2014竞赛第二讲 一般物体的平衡答案
竞赛常见的三种力及共点力的平衡答案
： 常有的三种力、物体的均衡一、力学中常有的三种力 ( 一) 有关观点1. 重力、重心重心的定义：m 1 gx 1 m 2 gx 2，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩均衡。
xm 2 g m 1 g重心与质心不必定重合。
如很长的、竖直搁置的杆，重心和质心不重合。
2. 弹力、弹簧的弹力（ F =kx ） （ 1）两弹簧串连， 1 = 1 +1（ 2）并联时1 +k 2k k 1 k 2k=k3. 摩擦力（ 1）摩擦力的方向： （2）摩擦角 : f 和 N 的协力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角 （ f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角=tan -1 f / N =tan -1。
摩擦角与摩擦力没关，对必定的接触面， 是必定的。
因为静摩擦力 f 0 属于范围 0＜ f ≤ f m ，故接触面作用于物体的全反力F 同接触面法线的夹角tg 1 f≤φ 0 ，这就是判断物N体不发生滑动的条件。
换句话说，只需全反力F 的作用线落在（ 0，φ 0）范围 时，无量大的力也不可以推进木块，这类现象称为自锁。
（二）稳固练习FFNφαf 0f m1. （ 90 国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如下图，由成对的弹簧构成。
全部的弹簧拥有相同 的劲度系数 10N/m ，一个重为 100N 的重物置于垫上以致该垫的表面地点降落了 10cm ，此弹簧垫共有多少根弹簧？（假定当重物放上后全部的弹簧均压缩相同的长度）。
4002. 如下图，两个劲度系数分别为 k 1 和 k 2 的轻质弹簧竖直悬挂，弹簧下端用圆滑细绳连结，并有一圆滑的轻滑轮放在细绳上 . 把滑轮和两个轻弹簧等效成一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。
3. 水平川面上有一质量为 m 的物体 , 受斜向上的拉力 F 作用而匀速挪动 , 物体与地面间的动摩擦因数为,则为使拉力 F 最小 , F 与水平川面间的夹角多大 ?F 的最小值为多少 ?F-1mg（答案： tan ；）θ21解 : 先把 f 和 N 合成一个力 T , 因 f 和 N 成正比 , 所以当 F 发生变化时 T 的大小也要发生f变化 , 但方向不变 , 且 =tan -1 N =tan -1. 这样 , 就把四个力均衡问题变为了三个力均衡问题 , 如左图所示 .依据平行四边形定章, 当 F 和 T 垂直 时 F 最 小 , 如右 图 所 示 . 得 F 与 水 平川面 间 的 夹角 = =tan -1,sin = ， F 的最小值 F min =mg sin = mg.1 2 1 2另解：设 F与水平面成角时 F最小,有 cos - ( - sin )=0, 得 F mg ,F mg Fsincos令 =cot , , 代入上式得 F mgsin = mg 。
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第二讲力与物体的平衡第二节力的合成与分解含解析
第二节 力的合成与分解一、力的合成力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力等效代替几个力的共同作用，如果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同,那么这个力就是那几个力的合力。
合力与分力是一种等效替代的关系。
1．平行四边形定则当同一直线上的两个力同向时，合力等于这两力之和，即12 F F F =+合；当同一直线上的两个力方向相反时，合力等于较大力与较小力之差,即12 F F F =-合.有两个力的方向不在同一直线上,则不能简单地用加、减来计算合力的大小。
实验证明，互成夹角的两个力与合力的关系符合“平行四边形定则”，内容如下：以两分力为邻边作平行四边形，两分力所夹的对角线即表示合力的大小与方向，如图4。
46所示.利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方向。
设力1F ，2F 的夹角为α,则它们的合力F 合的大小可由余弦定理求得： ()221212 2cos 180F F F F F α=+-︒-合根据()cos 180cos αα︒-=-，因此221212 2cos FF F F F α=++合。
(1）两个力的合成 对子一些特殊情况下的合力计算，可以根据三角形知识来求解合力。
下面列举出两个等大的力F ，夹角取下列情况时合力的大小，如图4.47所示，请同学们利用平行四边形定则,结合数学知识来试着验证，以掌握合力的计算方法。
从上述计算合力的过程中，还可以得出以下几个结论：①合力不一定比分力大。
实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。
②合力大小的变化范围是211 2F F F F F -≤≤+合。
③当两个分力大小不变时,两分力夹角越大，合力越小。
上述几种特殊情况下的两个力的合力的值，同学们要牢记，在很多情形下都可以直接运用。
例1 如图4.48所示,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F ,两人手臂间的夹角为θ，水和水桶所受总重力为G ,则下列说法中正确的是（ )。
物理竞赛力学典型题目汇编(含答案)
第一讲 平衡问题典题汇总类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
1、如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
又由于AB 杆竖直时12C y a =， 那么B 点的坐标为 sin x a θ=111cos (1cos )222y a a a θθ=-=- 消去参数得222(2)x y a a +-=类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。
例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C 柱放上去之前，A 、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得111)2N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得1121022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得211102f N N -= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得12f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤0μ≥2μ≥类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力F f 与弹力F N 的合力凡与接触面法线方向的夹角θ不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念．例4．如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l 和2l ，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上．A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且12l l <。
