非线性有限元分析
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
有限元非线性分析
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
非线性有限元分析1
非线性问题的类型和求解特点1 非线性问题的类型1. 1 线性分析的含义在有限元分析中的线性假设包含下列含义：即结点位移为无限小量，材料为线弹性，加载时边界条件的性质保持不变。
于是，静力平衡方程可以表示为：[]{}{}R U K = (2.1)其中，[]K 为刚度矩阵，{}R 为荷载矢量。
由于[]K 和{}R 的元素为常数，故位移响应{}U 是荷载矢量{}R 的线性函数。
也就是说，如果{}R 变为{}R α，则{}U 变为{}U α，其中，α为常数。
这就是所谓的线性有限元分析。
如果上述假设中的任何一条不能得到满足，那么就属于非线性有限元分析。
1. 2 非线性分析的必要性结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际工程问题的一种简化。
当然，任何实际工程问题的求解都避免不了适当地简化，简化是否合理主要应根据求解效果和实际经验来判断。
对于目前工程实际中的很多问题，如地震作用下结构的弹塑性动力响应，高层建筑抗风，大跨度网壳结构动力稳定性，索膜结构找形荷载与裁减分析，大型桥梁风致振动等问题的研究，仅仅假设为线性问题是很不够的，常常需要进一步考虑为非线性问题。
因此，对各种工程结构的非线性分析就是必不可少且日趋重要了。
对于结构力学的非线性问题来说，有限单元法是最为有效的数值分析方法。
1. 3 非线性问题的类型通常，把非线性问题分为两大类，即分为几何非线性和材料非线性。
但从建立基本方程和程序设计的方便出发，又可分为三种类型：1．材料非线性：非线性效应仅由应力应变关系的非线性引起，位移分量仍假设为无限小量，故仍可采用工程应力和工程应变来描述，即仅材料为非线性。
非线性的应力应变关系是结构非线性的常见原因，许多因素都可以影响材料的应力应变性质，包括加载历史（如在弹塑性响应状况下），环境状况（如温度），加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。
2．几何非线性：如果结构经受大变形，则变化了的几何形状可能会引起结构的非线性响应，这又可以分为两种情形：第一种情形，大位移小应变。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
钢筋混凝土结构非线性有限元分析共3篇
钢筋混凝土结构非线性有限元分析共3篇钢筋混凝土结构非线性有限元分析1钢筋混凝土结构是现代建筑结构中常用的一种结构形式。
由于钢筋混凝土结构自身的复杂性，非线性有限元分析在该结构的设计和施工过程中扮演着重要的角色。
非线性有限元分析是建立在解析的基础之上的，它可以更真实地模拟结构在实际载荷下的变形和破坏特性。
本文对钢筋混凝土结构的非线性有限元分析进行细致的介绍。
首先需要了解的是，钢筋混凝土结构存在多种非线性问题，如材料非线性、几何非线性和边界非线性等。
这些非线性问题极大地影响了结构的受力性能。
在结构的设计阶段，要对这些非线性因素进行充分分析。
钢筋混凝土结构在材料方面存在很多非线性问题，例如，混凝土的拉应力－应变曲线存在非线性变形，钢筋的本构关系存在弹塑性和损伤等等。
这些材料的非线性特性是钢筋混凝土结构变形和破坏的重要因素。
钢筋混凝土结构材料的非线性特性需要通过相关试验来获得，例如混凝土的轴向拉伸试验和抗压试验，钢筋的拉伸试验等，试验数据可以被用来建立预测结构非线性响应的有限元模型。
钢筋混凝土结构在几何方面存在很多非线性问题，例如，结构的非线性变形、结构的大变形效应、结构的初始应力状态等等。
钢筋混凝土结构几何的非线性效应可通过有限元分析明确地描述。
要对几何非线性进行分析，通常使用非线性有限元分析程序，其中包括基于条件梯度最优化技术的材料和几何非线性分析以及有限元法分析中使用的高级非线性模拟技术。
钢筋混凝土结构的边界条件也可能导致结构的非线性响应，例如基础的扰动、结构的支承和约束条件等。
所有这些条件都会导致模型在分析中出现非线性行为。
最后，非线性有限元分析可以简化结构设计的过程，并且可以更准确地分析结构的性能。
另外，分析过程中还可以考虑更多因素，例如局部的材料变形、应力浓度等等，让设计人员了解到结构的真实状态。
总之，钢筋混凝土结构非线性有限元分析是现代建筑结构中常用的一种结构分析方式，对于设计和施工都有着重要的意义。
如何利用非线性有限元法进行力学分析
如何利用非线性有限元法进行力学分析非线性有限元法是一种用于数值分析问题的计算方法，其主要应用于力学分析领域。
这种方法在于其对于复杂结构的建模能力和高精度数值计算能力而备受推崇。
