实验4 Lingo求解最短路最小树问题

' '
v1
v5 v3 v4 v6
例1-2 假设某电力公司在7个村庄之间架设电线， 各村庄之间的距离如下图所示，试求出使电线总长度最 小的架线方案。
解：节点 1 表示树根，点 i 与 j 的距离用 cij 表示，当两个 节点之间没有线路相通时，两点之间的距离用很大的数 M 表示。引入 0-1 变量 xij ： xij 1(i j ) 表示从 i 到 j 的边在 架设线路中， xij 0(i j ) 表示该边不在线路中，则架线 方案可以归结为求上述赋权图的最小生成树。数学模型可 [5] 表示为 ：
sets: nodes/v1, v2, v3, v4, v5, v6/; lines(nodes, nodes)/ v1,v2 v1,v3 v1,v4 v1,v5 v1,v6 v2,v3 v2,v4 v2,v5 v2,v6 v3,v4 v3,v5 v3,v6 v4,v5 v4,v6 v5,v6/:w, x; endsets min wij xij data: (Vi ,V j )E w = 11 16 24 26 54 13 16 21 29 14 17 22 14 17 15; 1, i 1 n n enddata s.t. xij x ji 1, i n n=@size(nodes); j 1 j 1 0, i 1, n (Vi ,V j )E (V j ,Vi )E min=@sum(lines: w*x); xij 0, (Vi ,V j ) E @for(nodes(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: @sum(lines(i,j): x(i,j)) = @sum(lines(j,i): x(j,i))); @sum(lines(i,j)|i #eq# 1 : x(i,j))=1; @sum(lines(i,j)|j #eq# 6 : x(i,j))=1;
从上述求解报告得到最优架设线路 为1-2-3，2-4-5-6-7，总长度为13。
例题
某公司有一台已使用一年的设备,每年年底,公司
就要考虑下一年度是购买新设备还是继续使用这台旧设 备.若购买新设备,就要支出一笔购置费;若继续使用旧设 备,则要支付维修费,而且随着使用年限的延长而增加.已 知这种设备每年年初的购置价格,见下表 1,而第一年开 始使用的有一年役龄的老设备其净值为 8,不同使用年限 的维修费用见下表 2,试制定一个 5 年内设备的使用或更 新计划,使 5 年内设备的使用维修费和设备购置费的总支 出最小(化为最短路问题或建立优化模型求解)
sets: cities/A, B1, B2, C1, C2, C3, D/; roads(cities, cities)/ A,B1 A,B2 B1,C1 B1,C2 B1,C3 B2,C1 B2,C2 B2,C3 m i n w ij xij C1,D C2,D C3,D/: w, x; (V i ,V j ) E endsets data: 1, i 1 n n w = 2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4; s .t . xij x ji 1, i n enddata j 1 j 1 0, i 1, n (V i ,V j ) E (V j ,V i ) E n=@size(cities); xij 0, (Vi ,V j ) E min=@sum(roads: w*x); @for(cities(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: @sum(roads(i,j): x(i,j)) = @sum(roads(j,i): x(j,i))); @sum(roads(i,j)|i #eq# 1 : x(i,j))=1;
model: sets: city /1..7/:u; link(city,city):dist,x; n n endsets min z cij xij n=@size(city); i 1 j 1 data: n dist=0 3 4 7 100 100 100 xij 1, j 2,3,..., n, i j 3 0 3 2 4 100 100 i 1 4 3 0 100 5 7 100 n 7 2 100 0 2 100 6 s.t. x1 j 1, 100 4 5 2 0 1 4 j 2 100 100 7 100 1 0 2 u1 0,1 ui n 1, i 2,3,..., n. 100 100 100 6 4 2 0; enddata u j uk xkj (n 2)(1 xkj ) (n 3) x jk , k 1,..., n, j 2,..., n, j k min=@sum(link:dist*x); u(1)=0; @for(link:@bin(x)); @for(city(k)|k #GT# 1:@sum(city(i)|i #ne# k:x(i,k))=1; @for(city(j)|j #gt# 1 # and # j #ne# k:u(j)>=u(k)+x(k,j)-(n-2)*(1x(k,j))+(n-3)*x(j,k););); @sum(city(j)|j # GT # 1:x(1,j))>=1; @for(city(k)|k #gt# 1:u(k)>=1;u(k)<=n-Байду номын сангаас-(n-2)*x(1,k););
0.000000 1.000000 1.000000
由最终的输出结果知最优方案为：v1-v3-v6， 最短路长为38,即第一年使用已有1年役龄的旧 设备,一直使用到第3年初购买新设备,然后一直 使用到第5年底.5年内设备的维修费用和设备的 购买费用最少为38.
