三角函数研究性学习
三角函数研究性学习设计
表4-6 研究性学习设计模板作者姓名 董延升 任职单位 青岛市崂山区第一中学 学科 数学年级高一单元标题三角函数的图像和性质研究性学习名称 ()φω+=x A y sin 的图像特征——φω、、A 的物理意义及其对图像的影响小组成员 共8组, 6人一组 所需时间1课时【学习目标】(或概述) 一、 知识与技能1.1 了解振幅、周期、频率、初相的定义; 1.2 掌握振幅变换和相位变换的规律。
二、 过程与方法2.1 通过实际事例描述振幅、周期、频率、初相,明确A, ω, φ的物理意义; 2.2 理解振幅变换和相位变换及周期变换的规律; 2.3提升发现问题、研究问题及探究解决问题的能力。
三、 情感态度与价值观3.1 渗透数形结合的数学思想; 3.2 感悟动与静的辨证关系;3.3 培养普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点以及勇于探索的创新精神。
【情境】通过前面的学习,我们得知很多高度高度问题能用三角函数模型来解决。
并得到了相关模型()φω+=x A y sin ,那么在这个函数中φω、、A 的物理意义及其对图像的影响是什么呢?数学是与生活息息相关的学科, 21世纪的数学教学的理念是“人人学有价值的数学,人人都获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展”而课程标准中也指出:数学学习应该从学生的生活经验和已有知识背景出发,让他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识。
而专题三的探究过程中需要对不同图像进行比对,这时图形计算器的屏幕太小对探究过程并不方便,于是使用了几何画板软件,其中的超级函数对同一坐标系内显示几个函数的操作很简单,学生都能掌握,因此采用到机房上课,利用电脑来探究函数图像中φω、、A 的物理意义及其对图像的影响。
学生通过自己在电脑上的操作比对图像,直观而且大大提高了课堂效率。
但这部分知识的内容汇总和知识整理对学生来说是有一定困难的,因此这时我在班级电脑上提供了一个PPT 演示文稿,供学生完成研究报告时作为参考,让学生不至产生感觉得到图像的变化过程却无法用语句表达出来的尴尬局面。
研究性学习18三角函数若干应用问题的研究.docx
2013届高三理科数学研究性学习(18)专题:三角函数若干应用问题的研究(1) 摩犬轮问题如图.摩天轮的半径为10 点O 距地而的高度为50 m •摩天轮做匀速转 动,每3 min 转一圈•摩天轮上的点P 的起始位萱在最低点处.(1)试确定在时刻r(min)时点P 距离地而的髙度;(2)在摩天轮转动的一圈内•有多长时间点P 距离地而超过70 m?(3)求证:不论/为何值,/(/) + /(/+ l) + /(f +2)是定值.(2) 以角参数为变虽的三角函数应用题①最佳视角问题如图,有一壁画,最高点A 处离地而-1 m.最低点B 处离地而2 rm 若从离地 髙1.5 m 的C 处观赏它,则离墙多远时,视角〃最大?21 116.如图:已知树顶力离地面一米,树上另一点〃离地面一米,某人 22A第6题图在离地而一米的C处看此树,则该人离此树米时,看久〃的视角最大.6 2②矩形面积的最大问题在半圆形钢板上截取一块矩形材料°怎样截取能使这个矩形的面和晶大?___变式1:如图11-3-4.半圆O的直径为2.A为直径延长线上的一点,OA = 2. B为半圆上任意一点,以AE为一边作等边三角形ABC.问:点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?图11-3-4变式2:如图,某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段/3C,JT该曲线段为函数p=/sin(3: + 0)(/>0, Q>0,— <(p<7i), xG[—3, 0]的图象,且图象的最高点为3(—1, 3^2);赛道的屮间部分为的T咪的水平跑到CD;赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧DE.(1)求0,炉的值和上DOE的值;(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪二如图所示,矩形的一边在道路AE±f一个顶点在扇形半径OZ)上.记ZPOE= 0 ,求当“矩形草坪”的面积最大吋〃的值.已知扇形的圆心角为2班定值),半径为R(定值),分别按图1、图2作扇形的内接矩形,若按图1作出的矩形的面积的最大值为|7?2tana,则按图2作出的矩形的面积的最人值为答案/?2tan^进一步思考:在这个扇形内作扇形的内接矩形草坪还可以怎么建?其最人值是多少?并试着比较哪种建立方法面积更大?变式3:<2)矩形ABCD所在平面与地面垂直■ A点在地面上.AB =宀BC = I). AB与地面成0角(如图3-2-4所示几若记点C到地面的距离为〃,试用0的函数表示爪并求出//的最大值.变式4:如图,将矩形纸片的右下角折起9使得该勿的顶点落在矩形的心边上,那么/的长度取决于角0的人小•探求人0之间的关系式,并导出用0表示/的函数表达式.变式5:如图,正方形MCD的边长为1,点M、N分别在BC、CD上,使得△CMV的周长为2. (1)求ZM4N的人小;(2)求面积的最小值,并确定此时M, N两点的位置.(3)航彳了问题如图,AB是沿太湖南北方向道路,P为太湖中观光岛屿,Q为停车场,PQ=5.2 km.某旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场Q,己知游船以13knVh的速度沿方位角Q的方向行驶,sinQ = —.游船离开观光岛屿3分钟后,因事耽搁没有來得及登上游船的游客甲13为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合,决定立即租用小船先到达湖滨人道M处,然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)•假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角仅,出租汽车的速度为66knVh.(1)设sintz= —,问小船的速度为多少km/h时,游客甲才能和游船同时到达点0;1(2)设小船速度为10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角&,当九。
三角函数研究性学习有感
