、算法的描述描述算法可以用不同的方式.例如:可以用自然语言和数学语言加以叙述,也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明,还可以用程序框图直观地显示算法的全貌.1.自然语言自然语言就是人们日常使用的语言,可以是人们之间用来交流的语言、术语等,它通过分步的方式表达解决问题的过程.优点:好理解,当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解.难点:表达冗长,且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理、先后顺序等问题.2.程序框图程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.优点:简捷形象、步骤的执行方向直观明了.3.程序语言程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机可识别的低级或高级语言编写而成的.特点:能在计算机上执行,但格式要求严格.四、程序框图1.程序框图的定义程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.打个比方,写文章要先拟提纲,盖楼房要先设计图纸,而计算机解题要先考虑算法,然后编制程序框图,程序框图是人们用来描述算法步骤的形象化的方法.在程序框图中,每一个框都清楚地表示了这一步要做的事,框与框之间的箭头表示相邻两框所做事情的先后顺序,每一种不同形状的框表示不同的操作方法!若把程序框图画出来,对编者来说,思路清晰,逻辑关系一目了然,尤其是在一些较复杂的程序编制中更为实用.2.构成程序框图的图形符号及其作用通常,程序框图由程序框和流程线来组成.一个或几个程序框的组合表示算法的一个步骤;流程线是方向箭头,按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图表示算法用到的图形符号如下表:图形符号名称符号表示的意义起止框流程图的开始或者结束输入输出框数据的输入或者结果的输出处理框赋值、执行计算语句、结果传送判断框根据给定的条件判断流程线流程进行的方向连结点连接另一页或另一部分程序框图学法一得作程序框图的规则及注意点:(1)每一种程序框图的符号都有自己的意义,不能混用,符号一定要规范.起始框只有一条流出线,终止框只有一条流入线,输入输出框和处理框只有一条流入线和流出线.判断框有一条流入线和两条流出线(True,False).(2)流程图的画法是从上而下、从左而右的方向画.一个算法的步骤到另一个算法的步骤,要用流程线连接.流程线要带箭头,表明流程执行的次序.(3)起止框是任何程序框图必不可少的,表明程序的开始和结束.(4)算法中间要处理的数据,一般分别写在不同的处理框内.(5)当算法要对两个不同的结果进行判断时,判断条件写在判断框内.(6)程序框图符号框内的文字表述要简洁精炼.(7)一般情况下,我们先用自然语言编写算法,然后再画程序框图.3.程序框图的构成一个程序框图包括以下几部分:(1)实现不同算法功能的相对应的程序框图的图形符号;(2)带箭头的流程线;(3)程序框内必要的说明文字.五、顺序结构算法含有两大因素:一是操作,主要包括算术运算、逻辑运算、函数运算等;二是逻辑结构.逻辑结构控制着算法的各操作的执行顺序.我们写出的或画出的程序框图,一定要使大家看得清楚、明白、容易阅读.如果写的算法毫无头绪,就让人很难阅读和理解.这就要求算法要有一个良好的结构.通常一个算法只能由三种基本逻辑结构组成,算法的三种基本逻辑结构分别为:顺序结构、条件结构、循环结构.顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的.它是由若干个依次执行的步骤组成的,是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构. 我们可以用图1-1-1表示,其中的A部分,B部分是依次执行的.只有在执行完A部分的操作后,才会顺次执行B部分的操作.图1-1-1深化升华顺序结构是从上而下依次执行命令,每步只执行一次,不会引起程序步骤的跳转.它只能解决一些简单的问题,步骤之间不能随便调换,调换会使算法不运行或出现错误.单独的顺序结构一般出现在这样几种题目中:根据公式求值、求一般函数(非分段函数)的函数值等;再者顺序结构是其他结构的基础,会出现在其他结构的运行的前后,是算法必需的一个基本结构.六、条件结构其实对于条件结构我们遇到的最早,我们遇到一个岔路口,你需要选择向哪走;“鱼和熊掌不能兼得”也只有一个选择;还有我们去坐出租车有3千米以内7元,3千米以外每千米3元的收费标准;等等.这些都是条件结构.显然,条件结构中有一个条件和两个分支,根据条件判断到底来选择哪个分支.在一个算法中,通常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,这种先根据条件判断,再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构.图1-1-2所示的虚线框内是一种条件结构,此结构中包含一个判断框,根据给定的条件P 是否成立而选择A框或B框,请注意无论条件P是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能既执行A框又执行B框,也不可能A框、B框都不执行,无论走哪一条路径,在执行完A或B 之后,脱离本条件结构.当然A或B两个框中可以有一个是空的,即不执行任何操作,如图1-1-3也是条件结构的一种.图1-1-2 图1-1-3辨析比较条件结构不同于顺序结构的地方是:它不是依次执行操作指令进行运算,而是依据条件作出逻辑判断,选择执行不同指令中的一个.一般地,这里的判断主要是判断“是”(即“Y”)或“否”(即“N”),即是否符合件的要求,因而它有一个入口和两个出口.七、循环结构在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构.反复执行的处理步骤称为循环体.显然,循环结构中有关于条件的判断.因此,循环结构中必包含条件结构.我们先看一个小例子,比如我们要计算1×2×3×4×…×100,该怎么办呢?我们知道最直接的办法:图1-1-4只要一次一次地乘就是了,对我们来说这是一个烦琐而乏味的工作,可是计算机最适合这种工作了,因为计算机运算速度快,执行成千上万的重复操作只需要很短时间,却能保证每次的结果非常准确.首先我们知道一共要乘100次来设置一个变量i,它的用处是控制计算次数,我们要再设置一个变量m来积累一下我们前边得到的乘积的结果.算法如下: 第一步,首先对变量ｉ赋值,ｉ=１;第二步,对变量ｍ赋值,ｍ=１;第三步,让ｍ累积,得到要求的值m=m×i;第四步,变量ｉ增加１,ｉ=i+1;第五步,判断一下,如果i>100则输出ｍ,否则转至第三步.流程图如图1-1-4.我们来仔细地看一下这个例子的程序框图,重点看一下虚线框里面的部分(结合下面的解释):令i=1,m=1(注意不是0),赋完初值之后,循环就启动了.首先,m=1×1=1,然后i变为2,到判断框判断一下比100小,那么转回来再开始一遍刚才的过程.……直到循环到i=100时,m=1×2×3×4×…×100,到下一步时,i=100+1=101,此时i=101>100,便退出了循环结构.如果一个计算结构要重复一系列的计算步骤若干次,每次计算步骤完全相同,则这种算法结构叫做循环结构.可看出里面有几个比较重要的部分:类似于例子中的ｉ用来控制循环次数的量称为循环变量(类似于例子中的ｍ用来存储循环问题的结果的变量叫做累积变量).