高等数学测试及答案(第三章)

高等数学测试（第三章）

一. 选择题（每小题3分，共30分）

1．下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（ ）

A ．x

y e = B ．ln y x = C ．2

1y x =- D ．2

1

1y x =

- 2．曲线3

(y x =

3．已知函数f A ．一个 4．设函数(f x ） A 5．如果0()f x 'A ．0()f x C ．0()f x 6A . C . 7．若在[]1,1-A 8．曲线1=y

9．设()x f '在点0x 的某个邻域内存在，且()0x f 为()x f 的极大值，则()()

=-+→h

x f h x f h 000

2lim （ ）

A ．０

B ．１

C ．２

D ．-２

10．设()x f 在点3=x 的某个邻域内有定义，若()()

()

133lim

2

3

-=--→x f x f x ，则在3=x 处（ ）

A . ()x f 的导数存在且()03≠'f

B . ()x f 的导数不存在

C . ()x f 取得极小值

D . ()x f 取得极大值 二. 填空题（每小题3分，共15分）

11．函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ=________． 12．函数4

y x =

13．函数()f x 14．曲线()f x 15．函数()f x 三. 计算题（16．（5

18．（5

四. 应用题（每题10分，共20分）

20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

21.（10

是多少？

五. 证明题（

22.（10

答案：

一．选择题1—5 CBCBB 6－10 DDAAD 二. 填空题11． 12ln 1-．12． ()()2,00,2⋃-．13．⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞,35.14． 2(1,)e ---.15． 1x =． 三. 计算题

16．（5

分）计算0

lim x x +

→

【解析】原式

17．（5【解析】原式18．（5【解析】令y

00limln x x y →→=1=． 19．（103

(1)x -令()0f x '=得驻点0x =，3x =,它们把定义域分成四个区间，列表如下：

所以 函数()f x 单调减区间为()1,3，单调增区间为(),1-∞，()3,+∞. 在3x =时取得极小值27

(3)4

f =

，无极大值. 四.应用题（每题10分，共20分）

20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

【解析】设长方形小屋的长为x 米，宽为y 米，面积为S 平方米，如图所示 则,

S xy x =令204S '=-大值点，此时21.（10是多少？

()-=QP Q L ()0='Q L 为300元.

五.证明题（10分）

22.（10分）当1x >时，试证：

111

ln 122

x x x x -+-<<+. 【证明】构造函数()ln(1)f x x =+，它在区间[1,](1)x x >内连续且可导，由拉格朗日

中值定理知，至少存在(1,)x ξ∈，使得()(1)()(1)f x f f x ξ'-=-，即有

11

ln

,(1)21x x x ξξ

+-=<<+， 而有 111

112x x x x ξ---<<++， 所以 111

ln 122

x x x x -+-<<

+.