<<三角函数>>研究性学习有感三角函数就像我们生活中的兄弟姐妹,与我们相互依存.三角函数在人类社会中无处不在,它冲满了未知和神奇,使人们不断去探索它的同时,也学会了不少的东西.三角函数是以三角型的边角关系为基础,研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支.三角函数在各门科学技术中都有着非常广泛的应用,例如:物理学中弹簧的简谐运动;潮汐;交通等.在我们周围运动着的物质世界里,存在着许多周期性的现象,而三角函数就是描述周期运动的数学模型,它具有良好的性质.知识的海洋是宽广的,仅仅是一个三角函数的讲座,便透露出知识与知识的联结性,密不可分,不但应用与数学研究领域而且并能涉及到现实事物,真是活学活用啊!数学是可以与其它事物联系起来的,用政治学的唯物主义观点在看这些都是具体科学知识建立在一种相互影响,相互制约的联系上的,这种联系使我们测出了旗杆的长度,潮汐的规律并使我们用辨证的眼光又做出了好几种方法去解决相应的一些实际问题.听了这次课受益匪浅,使我对三角函数有了更深刻的理解,三角函数规律的研究对我们来说是永无止境的.因此,要以多种思维方法研究问题,去学习知识,并掌握其技巧,才能明白事情的真理.学习三角函数知识有感高一1班柯龙胜我们从小学开始就要接触了三角形,从求面积到求边长,从求边长到现在的求角度等等.我们从浅显的知识逐渐学习到现在很难理解的,这些知识使我们很容易求解有关数据.也许有些人会认为这些东西只有在数学课才有用,不上数学课就什么用也没有了.实际不是这样的三角形的知识是与实际联系最广泛的.当我们无法进入旗杆周围的围栏时,我们怎样才能知道旗杆的长度呢?拿尺去测量,这显然不行,那还有什么办法呢?这时就需要我们学过的三角函数知识了.首先在围栏外找取一点,用量角仪测出这点与旗杆顶端的夹角和底角,然后再测出顶点与这点间的距离,利用公式a/s i n A=b/s i n B旧可以求出旗杆高了.在实际生活中,这样的例子还有很多,我们如果不会三角函数知识,那么解决起来会非常难,而如果我们会我们懂我们去利用,那这些问题不就迎纫而解了吗?不要说我们学的知识没有用,只是你没有仔细观察过,如果仔细观察过,那么就会发现身边的许多事都能和我们学的知识联系到.三角函数史高一.一班尹传志三角学是以三角形的边角关系为基础,研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支(“三角学”一词的英文“trigonometry”就是由两个希腊词三角形和测量合成的)现在,三角学主要研究三角函数的性质及其应用1463年法国学者里戮勒在<<论三角>>中系统总结了前人对三角的研究成果,17世纪前期三角由瑞士人邓玉函传入中国,在邓玉函的著作<<大测>>二卷中,主要论述了三角函数的性质及三角函数表的制作和用法.当时三角函数是用左图中的八条线段的长来定义的,这已与我们刚学过的三角函数线十分类似.三角函数在物理中的应用高一(1)班徐生涛三角函数在生活和物理中有着广泛的应用,例如我们刚刚学完的第九章简谐振动的振动图象就是正,余弦函数的图象三角函数在解决物理在实际生活中的问题不胜枚举,例如一个质量为M的站在高坡上的滑雪人,若已知初速度,山坡的倾角O,滑动了一段的时间及路程,即可知道此人受到的阻力具体方法:是先求出此人下破的加速度,则他受到的阻力就等于重利在水平方向上的分力减去合力ma其中求a便运用到了解直角三角形a=mgsinO F=mgsinO-ma y有此可见三角函数在物理中有着广泛的应用和重要地位,学好三角函数知识对于学习物理会有很大的帮助.高中所学习的三角函数一(1)班李娟我们高中学习的三角函数的主要内容是任意角的概念,弧度制,任意角函数的概念,同三角函数间的关系,诱导公式,两角和与差的三角函数二倍角的三角函数,以及三角函数的图象和性质,以知三角函数值求角等根据生产实际和进一步学习数学的需要,我们引入了任意角的概念设a 是任意角,a的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(x,y)它与原点的距离是r,那么比值y/r 叫做a的正弦,记做sina;比值x/r叫做a的余弦,记做cosa;比值y/x叫做a的正切记做tana;比值x/y叫做a的余切,记做cota批;比值r/x叫做a的正割记做seca;比值r/y叫做a的余割,记做csca;以上的六种函数统称为三角函数。
三角函数研究性学习
三角函数研究性学习三角函数是数学中的重要分支之一,它研究的是三角形中的角度与边长之间的关系。
三角函数广泛应用于工程、物理、计算机图形学等领域,具有很高的实用价值。
本文将从三角函数的定义、性质、应用等方面进行研究性学习。
首先,三角函数的定义是基础。
我们通常将一个角度与一个单位圆(半径为1的圆)上的一个点对应起来。
根据这个定义,我们可以得到正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)、正切函数(tangent)、余切函数(cotangent)、正割函数(secant)和余割函数(cosecant)等六个基本三角函数。
它们分别表示角度对应点在x轴和y轴上的坐标比值。
其次,三角函数的性质是我们研究的重点之一、首先,可以推导出正弦函数与余弦函数的和差角公式、倍角公式和半角公式等。
这些公式在实际问题中的应用非常广泛,特别是在解析几何、物理计算等方面非常有用。
其次,三角函数还具有周期性,即在一定区间内值的变化具有规律。
例如,正弦函数和余弦函数的周期都是2π,即在[0,2π]这个区间内,正弦函数和余弦函数的值是重复的。
这一性质也使得三角函数在周期性信号处理、波动现象分析等领域有广泛应用。
另外,三角函数还有一些其他的性质,例如正弦函数和余弦函数是奇函数,正切函数是周期为π的奇函数等。
最后,三角函数的应用是我们学习的重点之一、三角函数的应用非常广泛,尤其在工程和物理方面。
例如,在三角测量中,我们常使用正弦函数和余弦函数来计算不可直接测量的距离和角度。
在物理学中,三角函数被广泛应用于描述波动现象、震动等自然现象。
此外,三角函数还在计算机图形学中有着重要的应用,例如绘制曲线、计算图形的旋转和平移等。
综上所述,三角函数的研究是数学中的重要课题之一、通过对三角函数的定义、性质和应用等方面的研究,我们可以更深入地理解三角函数的本质,掌握其在实际问题中的应用,为解决实际问题提供数学工具。
因此,我们应该认真学习三角函数,不仅要掌握其基本概念和公式,还要深入理解其数学原理和实际应用,才能更好地应对各种实际问题。
三角函数研究性学习开题报告
研究性学习开题汇报哈五中荀辉数学研究性学习小组4月一、课题名称:三角函数应用二、课题提出背景:高一数学关键是三角函数。
她在生活中应用很广泛,和物理,地理等学科也有亲密关系。
为使学生愈加好了解数学和生活联络,以此为研究课题:三、课题研究目标和意义:1、研究性学习原因:高中教育要深入提升学生思想品德、文化科学、劳动技能、审美情趣和身体心理素质,培养学生创新精神、实践能力、终生学习能力和适应社会能力,促进学生个性健康发展。
在高中开展研究性学习,是全方面培养学生综合利用所学知识能力、搜集和处理信息能力、分析和处理问题能力、语言文字表示能力和团结协作能力关键步骤。
这项活动还有利于培养学生独立思索习惯,激发学生创新意识。
2、研究目标意义:⑴以三角函数史为开端,了解三角函数生活应用,丰富学生对自然科学认识和提升学生硕士活中数学知识爱好。