由于m=m+1这个语句在每次循环时都运行,我们把它叫做循环体.并且还有一个控制循环是否退出的判断框称为循环终止条件.这三部分构成了一个完整的循环结构.一个循环结构可如图1-1-5所示.图1-1-5学法一得写循环结构的步骤及应注意的问题:书写循环结构主要要找三个重点:①循环变量及初始值;②循环体的内容;③循环终止的条件,只要找到这些问题就好办了.书写一个循环结构要检查一下下面几个方面:(1)只有一个入口和一个出口(注意是看整个循环结构,不是看某一个部分);(2)结构的每一部分都可能被执行到(虽然每次只执行一条路线);(3)循环体内一定有一个选择结构来控制循环的流程;(4)结构体内的循环必须在有限次之内终止,不能出现死循环;(5)注意正确设置循环次数,不要多1或者少1.常见的循环结构有三种:计数型循环、当型循环和直到型循环.1.计数型循环结构一般用于预先知道重复的次数的循环结构.2.当型(While型)循环结构当型循环一般用于预先难以知道循环次数的循环结构,通过设置某个条件,当条件满足时就重复操作,当条件不满足时就退出循环.如图1-1-6所示,它的功能主要是当给定条件q成立时,执行A框操作,执行完A后,再判断条件q是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件不成立为止.此时不执行A框,从b点脱离循环结构.3.直到型(Until)循环结构直到型循环结构一般用于预先难以知道循环次数的循环结构,通过设置某个条件,当条件不满足时退出循环.如图1-1-7所示,它的功能是先执行A框,然后判断给定的条件q是否成立,如果条件q不成立,则执行A,然后再对条件q作判断,如果条件q仍然不成立,又执行A……如此反复执行A,直到给定的条件q成立为止,此时不再执行A,从b点脱离本循环结构.图1-1-6 图1-1-7辨析比较三种基本结构的关系如何?有哪些共同特点?顺序结构是最基本的也是最简单的控制结构;条件结构则是需要通过先判断,再决定执行哪个程序的控制结构;循环结构则是需要反复执行同一程序的控制结构,循环结构一定包含顺序结构和条件结构.顺序结构、条件结构、循环结构的共同特点是:(1)只有一个入口.(2)只有一个出口(实际运行的程序).请注意:一个菱形判断框有两个出口,而一个条件结构只有一个出口,不要将菱形框的出口和条件结构的出口混为一谈.(3)结构内的每一部分都有机会被执行到,也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它.像图1-1-8中的A,没有一条从入口到出口的路径通过它,是不符合要求的程序框图.(4)结构内不存在死循环,即无终止的循环,像图1-1-9就是一个死循环,在流程图中是不允许有死循环出现的.图1-1-8 图1-1-9八、计数变量与累加、累乘变量在有关累加、累乘问题的循环结构中一般都有一个计数变量和累加、累乘变量.计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果.计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加或累乘一次,同时又计数一次.1.计数变量可以统计执行循环的次数,它控制着循环的开始和结束;算法未执行循环结构时,就赋予计数变量初始值,预示着循环开始,每执行一次循环结构,计数变量的值发生变化,并在每一次重复执行完循环体时(直到型)或重新开始执行循环体时(当型),要判断循环体的条件是否已达到终止循环的目的.2.累加变量,它是我们编写算法时至关重要的量,我们根据要求制定它的变化情况,通常情况下与计数变量有对应关系.每执行一次循环结构,累加变量的值变化一次,并在每一次重复执行完循环体时(直到型)或重新开始执行循环体时(当型),观察累加变量值的变化情况,并根据题意对累加变量设置使循环结构终止循环的条件.3.累乘变量同累加变量的设置目的一样,只不过分工不同.前者是用来计算很多项的和,后者是用来处理很多项的积.累加、累乘变量是为最终输出的结果服务的,通常累加变量用来处理有通项公式或递推公式的数列的前n项和,累乘变量用来处理像阶乘一样有通项公式或递推公式的数列的前n 项的积.深化升华在循环结构中,要求注意根据条件设计合理的计数变量、循环变量.特别要求条件的表述要恰当、精确.若求只含有一个关系式的解析式的函数值时,只用顺序结构就能解决;若是遇到分类讨论或执行时需要判断后才能执行后继步骤的,就必须引入条件结构;如果问题里涉及的运算进行了许多次重复,且每次重复时变量与变量之间有对应关系,就可引入变量,应用于循环结构.典题·热题知识点一算法设计例1 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.思路分析:本题考查一元二次方程的解法.对于本类题目关键是要先写出解方程或方程组的解题过程.解:算法一:第一步,移项,得x2-2x=3.①第二步,①式配方,得(x-1)2=4.②第三步,②式两边开方,得x-1=±2.③第四步,解③得x=3或x=-1.算法二:第一步,计算一元二次方程的判别式的值,并判断其符号.显然Δ=22+4×3=16>0.第二步,将a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x1,2=a acb b24 2-±-,得x1=3,x2=-1.方法归纳1.该题用了两种方法求解,一种是分解因式法,另一种是求根公式法.对于问题的求解过程,我们需要既强调对“通法通解”的掌握,又强调对所学过的知识的灵活应用.2.传统的数学问题的求解过程就是一个具体的算法.例2 100个和尚吃100个馒头.大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个,求大、小和尚各多少个?试用算法来解本题.思路分析:本题考查二元一次方程组的解法.对于二元一次方程组,我们可以直接套用高斯消元法.解:设有x 个大和尚,y 个小和尚.算法如下:第一步,先列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,100,10033y x y x 可得a 11=3,a 12=31,b 1=100,a 21=1,a 22=1,b 2=100. 第二步,令D=a 11a 22-a 21a 12=3-31≠0,方程组有解. 第三步,套用公式可求得x=Da b a b 122221-=25,y=D a b a b 211112-=75. 巧解提示 可以看出只需给出问题的初始值a 11=3,a 12=31,b 1=100,a 21=1,a 22=1,b 2=100,套用高斯消元法的算法,问题即可解决,并且步骤简洁,计算量少,且还可以看出该算法具有很强的普遍性.高斯消元法解一般的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.,22221211221111b x a x a b x a x a 的算法如下:第一步,计算D=a 11a 22-a 21a 12;第二步,如果D=0,则原方程组无解或有无穷多组解;否则(D≠0),x 1=Da b a b 122221-,x 2=D a b a b 211112-; 第三步,输出计算结果x 1、x 2或者无法求解的信息.知识点二 顺序结构例3 f(x)=x 2-2x-3,求f(3)、f(5)、f(-5)并计算f(3)+f(5)+f(-5).设计一个解决该问题的算法,并画出流程图.思路分析:本题考查简单的求函数值的顺序结构的程序框图的作法.这是简单的求函数值问题,我们直接代入即可求得函数值.