数学模型与数学建模实验五

实验报告五

学院名称：理学院 专业年级： 姓 名： 学 号：

课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2015年12月8日

一、实验题目

例2.2.1 水库库容量与高程

设一水库将河道分为上、下游两个河段，降雨的开始时刻为8时，这是水位的高程为

168m ，水库容量为38109.21m ⨯，预测上游的流量()()s m t Q /3，d 取值如表2.2.1所示。

表2.2.1 上有流量()t Q 的预测

已知水库中水的容量(

)3

810m

V 与水位高程H （m ）的数值关系为表2.2.2

表2.2.2 水库库容量与水位高程的关系

如果当日从8时开始，水一直保持s m /10003

的泄流量，根据所给数据，预报从降雨时刻到56h 以内每小时整点时刻水库中水的库容量与水位高程。 例2.2.2 地下含沙量

某地区有优质细沙埋在地下，某公司拟在此处采沙，已得到该地区钻探资料图的一角如

下表，在每个格点上有三个数字列，都是相对于选定基点的高度（m ），最上面的数字是覆盖表面的标高，中间的数字是沙层顶部的标高最下面的数字是沙层底部的标高，每个格子都是正方形，边长50m 。画星号处，即沼泽表层地带，没有钻探数据。试估计整个矩形区域内的含沙量。

二、实验目的

插值模型是数据挖掘的另一类模型，插值（Interpolation ）的目的是根据能够获得的观测数据推测缺损的数据，此时观测数据(){}n

i i i y x 1,=被视为精确的基准数据，寻找一个至少

满足条件的函数()x y y =，使得()n i x y y i i ,,2,1,Λ==，在本节我们强调的是插值模型的应用，而不是插值方法的构造。

三、问题陈述

2.2.1 一维插值

例2.2.1 水库库容量与高程 2.2.2 二维插值

例2.2.2 地下含沙量 2.2.3 泛克里金插值

四、模型及求解结果

2.2.1 一维插值

一元函数差值公式为

()()

∑==n

i i i x y x y 1

λ

其中

()

x i λ是满足条件

()ij

i x δ=λ的函数，依据插值的公式，如最近邻差值，线性插值、分

段三次Hermite插值等，分别取阶梯函数、线性函数、三次多项式函数等，相应的数学表达式可以查阅本科生数值计算教材。下面先通过简单的Matlab一维插值令interpret1了解相应的计算结果。

例：2.2.1 水库库容量与高程

为了给出每小时的报告，需要补充每小时整点时刻上有流量的数据，以及相应不同库容量的水位高程。

假设

（a）已知数据准确

（b）相邻两个时刻之间的流量变化是现行的

（c）相邻两个水位高程之间的高程对水的库容量的变化也是线性的

首先，利用Matlab线性插值令，确定每小时的上游流量q（t）.

由程序在Matlab中运行的结果为：

q =

1.0e+004 *

Columns 1 through 9

0.3600 0.4050 0.4500 0.4950 0.5400 0.6000 0.6600 0.7200 0.7800

Columns 10 through 18

0.7975 0.8150 0.8325 0.8500 0.8675 0.8850 0.9025 0.9200 0.9350

Columns 19 through 27

0.9500 0.9650 0.9800 0.9950 1.0100 0.9629 0.9157 0.8686

0.8214

Columns 28 through 36

0.7743 0.7271 0.6800 0.6329 0.5857 0.5386 0.4914 0.4443 0.3971

Columns 37 through 45

0.3500 0.3000 0.2500 0.2410 0.2320 0.2230 0.2140 0.2050 0.1960

Columns 46 through 49

0.1870 0.1780 0.1690 0.1600

然后确定每个时刻t 的水库容量()t v ，因为，水库容量=原库存量+流入量-泄流量

()

s m /10

38

，即：

()()()81036001036009.21588-⨯-⨯+=--⎰t ds s q t v t

这里我们遇到数值积分，被积函数()s q 没有解析表达式，只有一个数列表示，

i

q 表示在i

整点时刻的流量，利用Matlab 逐点积分指令()y x cumptrapz ,，可以得到水库容量()t v v =在每一刻[]56,8∈t 的值。

最后确定每时刻t 水库的水位高程h （t ），因为最大水库容量已经远远超出了已知数据范围，需要利用外插方法补充数据，确定水库高程对水库容量的依赖关系h=H （v ）。最后利用函数复合得到水位高程()())(t v H t h = 确定每小时的上游流量q （t ）

利用函数复合得到水位高程()())(t v

H t h=

2.2.2 二维插值

二维插值大致可以分为两种，规则点插值和散乱点插值，前者即利用在方形网格点

)

,

(

i

i

y

x

给