⑵经过研究活动,丰富学生研究体验,发展学生发觉问题、提出问题、分析问题和处理问题创新精神和研究能力,经过实地调查研究、查阅资料、完成本组研究任务,培养学生主动参与研究活动意识、主动和她人协作,善于听取、采纳她人提议和正确对待不一样意见等协作学习能力。
四、研究内容:1、三角函数历史2、三角函数物理应用3、三角函数生活应用4、实际测量旗杆高度。
五、研究方法:“培养学生经过阅读、试验、大众传媒、调察访问等多个路径,培养学生搜集、判别、处理信息能力、获取新知识能力”1、查询法:经过调察访问方法了解和数学研究性学习相关信息和内容。
2、经验筛选法:利用计算机网络进行研究资料查找、分析和搜集,探索和研究性学习相关相关知识,在研究分析、搜集前人或相关研究结论基础上,进行理论分析,比较筛选出和本课题相关知识和结论。
3、行动研究法:本课题研究关键利用行动,在实际教育教学和管理工作中寻求开展研究性学习活动策略、方法、路径和方法,在具体研究工作情境中认真进行行动过程研究,行动者参与研究,研究者参与实践,并依据研究中碰到具体情况,边实践,边探索,边完善,使理论和实践,结果和应用有机统一起来。
高中数学三角函数学习方法的研究
高中数学三角函数学习方法的研究引言在高中数学课程中,三角函数是一个非常重要的部分。
三角函数的概念和运用在学生的数学学习中扮演着重要的角色。
由于三角函数的概念较为抽象,学生往往会感到困惑和难以理解。
如何有效地学习和掌握三角函数成为了数学教学的一个重要课题。
本文将对高中数学三角函数学习方法进行研究,探讨有效的学习途径和方法,帮助学生更好地理解和掌握三角函数。
一、理解三角函数的基本概念三角函数是描述角和角对应边之间关系的一种数学工具。
在学习三角函数之前,学生需要首先掌握一些基本的概念,包括角度、弧度、正弦、余弦、正切等。
在教学中,可以通过举例和图形辅助,让学生直观地理解角度的概念,理解正弦、余弦、正切等三角函数的概念。
可以给学生展示三角函数在现实生活中的应用,如天文学中的星体运动、建筑工程中的三角测量等,让学生感受到三角函数的实际意义,增强学习的兴趣和动力。
学习三角函数时,学生需要掌握一些基本的三角函数公式,如正弦定理、余弦定理、正弦、余弦、正切的基本关系等。
这些公式是学习三角函数的基础,对于解题和应用都具有重要的作用。
在教学中,可以通过例题的讲解和练习,让学生熟练掌握这些基本公式,理解其推导和应用,掌握解题的方法和技巧。
三、巩固基本知识,拓展应用能力学习三角函数并不仅仅是掌握一些基本概念和公式,更重要的是学生能够运用所学的知识解决实际问题。
教师应该设计一些拓展性的应用题,让学生通过实际问题的解决,巩固所学的基本知识,并且拓展应用能力。
教师还可以引导学生进行一些探究性学习,让学生发现三角函数在不同领域的应用,激发学生的学习兴趣和求知欲,培养学生的创新和探索精神。
四、合理安排学习方法和时间在学习三角函数时,学生需要合理安排学习方法和学习时间。
针对不同学生的学习习惯和学习能力,可以采用不同的学习方法,如结合图像进行理解、通过例题进行实践、针对性的练习等。
学生需要合理安排学习时间,不能只是为了完成作业而学习,而是要将学习融入到日常生活中,通过不断地学习、实践和总结,提高自己的数学能力。
数学三角函数教研活动(3篇)
第1篇一、活动背景三角函数是高中数学的重要组成部分,也是学生进入大学学习理工科知识的基础。
为了提高教师对三角函数教学的理解和把握,提高课堂教学质量,我校数学教研组于2021年9月30日组织开展了数学三角函数教研活动。
本次活动旨在通过集体备课、教学观摩、教学研讨等方式,提高教师对三角函数教学的认识,促进教师教学水平的提升。
二、活动目标1. 提高教师对三角函数教学的理解和把握,明确教学目标、重难点。
2. 促进教师教学方法的改进,提高课堂教学效果。
3. 加强教师之间的交流与合作,共同提高数学教学质量。
4. 培养学生的数学思维能力和创新精神。
三、活动内容1. 集体备课本次教研活动首先进行了集体备课。
各备课组教师针对三角函数教学的重难点进行了深入研讨,共同制定了教学方案。
备课过程中,教师们积极分享自己的教学经验和心得,为提高课堂教学质量奠定了基础。
2. 教学观摩在集体备课的基础上,各备课组教师分别进行了一次教学观摩。
观摩课以三角函数中的“三角函数的图像和性质”为例,展示了教师们在教学过程中的亮点和不足。
观摩课结束后,教研组成员对教学过程进行了点评,肯定了教师们的优点,同时也指出了存在的问题。
3. 教学研讨在观摩课后,教研组成员针对三角函数教学中的问题进行了深入的研讨。
研讨内容包括:(1)如何帮助学生建立三角函数的概念?(2)如何引导学生探究三角函数的性质?(3)如何将三角函数知识与实际生活相结合?(4)如何提高三角函数教学中的课堂互动?4. 教学反思在教研活动结束后,教师们针对自己的教学进行了反思,总结了自己的教学经验和教训,为今后的教学提供了借鉴。
四、活动总结本次数学三角函数教研活动取得了圆满成功。
通过集体备课、教学观摩、教学研讨等活动,教师们对三角函数教学有了更深入的认识,教学水平得到了提高。
以下是本次教研活动的几点体会:1. 集体备课是提高教学质量的重要途径。
通过集体备课,教师们可以共同探讨教学重难点,分享教学经验,形成共识,提高课堂教学效果。
高中数学三角函数学习方法的研究
高中数学三角函数学习方法的研究高中数学三角函数是一门普遍存在于高中数学课程的重要知识点,也是高考中常常会被考察的一个难点。
学习三角函数需要掌握一定的基础知识和学习方法,接下来将对这些进行研究。
一、基础知识的掌握学习三角函数需要掌握一些基础知识,包括三角函数的定义、性质、基本图像等。
三角函数的内容是相当丰富的,其中包含了很多不同的部分,例如正弦、余弦、正切、余切等等。
为了能够成功地掌握这些基础知识,以下是几点建议:1. 确定学习目标:学习三角函数需要确定自己的目标。
要想真正掌握三角函数,需要充分了解概念、识别图像、掌握性质、掌握计算方法等多个方面。
在学习的过程中,可以不断地调整自己的学习目标,根据自己理解的程度与学习进度进行相应的调整。
2. 增加自己的题量:三角函数的学习离不开实际的题目练习。
在课前,我们可以适当地做一些预习题,并进行思考。
同时,在课后也需要独立思考练习。
这样可以帮助我们更深入地理解三角函数的知识点,同时也可以增加我们对知识点的记忆和掌握程度。
不建议一味追求题目的数量,不如用更多的时间认真地思考一道题目,把它深入分析理解,透彻掌握。
3. 掌握基本公式:三角函数公式相对较多,其中常用的包括和差化积公式、倍角、半角、三倍角、各种变形与化简公式等。
学习过程中重点掌握和熟记这些公式内容即可。
二、学习方法的选择三角函数的学习方法应该根据自己的情况和具体需求做出选择。
以下几种常见的学习方法供参考:1. 记忆法:对于一些简单的概念、公式,可以采用记忆法进行学习。
这种方法能够帮助我们在较短的时间内熟练地记忆和掌握一些基本的知识点。
2. 看图法:在三角函数的学习中,很多知识点都需要以图形的形式去理解。
这种方法建议多使用,通过观察三角函数的图像,添加对基本知识点的掌握,更加深入地理解知识。