解:算法如下:第一步,输入x=3;第二步,输出y 1=x 2-2x-3;第三步,输入x=-5;第四步,输出y 2=x 2-2x-3;第五步,输入x=5;第六步,输出y 3=x 2-2x-3;第七步,输出y=y 1+y 2+y 3. 算法流程图如图1-1-10.图1-1-10方法归纳 本题不是很特殊,但说明了一般函数(非分段函数)的函数值的求法就是一个简单的顺序结构.但是要注意类似于拓展变式中关于迭代的函数思想的掌握.例4 求底面边长为24,侧棱长为5的正四棱锥的体积.给出解决该问题的一个算法.思路分析:本题考查的是几何中的体积计算问题,要用顺序结构来作程序框图.要求正四棱锥的体积,根据体积公式必须先求出底面面积及高,再利用体积公式求出体积.解:算法设计如下:第一步,取a=24,l=5;第二步,计算R=22a ∙; 第三步,计算h=22R l -;第四步,计算S=a 2;第五步,计算V=31Sh;第六步,输出计算结果. 算法流程图如图1-1-11.图1-1-11方法归纳 这个题目主要展现了如何来求一个锥体的体积的思维过程,体现了顺序的特点,依次先求高,再求底面积,最后求体积.此题比以前的题目更为抽象,体现了从特殊到一般的转化,也体现了对知识的概括能力.例5 用尺规作图,确定线段AB 的一个五等分点.思路分析:本题考查顺序结构作图的步骤及注意事项.确定线段AB 的五等分点,是指在线段AB 上确定一点M,使得AM=51AB. 解:算法如下:第一步,从A 点出发作一条与原直线不重合的射线.第二步,任取射线上一点C,并在射线上作线段AD,使AD=5AC.第三步,连结DB,并过C 点作BD 的平行线交AB 于M,M 就是要找的一个5等分点. 这个过程也需要一步一步来实现.作图步骤如下:1.从已知线段的左端点A 出发,作一条射线AP.2.在射线上任取一点C,得线段AC.3.在射线上作线段CE=AC.4.在射线上作线段EF=AC.5.在射线上作线段FG=AC.6.在射线上作线段GD=AC,那么线段AD=5AC.7.连结DB.8.过C作BD的平行线,交线段AB于M,这样点M就是线段AB的一个5等分点.图1-1-12方法归纳上面是解决这个作图问题的一个算法,我们只要依次执行这一系列步骤,就能确定线段的5等分点.这个算法具有一般性,对于任意自然数n,都可以按照这个算法的思想,设计出确定线段n等分点的步骤,得到解决这个问题的一般算法.知识点三条件结构例6 有4个数a,b,c,d,要求按由大到小的顺序输出.思路分析:本题考查排序问题中应用条件结构判断的问题.我们可以把a,b,c,d中最大的放在a 中,然后将余下的三个数中最大的放在b中,再找出余下的两个数中较大的放在c中,最后输出a,b,c,d.解:算法步骤如下:第一步,找出a和b中的大者放在a中,小者放在b中.第二步,找出c和d中的大者放在c中,小者放在d中.第三步,找出a和c中的大者放在a中,小者放在c中.第四步,找出b和c中的大者放在b中,小者放在c中.第五步,找出b和d中的大者放在b中,小者放在d中.第六步,找出c和d中的大者放在c中,小者放在d中.程序框图如图1-1-13所示.图1-1-13。
高中数学必修3：1.1 算法与程序框图课件
现代算法 通常可以编成_计__算__机__程__序___，让计算机执行并解决 问题
注意：(1)组成算法的每个步骤是明确的和有效的.例如：把
一堆球分成两类，步骤“先把较轻的挑出来”是不确定的、无
效的.(2)组成算法的所有步骤是有限的.例如：将 2表示成小数，
其不能在有限步骤内完成，故不能称为一个算法.
[方法·规律·小结] 1.算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明 确的规则.通俗地说，就是计算机解题的过程.在这个过程中，无 论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法，前者 是推理实现的算法，后者是操作实现的算法. 2.算法的基本思想就是探求解决问题的一般方法，并将解 决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述.
3.算法的特征. (1)概括性：写出的算法，必须能解决某一类问题，并且能 重复使用. (2)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤， 前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步， 而且每一步都是正确无误的，从而组成一个有着很强逻辑性的 步骤排列.
方法二：第一步，计算方程的判别式，
Δ＝22＋4×3＝16＞0.
第二步，将 a＝1，b＝－2，c＝－3 代入求根公式.
x＝－b±
b2－4ac，解得 2a
x＝3，或
x＝－1.
方法三：第一步，将方程左边因式分解，得 (x－3)(x＋1)＝0. ① 第二步，由①，得 x－3＝0 或 x＋1＝0. ② 第三步，解②，得 x＝3 或 x＝－1.
答案：第一步，由①，得 x＝2y－1. 第二步，将 x＝2y－1 代入②式，得 y＝35. 第三步，将 y＝35代入 x＝2y－1，得 x＝15. 第四步，得到方程组的解为yx＝＝1535， .
题型 1 算法的概念 【例 1】 下列关于算法的理解，不正确的是( ) A.一个问题只能有唯一的算法 B.算法包含的步骤是有限的 C.算法中每一步骤应当明确有效，并得到确定的结果 D.一个算法中的某一步骤可以执行多次 思维突破：根据算法的概念判断，检查其是否满足有限性、 明确性、不唯一性以及顺序性. 答案：A
人教A版高二数学必修三第一章：1.1算法与程序框图
输出Sum
点
？
结束
i=i+1 Sum=Sum + i
当型结构
i<100? 是
否ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i=i+1
Sum=Sum + i
i=i+1
解决方法就是加上一个判断，判断 是否已经加到了100，如果加到了则
Sum=Sum + i
退出，否则继续加。
否 i>=100?
请填上判断的条件。
是
直到型结构
Ｐ１１ 练习１
开始
输入a
N
a ≥0
Y
输出 |a|=a
输出 |a|=-a
结束
练习２
开始 X1=1 X2=2
m=(x1+x2)/2 N
m*m －3<>0 y
(x1*x1 －3)*(m*m －3) ＞0
x1=m
x2=m
N |x1 －x2|＜0.005 y
m=(x1+x2)/2
输出所求的近似值m 结束
▲下面是关于城市居民生活用水收费的问题
2、写出解不等式 x2 2x 3 0 的一个算法。
§1.1.2 程序框图
１城区一中学生数学模块学 分认定由模块成绩决定，模 块成绩由模块考试成绩和平 时成绩构成，各占50%，若 模块成绩大于或等于60分， 获得2学分，否则不能获得学 分（为0分），设计一算法， 通过考试成绩和平时成绩计 算学分，并画出程序框图
小结：算法具有以下特性：（1）有穷性 （2）确定性
（3）顺序性 （4）不唯一性 （5）普遍性
1
1.5
1.25
1.37 2
图1.1-1
表1-1
人教版高中数学必修三第一章算法与程序框图课件ppt
3．三种基本逻辑结构 名称 顺序结构 内容
条件结构
循环结构
定义
由_依__次__执__行__ 的步骤组成，
这是任何一个
算法都离不开 的_基__本__结__构___
(2)(2012·浙江高考)某程序框图如图9－1－7(2)所示，则该 程序运行后输出的值是________．
【解析】 (1)当输入l＝2，m＝3，n＝5时，不满足l2＋m2 ＋n2＝0.