在本文中，将介绍如何对力学问题进行分析，以及如何应用非线性有限元法对力学分析进行模拟。
1. 引言力学分析整体上分为两种类型：静力学分析和动力学分析。
静力学分析研究对于物体的力和静止条件进行研究，其中力一般会造成物体的运动。
而动力学分析则研究运动物体的变化，特别是再一定条件下物体的振动问题等。
因为力学分析问题具有很高的复杂性，很多时候需要使用非线性有限元法来得到更准确的结果。
下面我们将详细介绍使用非线性有限元法进行力学分析的方法和流程。
2. 有限元法简介有限元法是一种现代数值计算方法，它将大工程结构分割为小的有限元。
在每个有限元内，结构的物理性质可以被认为是常量。
(具体内容可以自己百度)3. 如何利用非线性有限元法进行力学分析使用非线性有限元法进行力学分析的核心是将宏观问题转变为微观问题来进行模拟计算。
其中需要注意下面几点：3.1 确定力学分析的类型根据要进行分析的结构本身的性质和应用场景，可能涉及到静力学分析或者动力学分析。
其中静力学分析的计算主要涉及到结构在平衡状态下的情况，而动力学分析主要涉及到结构在某种条件下的运动和振动情况。
因此，在进行力学分析之前需要确定其类型，以便进行后续的计算。
3.2 建立结构模型根据具体情况，需要对结构进行建模。
建模可以通过一定的工具软件实现，或者手工建立结构模型。
模型的建立需要考虑到其复杂性和具体的应用场景。
构建好结构模型之后，需要对其进行精细化剖分得到单元网格，并进行编号。
3.3 确定边界条件在进行力学分析时，还需要考虑结构的边界条件。
边界条件可以通过指定某些点的坐标或者某些角度的变化来确定。
因此，在进行计算时需要根据具体情况设定边界条件，以便进行后续的计算。
3.4 进行数值模拟计算运用有限元法的基本原理，将每个单元的机械性质进行计算，根据力学分析的情况，可以得到结构节点的位移、应变和应力等参数。
非线性有限元分析
课程名称：非线性有限元分析
英文名称：Nonlinear finite element methods
课程类型：√□讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：大作业、编程
教学方式：课堂讲授
适用专业：理工文医各专业
适用层次：硕士□√博士□√
开课学期：
总学时/讲授学时：40/40
a)Volume 1 & Volume 2
3.Bathe: Finite element procedures in engineering analysis. 1982
4.Cook, Malkus, Plesha, Witt: Concept and applications of finite element analysis. 2002
5.Simo, Hughes: Computational inelasticity. 1997
6.Zienkiewicz, Taylor: The finite element method. Volume 2. 2008
7.Reddy: An introduction to nonlinear finite element method. 2004
第九章接触
§9.1光滑及摩擦接触问题的数学描述
§9.2变分等式及变分不等式方法
§9.3一维无摩擦接触问题的求解方法及过程
§9.4摩擦接触问题算法
§9.5接触面相关的数学描述及算法
§9.6几种摩擦模型简介
第十章材料非线性
§10.1一维理想塑性ห้องสมุดไป่ตู้题及算法
§10.2基本的等向强化模型及算法
§10.3率无关塑性积分算法
Volume 1 & Volume 2
03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
非线性有限元在结构分析中的应用综述
非线性有限元在结构分析中的应用综述摘要：钢筋混凝土结构在土木工程中应用越来越广泛，随着理论研究的进一步深入和电子计算机的飞速发展，钢筋混凝土非线性有限元法得到了迅速的发展，尤其近几年来，在结构分析领域，钢筋混凝土非线性有限元法的应用日趋普遍。
因为非线性有限元法具有“全过程仿真”的特点，对于钢筋混凝土这种应用最为广泛而又复杂的结构更是有着其他方法无法比拟的优势。
从钢筋混凝土非线性有限元分析理论及其在结构工程中的应用说明了钢筋混凝土非线性有限元分析已成为结构分析中不可或缺的关键部分。
关键词：结构分析;非线性;仿真;有限元分析钢筋混凝土结构是土建工程中应用最为广泛的一种结构。
但是对钢筋混凝土的力学性能掌握的还不够全面，特别是混凝土。
因为混凝土成分复杂、性能多样。
长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的应力或内力，以极限状态的设计方法确定构件的承载能力、刚度、和抗裂性，显然二者是互不协调的。