3. 多练习法:练习是掌握三角函数很重要的方法。
多做一些练习题能够帮助我们更快掌握和了解各种三角函数的知识点。
4. 反思法:练习时及时反思自己的解题过程与方法,注意整理拓展相关的知识点,加深印象。
高中数学教案:研究三角函数的性质
高中数学教案:研究三角函数的性质一、引言三角函数是高中数学中的重要内容之一,它广泛应用于几何学、物理学、工程学等自然科学领域。
研究三角函数的性质,对于深入理解三角函数的定义和特性具有重要意义。
本教案旨在通过系统性的学习,帮助学生掌握三角函数的性质,提高分析问题和解决问题的能力。
二、一次函数的图象与周期曲线的关系1. 一次函数的图象首先,我们回顾一下一次函数的图象。
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$,其中 $k$ 和 $b$ 分别表示斜率和截距。
对于任意一点 $(x, y)$,它在直线上。
我们可以通过确定两个点来确定一条直线,例如确定截距和斜率来确定一条直线。
2. 周期曲线的定义接下来,我们来定义周期曲线。
周期曲线是曲线沿着特定的方向重复出现的曲线。
三角函数就是一种典型的周期曲线。
例如,正弦函数 $y = \sin(x)$ 和余弦函数$y = \cos(x)$ 都是周期曲线。
它们的周期是 $2\pi$,即在每个 $2\pi$ 的区间内,曲线的形状一次重复。
三、三角函数的定义和性质1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的三角函数。
它们是周期曲线,周期为 $2\pi$。
正弦函数表示了直角三角形中一条直角边的比例关系,余弦函数表示了直角三角形中另一条直角边的比例关系。
在单位圆上,正弦函数对应于纵坐标,余弦函数对应于横坐标。
2. 正弦函数的性质正弦函数的定义域为实数集,值域为 [-1, 1]。
它是奇函数,即 $sin(-x)=-sin(x)$。
关于直线 $x = \frac{\pi}{2}$ 对称。
它在 $x=0$ 处取得最小值 0,在$x=\frac{\pi}{2}$ 处取得最大值 1,在 $x=\pi$ 处取得最小值 0,在$x=\frac{3\pi}{2}$ 处取得最小值 -1,在 $x=2\pi$ 处又取得最小值 0。
3. 余弦函数的性质余弦函数的定义域为实数集,值域为 [-1, 1]。
高中数学三角函数学习方法的研究
高中数学三角函数学习方法的研究高中数学中,三角函数是一个非常重要的部分,它是数学中的基础,也是许多高等数学知识的基础。
在学习三角函数的过程中,很多学生会遇到各种困难和挑战,如何有效地学习三角函数成为了一个重要的问题。
本文将对高中数学三角函数的学习方法进行研究,探讨一些有效的学习策略和技巧,帮助学生更好地掌握这一部分知识。
一、理解三角函数的基本概念三角函数的基本概念包括正弦、余弦、正切等概念,这些概念是学习三角函数的基础,而且也是以后高等数学中的重要内容。
在学习三角函数的过程中,首先要对这些基本概念有一个清晰的理解,不能一知半解或者只是死记硬背。
对于每一个概念,要深入理解其定义、性质以及实际应用,这样才能更好地为后续的学习打下坚实的基础。
在理解三角函数的基本概念时,可以通过一些具体的例子来加深对概念的理解,比如利用三角形的边长关系来解释正弦、余弦、正切等的概念,还可以通过图形和实际问题来展示这些概念的应用。
通过具体的例子和实际问题,可以帮助学生更好地理解和掌握三角函数的基本概念。
二、掌握三角函数的运算技巧在学习三角函数的过程中,掌握好基本的运算技巧是非常重要的。
三角函数的运算技巧包括化简三角函数的表达式、解三角函数方程、求三角函数的导数等内容。
这些技巧在学习高等数学中是非常重要的,而且也是解决实际问题的关键。
要掌握好三角函数的运算技巧,首先要熟练掌握三角函数的基本性质和公式,比如正弦、余弦、正切等的相互关系、和差化积公式、倍角公式等。
在掌握了基本的性质和公式之后,还要多做一些有关运算技巧的练习题,加深对这些技巧的理解和掌握。
还要特别注意解决三角函数相关的实际问题。
通过实际问题的实践,能够更好地理解和掌握三角函数的运算技巧,同时也能够更好地将这些技巧应用到实际生活中去。
三、培养数学专项能力在学习三角函数的过程中,要培养好数学专项能力是非常重要的。
数学专项能力包括数学思维能力、抽象思维能力、逻辑思维能力等。
高中数学三角函数学习方法的研究
高中数学三角函数学习方法的研究高中数学是学生学习阶段中非常重要的一门课程,而在高中数学中,三角函数是一个非常重要的章节。
学好三角函数对于高中生来说是非常必要的,因为在高中数学中涉及的许多问题都离不开三角函数的知识,比如直角三角形的解题、复数的运算等。
如何有效地学习和掌握三角函数成为了高中生和数学老师们共同关注的问题。
三角函数在高中数学中占有重要的地位,无论是在几何、数学物理还是在高等数学中都有着重要的应用。
学好三角函数是十分重要的。
而学好三角函数并不是一件容易的事情,因为这一部分的内容较为抽象和复杂。
针对这一问题,许多数学教育工作者和老师们积极探索和研究高中数学三角函数的学习方法,从而帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一些普遍认同的高中数学三角函数学习方法包括:学习三角函数前要对相关的基本概念有所了解。
学生要掌握三角函数的定义、性质、基本图象等方面的内容,要对常见的三角函数函数图象能够熟练地画出来,并对其特点有所了解。
学生需要多做题。
通过做大量的练习题,逐渐建立对三角函数的概念和应用的认识。
这有助于学生熟悉各种类型的题目,掌握解题的方法和技巧。
注重理论结合实践。
三角函数虽然有一定的理论性,但也是有着广泛的实际应用。
学生要注意将理论知识与实际问题相结合,从而更好地理解三角函数的概念和应用。
积极参加课外辅导班或者自习室。
在学校上课的时间是有限的,而且教师教学的往往是基本的概念和知识点。
如果感觉学校上课的时间不够,可以选择参加一些数学辅导班,或者到自习室加强巩固。
在学习三角函数的过程中,也要注重动手实践。
比如利用计算机软件、数学软件等工具,绘制三角函数的图形,通过观察图像的变化来理解函数的性质和特点,从而更好地掌握三角函数。
学生在学习三角函数时也可以通过查找相关的视频教学资源,或者参考相关的书籍教材,从而更加全面系统地学习和理解三角函数。
需要特别指出的是,学习三角函数是需要时间和耐心的。
当遇到难题或者不懂的地方时,一定不要放弃,而应该找到适合自己的学习方法,加以克服,这样才能更好地提高自己的数学水平。
三角函数研究性学习
三角函数研究性学习三角函数是数学中非常重要的概念,它们是描述角度和长度之间关系的数学函数。
在数学中,三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
这些函数都是周期性的,且在数学和物理中都有着重要的应用。
首先,我们来看一下正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一,它们描述了角度和直角三角形的对应边之间的关系。