因 此 执 行 ： y ＝ 70l ＋ 21m ＋ 15n ＝ 70×2 ＋ 21×3 ＋ 15×5 ＝ 278.
9－1－1的程序框图，若输入x＝2，
则输出的y值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】 ∵2＞0，∴y＝2×2－3＝1. 【答案】 B
2．(2012·安徽高考)如图9－1－2所示，程序框图(算法 流程图)的输出结果是( )
A．3 C．5
B．4 D．8
【解析】 当x＝1，y＝1时，满足x≤4，则x＝2，y＝ 2；
由于278＞105，故执行y＝y－105，执行后y＝278－105＝ 173.
再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68.
此时68＞105不成立，故输出68.
(2)执行一次循环：T＝1，i＝2，不满足 i＞5； 执行第二次循环：T＝12，i＝2＋1＝3，不满足 i＞5； 执行第三次循环：T＝Ti ＝16，i＝3＋1＝4，不满足 i＞5； 执行第四次循环：T＝214，i＝5 不满足 i＞5； 执行第五次循环：T＝1120，i＝6 满足 i＞5.输出 T＝1120.
人教B版高中数学必修三《第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图 1.1.2 程序框图》_0
1．1．2 程序框图(第二、三课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构，难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具：1、通过上节学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候，首先我们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的执行过程直观化，使抽象的问题就得十分清晰和具体。
有了这个流程图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时，首先要弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，图形符号间的联结方式。
例如“起止框”只能出现在整个流程图的首尾，它表示程序的开始或结束，其他图形符号也是如此，它们都有各自的使用环境和作用，这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。
另外，在我们描述算法或画程序框图时，必须遵循一定的逻辑结构，事实证明，无论如何复杂的问题，我们在设计它们的算法时，只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了，因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。
3、教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设想：1、创设情境：算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它。
人教版高中数学必修三 第一章 算法初步算法与程序框图教案(高一数学)
算法与程序框图教案第一章 算法初步§1.1 算法与程序框图【入门向导】“孙子问题”最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中．其原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？答曰：二十三”．意思是说：今有一些事物，不知道它的数目，三个三个地数它们剩余二个，五个五个地数它们剩余三个，七个七个地数它们剩余二个，问这些事物的数目是多少？“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3x ＋2m ＝5y ＋3m ＝7z ＋2的正整数解．《孙子算经》中给出了具体的解法，其步骤是：选定5×7的一个倍数，被3除余1，即70；选定3×7的一个倍数，被5除余1，即21；选定3×5的一个倍数，被7除余1，即15.然后按下式计算：m ＝70×2＋21×3＋15×2－105P .式中105为3,5,7的最小公倍数，P 为适当的整数，使得0<m ≤105，这里取P ＝2.你能想出一种算法，利用计算机来解决上述问题吗？1．对算法含义的理解(1)算法是机械的算法的设计要“面面俱到”不能省略任何一个小小的步骤，有时可能要进行大量重复计算，但只要按步骤一步一步地执行，总能得到结果．算法的这种机械化的特点，在设计出算法后，便于把具体过程交给计算机去完成．(2)算法是普遍存在的实际上处理任何问题都需要算法，如国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判标准，邮寄物品的相关手续，求一个二元一次方程组的解等等．(3)求解某个具体问题的算法一般是不唯一的算法实际上是解决问题的步骤和方法，求解问题的出发点不同，就会得到不同的算法．如求二元一次方程组的解有代入消元法和加减消元法，但不同的算法可能会有“优劣”之分．例1 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种流程( )A ．1.洗脸刷牙、2.刷水壶、3.烧水、4.泡面、5.吃饭、6.听广播B ．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭、5.听广播C ．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭同时听广播D ．1.吃饭同时听广播、2.泡面、3.烧水同时洗脸刷牙、4.刷水壶分析 处理问题的算法要求能够一步一步地执行，好的算法还要花费时间少．解析 A 中洗脸刷牙可以在烧水的过程中进行，听广播可以和吃饭同时进行；D 中吃饭要在刷水壶、烧水、泡面之后．答案 C2．算法与数学问题解法的区别与联系(1)联系算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．如教材中由具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组求解的步骤；同时指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了二元一次方程组的算法．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般算法解决．(2)区别算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．例2 给出求解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7. ①4x ＋5y ＝11 ②的一个算法． 解 方法一 (消元法)S1 ②－①×2，得3y ＝－3，③S2 解③得y ＝－1；④S3 将④代入①，得x ＝4；S4 输出x ＝4，y ＝－1.方法二 (公式法)S1 计算D ＝2×5－4×1＝6；S2 因为D ＝6，所以x ＝5×7－11×16＝4，y ＝11×2－7×46＝－1； S3 输出x ＝4，y ＝－1.点评 本题中的方法二，直接利用高斯消去法的算法步骤，显得更为简捷．3．程序框图(1)与自然语言相比用程序框图表示算法的优越性用自然语言表示算法的步骤有明确的顺序性，但在处理条件结构或循环结构这样的问题时比较困难，不够直观、准确．程序框图是表示算法的另一种形式，它的结构清晰，步骤准确，有时能解决自然语言不易表达的问题．(2)画程序框图的规则画程序框图的规则应是大家共同遵守的一些规则，目的是为了使大家彼此之间能读懂各自画的框图．①使用标准的框图符号；②框图一般按从上到下，从左到右的方向来画；③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；④在图形符号内描述语言要简练、清楚．例3已知圆的半径，设计一个算法求圆的周长和面积的近似值，并用程序框图表示．分析解答本题可由圆的周长公式和面积公式直接求解，其中圆的半径可由算法输入．解算法设计：S1输入圆的半径R.S2计算L＝2πR.S3计算S＝πR2.S4输出L和S.程序框图：1．算法的确定性理解不到位例1求2＋4＋6＋8＋…＋100的算法．错解算法：S1计算2＋4＋6＋8＋ (100)S2输出第一步中的结果．错解辨析对于连加连乘的问题，不能直接得到答案，应当逐步进行.正解算法：S1计算2＋4得到6；S2将第一步的结果与6相加得到12；S3将第二步的结果与8相加得到20；S4如此继续下去，一直加到100；S5输出运算结果．2．程序框图中循环结构功能、条件出错例2 如图所示是某一算法的程序框图，根据该框图指出这一算法的功能．错解 求S ＝12＋14＋16＋18＋110的值． 正解 在该程序框图中，S 与n 为两个累加变量，k 为计数变量，所以该算法的功能是求12＋14＋16＋…＋120的值.1．按部就班法此法是基本方法，要求按问题的解题步骤“按部就班”地做，每一步都有唯一的结果，且在有限步之后得出结果． 例1 写出作∠ABC 的平分线的一个算法．分析 解决这个问题，只需按作图方法“按部就班”地设计算法．