科学计算方法21(常微分方程数值解)
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一阶微分方程的初值问题:
y( x) f ( x, y( x))
y(
x0
)
y0
其中已知f(x, y)和初值 y0。
理论上寻找满足条件的函数是困难的。 寻找函数 y(x)在一系列离散结点
x0 x1 x2 xn
上的近似值y0, y1, y2,···,yn,···。相邻两个节点的间距 h=xi+1 – xi称为步长。
并用后向差分格式代替其中的导数项
y( xn1 ) h
y( xn )
Baidu Nhomakorabea
y( xn1 )
f ( xn1 , y( xn1 ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
隐式Euler公式: yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
9/45
为了改善精度, 可以用中心差商代替其中的导数项
10/45
方程中含有导数项y′, 这是微分方程的本质特征, 也是微分方程难以求解的症结所在。常见解决思路 通常为数值微分和数值积分。
y' = f (x, y)
xn1 y( x)dx xn1 f ( x, y( x))dx
xn
xn
微积分基本定理
b
y( x)dx y(b) y(a)
a
y( xn1) y( xn )
y f ( x, y)
y(
x0
)
y0
设在区间[xn, xn+1]的左端点xn 列出方程。
y( xn ) f ( xn , y( xn ))
并用前向差分格式代替其中的导数项
y( xn1 ) h
y( xn )
y( xn )
f ( xn , y( xn ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
xn1 y( x)dx
xn
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
左矩形积分公式
xn1 xn
f (x,
y( x))dx
hf
( xn ,
y( xn ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
显式Euler方法 yn1 yn hf ( xn , yn )
11/45
y' = f (x, y)
P(t ) r(1 P(t ) / K )P(t ), P(t0 ) P0
其中K是所研究地区人口的上界。
2/45
引例2. 神经元活动的数学模型 Hodgkin和Huxley通过建立神经细胞或神经元的仿
真启动模型使计算机神经科学得以诞生。因为这个工 作,他们获得了1963年的诺贝尔生物学奖。
3/45
xn
yn
y(xn)
xn
yn
y(xn)
0.1 1.1000 1.0954 0.6 1.5090 1.4832
0.2 1.1918 1.1832 0.7 1.5803 1.5492
0.3 1.2774 1.2649 0.8 1.6498 1.6125
0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6732
xn1 y( x)dx xn1 f ( x, y( x))dx
xn
xn
微积分基本定理
b
y( x)dx y(b) y(a)
a
y( xn1) y( xn )
xn1 y( x)dx xn1 f ( x, y( x))dx
xn
xn
右矩形积分公式
xn1 xn
f (x,
y( x))dx hf ( xn1,
《数值分析》 23
解一阶常微分方程欧拉法 局部截断误差与p阶精度 Range-Kutta公式 一阶常微分方程组和二阶方程 线性多步法简介
1/45
引例1. 人口模型 1798年Malthus提出了如下人口模型
P(t ) rP(t ), P(t0 ) P0
相对更加合理的模型是如下的logistic模型
y( xn1 ) y( xn1 ) 2h
y( xn )
f ( xn , y( xn ))
若用y(xn)和y(xn-1)的近似值yn和yn-1代入上式, 并记所得
结果为yn+1
yn1 yn1 2hf ( xn , yn )
显式Euler公式和隐式Euler公式都是单步法, 其特 点是计算yn+1时只用到前一步的信息yn,然而上述格式需 要前一步的信息yn和更前一步的信息yn-1。即利用了前 面两步的信息, Euler两步公式因此得名。
5/45
前向差分公式
f ( x)= f ( x h) f ( x) h f ( )
h
2
后向差分公式
f ( x)= f ( x) f ( x h) h f ( )
h
2
中心差分公式
f ( x)=
f ( x h)
f ( x h) h2
f ( )
2h
6
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方程中含有导数项y′, 这是微分方程的本质特征, 也是它难以求解的症结所在。
引例3. Lorenz模型 (lorenzgui) 根据大气运动的规律,Lorenz建立了简化的数学
模型。Lorenz经过研究发现,天气预测具有对初始条 件的敏感依赖性, 即初始条件最微小的差异都会导致 天气的行为无法准确预测。Lorenz结论說天气的长期 预报是不可能的。1979年12月, Lorenz在华盛顿的美 国科学促进会的一次演讲中提出：一只蝴蝶在巴西扇 动翅膀有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。 他的结论給人们留下了极其深刻的印象。从此以后, 所谓蝴蝶效应之说不胫而走。
Euler公式: yn1 yn hf ( xn , yn )
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例1. 用Euler法求初值问题的数值解。
y
y 2x , y
0
x1
y(0) 1
解析解y( x) 1+2x
解:取步长h=0.1, xn= nh (n = 0, 1,···, 10)
Euler公式: yn+1 = yn + 0.1( yn－ 2xn /yn) (n = 0, 1, ···,10)
y( xn1 ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
隐式Euler法 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321
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方程中含有导数项y′, 这是微分方程的本质特征, 也是它难以求解的症结所在。
y f ( x, y)