非线性有限元分析就是结合钢筋混凝土特点而新发展起来的一种弹塑性分析方法。
有限元分析方法能够给出结构内力和变形发展的全过程;能够描述裂缝的形成和扩展，以及结构的破坏过程及其形态;能够对结构的极限承载能力和可靠度作出评估;能够揭示出结构的薄弱部位和环节，以利于优化结构的设计。
同时，它能广泛地适应于各种结构类型和不同的受力条件和环境。
一、有限元方法发展概况最早把有限元分析方法用于钢筋混凝土结构的是美国学者D.Ngo和A.C.Scordelies，在他们的研究中，沿用已有的有限元方法，将钢筋和混凝土均划分为三角形单元，用线弹性理论分析钢筋和混凝土的应力;并针对钢筋混凝土结构的特点，在钢筋和混凝土之间附加了一种粘结弹簧，从而可以分析粘结应力的变化;对于裂缝，他们根据实验，预先设置了一条剪切斜裂缝，裂缝间也附加了特殊的连结弹簧，以模拟混凝土裂缝间的骨料咬合力和钢筋的销栓作用。
1968年，Nilsson等人发展了Ngo的工作，将钢筋与混凝土之间的非线性粘结关系及混凝土的非线性应力应变关系引入有限元分析。
非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
第14章-几何非线性有限元分析1
d tx2 '' d tx2 '" d tx2
d tx3 '' d tx3 '" d tx3
eijk d 0xid 0xjd 0xk
eijk d txid txjd txk
3.1 物体运动的物质描述-体积及面积变换公式
d tx1
t '' dV d tx1 "' d tx1
t t 0 i j 0
t t t ijk 0 j m
d xi x , d x j
0 0 t i j
0
t
d xn ni dA e ( x , )( x , )d xm
t 0 k n 0
0 0 0 0
d 0xn (0t xi ,l )t ni t dA eijk (0t xi ,l )(0t x j ,m )(0t xk ,n )d 0xm
初始位形两邻点的距离为
t d 0xi 0xi( tx j d tx j )0xi( tx j )0 x , d t i j xj
因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形 t 0 中的线元 变换为现时位形中的线元 d xi ，这变换中既 d xi 有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很重要。
t xi t t ui t x 0 i, j ij 0 ui , j ij 0 0 xj xj
t 0 i, j
0xi t t ui t x 0 i, j ij ij t ui , j t t xj xj
t t i, j
( ds ) d xid xi
0 2 0 0
3.4 Green和Almansi应变张量
用I—DEAS软件进行结构几何非线性有限元分析
用I—DEAS软件进行结构几何非线性有限元分析维普资讯用IDA-ES软件进行结构几何非线性有限元分析长沙中联重工科技发展股份有限公司关键词：非线性有限元IDA-ES软件平衡方程迭代张劲值得注意的是，几何非线性问题和材料非线性问题的求解方法完全相同。
1非线性问题简介一般来说，固体力学的问题中的所有现象都是非2非线性有限元简介在有限元法中，平衡方程为[K】{}={dF}+{T}其中：线性的。
当载荷、材料特性、接触条件、结构刚度是位移的函数时，此类问题均属于非线性问题。
工程中有许多问题用线性理论解决会导致结果有很大的误差，甚至完全不合适，而必须用非线性理论来解决。
非线性问题分为几何非线性和材料非线性两大类。
前者是由结构变形的大位移所造成的(括大位移、小应变包和大位移、大应变问题)而后者是指材料的物理定律，是非线性的一类问题(如弹塑性、蠕变、粘弹性、粘塑性问题等)。
[K】=∑J.B】[[.[D】B】dv{F}=EJ,N】[】d[fv{}=∑J[[】dTN】f上式中∑是指在整个域中所有单元求和。
[K】是整体刚度矩阵，F}T}{、{分别为作用与节点上的当量在本例中，液压油冷却风机的启停和手遥转换开关的控制没有通过LO!OG。
由于风机功率只有20,5W可门和B6门，Q分配阀电磁铁线圈得电。
同样，2或使5正反泵控制信号IlB4l经2反相器输出低电平，2、2使B2B3与门无输出。
54主缸点动.直接采用按钮加小型接触器来控制，手遥转换开关也可以直接用两位旋钮开关控制即可。
当主缸点动信号I接通时，经Bl96或门，使Q主6缸电磁铁线圈得电。
当主缸点动信号I0l接通时，经Bl7从上述实例中，可以看出LG的使用是极其灵OO!活和方便的，使用者借助于(OG手册》(LO!的操作说明，并具有一定的逻辑电路知识，可以编出满足自己所要就求的应用程序。