解 S1 以B 为圆心，以任意长为半径画弧，与边BA 交于M 点，与边BC 交于N 点．S2 以M 为圆心，以大于12MN 的长d 为半径画弧．S3 以N 为圆心，以大于12MN 的长d 为半径画弧．S4 取第二、三两步所得的弧的交点P .S5 过B ，P 作射线BP ，射线BP 即为∠ABC 的平分线．2．公式法利用现有公式解决问题是设计算法的重要思路．例2 计算上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积．分析 根据梯形的面积公式S ＝12(a ＋b )h .其中a 是上底，b 是下底，h 是高，只需令a＝2，b＝4，h＝5，代入公式即可．解算法如下：S1a＝2，b＝4，h＝5；S2S＝12(a＋b)h；S3输出S.3．循环法有些问题需要重复计算，而这正是计算机的强项，因此我们可以利用循环来实现．例3设计出一个求23＋43＋63＋…＋603的算法．解S1p＝0，i＝2.S2p＝p＋i3.S3i＝i＋2.S4如果i＞60，算法结束，否则，返回第二步．S5输出p.1．抓特征组成任何一个程序框图的三要素是“四框”、“一线”加“文字说明”．“四框”即起、止框、输入(出)框、处理框、判断框．“一线”即流程线，任意两个程序框之间都存在流程线．“文字说明”即在框图内加以说明的文字、算式等，这是每个框图不可缺少的内容．2．明规则程序框图的画法规则是：①用标准，即使用标准的图形符号；②按顺序，即框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数程序框只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有两个出口的图框，条件分支结构中要在出口处标明“是”或“否”；④明循环，即循环结构要注意变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；⑥简说明，即在程序框内的描述语言要简练清晰．3．依步骤画程序框图的总体步骤是：第一步，先设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以在画程序框图前，首先应在稿纸上写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪些基本逻辑结构；第二步，再把算法步骤转化为对应的程序框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．例4某商场进行优惠促销：若购物金额x在500元以上(不包括500元)，则全部货款打8折；若购物金额x在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元)，则全部货款打9折；否则，不打折．画出程序框图，要求输入购物金额x元，能输出实际交款额．分析由题意，实际交款额y与购物金额x之间的函数关系是y＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， 0≤x ≤300，0.9x ，300＜x ≤500，0.8x ，x ＞500.因为它需对x 进行三次判断，所以算法含有两个条件结构，写出算法步骤如下．解 算法如下：S1 输入购物金额x .S2 判断x ≤300是否成立．若是，则y ＝x ，执行第四步；否则，进入第三步．S3 判断x ≤500是否成立．若是，则y ＝0.9x ；否则，y ＝0.8x .S4 输出y ，算法结束．画法步骤 ①画顺序结构图，即起、止框及输入框，并且流程线连接(如图中①)；②画条件结构图，即画判断框，里面填写“x ≤300”(如图中②)．对于“是”画处理框并填入“y ＝x ”，对于“否”流向下一个判断框；③再画条件结构图，即画判断框，里面填写“x ≤500”对于“是”画处理框并填入“y ＝0.9x ”，对于“否”画处理框并填入“y ＝0.8x ”(如图中③)；④画一个总的输出框并输出y ，以及起、止框表示算法结束(如图中④)．最后，合成整个算法程序框图.1．(天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 i ＝1时，a ＝2；i ＝2时，a ＝5；i ＝3时，a ＝16；当i ＝4时，a ＝65>50.即条件a >50成立，所以输出的i 的值为4.答案 B2．(湖南)若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于______．解析 由框图的算法功能可知，输出的数为：S ＝(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)23＝23.答案 233．(日照模拟)执行下边的程序框图，输出的T ＝________.解析 按照程序框图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；S ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30>S ，输出T ＝30.答案 304．(威海调研)某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是__________．解析 由题意知，该程序框图表达的是一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤1，x －2，x >1. 答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≤1，x －2，x >1 5．(抚顺模拟)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：下图是统计该则图中判断框应填________，输出的s ＝________.解析该程序框图是统计6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数，因此图中判断框应填i≤6，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.答案i≤6a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6。
人教版高中数学必修3第一章算法初步-《1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构》教案(6)
第二课时 1.1.2 程序框图（一）教学要求：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构. 掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图. 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图.教学重点：程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构.教学难点：综合运用框图知识正确地画出程序框图教学过程：一、复习准备：1. 写出算法：给定一个正整数n，判定n是否偶数.x-=的近似根的算法.2. 用二分法设计一个求方程320二、讲授新课：1. 教学程序框图的认识：①讨论：如何形象直观的表示算法？→图形方法.教师给出一个流程图（上面1题），学生说说理解的算法步骤.②定义程序框图：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.③④阅读教材P5的程序框图. →讨论：输入35后，框图的运行流程，讨论：最大的I值.2. 教学算法的基本逻辑结构：①讨论：P5的程序框图，感觉上可以如何大致分块？流程再现出一些什么结构特征？→教师指出：顺序结构、条件结构、循环结构.②试用一般的框图表示三种逻辑结构. （见下图）③出示例3：已知一个三角形的三边分别为4,5,6，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图. （学生用自然语言表示算法→师生共写程序框图→讨论：结构特征）④出示例4：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图. (学生分析算法→写出程序框图→试验结果→讨论结构)⑤出示例5：设计一个计算1＋2＋3＋…＋1000的值的算法，并画出程序框图.(学生分析算法→写出程序框图→给出另一种循环结构的框图→对比两种循环结构)3. 小结：程序框图的基本知识；三种基本逻辑结构；画程序框图要注意：流程线的前头；判断框后边的流程线应根据情况标注“是”或“否”；循环结构中要设计合理的计数或累加变量等.三、巩固练习：1.练习：把复习准备题②的算法写成框图.。