y(
x0
)
y0
设在区间[xn, xn+1]的右端点xn+1 列出方程。
y( xn1 ) f ( xn1 , y( xn1 ))
一阶微分方程的初值问题:
y( x) f ( x, y( x))
y(
x0
)
y0
其中已知f(x, y)和初值 y0。
理论上寻找满足条件的函数是困难的。 寻找函数 y(x)在一系列离散结点
x0 x1 x2 xn
上的近似值y0, y1, y2,···,yn,···。相邻两个节点的间距 h=xi+1 – xi称为步长。
并用后向差分格式代替其中的导数项
y( xn1 ) h
y( xn )
Baidu Nhomakorabea
y( xn1 )
f ( xn1 , y( xn1 ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
隐式Euler公式: yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
9/45
为了改善精度, 可以用中心差商代替其中的导数项
10/45
方程中含有导数项y′, 这是微分方程的本质特征, 也是微分方程难以求解的症结所在。常见解决思路 通常为数值微分和数值积分。
y' = f (x, y)
xn1 y( x)dx xn1 f ( x, y( x))dx
xn
xn
微积分基本定理
b
y( x)dx y(b) y(a)
a
y( xn1) y( xn )
y f ( x, y)
y(
x0
)
y0
设在区间[xn, xn+1]的左端点xn 列出方程。
y( xn ) f ( xn , y( xn ))
并用前向差分格式代替其中的导数项
y( xn1 ) h
y( xn )
y( xn )
f ( xn , y( xn ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
xn1 y( x)dx
xn
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
左矩形积分公式
xn1 xn
f (x,
y( x))dx
hf
( xn ,
y( xn ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
显式Euler方法 yn1 yn hf ( xn , yn )
11/45
y' = f (x, y)
P(t ) r(1 P(t ) / K )P(t ), P(t0 ) P0
其中K是所研究地区人口的上界。
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引例2. 神经元活动的数学模型 Hodgkin和Huxley通过建立神经细胞或神经元的仿
真启动模型使计算机神经科学得以诞生。因为这个工 作,他们获得了1963年的诺贝尔生物学奖。
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xn
yn
y(xn)
xn
yn
y(xn)
0.1 1.1000 1.0954 0.6 1.5090 1.4832
0.2 1.1918 1.1832 0.7 1.5803 1.5492
0.3 1.2774 1.2649 0.8 1.6498 1.6125
0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6732
xn1 y( x)dx xn1 f ( x, y( x))dx
xn
xn
微积分基本定理
b
y( x)dx y(b) y(a)
a
y( xn1) y( xn )
xn1 y( x)dx xn1 f ( x, y( x))dx
xn
xn
右矩形积分公式
xn1 xn
f (x,
y( x))dx hf ( xn1,
《数值分析》 23
解一阶常微分方程欧拉法 局部截断误差与p阶精度 Range-Kutta公式 一阶常微分方程组和二阶方程 线性多步法简介
1/45
引例1. 人口模型 1798年Malthus提出了如下人口模型
P(t ) rP(t ), P(t0 ) P0
相对更加合理的模型是如下的logistic模型
y( xn1 ) y( xn1 ) 2h
y( xn )
f ( xn , y( xn ))
若用y(xn)和y(xn-1)的近似值yn和yn-1代入上式, 并记所得
结果为yn+1
yn1 yn1 2hf ( xn , yn )
显式Euler公式和隐式Euler公式都是单步法, 其特 点是计算yn+1时只用到前一步的信息yn,然而上述格式需 要前一步的信息yn和更前一步的信息yn-1。即利用了前 面两步的信息, Euler两步公式因此得名。
5/45
前向差分公式
f ( x)= f ( x h) f ( x) h f ( )
h
2
后向差分公式
f ( x)= f ( x) f ( x h) h f ( )
h
2
中心差分公式
f ( x)=
f ( x h)
f ( x h) h2
f ( )
2h
6
6/45
方程中含有导数项y′, 这是微分方程的本质特征, 也是它难以求解的症结所在。
引例3. Lorenz模型 (lorenzgui) 根据大气运动的规律,Lorenz建立了简化的数学
模型。Lorenz经过研究发现,天气预测具有对初始条 件的敏感依赖性, 即初始条件最微小的差异都会导致 天气的行为无法准确预测。Lorenz结论說天气的长期 预报是不可能的。1979年12月, Lorenz在华盛顿的美 国科学促进会的一次演讲中提出：一只蝴蝶在巴西扇 动翅膀有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。 他的结论給人们留下了极其深刻的印象。从此以后, 所谓蝴蝶效应之说不胫而走。
Euler公式: yn1 yn hf ( xn , yn )
7/45
例1. 用Euler法求初值问题的数值解。
y
y 2x , y
0
x1
y(0) 1
解析解y( x) 1+2x
解:取步长h=0.1, xn= nh (n = 0, 1,···, 10)
Euler公式: yn+1 = yn + 0.1( yn－ 2xn /yn) (n = 0, 1, ···,10)
y( xn1 ))
若用y(xn)的近似值yn代入上式, 并记所得结果为yn+1
隐式Euler法 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321
8/45
方程中含有导数项y′, 这是微分方程的本质特征, 也是它难以求解的症结所在。
y f ( x, y)
y(
x0
)
y0
设在区间[xn, xn+1]的右端点xn+1 列出方程。
y( xn1 ) f ( xn1 , y( xn1 ))