利用均值不等式证明不等式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1，利用均值不等式证明不等式
（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记
12111n n
n H a a a =
++⋅⋅⋅+
n G =
12
n n a a a A n
++⋅⋅⋅=
n Q =
它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==⋅⋅⋅=。 先证n n A G ≥
证法一：
.n n A G ≥用数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
1.k
k k k
A G ≥≥假设：n=k 2时成立,即有：
11111
111k k k k k k k k k k k k k k k k
A A A G G G A G ++++++++≥⇔≥n=k+1时：只需证：
12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<
1
1
11
1
1111
1=
11
k k k k k k
i i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑1
101
1
11111
1
k k
k
k
k k
i
i i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
⎝⎭
∑∑∑∑
1111
111(1)(11).1k
k
k
k k
k
i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++⎛⎫⎛
⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=+-+-==+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑ 111
11.1k k k k k k k k k
A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。
.
n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈k
k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：
++++1
+11
++=
=.i
i
i i i
i a
a
a A G ===≥
≥=∑∑∑k 1
k k 1
k
k 1k 12222k
k
2k 1
222
2
2
2
+,k N ∀∈k 即，对当n=2时，结论成立。
+t N ≥∈假设n=t+13（）时成立。则n=t 时有：
1
t t
t tA G G t +=≥=
=+
t t A G n t ≥=化简即得：，即时亦成立。所以原不等式成立。
证法三：12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<
1
1,0.k
i
i k k k a
b b b k
=-=
≥>∑令：则有：
1211111111()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b kb -----------=-+++≥-L
11
1111
[(1)](1).k
k k k k
k k k k k k k b b b kb k b kb k b b ------≥--≥--即：，亦即：
111(1).(2),.k k k kb k b a n k b a ---=≥≥=且：
11112211[(1)]k n
n n
n
n n
k n
n
k k k n
k k k k k b A b b b kb k b a G b --===-==≥--==∏∏∏ 12n ===.n n G A a a a ∴≤L 等号成立当且仅当:
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：
（1）
()1
3a a b b
+
≥-，(0)a b >> （2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z > 证明（1）()1a a b b +
-()()1
a b b a b b
=-++-
3≥= 当且仅当()1
0a b b a b b
-==
>-，即2,1a b ==取等号。
证明（2
()()
log 1log 12
n n n n -++<
()2211
log 1log 122
n n n n =-<= ∴()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
证明（3）44222x y x y +≥=，同理44222z y z y +≥
44222z x z x +≥，三式相加得444222222x y y x y y z z x ++≥++
另一方面222222x y y z xy z +≥=，
同理222222x y x z yx z +≥=，222222x z y z yz x +≥= 三式相加得222222x y y z z x ++()xyz x y z ≥++
说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。（3）中累加的方法是常用的处理手段。
例2：若
,,a b c R +∈且1a b c ++=≤