在一个直角三角形中,正弦值等于对边与斜边的比值,余弦值等于邻边与斜边的比值。
正弦函数和余弦函数的图像都是沿着x轴周期性波动的曲线,而且它们的波形是相互关联的。
当角度增大时,正弦函数的值会不断增大,而余弦函数的值会不断减小。
接下来,我们再来看一下正切函数和余切函数。
正切函数和余切函数也是重要的三角函数,它们描述了角度和直角三角形的对应边之间的关系。
正切值等于对边与邻边的比值,余切值等于邻边与对边的比值。
正切函数和余切函数的图像都是沿着y轴周期性波动的曲线,而且它们的波形也是相互关联的。
当角度增大时,正切函数的值会不断增大,而余切函数的值会不断减小。
三角函数在数学中有着广泛的应用。
在几何学中,三角函数常用于计算三角形的各边和各角。
在物理学中,三角函数则常用于描述振动、波动等现象。
在工程学中,三角函数则常用于计算机械运动、电路分析等。
在经济学、生物学等领域中,三角函数也常常出现。
除了这些基本的三角函数外,还有许多其他类型的三角函数,比如双曲函数、反三角函数等。
双曲函数是一组与三角函数相似的函数,它们描述了双曲线上的点的坐标关系。
反三角函数则是三角函数的逆运算,常用于求解三角函数的反函数。
总的来说,三角函数是数学中非常重要的一个概念,它们不仅在数学领域中有着重要的应用,而且在物理、工程、经济、生物等各个领域中也都有着广泛的应用。
因此,深入研究三角函数的性质和应用是非常有必要的。
希望通过本篇文章的介绍,读者能对三角函数有一个更深入的理解,并进一步探索其更深层次的数学应用。
三角函数研究性学习
研究性学习班级:小组:组长:组员:开题报告三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ,约定名于公元1600年,实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量),其原义为三角形测量(解法),以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础,达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份,后来研究范围逐渐扩大,变成以三角函数为主要对象的学科。
现在,三角学的研究范围已不仅限于三角形,且为数理分析之基础,研究实用科学所必需之工具一、课题提出的背景运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能力,也是新课程标准对学生能力的基本要求。
九年级下册锐角三角函数内容不仅是初中数学教学的重点,而且是培养学生运用能力的理想材料,锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学思想,通过测量,工程技术等问题,转化为解直角三角形的应用题和数学活动,有助于培养学生的空间想象能力和运用数学的能力,更好地培养学生理论和实践相结合的意识。
学生在学习本部分内容时,对概念的形成难以理解,更不能把实际问题抽象成数学模型,造成对实际问题的解决无所适从,学生作业练习中更出现严重错误,利用数学知识解决实际问题的能力欠缺,导致学生对数学学习没有乐趣和积极性,因此,本人把锐角三角函数解决实际问题作为课题进行研究,培养学生数学运用能力。
二、所要解决的主要问题1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。
2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。
3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。
4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法,使学生对实际问题的探索充满乐趣。
三、课题的理论价值和实践意义理论价值:本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯,掌握基本的数学思想和方法,真正体会数学知识的实际意义,培养学生良好的数学意识。
实践意义:本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求,提高学生数学学习兴趣,培养数学应用能力。
三角函数结题报告
《三角函数的应用》研究性学习结题报告数学研究性学习小组2011年元月一、课题名称:三角函数的应用二、、研究进程及步骤:我们先根据学生的知识水平和实践能力,给出部分参考课题,主要分调查、测量、归纳总结三部分。
研究时间:2010年11月------2011年1月按计划分为三个阶段实施。
(一)准备阶段:11月4日---11月14日问卷,选题11月15日---11月30日完成课题研究的准备工作:1、开题2、课题组成成立,各小组确定子课题、人员及分工内容,组织课题组进行理论学习,完成资料收集及实验可行性论证。
各小组确定研究方法,完成实验方案,开题报告及实验计划。
(二)实施阶段:(12月1日---12月30日各小组展开子课题研究)实施阶段是我们课题研究的核心阶段,主要完成了上网查询资料,进行实地测量,收集信息、整理信息,形成主要观点等工作。
下面就三个子课题的实施过程分别进行阐述:1、第一小组:研究子课题:三角函数史①三角函数的历史?②三角函数与欧拉的关系③初中的三角函数④高中的三角函数⑤三角函数的家族我们小组研究的问题历史性比较强,因此我们要在课本学习的基础上查阅资料,经过两周的查找,我们初步选择了有关的内容。
但并不全面,所以我们找指导老师讨论,经老师推荐一些参考内容,书目,帮助我们解决了一些难题。
2、第二小组:研究子课题:三角函数的应用我们小组的研究内容是最有趣的,也是跟日常生活和生产最紧密相联的。
这些问题也是我们比较关心的问题,所以在最初选题也是我们争论的焦点,在题确立之后,我们就分头开始行动。
通过图书、报刊、上网等各种方式查询资料,搜集信息。
我们找到了潮汐是三角函数的典型例子,它与港口的水深,与船的进出港口有密切关系。
就这方面,我们找指导老师讨论,形成研究方向。
三角函数与物理的关系也很密切,我们也进行了研究。
3、第三小组:研究子课题:实际测量我们小组的研究内容是测量学校的旗杆高度,由于旗杆的底部不能到达,在测量上有麻烦,因此,我们组的成员想出了多种多样的测量方法。
研究性学习设计-三角函数的应用
(3)你收集信息、资料的途径有哪些?
(4)你在活动中遇到的最大问题是什么?
(5)本次活动中你最感兴趣的是什么?
(6)你对活动成果是否满意。
(7)本次活动中,你发现了什么?
(8)活动中,你最大的收获是什么?
2.同学互评
互评内容
方式
(1)小组成员合作是否愉快。
每一个主题活动结束后,小组成员集体讨论,组长执笔用描述性评价方法对以上内容进行评价,完成后经指导教师审阅后收入档案袋中。
二.户外活动——测量物体的高度
1、学生按小组自觉测量,获得相关的数据,并进行初步的计算过程,可以用
计算器辅助.