高中数学必修3(人教A版)第一章算法初步1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图一、学习任务1. 了解算法的含义，了解算法的基本思想，能用自然语言描述解决具体问题的算法．2. 了解设计程序框图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区别；了解程序框图的三种基本逻辑结构，会用程序框图表示简单的常见问题的算法．二、知识清单算法 程序框图三、知识讲解1.算法算法（algorithm）是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 ．可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.描述算法可以有不同的方式．例如，可以用自然语言和数学语言加以描述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌.算法的要求：(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用；(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得到结果.下列对算法的理解不正确的是（ ）A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的C．算法中的每一个步骤都应当是有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一种算法解：D算法的有限性是指包含的步骤是有限的，故 A 正确；算法的确定性是指每一步都是确定的，故 B正确；算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果，故 C 正确；对于同一个问题可以有不同的算法，故 D 错误．下列叙述能称为算法的的个数为（ ）描述：2.程序框图程序框图简称框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．其中，起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束．输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接．如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码．①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②依次进行下列运算：，，，，；③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州；④ ；⑤求所有能被 整除的正整数，即 ．A． B． C． D．解：B①、②、③为算法．1+1=22+1=33+1=4⋯99+1=1003x >x +133,6,9,12,⋯2345写出解方程组的一个算法．解：方法一：代入消元法． 第一步，由 得 ；第二步，将 代入 ，得 ，解得 ；第三步，将 代入方程 ，得 ；第四步，得到方程组的解为 ．方法二：加减消元法．第一步，方程 两边同乘以 ，得 ；第二步，将第一步所得的方程与方程 作差，消去 ，得 ，解得 ；第三步，将 代入方程 ，得 ，解得 ；第四步，得到方程组的解为 ．{2x +y =74x +5y =112x +y =7y =7−2x y =7−2x 4x +5y =114x +5(7−2x )=11x =4x =4y =7−2x y =−1{x =4y =−12x +y =7510x +5y =354x +5y =11y 6x =24x =4x =42x +y =72×4+y =7y =−1{x =4y =−1例题：画程序框图的规则（1）使用标准的图形符号．（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画．（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的惟一符号．（4）判断框分两大类，一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果．（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．算法的三种基本逻辑结构顺序结构：语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行．条件分支结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构．循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．下列程序框图分别是解决什么问题的算法．解：（1）已知圆的半径，求圆的面积的算法．（2）求两个实数加法的算法．执行如图的程序框图，输出的 ______ ．解：T =30四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内为（ ）A． B． C． D．解：AS =57k >4?k >5?k >6?k >7?已知函数 ，对每次输入的一个值，都得到相应的函数值，画出程序框图．解：f (x )={2x +3,3−x ,x 2x ⩾0x <0x答案：1. 关于算法的说法中，正确的是 A ．算法就是某个问题的解题过程B ．算法执行后可以产生不确定的结果C ．解决某类问题的算法不是唯一的D ．算法可以无限地操作下去不停止C()答案：解析：2. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是 A ．已知圆的半径求圆的面积B ．随意抽 张扑克牌算到二十四点的可能性C ．已知坐标平面内两点求直线方程D ．加减乘除法运算法则B注意算法需按照一定的顺序进行．()4答案：解析：3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于 ．A ．B ．C ．D ．D取 ，得输出的 ，即可判断．t ∈[−2,2]S ()[−6,−2][−5,−1][−4,5][−3,6]t =−2S =64. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣．计算客户应付货款的算法步骤如下： ：输入订单数额 （单位：件）；输入单价 （单位：元）；：若 ，则折扣率 ；若 ，则折扣率 ；若 ，则折扣率 ；若 ，则折扣率 ；：计算应付货款 （单位：元）；：输出应付货款 ．S 1x A S 2x <250d =0250⩽x <500d =0.05500⩽x <1000d =0.10x ⩾1000d =0.15S 3T =Ax (1−d )S 4T。
高中数学必修3-1.1-算法与程序框图.ppt
当条件成立时，执行步
骤A当条件不成立时执行步骤 B。在A、B两个步骤中，只能
有一个被执行。
例1 写出求任意两个数的平均数的算法，开 始
并画出程序框图。
输入a, b
解：第一步 输入两个数 a, b；
第二步 计算 c a b；
第三步
计算 x
c
；
2
第四步 输出 x。
cab
xc 2
输出 x
和文字说明？
线（或2）指这向些线框）、线以及说明文 字来和何准文不字同确说意、明义直有？观地表示算 法的图形，叫做算法处理的框程
序框图。
开始
输入 a,b,c
否
Δ0
是
b b2 4ac
x1
2a
b b2 4ac
x2
2a
输出 x1, x2 结束
判断框
输出“方程没 有实数解”
流 程 线
输入输出框
常用图形符号及其名称、意义。
5%，请设计一个算法计算4年后每台机器的价值。 （第2课时） 3、设计一个算法，求满足1+2+3+···+n≥1000的最小正整数n。(第3课时) 4、设计一个算法，输入一个正整数，求出它的所有正因数。 （第3课时） 5、现有一只能装5千克的水桶和一只能装8千克水的水桶，请设计一个算
法，从小塘里取出1千克的水。 （第3课时）
问题1 生活中你熟悉的需要按步骤完成的 例子有哪些？
问题2 请举出数学学习中有哪些问题需要
按步骤解决 ？ 判断奇偶性
解不等式 证明线面平行
解方程
……
算法的概念：指用来解决问题的一系列明确而有效 的步骤，是解决问题的清晰指令。
人教课标版(B版)高中数学必修3第一章 算法初步算法与程序框图
UNTIL型
WHILE型
i=1 s=0 DO s=s+i i=i+1 LOOP UNTIL i>100 PRINT s END 执行循环体直到满 足条件时跳出循环 （不满足条件时执行 循环体）
i=1 s=0 WHLIE i<=100 s=s+i i=i+1 WEND PRINT s END 当满足条件时，执行 循环体（直到不满 足条件时跳出循环）
3 ． 则输出的 n 的值为________
第十四章 算法初步
第二节 基本算法语句
一.各种程序设计语言中都包含下列基本的算法语句： 输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句
二.基本算法语句 （一）输入语句 INPUT “提示内容”；变量
INPUT “ 提 示 内 容 1 ， 提 示 内 容 2 ， 提 示 内 容 3，…”；变量1，变量2，变量3，…
基础自测
1.（2009年汉沽模拟）已知变量a,b已被赋值，要交换a、b的
值，采用的算法是（ D A.a=b,b=a C.a=c,b=a,c=a B.a=c,b=a,c=b D.c=a,a=b,b=c C
基础自测
2. 下边的程序语句输出的结果S为（A ）
A.17
B.19
C.21
D.23
990 3. 下列程序执行后输出的结果是_________ i=1 WHILE i<8 S=2i+3 i=i+2 WEND PRINT S END i=11， S=1, DO s=s*i s=1 LOOP UNTIL i<9 PR图的两部分
开始
输入n i=2 求n除以i的余数r i=i+1 i≥n或r=0?
