1.2.2集合的运算1教案教师版

1.2.2 集合的运算

第1课时交集与并集

【学习要求】

1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．

2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用．

3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算．

【学法指导】

通过观察和类比，借助Venn图理解集合的交集及并集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.交集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫

做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B} .

2.交集的性质：(1)A∩B＝ B∩A ；(2)A∩A＝A ；

(3)A∩∅＝∅∩A＝∅；(4)如果A⊆B，则A∩B＝A .

3.并集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A 与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} .

4.并集的性质：(1)A∪B＝ B∪A ；(2)A∪A＝A ；(3)A∪∅＝∅∪A＝A ；(4)如果A⊆B，则A∪B

＝B .

研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．

探究点一交集

问题1你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,8}，C＝{3,4,5}；

(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0

(3)A＝{x|x为高一(4)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(4)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为

高一(4)班语文、英语测验优秀者}．

答：通过观察得出集合C由集合A和集合B中的相同的元素构成．

问题2在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？

答：交集的定义：一般地，对于给定的集合A，B，由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

问题3如何用集合语言表示直线l与⊙O相交于两点A，B?

答：l∩⊙O＝{A，B}

问题4对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？

答：A∩B＝B∩A, A∩B⊆A，A∩B⊆B.

问题5如何用Venn图表示集合A∩B?

答：集合A∩B为下图所示的阴影部分．

问题6A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝∅呢？

答：都有可能成立．当A⊆B时，A∩B＝A成立；

当集合A、B没有共同的元素时，A∩B＝∅.

例1 求下列每对集合的交集：

(1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}；

(2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}．

解(1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}；

(2)C∩D＝∅.

小结 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．

跟踪训练1 设A ＝{x|x 是奇数}，B ＝{x|x 是偶数}，求A∩Z ，B∩Z ，A∩B.

解：因为A 是Z 的子集，B 是Z 的子集，所以A∩Z ＝A ，B∩Z ＝B ，A∩B＝{x|x 是奇数}∩{x|x 是偶数}＝∅.

例2 已知A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，求A∩B.

解：A∩B＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}∩{(x，y)|3x ＋2y ＝7}＝{(x ，y)|⎩⎨⎧

4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7}＝{(1,2)}． 小结：由于集合A 和B 都是一个二元一次方程的解集，集合A 和B 的元素是有序实数对，所以A 交B 为二元一次方程组的解集．

跟踪训练2 已知A ＝{x|x 是等腰三角形}，B ＝{x|x 是直角三角形}，求A∩B.

解 A∩B＝{x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}＝{x|x 是等腰直角三角形}．

探究点二 并集

问题1 请同学们考察下列两组集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？

(1)A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，C ＝{1,2,3,4,5,6}；

(2)A ＝{x|x 是有理数}，B ＝{x|x 是无理数}，C ＝{x|x 是实数}．

答：通过观察，得出集合A 和集合B 的元素放在一起即为集合C 的元素．

问题2 在问题1中，我们称集合C 为集合A ，B 的并集，那么如何定义两个集合的并集？

答：一般地，对于两个给定的集合A 与B ，由两个集合的所有元素构成

的集合，叫做A 与B 的并集，记作A∪B，读作“A 并B”．即 A∩B＝{x|x∈A

或x∈B}.

问题3 如何用Venn 图表示集合A 与B 的并集？

答：集合A∪B 可用下图(1)或(2)阴影表示．

问题4 如何用并集运算符号表示问题1中A ，B ，C 三者之间的关系？

答：A∪B＝C.

问题5 集合的并集有什么性质？

答：(1)A∪B＝B∪A，(2) A∪A＝A ；(3)A∪∅＝∅∪A＝A ；

(4) 如果A ⊆B ，那么A∪B＝B.

问题6 A∪B＝A 可能成立吗？ A∪B＝∅呢？

答：都有可能成立．当B ⊆A 时，A∪B＝A 成立；

只有当A ＝B ＝∅时，A∪B＝∅.

例3 已知Q ＝{x|x 是有理数}，Z ＝{x|x 是整数}，P ＝{x|x 是无理数}，求Q∪Z，Q∪P.

解：Q∪Z＝{x|x 是有理数}∪{x|x 是整数}＝{x|x 是有理数}＝Q ；

Q∪P＝{x|x 是有理数}∪{x|是无理数}＝{x|x 是实数}．

小结：两个集合的并集仍是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数

轴解题．

跟踪训练3 (1)设A ＝{4,5,6,8}，B ＝{3,5,7,8}，求A∪B.

(2)设集合A ＝{x|－1

A∪B.

解：(1)A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}．

(2)A∪B＝{x|－1

还可以在数轴上表示A∪B，如图．

探究点三 交集、并集的应用

例4 已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，若A∪B＝A ，求实数a 的值． 解 ∵A＝{1,2}，A∪B＝A ，

∴B ⊆A ，∴B＝∅或B ＝{1}或B ＝{2}或B ＝{1,2}．

当B ＝∅时，Δ<0，a 不存在，