当然除西门子公司的LO!OG产品以外，或门，使Q7主缸电磁铁线圈得电。
55正反泵.在前面分配阀点动的讨论中，可以看出，正反泵控日本三菱公司、松下电工、德国金钟一默勒公司和国内一一制信号I1l的变化，会直接影响到左、右分配阀电磁铁得电情况的变化。
第14章-几何非线性有限元分析1
很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大。这时 必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件必须建立 在变形后的位形上，同时应变表达式应包括位移的 二次项---平衡方程和几何条件都是非线性的；
金属成型材料在受载时都可能出现很大的应变， 这时除了采用非线性的平衡方程和几何关系外，还 需要引入相应的应力应变关系。
的应力，用
t ij
( j 1,2,3)
表
示
边界静力平衡条件
t τ ji t n j tdAtdTi
3.5 应力张量- Lagrange应力张量、 Kirchhoff应力张 量（名义应力张量）
然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前
的坐标（初始位形）表示的Green应变张量，那么，还需定义与之
3.1 物体运动的物质描述-体积及面积变换公式
0ni 0 dA eijk d 0xjd 0xk t ni tdA eijk d txjd txk d txi 0txi,jd 0x j d 0xi 0t xi,jd tx j
t ni tdA eijk( 0txj ,m )( 0txk ,n )d0xm d 0xn
相对应的，即关于变形前位形的应力张量。
对于变形后的位形（现时位形）tA ，
t dTi
有Euler应力张量
t τ ji t n j tdAtdTi
0 dTi
对于变形前的位形（初始位形） 0A，
可以定义名义应力
0 dTi 0 dA
? 0 dTi
3.5 应力张量- Lagrange应力张量、 Kirchhoff应力张
1 2
t 0
u
j
,i
非线性有限元分析
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
材料非线性有限元分析
材料非线性有限元分析材料非线性有限元分析是一种重要的计算力学方法，用于研究在载荷作用下，材料会发生非线性行为的情况。
这种分析方法已经被广泛应用于工程领域，例如建筑结构、航空航天以及汽车工业等。
本文将详细介绍材料非线性有限元分析的原理、方法和应用。
首先，我们来介绍一下材料非线性。
在工程领域，材料的非线性行为主要包括弹塑性、损伤、断裂、破坏等。
这些非线性行为往往在高载荷作用下会显著增加结构的应力和应变，从而导致结构的失效。
因此，准确地预测和分析这些非线性行为对于工程设计和结构优化具有重要意义。
材料非线性有限元分析是一种基于有限元方法的计算机模拟技术，用于模拟和分析复杂结构在非线性载荷下的力学行为。
它通过将结构离散为许多小的有限元单元，并以数学模型描述每个单元的材料行为，从而建立了结构的有限元模型。
然后，结构的力学行为可以通过求解相应的离散形式的力学方程得到。
在材料非线性有限元分析中，有两个关键问题需要解决。
首先是材料本构模型的建立。
材料本构模型是描述材料应力和应变关系的数学模型，常用的包括弹性模型、塑性模型、损伤模型等。
选择合适的材料本构模型对准确预测和分析结构的非线性行为至关重要。
其次是数值方法的选择。
对于材料非线性问题，通常需要使用迭代算法，如牛顿-拉夫森法，来求解非线性方程。
此外，还需要选择适当的数值积分方法，以解决离散形式的力学方程。
材料非线性有限元分析在许多领域都有广泛的应用。
在结构工程领域，它可以用于分析钢筋混凝土结构、大跨度桥梁以及高层建筑等的受力性能。
在航空航天领域，材料非线性有限元分析可用于研究飞机机翼、航天器的结构强度和振动特性。
在汽车工业中，它可以用于分析车辆的碰撞、耐久性和振动特性。
总结起来，材料非线性有限元分析是一种重要的计算力学方法，能够准确地模拟和分析结构在非线性载荷下的力学行为。
它在工程领域有着广泛的应用，能够为工程设计和结构优化提供科学依据。
未来随着计算机硬件和数值方法的不断发展，材料非线性有限元分析将在更多领域得到应用，并为解决工程实际问题提供更准确和高效的方法。
第6章 非线性有限元法(几何非线性)分析
FkiFkj ij dxidxi 2eijdxidxi
由于大变形问题有
２、限A元lm方an程sh主i应要变采用张量
T.L列式法或U.L列式 Alm法an建sh立i应，变因张此量应采在用初Eular运动 描述始方状法态，下即定按义当应前变状张态下的构 形定量义，应即变采张用量G。reen应
变ds张2 量d。s2 dxidxi dxidxi