是
高中数学人教A版必修三 第一章《算法初步》 1.1.1 算法与程序框图 算法的概念
第一章 1.1 算法与程序框图1.1.1算法的概念1.通过回顾二元一次方程组的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理 自主学习 知识点一 算法的含义及特征1.算法的概念12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行 的过程 数学中的算法 通常是指按照 解决某一类问题的 和 的步骤现代算法通常可以编成 ，让计算机执行并解决问题 一定规则 明确 有限算术运算 计算机程序2.算法的特征(1)有限性：一个算法的步骤序列是 的，必须在 的操作之后停止，不能是 的. (2)确定性：算法中的每一步应该是的，并且能有效地执行且得到的结果，而不应当模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是的，对于同一个问题可以有的算法. 有限 有限 无限 确定 确定 唯一 不同(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.3.算法与计算机 计算机解决任何问题都要依赖于 .只有将解决问题的过程分解为若干个 ，即，并用计算机能够接受的“ ”准确地描述出来，计算机才能够解决问题.算法 明确的步骤 算法 语言知识点二算法的设计1.设计算法的目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.2.设计算法的要求(1)写出的算法必须能解决一类问题.(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.思考一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西.在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？题型探究重点突破题型一算法的概念例1下列关于算法的说法，正确的个数有()C①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果.A.1B.2C.3D.4解析由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.跟踪训练1 下列说法中是算法的有________(填序号).①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；③求以A (1,1)，B (－1，－2)两点为端点的线段AB 的中垂线方程，可先求出AB 中点坐标，再求k AB 及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB 的中垂线方程；④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24； ⑤12x ＞2x ＋4.题型二算法的设计例2所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法.跟踪训练2判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？解第一步，给定大于2的整数n.第二步，令i＝2.第三步，用i除n，得到余数r.第四步，判断“r＝0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.第五步，判断“i>(n－1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.题型三算法的应用例3一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？跟踪训练3“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋.据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数.请设计一个算法，求出士兵至少有多少人.对算法的含义及特征的理解易错点例4计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________.(1)S＝1＋2＋3＋ (100)(2)S＝1＋2＋3＋…＋100＋…(3)S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*).当堂检测 1 2 3 4 51.下列关于算法的说法中正确的是()A.算法是某个具体的解题过程B.算法执行后可以不产生确定的结果C.解决某类问题的算法不是唯一的D.算法可以无限地操作下去不停止2.下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是()BA.在家里一般是妈妈做饭B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C.在野外做饭叫野炊D.做饭必须要有米解析算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.3.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是()DA.这个算法可以求所有的零点B.这个算法可以求任何方程的零点C.这个算法能求所有零点的近似解D.这个算法可以求变号零点近似解解析二分法的理论依据是函数的零点存在定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.4.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(1)计算c＝a2＋b2；(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；(3)输出斜边长c的值.其中正确的顺序是________.(2)(1)(3)解析算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.5.下面是解决一个问题的算法：第一步：输入x.第二步：若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.第三步：输出2x－1.第四步：输出x2－2x＋3.当输入x的值为____时，输出的数值最小值为____.课堂小结1.算法的特点：有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性.2.算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用.(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果.返回本课结束。
高中数学必修3第一章：算法初步1.1算法与程序框图
// cost // c1 // c2 // c3 // c4 // c5 // c6
// c7
times n n-1 n-1 sum of ti sum of (ti-1) sum og (ti-1)
n-1
n1
n1
n1
T (n) c1n c2 (n 1) c3 (n 1) c4 ti c5 (ti 1) c6 (ti 1) c7 (n 1)
第1章 算法分析的基本概念和方法
内容提要
一、算法及其特性 二、算法的时间空间复杂度 三、算法分析(Algorithm Analysis)
1.分析算法时间复杂度的基本步骤 2.算法时间复杂度的有关概念 3.分析、求解算法复杂度的方法 四、最优算法(optimal algorithm)
知识要点
❖ 算法分析的概念
n i1
2
1.4. 复杂度的有关概念
二、举例
[例2] 直接插入排序算法1.5。
以元素的比较作为基本操作。 最好情况下的时间复杂度： (n) 最坏情况下的时间复杂度： (n2) 在等概率前提下，平均情况下的时间复杂度：(n2 )
算法分析的基本法则
❖ 非递归算法：
（1）for / while 循环 循环体内计算时间*循环次数； （2）嵌套循环 循环体内计算时间*所有循环次数； （3）顺序语句 各语句计算时间相加； （4）if-else语句 if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。
1.3. 分析复杂度的基本步骤
四、举例
[例1] 设f(n)=10n2+20n。则有 f(n)=O(n2) f(n)=(n2) f(n)= (n2)
[例2] 设f(n)=aknk+ak-1nk-1+…+a1n+ a0 ,(ak>0)。则有 f(n)=O(nk) f(n)=(nk) f(n)= (nk)
人教版高中数学必修3第一章算法初步-《1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构》教案(1)
重点:程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构
难点:能综合运用这些知识正确地画出程序框图。。
三,教学过程及教学情境设计:
第课时
问题
问题设计意图
师生活动
程序框图的概念
掌握程序框图的概念
生:阅读课本并给出课本中相应的概念表达
师:程序框图也叫流程图，是人们将思考的过程和工作的顺序进行分析、整理，用规定的文字、符号、图形的组合加以直观描述的方法
（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
1．1．2程序框图与算法的基本逻辑结构
第1课时
一、教学目标：
知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法的三个基本逻辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
过程与方法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵活、正确地画程序框图。
情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
2,这节课重点通过例题介绍了顺序结构的应用
作业:
课后小结:
程序框图的图形符号及其名称和功能
培养学生的自学能力,识记程序框图的图形符号及其名称和功能
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什么是算法？P教材3
算法（algorithm）一词出现于12世纪，指的是阿拉伯数字
进行算术运算的过程. 在数学中，算法通常是指按照一定规则来解决某一类问题 的明确和有限的步骤. 算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决.
算法的五个重要特征
（1）概括性：必须能解决某一类问题，并用能重复使用； （2）逻辑性：前一步是后一步的前提，每一步都是正确无误的；
第四步，输出y.所以y1＝3，y＝32－1＝8. 最终输出结果为8.
知识点二 1.顺序结构的定义
顺序结构
P教材8
由若干个 依次执行的步骤 组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构. 2.结构形式
知识点三
条件结构的两种形式
P教材10
条件 是否成立有不
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据 同的流向.处理这种过程的结构叫条件结构.
(2)(2015 年天津)阅读如图 所示的程序框图， 运行相应的程序，则输出 i 的值为（） A.2 B.3 D.5
C.4
解析：
第一次执行：i＝1，S＝9；
第二次执行：i＝2，S＝7；
第三次执行：i＝3，S＝4；
第四次执行：i＝4，S＝0；
满足条件S≤1，退出循环，
则输出 i 的值为 4.故选 C.
D.利用公式S＝πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
A、 B 、 D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而 C只描述了一个 事实，没说明怎么解决问题，不是算法.
反思与感悟 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤， 或看成是设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列 能够解决某一类问题.
条件是（）
A.k≤6
C.k≤8
B.k≤7
D.k≤9
解析：根据题意，该算法的功能为 S＝1×log23×log34× „×logk(k＋1)＝log2(k＋1)＝3.k＝7，k→k＋1＝8，此时才退出 程序.故选 B.