min
(V i ,V j ) E n
w
ij
xij
n
(P1)
1, i 1 s .t . xij x ji 1, i n j 1 j 1 0, i 1, n (V i ,V j ) E (V j ,V i ) E xij 0, (Vi ,V j ) E
实验１、用Lingo求解最短路、 最小树问题
(1)最短路问题 假设有向图有 n 个顶点。现需要求从顶 点 V1 到顶点 Vn 的最短路。设决策变量为 xij ，当 xij 1 ，说明弧 (Vi,Vj)位于顶点 V1 到顶点 Vn 的最短路上;否则 xij 0 ， 则求 V1 到 Vn 的最短路的数学模型为：
年份 年初价格
2 11
3 12
4 12
5 13
使用年限
0-1
1-2 3
2-3 5
3-4 8
4-5 12
5-6 18
年维修费用 2
第一年开始使用的有一年役龄的老设备其净值为8, 令：v 1：表示第一年开始使用的有一年役龄的老设备其净值为8; Vi : 第i年初购买一台新设备； (Vi,Vj)表示第I年初购买一新设备一直使用到第j-1年底。 W ij表示第I年初的购买费及使用到第j-1年底的维修费之和； 问题转化为从v1到v6(第5年底)的最短路。 注：第一年使用净值为8的老设备(相当于第一年购买费为8)，
(2)最小生成树问题 设无向图是连通的，且互不包有圈，则称该图为树。如果 有向图中任何一点都可由某一个顶点 V1 到达，则称 V1 为图 G 的根。如果有向图 G 有根。且关于它的基础图是树，则称 G 为有向树。 若 G 是包含 G 的全部顶点的子图，它又是树，则称 G 的生 成树。 若图 G(V , E ) 是一个连通赋权图， T 是 G 的一颗生成树， T 的每条边所赋权的和称为树 T 的权，称具有最小权的生成 树为 G 的最小生成树。 v2



Variable
Value N U( 2) U( 3) U( 4) U( 5) U( 6) U( 7) X( 1, 2) X( 2, 3) X( 2, 4) X( 4, 5) X( 5, 6) X( 6, 7)
Reduced Cost 7.000000 0.000000 1.000000 0.000000 2.000000 0.000000 2.000000 0.000000 3.000000 0.000000 4.000000 0.000000 5.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 3.000000 3.000000 2.000000 2.000000 1.000000 2.000000
Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations: Variable Value N 6.000000 X( V1, V2) X( V1, V3) X( V3, V6)
38.00000 0 Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
min
ij ij (Vi ,V j )E n n
w x
1, i 1 s.t. xij x ji 1, i n j 1 j 1 0, i 1, n (Vi ,V j )E (V j ,Vi )E xij 0, (Vi ,V j ) E
年份 年初价格
使用年限
2 11
0-1
3 12
1-2 3 2-3 5
4 12
3-4 8
5 13
4-5 12 5-6 18
年维修费用 2
注：第一年使用净值为8的老设备(相当于第一年购买费为8)，
w12 8 3 11
w13 8 3 5 16
w35 12 2 3 17
其中 E 为有向图的所有弧的集合, wij 为弧(Vi,Vj)的权.
例题 1-1 在下图中,用点表示城市,现有 A， B1， B2， C1，C2，C3，D 共 7 个城市，点与点之间的连线表示 城市间有道路相连，连线旁的数字表示道路的长度。 现计划从城市 A 到称市 D 铺设一条天然气管道， 请设 计出最小价格管道铺设方案。
min z cij xij
i 1 j 1 n n
n xij 1, j 2,3,..., n, i j i 1 n s.t. x1 j 1, j 2 u1 0,1 ui n 1, i 2,3,..., n. u j uk xkj (n 2)(1 xkj ) (n 3) x jk , k 1,..., n, j 2,..., n, j k