普通高考(天津卷)适应性测试数学试题

2020年普通高考（天津卷）适应性测试数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题上并在规定位置粘贴考试用条形码，答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么如果事件A ,B 相互独立，那么()()()⋃=+P A B P A P B 如果事件A ,B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1,2}=-A ，{1,0,1}B =-，则U A C B =I （ ） A. {0,1} B. {2,2}-C. {2,1}--D. {2,0,2}-【答案】B 【解析】 【分析】先利用补集的定义求出U C B ，再利用交集的定义可得结果. 【详解】因为全集{2,1,0,1,2}U =--， {1,0,1}B =-，所以{2,2}U C B =-， 又因集合{2,0,1,2}=-A ，所以U A C B =I {2,2}-. 故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合.2.设a R ∈，则“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简2320-+≥a a ，再由充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】“2320-+≥a a ”等价于 “1a ≤或2a ≥”，“2a ≥”能推出“1a ≤或2a ≥”，而“1a ≤或2a ≥”不能推出“2a ≥”， 所以“2a ≥”是“2320-+≥a a ”的充分非必要条件， 故选：A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.函数2=x x y e的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.【详解】因为2=x x y e ，所以22'xx x y e-=， 令'0y =可得，0,2x x ==，即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数2=x x y e即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是36，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =，则三棱锥E -BCD 的体积是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为119BC CD CC ⋅⋅，结合长方体1111ABCD A B C D -的体积是36可得结果.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是36，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =， 所以136BC CD CC ⋅⋅=，三棱锥E -BCD 的体积是1132BC CD EC ⎛⎫⨯⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭111121136432399BC CD CC BC CD CC ⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭ 故选：B.【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分布直方图如图，则图中t的值为（）分组频数频率[0,0.5) 4 0.04[0.5,1)8 0.08[1,1.5)15 a[1.5,2)22 0.22[2,2.5)m 0.25[2.5,3)14 0.14[3,3.5) 6 0.06[3.5,4) 4 0.04[4,4.5) 2 0.02合计100 1.00A. 0.15B. 0.075C. 0.3D. 15【答案】C 【解析】 【分析】由频率和为1可求得0.15a =，再除以组距即可得结果. 【详解】因为0.04+0.08+a +0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02=1， 所以0.15a =， 又因为组距等于0.5， 所以t 的值为0.150.30.5=， 故选：C.【点睛】直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数且在区间[0,)+∞单调递减，则（ ） A. ()()221log log 23f f f ππ-⎛⎫>> ⎪⎝⎭B. ()()221log 2log 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ C. ()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ D. ()()2212log log3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性判断出22log lo 2g 3ππ->> ，再利用函数()f x 的单调性与奇偶性可得结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 根据对数函数单调性可得2223log 1l g 2o log π>=>， 根据指数函数的单调性可得01022π-<=<，所以22log lo 2g 3ππ->>，因为()f x 在区间[0,)+∞单调递减， 所以()()()222log 3log f f f ππ->>，即()()2212loglog 3-⎛⎫>> ⎪⎝⎭f f f ππ 故选：C.【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为（ ）A.152B.403C.203D.3【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点，再利用直线垂直斜率相乘等于-1可得结果.【详解】抛物线22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线221169x y -=的右焦点为()15,0F ，所以110FF p k =-，又因为双曲线的渐近线为34y x =?，所以134011043FF p k p =-⨯=-⇒=， 故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的焦点，考查了双曲线的渐近线方程以及直线垂直斜率之间的关系，属于基础题.8.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()y f x =的图象关于直线54=x π对称 C.74π是()f x 的一个零点 D. ()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为221ππ=，正确； 对于B ，54=x π时，1y =-为最小值，()y f x =的图象关于直线54=x π对称，正确； 对于C ， 74x π=时，0y =，74π是()f x 的一个零点，正确；对于D ，()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，错误， 故选：D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.9.已知函数22,0()24,0x x x f x x x x⎧+⎪=⎨->⎪⎩…，若函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 90,16⎛⎫⎪⎝⎭B. 9,16⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.19,00,1616⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象，分两种情况讨论，分别求出直线与曲线()240x y x x-=>相切时的斜率，结合函数图象的交点个数，即可判断函数()()|1|=--F x f x kx 有且只有3个零点时实数k 的取值范围. 【详解】0k >时，1y kx =-过()0,1-，设1y kx =-与()240x y x x -=>切于11124,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为24'y x =，214k x ∴=，则111211241489,,0316x x x k x x -+=⇒==- 画出()f x 的图象，由图可知，当90,16k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点 k 0<时，11y kx y kx =-==-+，1y kx =-+过()0,1，设1y kx =-+与()240x y x x -=>切于22224,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为24'y x =，所以224k x -=， 可得222222241411801616x x x k k x x --=⇒=⇒-=⇒=--， 画出()f x 的图象，由图可知，当10,16k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即1,016k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点，综上可得，19,00,1616k ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()y f x =与1y kx =-有三个交点，即()()1F x f x kx =--有三个零点. 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第II 卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5份，共30分10.i 是虚数单位，复数321+=-ii________________.