dxidxi dxi Fki1Fkj1dx j
ij Fki1Fkj1 dxidxi 2Eij dxidxi
eij
1 2
FkiFkj ij
式中，eij称为Green应变张量或 Green-Lagrangian应变张量。
Eij
第六章 非线性有限元法（几何非线性）
1、变几形何非体线性的的有运限动元方描程一述 般采用T.L或U.L列式法建立！
变形体上的质点的运动状态 可以随不同的坐标选取以下几 种描述方法：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式 法—Total Lagrangian Formulation)：
选取t0=0时刻未变形物体的构 形A0作为参照构形进行分析。
uk xj
ij
ij
式中：
ij
1
ui
2 xj
u j xi
为小变形应变张量；
ij
1 2
uk xi
uk xj
为非线性二次项
2、Green变形张量也可写为：
eij
1 2
Cij
ij
式中，Cij是Cauchy变形张量
Cij FkiFkj
由于Cauchy变形张量是正定对称 阵，因此该张量有三个实特征值； 这些特征值的平方根记为材料的 主轴拉伸。
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轨道结构的非线性有限元分析姜建华 练松良摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。
钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。
根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。
关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析1 引言实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。
材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。
通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。
实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。
比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。
所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。
以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。
不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。
所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。
本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。
作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。
2 轨道结构的有限元接触模型对于非线性问题,不管是材料非线性、几何非线性,还是边界条件非线性,总是最终归结为求解一组非线性平衡方程及其控制方程。
例如用位移作为未知数进行有限元分析时,最后可得到一组平衡方程及其控制方程为:图1 轮轨系统的对称性模型简图[K(u)]{u}={R}(1) (u)= (u)(2)其中:{u}为节点位移列阵;{R}为节点载荷列阵; [K(u)]为总体刚度矩阵; (u)为边界条件。
它们36姜建华:同济大学工程力学系,副教授、博士,上海200092不同于线性问题的总体刚度矩阵和边界条件,而是节点位移的函数。
所以方程组(1)、(2)是一个关于节点位移列阵{u }的非线性方程组。
非线性问题的求解要比线性问题复杂得多。
求解方程组(1)、(2)一般采用牛顿-拉普森法或修正的牛顿-拉普森法[1]。
图1、图2和图3所示为根据非线性有限元理论建立的一种轨道结构的有限元计算模型(考虑到轨道结构的纵向性,在此仅取轨道结构右半部分建立模型)。
本文建立的非线性有限元模型由车轮、钢轨、扣件以及垫层四部分接触体所组成,车轮压在钢轨上,钢轨压在垫层上。
图2 轮轨结构系统对称性模型的右半部分 图3 钢轨结构系统有限元接触模型的剖面有限元接触模型在分析计算由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触所引起的轨距扩大问题时,为了减少计算量,不妨假设车轮以及垫层以下的轨枕和道床为刚性,并假设轮轨接触应力仍处于线弹性范围。