2学生讨论得出实验活动过程中测角和距离的方法.并特别注重测量的精确度,在活动中.还应注意相互协作、合理安排,让活动能有序、高效率地进行.
三、1.填写活动报告表.
2.反思实验过程,在全班交流各组的实验活动感受.
研究性学习设计模板
【研究性学习的标题】三角函数的应用
【研究任务名称】测量学校旗杆的高度
【小组成员】九年级学生
【任务完成期限】三课时
【情境】
数学来源于生活又用于生活。那么我想知道咱们学校旗杆的高度,利用所学的三角函数的知识,你能帮我算出来吗?
【任务】
以8位同学为一小组,合作完成以下任务:
(1)课题研究所要解决的主要问题:
①测量倾斜角;
②测量底部可以到达的物体的高度;
③测量底部不可以到达的物体的高度.
(2)通过以下内容的研究来达成这一目标:
①先在课堂上讨论、设计方案;
②进行室外的实际测量,活动结束时,应要求学生写出活动报告.重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
研究性学习高一九班贠泽楷数学三角函数.docx
三角函数之定义及公式步骤推理(研究性学习)高一九班贪泽楷目标:希望在本次调查小,重新整合三角*1数知识,加强运用能力。
熟练运用新的知识方法:1:复习课上知识,询问老师。
2:通过网络,书籍等方式搜查相关资料。
3:将网络书籍中的相关内容,数据加以分析整理。
4:根据整理内容设立相关报告。
5:修改、整理报告与论文预期的成果:论文报告:摘要:三角两数可以锻炼我们的逻辑思维捉高我们的计算能力关键词:正弦函数余弦函数在实际生活的应用正弦函数锐角正弦函数的定义在直角三角形ABC中,ZC等于90度,AB是ZC的对边c, CB是ZA的对边a, AC是ZB的对边b正弦函数就是sin(A)=a/c定义与定理定义:对于任意一个实数x都对应着唯-啲角(弧度制中等于这个实数),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx,这样,对于任意一个实数x都冇唯一确定的值sinx与它对应,按照这个对应法则所建立的两数,表示为yninx,叫做正弦函数。
定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC在直角三角形ABC中,Zc为90°, y为一条直角边,r为一条斜边,x为另一条直角边(在坐标系中,以此为底),则sinZA=y/r,r=根号下X方加y方正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R正弦定理⑸ne theorem) (1)已知三角形的两用与一边,解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所対的角,解三角形(3)运用a: b: c=sinA: sinB: sinC解决角之间的转换关系三角形一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
证明步骤1在锐角AABC中,设BC=a, AC=b, AB=c0作CH丄AB垂足为点HCH=a-sinBCH=b-sinA・ *.asinB=b-sinA得到a/sinA=b/sinB同理,在△ ABC中,b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R:任意三角形ABC,作ABC的外接圆0.作直径BD交<30于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以ZDAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以ZD等JVC.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R余弦函数定义余弦函数是三角函数的一种,可通过直角三角形进行定义。
三角函数数学深度研究报告
三角函数数学深度研究报告三角函数是数学中的基本概念之一,它是研究三角形和周期现象的重要工具。
本研究报告将对三角函数进行深入研究,从定义、性质、图像和应用等方面进行探讨。
一、三角函数的定义三角函数有正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)、正切函数(tangent)、余切函数(cotangent)、正割函数(secant)和余割函数(cosecant)六种。
这些函数是以单位圆上的点坐标来定义的。
以弧度为单位,正弦函数的定义为sinθ = y/r,余弦函数的定义为cosθ = x/r,正切函数的定义为tanθ = y/x,余切函数的定义为cotθ = x/y,正割函数的定义为secθ = r/x,余割函数的定义为cscθ = r/y,其中(x, y)为单位圆上的点坐标,r为单位圆的半径。
二、三角函数的性质1. 周期性:三角函数都是周期函数,正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期为2π,正切函数和余切函数的周期为π。
2. 零点:正弦函数的零点是nπ,余弦函数的零点是(n+1/2)π,正割函数的零点是((2n+1)/2)π,余割函数的零点是2nπ,正切函数的零点是nπ,余切函数的零点是(n+1/2)π,其中n为整数。
3. 奇偶性:正弦函数、正切函数和正割函数是奇函数,余弦函数、余切函数和余割函数是偶函数。
4. 定义域:正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的定义域为实数集,正割函数的定义域为实数集减去{x | x =(2n+1)π/2},余割函数的定义域为实数集减去{x | x = nπ}。
三、三角函数的图像三角函数的图像是周期性的波形,可以通过画出一个周期内的图像来观察其性质。
正弦函数的图像呈现正弦曲线,余弦函数的图像呈现余弦曲线,正割函数的图像呈现正切曲线在y轴上的镜像,余割函数的图像呈现余切曲线在x轴上的镜像,正切函数的图像呈现在定义域内的无穷多个周期,余切函数的图像呈现在定义域内的无穷多个周期。
三角函数的应用问题研究小结
三角函数的应用问题研究小结第一篇:三角函数的应用问题研究小结三角函数的应用问题研究小结通过这次研究性学习我们学会了很多东西,也懂得了很多。
以前学数学一般是理论性的比较多,缺乏与实际的联系,学了不知道怎么用。
这次研究性学习的最大所得,不在于取得什么成果,而是培养一种思维习惯,一种将现实生活中的现象转化为问题并进行研究的习惯。
当我们在黑板上写字,用力过大而将粉笔折断时,是否想到了粉笔多长才是最优化长度;又当我们去打电话时,是否能够联想到这类似于“函数模型”,从而求出电话费与时间的函数。
甚至当我们玩游戏时,能否用离散和概率的思想。
不禁一笑后,你会发现,其实这些问题都来自于我们的生活,但是它们的复合与延伸,就可能涉及到今日科学的前沿。
另外感觉自己的知识面还是不够宽,例如老师给了很多有价值的问题,由于我们知识浅薄,最终我们选择了“函数、不等式、数列在生活中的应用”等进行探索、研究。
对问题数据计算还可以,但对计出的数据找规律时,就遇到了困难,老师给我们作了指导。
在如果平时学习时,多注意理论与实践的结合,学以致用,做起研究性学习就更能得心手。
研究性学习毕竟是个集体项目,它不仅培养了我们的合作精神,而且也培养了大家的团结友爱,互助协作的精神。
所以组成小组后,我们组就常常在一起讨论题目,等到讨论成熟后,就进行计算研究。
俗话说,三个臭皮匠顶个诸葛亮。
大家在一起如果做出一些东西来,就会有一种成就感,这也是研究性学习带给我们的乐趣所在。
研究性学习培养的是一种创新精神,以及快速解决问题的能力。
参加研究性学习小组,也给了我们一次简单的科学研究工作的体验。
科学工作所需要的严谨,大胆都在这样活动中有着完整的体现。
使我们体会到了科研工作的艰辛,这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。
第二篇:EXCEL中的三角函数应用(范文模版)1.ABS用途:返回某一参数的绝对值。
语法:ABS(number)参数:number是需要计算其绝对值的一个实数。
高中数学三角函数学习方法的研究
