模糊数学结课论文

模糊数学结课论文

模糊集合所含的元素是模糊的，它只能由其隶属函数来表示。然而，在研究和处理实际问题时我们总希望对模糊概念有个明确的认识和判定，即给定一个标准之后希望能知道某个元素，即模糊集合的明确归属问题。为此我们需要知道模糊集合与经典集合之间的相互转化关系。本论文简单介绍表现定理及其应用。 截集概念在模糊集合与经典集合的互相转化中起着重要的桥梁作用，在解决实际问题中也经常用到。

定义1 设()A X ∈F

,对任意[]0,1λ∈，记

()(){}d

d

A A x A x λλλ==≥，

称A λ为A 的λ-截集，λ称为置信水平。又记

()(){}d d

A A x A x λλλ•

•

==>，

称A λ•

为A 的λ-强截集。

用经典子集的集合套来表现模糊集，进一步阐明模糊集是由经典集扩充而成的。

定义2 令[]()():0,1,H X H λλ→P

满足：

()()1212H H λλλλ<⇒⊇,

称H 为X 上一个集合套，全体集合套组成的集合记作()X U .

定义3 在()X U 中规定运算并，交，补如下：

1212121212121):()()()(),2):()()()

(),

3)

:(

)()(),4)

:(

)()(),

5):()(1).

d

d

d

d

H H H H x H x H x H H H H x H x H x H H H H H H H H H γγγγγγγγγγγγλλλλλλ∈∈∈∈∈∈===

=

=-Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

定理1 （表现定理Ⅰ）设H 为X 上的任何一个集合套，则[0,1]

()A H λλλ∈=

是

X 上的一个模糊集，且[0,1]∀∈λ，有

(1)();A H αλ

α•

>=

λ (2)().A H λαλ

α<=

证明 因[0,1]λ∀∈，()()H X λ∈P ，而()()H X λλ∈F ，

故

()[]

()0,1H X λλλ∈∈F

，记

[0,1]

()A H λλλ∈=

.

根据分解定理欲证(1),(2)，只须证[0,1],()A H A λλλλ•

∀∈⊆⊆即可。

因为[0,1]

[()]()x A H x λαααλ•

∈∈⇒

∧>∨ 0[0,1]λ⇒∃∈，使00()()H x λλλ∧> 0λλ⇒>，且0()()1H x λλ= 0()().x H H λλ⇒∈⊆

另一方面，()()()1x H H x λλ∈⇒= [0,1]

[()]()()()H x H x αααλλλ∈⇒

∧≥∧=∨ ().A x x A λλ⇒≥⇒∈ 所以(),[0,1].A H A λλλλ•

⊆⊆∀∈证毕。

注 表现定理Ⅰ为我们提供一种构造模糊集的有效方法，即设(),H X ∈U 则()()[0,1]

A H X λλ∈=

∈λF ，其隶属函数为

[](){}

()0,1,.A x x H x X λλ=∨∈∈∈ (1)

例 设{}12345,,,,X x x x x x =，给定X 上一个集合套H 如下：

()()()()();(,,,,);;(,,,,);;(,,,,);;(,,,,);;(,,,,).H H H H H λλλλλλλλλλ=<<=≤≤=<≤=<≤==0 1111100.2 011110.20.5 010110.50.8 010100.81 01010 则由式(1)可得

[](){}

[](){}[]

[](){}[]

11220,0.8330,0.2()0,10,

()0,10.8,()0,10.2,

A x x H A x x H A x x H λλλλλλλλλλ∈∈=∨∈∈==∨∈∈=∨==∨∈∈=∨=

同理可得45()10,()0.5,A x A x ==故由所给集合套H 得到的模糊集合为

(0,0.8,0.2,1,0.5).A =

证明 对于任意()H X ∈U 及[0,1],λ∀∈有

(1)

()();H H βα

αλ

αλαβ<>>=

(2)

()().H H βα

αλ

αβαβ><<=

证明 （1）因对于任意βα<，()()H H αβ⊆，从而有

()().H H βα

αβ<⊆

故

()().H H βα

αλ

αλαβ<>>⊆

反之，对于任意αλ>，存在γ使αγλ>>.若()x H βα

β<∈

，则

()()x H H αλγα**>∈⊆

，从而有

()(H H βα

αλ

βα**<>⊆

，故

()()().H H H βα

αλ

αλαλ

βαα*

*<>>>⊆

=

所以

()().H H βα

αλ

αλαβ<>>=

（2）类似可证。

定理2 （表现定理Ⅱ）令

()()()()[]

0,1:,d

T X X H T H H λλλ∈→=

U F ,

那么，T 是()(),,,

X U 到()(),

,,

X F 上的同态满射，且

()()()T H H T H λλλ•

⊆⊆ []()0,1λ∈,

()()a T H H λλ

α<=

[]()0,1λ∈，

()()a T H H λλ

α•

>=

[]()0,1λ∈.

证明 1）()()()[]

()0,1,H X T H H X λλλ∈∀∈=

∈U F

唯一确定，所以T 是