【答案】1522i + 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】()()()()32132151112i i i i i i i ++++===--+1522i +， 故答案为：1522i +. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11.已知直线250x y +-=与圆229x y +=交于点A ,B 两点，则线段AB 的长为____________. 【答案】4 【解析】 【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得结果. 【详解】因为229x y +=的圆心为()0,0，半径3r =，()0,0到直线250x y +-=的距离d ==，所以线段AB 的长为4=， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.12.在42x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是________．【答案】8- 【解析】【分析】写出42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，让x 的指数为零，求出常数项.【详解】因为42x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：44431442()(2)rrrr r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-⋅，所以令44013r r -=⇒=，常数项为114(2)8C ⋅-=-. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力. 13.已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果相互独立，则恰投中两次的概率为：_____________；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数,则随机变量X 的数学期望为____________. 【答案】 (1). 49(2). 2 【解析】 【分析】由独立重复试验的概率公式可得恰投中两次的概率；分析题意可得随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可得结果.【详解】由独立重复试验的概率公式可得，恰投中两次的概率为223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； X 可取0，1，2，3， 3032(0)332117P X C ︒⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 21321)2(1339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 223(22)33914P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30332(3)327831P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则随机变量2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2323EX np ==⨯=， 故答案为：4,29. 【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．14.已知0,0a b >>，则2233224++a b a b a b的最小值为______________. 【答案】4 【解析】 【分析】 化简原式为2214ab b a++，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】22332222414a b a b ab a b b a++=++ab ≥44ab ab =+≥=， 当且仅当22144b a ab ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩等号成立，所以，2233224++a b a b a b 的最小值为4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15.如图，在ABC V 中，3,2,60︒==∠=AB AC BAC ，D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12⋅=u u u r u u u r AD AE ，则||=uuu r AD ______________，若P 是线段DE 上的一个动点，则⋅u u u r u u u r BP CP 的最小值为_________________.【答案】 (1). 1 (2). 116- 【解析】 【分析】由12⋅=u u u r u u u r AD AE 利用数量积公式可求||AD u u u r 的值为1，设DP 的长为x ，则1PE x =-，2,1BD EC ==，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得⋅u u u r u u u r BP CP 22x x =-，再利用配方法可得结果【详解】11cos60122AD AE AD AE AD ⋅=⋅⋅=⨯⨯=ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，1AD ∴=u u u r ；又因为1AE =且60BAC ︒∠=，∴ADE ∆为正三角形，1DE AD AE ∴===，120BDP CEP ∠=∠=o ，2,1BD EC ==，设DP 的长为x （01x ≤≤），则1PE x =-，，()()BP CP BD DP CE EP ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rBD CE BD EP DP CE DP EP =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1112121111222x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+--+⋅⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111,241616x x x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭14x =时取等号，BP CP ∴⋅u u u r u u u r 的最小值为116-.故答案为：1，116-. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知223()32-=-a c b ac （1）求cos B 的值 （2）若53a b = （i ）求sin A 的值 （ii ）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）23；（2）（i ;（ii . 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求cos B 的值即可；（2）（i ）由（1）可得sin 3B =，再利用正弦定理求sin A 的值；（ii ）利用二倍角的余弦公式求得sin 5A =，可得25cos A =，再由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1） 在ABC ∆中，由()22332a c b ac -=-，整理得222223a cb ac +-=，又由余弦定理，可得2cos 3B =； （2）（i ）由（1）可得5sin 3B =，又由正弦定理sin sin a b A B =， 及已知53a b =，可得sin 355sin 535a B Ab ==⨯=； （ii ）由（i ）可得23cos 212sin 5A A =-=，由已知53a b =，可得a b <，故有A B <， A ∴为锐角，故由5sin 5A =，可得25cos 5A =，从而有4sin 22sin cos 5A A A ==,4331433sin 2sin 2cos cos 2sin 666552A A A πππ+⎛⎫∴+=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 17.如图，在四棱锥P 一ABCD 中，已知5,4,22=====AB BC AC AD DC ，点Q为AC 中点，PO ⊥底面ABCD ,2PO =，点M 为PC 的中点.（1）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值； （2）求二面角D -AM -C 的正弦值；（3）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且//NQ 平面ADM ，求线段OQ 的长.【答案】（1）755；（2）110；（3）43.【解析】 【分析】以O 为原点，分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系，（1）求出直线PB 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面ADM 的法向量，可求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（2）由已知可得OB ⊥平面AMC ，故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量，结合（1）中平面ADM 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求二面角D -AM -C 的余弦值，从而可得正弦值；（3）设线段OQ 的长为()02h h ≤≤，则点Q 的坐标为()0,0,h ，由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-，利用直线NQ uuu r与平面的法向量数量积为零列方程求解即可.