答案：B
【规律方法】在循环结构中，要注意把当型与直到型区分 开来，在解答含循环结构的程序框图时，可以自己“运行”循
（3）有穷性：必须在有限个步骤内完成，不能无休止地执行下去；
（4）不唯一性：算法不一定是唯一的，可以有不同的算法；
（5）普遍性：同一类问题，可以用同一算法去解决；
类型一
算法概念理解
例1 下列描述不能看作算法的是
A.做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B.洗衣机的使用说明书
C.解方程2x2＋x－1＝0
11 C.s≤ 12
15 D.s≤ 24
1 1 解析： 由程序框图， k 的值依次为 0,2,4,6,8， 因此 s＝2＋4＋ 1 11 11 6＝12(此时 k＝6)还必须计算一次，因此可填 s≤12.故选 C.
答案：C
(2)(2013 年重庆)执行如图 所示的程序框图，
如果输出 s＝3，那么判断框内应填入的
梳理
等号左边的变量.
一般地，“变量＝表达式”中的“＝”叫 赋值号，它的功能是把 右 边表 达式的值赋给 左 边的变量，故它与数学中的等号不完全一样，所以不能 颠倒写成“表达式＝变量”.
例4
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输
出S的值为A.－10C.4B.6D.18
执行程序：S＝20，i＝1，i＝2，S＝20－2＝18； i＝4，S＝18－4＝14； i ＝ 8 ，S ＝ 14 － 8 ＝ 6 ，满足 i ＞ 5 的条件，结束循环， 输出S的值为6，故选B.
(1)当型循环是先判断后执行；直到型循环是先执行后判断.
(2)对同一个算法而言， 当型循环和直到型循环的条件相反
4.了解几个经典的算法案例，理解并掌握多项式的求值、数列求和、
方程求解、比较大小等问题的算法意义
本课结束
作业： 1、完善课堂题单 2、完成《步步高》P97页“40分钟”，11、12不做 3、自学教材《必修3》P21-P32
1.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环.
2.掌握基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、
条件语句、循环语句的含义. 3.解决需要反复执行的任务时，应考虑使用循环语句.确定循环 结构的内容时要明确：循环变量、初始条件、循环体、终止条
件.循环语句有直到型与当型两种，要区分两者的区别：
x 2 ＋1，x≤0， 由程序框图可得 y＝ 2x＋1，x＞0.
当x≤0时，y∈(1,2]，此时不可能输出y＝3；
当x＞0时，令y＝2x＋1＝3，
解得x＝1，符合题意，故输入的x的值为1.
梳理
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件 反复执行 某 些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为 循环体 .
s∈（）
A.[－3,4] C.[－4,3]
B.[－5,2] D.[－2,5]
解析：根据题意，该算法的功能为 s＝ 当 t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；
3t，t<1， －t2＋4t，t≥1.
当 t∈[1,3]时，s＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4∈[3,4].
故 s∈[－3,4].
答案：A
图中有两处错误：
(1)每个判断框应连接一个入口，两个出口，而图
中的判断框“x≤5？”只连接一个出口；
(2)处理框“y＝2x－3”应当连接一个入口，一个 出口，而图中该框没有出口与其连接.
反思与感悟
(1)起止框 (2)输入、输出框
是任何程序框图不可缺少的，表明程序的起始和结束. 可用在任何需要输入、输出的位置.
答案：C
(3)(2015 年陕西)根据如图 所示的框图， 当输入 x 为6 时，输出 y＝（） A.1 B.2 D.10
C.5
解析：
该程序框图运行如下： x＝6－3＝3>0，x＝3－3＝0， x＝0－3＝－3<0，y＝(－3)2 ＋1＝10.故选 D. 答案：D
(4)(2015 年四川)执行如图 所示的程序框图， 输出 S的值为
类型二 程序框图 知识点一：P教材6 1.程序框图的基本构成
其中程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作 的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称 终端框(起止框)
输入、输出框
功能
表示一个算法的起始和结束 ________________________ 表示一个算法输入和输出的信息 ___________________________ 赋值、计算 ___________
解析：根据题意，该算法的功能为 第一步：S＝0＋1＝1，k＝2； 1 1 第二步：T＝2，S＝1＋2，k＝3； 1 1 1 第三步：T＝ ，S＝1＋2＋ ，k＝4； 2×3 2×3 1 1 1 1 第四步：T＝ ，S＝1＋2＋ ＋ ， 2×3×4 2×3 2×3×4 此时 k＝5>4，输出 S.
答案：B
3 A.－ 2 1 C.－2
3 B. 2 1 D.2
解析：第四次循环后，k＝5，满足 k＞4，
5π 1 输出 S＝ sin 6 ＝2.
答案：D
考点 2 算法终止条件的判断 例 2：(1)(2015 年重庆)执行如图 所示的程序框图， 若输出 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（） 3 A.s≤ 4 5 B.s≤ 6
2.(2014 年湖北)阅读如图 所示的程序框图， 运行相应的程序，若输入 n 的值为 9， 1067 则输出 S 的值为______. 解析： 依题意，得该程序框图是计算 S＝21＋22＋„＋29＋ 1＋2＋„＋9＝1067，
故输出 S＝1067
.
考点 4
算法与函数知识的整合
例 4：(2014 年湖南)执行如图 所示的程序框图， 如果输入 t∈[－2,2]，则输出 S∈（） A.[－6，－2] C.[－4，5]
结构形式
特征
两个步骤A、B根据 条件 选择一个执行
根据条件选择是否执行步骤A
思考
条件结构中的判断框有两个出口，由此说明条件结构执行的结
果不唯一，对吗？
不对，判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立， 选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的.
例3 如图所示的程序框图，若输出y的值为3，求输入的x值.
跟踪训练1 下列关于算法的描述正确的是
A.算法与求解一个问题的方法相同
B.算法只能解决一个问题，不能重复使用 C.算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切 D.有的算法执行完后，可能无结果 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A项不对； 算法能重复使用，故B项不对； 每个算法执行后必须有结果，故D项不对； 由算法的有序性和确定性，可知C项正确.
知识点四 名称 结构图
常见的两种循环结构 特征
P教材12
直到型循
环结构
先执行循环体后判断条件，若不满足条
终止循环 件则 执行循环体 ，否则_________
当型循 环结构
先对条件进行判断，满足时 执行循环体， 终止循环 否则_________
知识点五
赋值号
P教材14
思考
在程序框图中，常见“i＝i＋1”，它是什么意思？ 它表示先计算等号右边 “i ＋ 1” 的值，再把这个值赋给
处理框(执行框)
2.常见的程序框、流程线及各自表示的功能 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 判断框 _______ 明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或 “N” 流程线 连接点 _______ 连接程序框 ___________ 连接程序框图的两部分
在程序框图中，一个或几个 程序框 的组合表示算法中的一个步骤；带
(3)算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框