作用在车轮上的轴荷载,通过给定刚性车轮固定位移来实现。
即给定刚性车轮一定的垂直向下位移,使得钢轨对车轮的反力合力等于作用在车轮上的轴荷载。
当车轮碾过钢轨时,由于钢轨产生扭转变形,因此将引起车轮与钢轨之间的侧向滑动,轮轨接触点从A 0点向内滑移到A 1点(见图3)。
轮轨接触点的改变导致轮轨接触表面的接触角发生改变,使得车轮在钢轨上的作用力的水平分力P x 增大,从而导致轨距扩大。
据此可知,钢轨扭转角与轮轨之间的水平作用力之间存在耦合关系。
所以,车轮与钢轨的侧向滑动接触包含了几何非线性问题和边界条件非线性问题。
将扣件、钢轨及垫层视为三接触体,是因为当车轮碾过钢轨时,由于钢轨产生挠曲线变形,轮轨接触位置处的钢轨下沉,有可能导致原先紧扣在钢轨上的扣件与钢轨分离(或扣压力减少);而距轮载作用点一定距离上凸,又有可能导致钢轨与垫层的分离(或扣压力增大)。
所以,扣件、钢轨及垫层之间的接触点问题属于边界条件非线性问题。
3 计算结果分析作为算例,本文将用非线性有限元理论分析计算由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触而引起的轨距扩大问题。
设轨枕间隔为57cm,轨枕上垫层间隔也为57cm,轨底坡为1 40。
钢轨的有限单元建模依据为我国60kg m 标准钢轨;车轮建模依据为TB 型标准机车车轮[5];轴荷载为220kN,轮对间距为1.80m 。
设钢轨材料的弹性模量为200GPa,泊松比0.3,钢轨表面摩擦系数为0.2;垫层材料的弹性模量为80MPa,垫层厚度10mm,每块垫层与钢轨的接触面积为195.2cm 2。
为了模拟扣件对钢轨的弹性作用力,使得扣件对钢轨作用的等效弹簧刚度约为垫层的1 8[5,6],在此不妨采取等效弹性体模拟扣件。
在此设每块等效弹性体与钢轨的接触面积为8.0c m 2,并取等效弹性体的弹性模量为48837MPa 。
根据扣件与垫层的等效弹簧刚度比例关系,算得模拟扣件的等效弹性体高度为20mm 。
钢轨、垫层、等效弹性体均采用四面体单元划分,其单元总数分别为12000个、580个、80个。
由对称性条件可知,位于轨道结构对称面的单元节点纵向位移为零。
完成有限元建模后,采用牛顿-拉普森法求解方程组(1)。
本文将轨道结构的力学分析计算分为两种工况:!模拟钢轨上的扣件被拧紧过程;∀在第一工况基础上模拟受载车轮作用于钢轨时引起的轨道结构的力学响应。
模拟钢轨上的扣件被拧紧过程,是通过一刚性平面向下运动挤压该平面下方的等效弹性体,继而压紧钢轨下翼及其垫层来实现的。
钢轨被压紧后使得轨道结构整体刚度大大增加。
扣件被拧紧的程度不同,轨道结构整体刚度也有所不同。
为了说明关于处理轮轨结构这一非线性问题的解决思路,同时考虑到与试验研究的可比性,不妨将扣件不同的拧紧程度分为五类:当拧紧扣件使得扣件对钢轨的作用力分别达到16.58kN 、24.48kN 、28.80kN 、33.26kN 时,分别作为拧紧程度1、2、3、4、5。
作为本问题计算结果,图4、图5横坐标的左半部分代表了扣件被拧紧的过程,即第一种工况,相当于一虚拟时间单位;图4、图5横坐标的右半部分代表了第二种工况,相当于另一虚拟时间单位。
图4反映了在不同工况阶段,不同扣件拧紧程度对扣压力的影响。
其中图4右半部分说明了当车轮碾过钢轨时,所引起的位于轮轨接触位置处的扣件压力减小。
图5反映了在不同工况阶段,不同扣件拧紧程度对轨距扩大量的影响。
其中图5右半部分说明了当车轮碾过钢轨时,由于钢轨产生扭转变形以及车轮与钢轨之间的侧向滑动所引起的轨距扩大。
当拧紧扣件使得扣件对钢轨的作用力达到16.58万kN 时,即达到拧紧程度1时,其轨距扩大量计算结果为1.58mm (试验结果为1.63mm);当继续拧紧扣件使得扣件对钢轨的作用力达到33.26万kN 时,即达到拧紧程度5时,其轨距扩大量计算结果为1.48mm(试验结果为1.41mm)。
这说明扣件拧得越紧,钢轨产生扭转变形就越小,车轮与钢轨之间的相对侧向滑动也就越小,因此轨距扩大量也就越小。
图4 不同扣件拧紧程度对扣压力的影响 图5 不同扣件拧紧程度对轨距扩大量的影响4 结束语当扣件被拧紧时,扣件将与钢轨接触,同时又增加了钢轨与垫层之间的接触压力。
当受载车轮碾过钢轨时,不仅引起车轮与钢轨之间的竖向力和横向力作用,还将进一步增大轮轨接触位置处的钢轨与垫层之间接触压力,同时又减小了轮轨接触位置处的扣件的扣压力。
所以扣件拧紧程度不同,将改变钢轨的抗扭刚度,影响车轮与钢轨接触位置,继而影响车轮与钢轨之间横向力和侧翻力矩大小。
车轮与钢轨的侧向滑动接触,将改变轮轨之间水平作用力的大小。
扣件拧得越紧,钢轨产生扭转变形就越小,车轮与钢轨之间的相对侧向滑动也就越小,因此轨距扩大量也就越小。
