高一数学等比数列的概念及通项公式
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讲解新课：
课题导入
课本P48页的4个例子：
(1)细胞分裂问题 ①1，2，4，8，16，…
(2②)“1一，尺之12 棰，，14日，取18其半，，116万，世…不竭”从一第项二与它项前起一，项每
(3)计算机病毒感染问题
③1，20，202，203 ，204 ，…
之比等于同一常 数.
(4)银行复利计算问题
注意：
公比q能不能是零？
不能！！
注：(1)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 (2)公比不为0，即q≠0。
名称
等差数列
等比数列
定义
数学式 子表示 通项公式
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3,
q
1 2
，求a5；
(3)已知a9
1 9
,q
1 3
, 求a1；
(4)已知a1 2, a5 8,求q
对于通项公式an a1qn1来说，有a1 , q , an , n四个量， 可以知三求一
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
解： an a1qn1
a6 a3
a1q5 a1q2
16 2
a1 q
1 2
2
an
1 2n1 2
2n2
此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数 与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高 考必考的思想方法，应熟悉并掌握。
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 ,…… 263
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , …… 2 4 8 16
(3) 9，92，93，94，95，96
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？ 从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
公式
引申 am a1 (m 1)d
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
an=a1qn-1
am=a1qm-1
an qnm am
可得
an amqnm n,m N*
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
另解 :
Q an amqnm n, m N *
的前一项的 比 等于 同一个，常那数么这个数列就叫
做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
其数学表达式 (判断一个数列是否为等比
数列的依据)
an q(n 2) 或 an1
an1 q(n N *) an
an 0
练一练
指出下列数列是不是等比数列，若是，说 明公比；若不是，说出理由．
a6 a3q63 q3 16
2 q 2 an a3 qn3 2 2n3 2n2
例3 :已知等比数列an, a1
a3
10, a4
a6
5 4
,
求a5 a7的值。
接轨生活 世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩， 增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西 方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。
(1) １,2, 4, 16, 64, … 不是 (2) 16, 8, 1, 2, 0,… 不是 (3) 2, -2, 2, -2, 2 是 (4) a, a, a, a, a … 不一定
a0
思考：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么 关系？
若q>0，则各项的符号与a1相同； 若q<0，则各项的符号正负相间.
④100001.0198 ，100001.01982 ，100001.01983
100001.01984 ，100001.01985 ，……
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
忆一忆
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
an+1-an=d
an1 q an
an = a1 +（n-1）d
?
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
通项 公式
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，a1=a1 上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
法2：
法
n 2 , a2 q a1
……
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
名称
等差数列
等比数列
an am (n m)d n,m N*
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
an amqnm n, m N*
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 an a1 (n 1)d
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
等比数列
an a1qn1
法1பைடு நூலகம்不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1qn-1
名称
等差数列
等比数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2
课题导入
课本P48页的4个例子：
(1)细胞分裂问题 ①1，2，4，8，16，…
(2②)“1一，尺之12 棰，，14日，取18其半，，116万，世…不竭”从一第项二与它项前起一，项每
(3)计算机病毒感染问题
③1，20，202，203 ，204 ，…
之比等于同一常 数.
(4)银行复利计算问题
注意：
公比q能不能是零？
不能！！
注：(1)等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 (2)公比不为0，即q≠0。
名称
等差数列
等比数列
定义
数学式 子表示 通项公式
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数，一项的比都等于同一
那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3,
q
1 2
，求a5；
(3)已知a9
1 9
,q
1 3
, 求a1；
(4)已知a1 2, a5 8,求q
对于通项公式an a1qn1来说，有a1 , q , an , n四个量， 可以知三求一
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
解： an a1qn1
a6 a3
a1q5 a1q2
16 2
a1 q
1 2
2
an
1 2n1 2
2n2
此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数 与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高 考必考的思想方法，应熟悉并掌握。
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 ,…… 263
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , …… 2 4 8 16
(3) 9，92，93，94，95，96
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？ 从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
公式
引申 am a1 (m 1)d
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
an=a1qn-1
am=a1qm-1
an qnm am
可得
an amqnm n,m N*
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
另解 :
Q an amqnm n, m N *
的前一项的 比 等于 同一个，常那数么这个数列就叫
做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
其数学表达式 (判断一个数列是否为等比
数列的依据)
an q(n 2) 或 an1
an1 q(n N *) an
an 0
练一练
指出下列数列是不是等比数列，若是，说 明公比；若不是，说出理由．
a6 a3q63 q3 16
2 q 2 an a3 qn3 2 2n3 2n2
例3 :已知等比数列an, a1
a3
10, a4
a6
5 4
,
求a5 a7的值。
接轨生活 世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩， 增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西 方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下 个世纪世界性饥饿问题的法宝。
(1) １,2, 4, 16, 64, … 不是 (2) 16, 8, 1, 2, 0,… 不是 (3) 2, -2, 2, -2, 2 是 (4) a, a, a, a, a … 不一定
a0
思考：在等比数列中，各项的符号与公比q有什么 关系？
若q>0，则各项的符号与a1相同； 若q<0，则各项的符号正负相间.
④100001.0198 ，100001.01982 ，100001.01983
100001.01984 ，100001.01985 ，……
请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④ 四个数列有什么共同特征？
忆一忆
什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
an+1-an=d
an1 q an
an = a1 +（n-1）d
?
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
通项 公式
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，a1=a1 上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
法2：
法
n 2 , a2 q a1
……
名称
等差数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
名称
等差数列
等比数列
an am (n m)d n,m N*
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
an amqnm n, m N*
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 an a1 (n 1)d
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
等比数列
an a1qn1
法1பைடு நூலகம்不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1qn-1
名称
等差数列
等比数列
an a1 (n 1)d
法2：累加法
n 2 , a2 a1 d
n 2 , a2 a1 d
通项 公式
a3 a2 d
a4 a3 d
……
an an1 d
把这n-1个式子相加，得：
an a1 (n 1)d
当n=1时，上式成立
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2