【详解】依题意，以O 为原点，分别以向量,,OB OC OP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向，可以建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,2,0)O A B C -，(2,0,0),(0,0,2),(0,1,1)D P M -.（1）依题意，可得(2,2,0),(0,3,1)AD AM =-=u u u u ru u u r ，设(),,n x y z =r 为平面ADM 的法向量，则00n AD n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即22030x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨设1y =，可得()1,1,3n =-r ，又()1,0,2PB =-u u u r ， 故755cos ,||||PB n PB n PB n ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，∴直线PB 与平面ADM（2）由已知可得,OB AC OB PO ⊥⊥， 所以OB ⊥平面AMC ，故OB uuu r是平面AMC 的一个法向量，依题意可得()1,0,0OB =u u u r，因此有cos ,||OB n OB n OB n ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r，于是有sin ,OB n 〈〉=u u u r r ，∴二面角D -AM -C（3）设线段OQ 的长为()02h h ≤≤，则点Q 的坐标为()0,0,h ，由已知可得点N 的坐标为()1,0,1-，进而可得()1,0,1NQ h =-u u u r，由//NQ 平面ADM ，故,0NQ n NQ n ⊥∴⋅=u u u r r u u u r r，即()1310h --=，解得[]40,23h =∈， ∴线段OQ的长为43. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）已短直线m =+y 与椭交于A 、B 两点，点P 的坐标为0)，且1PA PB ⋅=-uu r uu r,求实数m 的值.【答案】（1）22193x y +=；（2）3m =-. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得椭圆的方程；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，利用平面向量数量积公式，结合条件1PA PB ⋅=-uu r uu r列方程求解即可.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2223c a =，又由222a b c =+，可得223a b =，由点3⎛ ⎝⎭T 在椭圆上，有228113a b +=， 由此可得229,3a b ==，∴椭圆的方程为22193x y+=；（2）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ,由方程组22193y mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，整理可得227390x m ++-=，①由求根公式可得2121239,77m x x x x -+=-=，② 由点P的坐标为()，可得()()1122,PA x y PB x y =-=-u u u r u u u r，故()12121212128PA PB x xy y x x x x y y ⋅=-+=-+++-u u u r u u u r，③又1122,y m y m =+=+Q，()21212122y y x x x x m ∴=++，代入上式可得()2121238PA PB x x x x m ⋅=+-+++u u u r u u u r ，由已知1PA PB ⋅=-uu r uu r ，以及②，可得()22339817m m -+=-，整理得2690m m ++=，解得3m =-，这时，①的判别式2122521440m ∆=-+=>，故3m =-满足题目条件，3m ∴=-.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数，且347a a a +=,245⋅=b b b ,4234=-a b b 数列{}n c 满足212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩其中*m ∈N .（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）记()*3231313331n n n n n n n t c c c c c c n N---+=++∈，求数列{}nt 的前n 项和.【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）262816415315n n n -⨯+⨯+. 【解析】 【分析】（1）利用341+=a a a ,245⋅=b b b ,4234=-a b b 列方程求出，等差数列的首项、等比数列的首项与公比，从而可得结果；（2）先根据212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m -=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩得222121243212222232n n n n n n n t n n n -----=⋅+⋅+⋅=+⋅，再根据分组求和与错位相减求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则1d =，由347a a a +=，可得11a d ==，由245⋅=b b b ，可得24411b q b q ⋅=⋅，又10,0b q ≠≠Q ，故可得11b =，再由4234=-a b b ，可得2440q q -+=，解得2q =，()1,2n n n a n b n N -*∴==∈；（2）22212,322,31,3m m n n m c n m m n m --⎧=-⎪==-⎨⎪=⎩，其中n *∈N ，222121243212222232n n n n n n n t n n n -----∴=⋅+⋅+⋅=+⋅，记4321111,2,2nnnk k nk n n k k k T t A B k --======⋅∑∑∑，则()()442122161221612151515nnn nA ⨯--===⨯--， 2112283322n n B n -=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，①故有2121418232(1)22n n n B n n -+=⨯+⨯++-⨯+⨯L ，② ①-②可得21213283222n n n B n -+-=++++-⨯L ()21214214n n n +-=-⨯-262433n n -=⨯-， 由此可得6223433n n n B -=⨯+， 由3n n n T A B =+，故可得262816415315n n n n T -=⨯+⨯+. 【点睛】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.20.已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-ag x x x x，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =. （1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值 （3）证明()*11ln(21)2=>+∈nk n n N【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()220000ln 20x x x x a --+=，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，可证明ln x>，取*21,21k x k N k +=∈-，可得ln(21)ln(21)k k >+--=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.【详解】（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '=--，令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x-=，由()'0h x =，可得1x =，可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x'=--， 由已知得()'0g x =，即20002ln 0x x x a --=，①由()02g x =可得，()220000ln 20x x x x a --+=，②联立①②，消去a ，可得()20002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)'()2x x x t x x x x--=--=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增，注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，01,1x a ∴==；（3）证明：由（1）知()22ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，2222ln 1()1()0x x x f x g x x x'---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->，亦即22(ln )x >，0,ln 0x >>ln x >，取*21,21k x k N k +=∈-，ln(21)ln(21)k k >+--=，故11(ln(21)ln(21))ln(21)nk nk k k π==>+--=+∑11ln(21)()2ni x n N *=∴>+∈.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。