高中数学三角函数学习方法的研究高中数学中,三角函数是一个重要的部分,也是相对较难理解和掌握的内容之一。
为了更好地学习和掌握三角函数,我们可以采用以下方法:1. 理解基本概念: 在学习三角函数之前,我们需要先对三角函数的基本概念有一个清晰的理解。
掌握最基本的正弦、余弦和正切函数的定义和性质,了解三角函数的周期性和对称性,这将为后续的学习打下良好的基础。
2. 理论与实践相结合: 三角函数是一门应用性较强的数学知识,在学习的过程中,我们不仅要学习理论知识,还要结合实际问题进行练习和应用。
通过解决实际问题,将理论与实践相结合,可以更好地理解和掌握三角函数的应用。
3. 多做题,多练习: 三角函数需要通过大量的练习才能更好地掌握。
我们可以选择一些典型的例题进行练习,熟练掌握计算和运用三角函数的方法。
在做题过程中,注意培养快速计算的能力,提高解题效率。
4. 分析与总结: 在学习过程中,可以通过分析解题思路和方法,总结归纳出一些解题技巧和方法。
这些方法可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。
5. 多角和三角恒等式的学习: 在学习三角函数的过程中,需要重点掌握常用的多角和三角恒等式。
多角和三角恒等式是解决复杂三角函数问题的关键,掌握这些恒等式将大大提高解题的能力。
6. 阅读相关教材和参考资料: 三角函数的学习并不仅仅局限于课堂上的讲解,我们可以通过阅读相关教材和参考资料,深入了解三角函数的知识。
有时候,一些经典的教材和参考资料会给我们带来更深入的理解和启发。
高中数学三角函数的学习需要掌握基本概念,理论与实践相结合,多做题和练习,分析总结解题技巧,重点掌握多角和三角恒等式,并通过阅读相关资料提升理解和应用能力。
通过坚持不懈地学习和练习,相信我们一定可以掌握三角函数,提高数学成绩。
高中数学三角函数学习方法的研究
高中数学三角函数学习方法的研究高中数学是学生学习生活中非常重要的一部分,而其中的三角函数更是其中的难点之一。
因为三角函数的概念较为抽象,公式繁多,导致许多学生对于三角函数的学习感到困难和苦恼。
其实三角函数并不是无法逾越的难题,只要学生掌握了正确的学习方法,就能够轻松地掌握三角函数的知识。
本文将探讨高中数学三角函数的学习方法,希望能够帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、理解概念三角函数的学习方法首先要求学生要对其概念进行深刻理解。
三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六种,它们是数学中关于角的函数。
学生应该理解到,这些函数描述的是角的变化,因此要对角度、弧度等概念有清晰的认识。
在理解的基础上,学生还要能够熟练地应用三角函数的定义和性质,比如正弦函数的定义为:sinθ=对边/斜边,余弦函数的定义为:cosθ=邻边/斜边等等。
只有通过理解概念,学生才能够更好地解决与三角函数相关的问题。
二、掌握公式学生还要掌握三角函数相关的公式。
学生需要熟练掌握三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
这些公式是解决复杂三角函数问题的关键,因此学生要将这些公式熟记于心,以便于在解题时灵活应用。
学生还要熟练地掌握三角函数的图像、周期、奇偶性等特点,这些都是三角函数学习中的重要内容。
三、勤于练习三角函数的学习也需要学生进行大量的练习。
只有通过反复地练习,学生才能够更好地掌握三角函数的相关知识。
在练习时,学生要注重题型的多样性,既要做基础题,也要做应用题,从而可以更全面地检验自己的掌握情况。
学生还要注重练习过程中的错题集的整理,要对每道做错的题目进行分析,找出错误的原因,从而不断地提高自己的学习水平。
四、注重实际应用在学习三角函数的过程中,学生要注重实际应用。
三角函数的应用非常广泛,包括在物理、工程等领域。
学生要通过实际问题的解决,更深入地理解三角函数的作用和意义。
而且,通过实际问题的解决,也能够增强学生对于三角函数的学习兴趣,从而更好地掌握相关知识。
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班级:高二14班小组:研究性学习组长:高艳丽组员:王锦妍、高山、田佳利、刘薇开题报告三角学的起源与发展三角学之英文名称 Trigonometry ,约定名于公元1600年,实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量),其原义为三角形测量(解法),以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础,达到测量上的应用为目的的一门学科。
早期的三角学是天文学的一部份,后来研究范围逐渐扩大,变成以三角函数为主要对象的学科。
现在,三角学的研究范围已不仅限于三角形,且为数理分析之基础,研究实用科学所必需之工具一、课题提出的背景运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能力,也是新课程标准对学生能力的基本要求。
九年级下册锐角三角函数内容不仅是初中数学教学的重点,而且是培养学生运用能力的理想材料,锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学思想,通过测量,工程技术等问题,转化为解直角三角形的应用题和数学活动,有助于培养学生的空间想象能力和运用数学的能力,更好地培养学生理论和实践相结合的意识。
学生在学习本部分内容时,对概念的形成难以理解,更不能把实际问题抽象成数学模型,造成对实际问题的解决无所适从,学生作业练习中更出现严重错误,利用数学知识解决实际问题的能力欠缺,导致学生对数学学习没有乐趣和积极性,因此,本人把锐角三角函数解决实际问题作为课题进行研究,培养学生数学运用能力。
二、所要解决的主要问题1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。
2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。
3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。
4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法,使学生对实际问题的探索充满乐趣。
三、课题的理论价值和实践意义理论价值:本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯,掌握基本的数学思想和方法,真正体会数学知识的实际意义,培养学生良好的数学意识。
实践意义:本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求,提高学生数学学习兴趣,培养数学应用能力。
四、研究内容1、对学生数学的应用能力进行调查,找出影响应用能力的因素。
2、通过锐角三角函数概念的学习,探索学生经历概念的形成过程。
3、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习,培养学生数形结合的思想方法。
4、通过一定量的实际问题,培养学生对实物的观察,画出数学图形,培养学生空间想象能力。
5、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索,合作交流的能力,寻求多样化的解题方法,培养学生的创新意识。
