映射的概念

23.07.2020
下面对应是否为函数？
Ａ={高一（1）班同学} ，Ｂ={正实数} ，f：让每位同学与 学号数对应．对应如下表所示：
A
张三 李四
每位同学与学 B 号数对应
１
２
王五
30
…… ……
23.07.2020
Ａ＝｛中国，日本，韩国 ｝，Ｂ＝｛北京，东京，首尔 ｝， f:相应国家的首都．
A
B
中国 日本 韩国
北京 东京 首尔
23.07.2020
任意一个三角形，都有唯一确定的面 积与此相对应
A
B
…
三角形
它的面 积
……
…
23.07.2020
类比函数概念概括 映射的概念 一般地，设A、B是两个集合，如果按某一
个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个 元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对 应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B
23.07.2020
思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”， “存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？
①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映 射与B到A的映射往往不是同一个映射；
②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素， 集合B中都存在元素和它对应；
③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元 素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.
23.07.2020
例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合 B的映射？ （1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应 关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集 合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，对应关系f：平面直角 坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}， 对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
23.07.2020
（4）集合A={x|x是师大附中的班级}，集合 B={x|x是师大附中的学生}，对应关系f：每 一个班级都对应班里的学生;
（5）集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7， 8，9}，对应关系f：x→2x+1
（3）值域：象的集合C (CB) 叫做函数y=f
(x)的值域。
23.07.2020
知识应用
• 2. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)， • (1)求点（２，３）在映射f下的像； • （２）求点(4，6)在映射f下的原象.
(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）
例2 已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}. （1）试建立一个从集合A到集合B的映射？ （2）一共可建立多少个从集合A到集合B的 映射？
23.07.2020
A
张三 李四
每位同学与学 B 号数对应
１
２
王五
30
……
……
A
B
…
……
三角形
它的面 积
…
23.07.2020
A 中国 日本 韩国
B 北京 东京 首尔
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多”
4.A中不能有剩余元素
5.B中可以有剩余元素
23.07.2020
例1 说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？
A 开平方
B
9
3
－3
4
2
－2
1
1
－1
A 求正弦 B
30°
1
2
45°
2
2
60°
3
2
90°
1
A
B
求平方
1
－1
1
2
－2
4
3
－3
9
A
B
乘以2
1
1
2
3
2
4
5
3
6
23.07.2020
例2 说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？
A
B
A
B
a
1
b
c
22
（１）
A
B
1 2 3
23.07.2020
a
b
(3)
1
a
b
2
c
（２）
A
B
a
1
b
c
2
（4）
变式练习：说出下图所示的对应中，哪些是Ｂ到Ａ的映射？
A
B
A
B
a
1
b
c
22
（１）
A
B
1 2 3
23.07.2020
必须让学生写出所有的映射，才能体会不同的映射 课后反思： 缺少一个环节：映射的要素有哪些？ 应该充分应用类比函数概念的学习方法，启发学生还应该学习什么内容
23.07.2020
练习：下列对应是否为从集合A到集合B的映射？
( 1 ) A R ,B { y |y 0 } ,f: x |x |;
(2 )A R ,B R ,f:x x 2 ;
的一个映射（mapping）。
思考：映射与函数有什么区别与联系？
23.07.2020
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射
建立在两个非空数集上的特殊对应
扩展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． （2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． （3）映射与函数都是特殊的对应
a
b
(3)
1
a
bHale Waihona Puke Baidu
2
c
（２）
A
B
a
1
b
c
2
（4）
例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是
从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2) .
（１）求 2 在B中的对应元素 （２）(2,1)在Ａ中的对应元素
解: （１）将x= 2 代入对应关系，可得其在Ｂ 中的对应元素为（ 2 1，1）
x+1=2
3.设集合A＝{1,2,3,k},B＝{4,7,a4,a2＋3a}, 其中a,k∈N,映射f:A→B，使B中元素y＝3x＋1 与A中元素x对应，求a及k的值.
a＝2 , k＝5 23.07.2020
2.函数与映射有什么区别和联系？
结论：1.函数是一种特殊的映射; ２.两个集合中的元素类型有区别; ３.对应的要求有区别.
(3 )A Z ,B R ,f:x x ; ( 4 ) A Z ,B N ,f:x x 2 3
23.07.2020
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系
作业：看课本相关内容，做练习册相关题目
23.07.2020
3.用映射定义函数
(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末 A到B的映射f:A → B就叫做A → B的函数。记作： y=f (x). （2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义 域。
映射的概念
23.07.2020
复习:函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集，
如果按某种对应法则f，对于集合A中的每 一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和 它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的 一个函数．
函数的本质：
建立在两个非空数集上的特殊对应
23.07.2020
复习:函数的概念
这种“特殊对应”有何特点： 1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
（２）由题意得：
x2=1
∴x=1
即 (2,1)在Ａ中的对应元素为１
23.07.2020
例4：设集合A={a、b},B={c、d、e} （1）可建立从A到B的映射个数 9 . （2）可建立从B到A的映射个数 8 .
小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个 元素，那么从集合A到集合B的映射共有 nm 个。
23.07.2020
• １.集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班 同学的姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个 同学在集合Ｂ中都有一个属于自己的姓.
•２.集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝， Ｂ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关 系是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合 Ｂ中都有一个首都与它对应.
•３.设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝， 集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是： 集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其 对应的平方数.