用非线性有限元理论分析轨道结构的力学行38为,通过有限元接触模型模拟轨道结构,可较好地反映轨道结构各接触体相互作用、互相影响的复杂性。
随着非线性有限元理论日趋成熟以及计算机技术的日益发展,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的力学计算模型,已经成为可能。
参 考 文 献1 何君毅等.工程结构非线性问题的数值解法.北京:国防工业出版社,19942 孙菊芳.有限元法及其应用.北京:北京航空航天大学出版社,19903 Raymond,Roark J.Formulas for stress and strain.Fourth Edition,M cGRAW-HILL Book Co.4 谢天辅.铁路轨道结构静力计算问题.北京:中国铁道出版社,19795 童大埙.铁路轨道.北京:中国铁道出版社,19966 练松良,刘丽波等.载荷作用下轨距扩大的理论分析.铁道学报,2000,22(增刊)Analysis of the Non-linear Finite Element in Railway S tructuresJiang Jianhua1) Lian Songliang2)(1)Departmen t of Engineering Mechanics,Tongji Univ,Shanghai200331;2)Dep t.of Civil and railway Eng.,Tongji Univ.,Shanghai200331)Abstract The actual mechanical appearance of railway structure is a typical non-linear problem.The elastic rigidity of rail pad and ballast,anti-torque stiffness of rail,and cla mping force of fastener are the main factors that cause the widening of gauge.A non-linear contact model of finite element is presented in this paper,which is able to describe actually the contact relations between rail fastener and rail with pad supporting,as well as the sliding contact of wheel to rail.As an example,the widening of gauge,which is caused by the sliding contact of wheel to rail under different cla mping forces of fastener,is calculated with the help of non-linear finite ele ment method.Keywords wheel rail relation,cla mping force,non-linear elasticity mechanics,finite ele ment analysis(收稿日期:2002-02-23) (上接第35页)The Developing Running Gears of Light Rail VehiclesShen Gang(Dept.of Railway Vehicle Engineering,Tongji Univ.,Shanghai200331)Abstract Various types of running gears for light rail vehicle are illustrated and classified according to their spe cific features.Some typical new running gears are also presented as e xamples.On this basis,the author proposes an optimized method for the evaluation of the traditional bogies in curving perfor mance,and make a suggestion for the di versified development of the LRT vehicles.Keywords light rail vehicle,running gears,curving performance(收稿日期:2002-06-02)39。