研究报告两角和与差的三角函数·典型例题分析例1 化简下列式子:(1)sin100°sin(-160°)+cos200°cos(-280°)(2)cos(15°-A)·sec15°-sin(165°+A)·csc15°分析(1)本题中四个角都不相同,初看起来不能利用公式,如果先利用诱导公式将角度化为小于90°的角,就会发现其内在关系.(2)由于两角和或差的三角函数公式中没有关于两割的函数的式子,因此,应首先将原式化为含有两弦函数的式子.解:(1)原式=-sin80°·sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos(80°-20°)=-cos60°=4sinA评注(1)(2)两题共同特点是:不能直接用两角和与差的三角函数公式,但通过基本的三角变换(化负角为正角、化大角为小角、化切割为弦)之后,公式的特征已显现出来.所以,在解题分析时不仅要掌握基本公式,还应掌握一些更基本、更常用的方法.cosβ的值.求sin2α的值.分析(1)已知α的范围及tgα的值,由同角三角函数关系式可求sinα和cosα的值,同理可求得α+β的正弦,再用已知角α及α+β来表示未知角β后利用两角差余弦公式求得.(2)此题思路与(1)相同,不同的是在应用同角三角函数关系式求某一角的三角函数值时需认真分析α+β和α-β的范围.最后应用的是两角和的正弦公式求sin2α.因此cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα同理,cos(α+β)=-4/5于是sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)评注对于此类问题,如果直接利用公式将cos(α+β),cos(α-β)sin(α+β)展开为单角α、β的三角函数形式组成方程组进行计算,则运算量很大,所以,解决此类给值求值问题,主要是考查运用两角和差公式进行三角变换的能力.例3 已知A、B、C为锐角,tgA=1,tgB=2,tgC=3,求A+B+C的值.分析给出A、B、C的范围及正切值,求A+B+C时,首先必须确定A+B+C 的范围,然后求出A+B+C的某一三角函数值,由以上两方面写出A+B+C 的大小.在求A+B+C的正切值时,由于只有两角和的正切公式,所以必须先求出A+B的正切值,然后再一次应用公式求A+B+C的正切值.解:∵A、B、C为锐角,∴0°<A+B+C<270°又tgA=1,tgB=2,由公式可得:故A+B+C=π.评注给出三角函数值求角时,必须先确定角的范围.通常情况下,角的范围尽可能缩小到最小程度,以避免多余情形的产生.分析因为cos(α-β)应用公式后含有α、β的正弦之积与余弦之积,所以可以从已知条件出发,通过平方即会出现sinα·sinβ和cosα·cos β.①的平方+②的平方得:评注对于形如asinα-bsinβ=m,acosα-bcosβ=n,这种类型的条件求值问题要看所求的问题而定,通常所采取的三角变换有:平方后相加(或减);和差化积;两式相乘等.再如:已知sinx+siny=1,求cosx+cosy的取值范围.可先设t=cosx+cosy,两式平方后相加得:t2=1+2cos(x-y),最大值为______.分析(1)所求函数中角不同,应用诱导公式可化为同角,然后再应用两角和(或差)的正弦(或余弦)化为一个角的一种三角函数,在一定范围内由单调性得出最大值,也可直接展开后求解.(2)同(1)相似,首先化为一个角的三角函数,在求单调区间不能忽视函数定义域.解:(1)原函数可化为:(2)原函数可化为:评注对于函数表达式中异角形式而要讨论函数性质问题,首先要应用上一章方法求解.一般情况下,y=asinx+bcosx可引入一个辅助角。
求三角函数最值的方法三角函数的最值是三角函数中最基本的内容,也是历年高考命题的热点。
对这类问题只要我们找到恰当的方法,就可以快速地求解。
一、函数法对于形如y=af 2(x)+bf (x)+c (其中f (x)=sinx cosx 或tanx等)型的函数,可构造二次函数y=at2+bt+c 利用在某一区间上求二次函数最值的方法求解。
例1、 求函数Y=cos 2x+sinx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ上的最值 解:令sinx=t x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ ∴ t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22 y=cos 2x+sinx=--sin 2x+sinx+1=--t 2+t+1=--(t- -21 )2+45这是一个关于t (t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22 ) 的二次函数,其图象是开口方向向下的抛物线的一部分,因此当t=21 即 x=6π 时 y max=45 当t=-22 即 x=-4π 时 y min =221-二、数形结合法对于形如 y=xd c x b a cos sin ++ 型的函数,往往可用数形结合法来求最值 例2. 求函数 的最小值。
解:如图,它的几何意义是圆x 2+y 2=1上的点B 与点A (-1,)连线的斜率。
显然,当AB 是圆O 的切线时,直线AB 的斜率取得极值。
易知∠BAC=30°, 所以。
三、换元法对于形如y=a(sinx+-cosx)+bsinxcosx+c 型的函数,可采用换元法求解例3 求函数y =(1+sinx)(1+cosx)的值域.解: 原函数即为 y =1+sinx +cosx +sinxcosx,∴原函数即为四、缩放法例4. 已知,求函数的最小值。
解:由平均值不等式,有, 可知,当,即时,函数M 有最小值。
五、向量法例5.求函数的最大值。
解: 由于,因此可设,根据,有, 所以,即。
结题报告研究过程和成果(一)充分挖掘数学内容的本质三角函数的概念与以前所学一次函数,反比例函数和二次函数不同,它反映的不是数与数值的对应关系,而是角度与数值之间的对应关系,学生初次接触这种对应关系,理解起来很困难,而这种对应关系对学生深刻理解函数的概念又有很大帮助。
因此,我在教学过程中加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻化,让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻地认识,加深函数概念的理解。
(二)加大学生的思维空间,发展学生的能力在培养学生过程中,一方面继续保持原有的通过设置“观察”、“思考”、“讨论”、“探究”、“归纳”等项目来扩大学生探索交流的空间,发展学生的思维能力。
同时,结合基础内容的知识特点,又考虑到学生年龄特征,在教学过程中,将数学结论的探索过程完全留给学生,为学生提供更广阔的探索空间,开阔思路,发展学生的思维能力,有效改变学生学习方式。
(三)加强教研与实际的联系锐角三角函数是解直角三角形的基础,解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。
解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。
例如,利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引正弦函数,结合使用梯子攀登墙面问题引出角直角三角形的概念与方法,等等,再有利用背景丰富有趣的几个实际问题,从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用,一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际,是实际的需要,另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用,感受由实际问题抽象出数学问题,通过解决数学问题得到数学问题的答案,再回到实际问题的这种实践——理论——实践的认识过程。
这个认识过程符合人的认知规律,有利于调动学生学习数学的积极性,丰富有趣的实际问题也能激发学生的学习兴趣。
(四)注意数形结合,自然体现数与形之间的联系数形结合是重要的数学思想和方法,本知识又是数形结合的理想材料。
例如,对于锐角三角函数的概念,利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入的,结合几何图形来定义锐角三角函数的概念,将数形结合起来,有利于学生理解锐角三角函数的本质,再例如,解直角三角形在实际中有着广泛的作用,在将这些实际问题抽象成数学问题并利用锐角三角函数解直角三角形时,离不开几何图形,这时往往需要根据题意画出几何图形,通过分析几何图形得到边、角之间的关系,再通过计算,推理等使实际问题得到解决。