高中物理奥赛之力学—1.5一般物体的平衡
§1.5 一般物体的平衡力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。
如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。
因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零)0(=∑外F 和合力矩为零∑=)0(M 同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为∑=0xF ∑=0x M=∑yF=∑yM∑=0zF∑=0z Mzy x M M M ,,分别为对x 轴、y 轴、z 轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。
如平面力系（设在xOy 平面内），则0,0,0===∑∑∑y x x M M F 自动满足，则独立的平衡方程为：0=∑xF 0=∑yF∑=0zF=∑zM这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
§1.6 平衡的稳定性1．6．1、重心物体的重心即重力的作用点。
在重力加速度g ϖ为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为21,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且21,m m 与相距分别为：0)(2121=-+L m L m m 0)(1221=-+L m L m m2121m m Lm L +=2112m m L m L +=均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
物体重心（或质心）位置的求法我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。
2014竞赛第二讲一般物体的平衡答案
■H VAEQ酣A"本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!2014第二讲一般物体的平衡一、相关概念 （一） 力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二） 力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为 向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三） 有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即2 （四） 重心：计算重心位置的方法： M=FL 单位“牛•米”。
一般规定逆时针方 M=0,或 2 M 逆=2 M 顺。
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、 割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体， 反向）平行力合成法求重心位置。
3、 公式法：x h^gx 1 +m2g X 2 +AA ，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
m 1 g +m 2 g +A A再由同向（或 二、 常用方法 ① 巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式 子简化得多； ② 复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③ 无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想， 结合平行力合成与分解的原则处理, 或者助物体重心公式计算。
三、 巩固练习 1.如右图所示，匀质球质量为 M 半径为R;匀质棒B 质量为m 长度为I 。
求它的重心。
【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方 法找出重心 Co C 在AB 连线上，且 AC- M=BC- m 第二种方法是：将棒锤看成一个对称的 合成，用反向平行力合成的方法找出重心 = A'C • M。
不难看出两种方法的结果都是 M 〔R + L 〕BC =dZ 。
“哑铃”和一个质量为-M 的球A 的C, C 在AB 连线上，且 BC-（ 2M+m Mg A R+l/2M +m 2. 将重为30N 的均匀球放在斜面上，球用绳子 拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球 的最高点斜面倾角为370.求：（1） 绳子的张力. （2） 斜面对球的摩擦力和弹力. ［答案：（1） 10N;（ 2） 10N, 30N ］ 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴： 得 T =10N; （2）取球心为转轴得，f =T =10N; 取C 点为转轴：f （R +RCOS370） —NRsin3703. —个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边， 一个竖直向下的力 F ,如图所示.问；力 \ C B } I2 F,C A • (2M+m)g mgRsin 37° —T (R+RCO S 372) =0，Mg mg(M+m ) g =0，得 N=30N.球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为卩 ,如果在球上加 F 离球心的水平的距离 s 为多大，才能使球做逆时针转动 ？ ［解］当球开始转动时，f 1, f 2达到最大静摩擦 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.Fs = hr +f 2r两式相比得 2= 10-9，得N2=11.25NN 2 N 2 -105.有一轻质木板 AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙壁上 ，另一端用水平轻绳 BC 拉住.板上依次放着1、 2、3三上圆柱体，半径均为r ，重均为G 木板与墙的夹角为 4如图所示）.一切摩擦均不计，求BC 绳的张 力.[答案：丁=空（1J+Zsi n9]L 1 —cos 0cos 6解:此题的解法很多，同学们可体会到取不同的研究对象 ，问题的难易程度不同.解法1：对圆柱体一个一个分析，分别计算出圆柱体的弹力，再对木板分析，有力矩平衡求出 BC 绳的 张力.比较麻烦.解法2：把三个球作为整体，可求出板对三个球的弹力 的力臂比较难求.下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
2014高考真题+模拟新题 物理分类汇编：B单元 力与物体的平衡 纯word版解析可编辑
B单元力与物体的平衡B1力、重力、弹力14．[2014·广东卷] 如图7所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N 处受力的方向，下列说法正确的是()A．M处受到的支持力竖直向上B．N处受到的支持力竖直向上C．M处受到的静摩擦力沿MN方向D．N处受到的静摩擦力沿水平方向14．A[解析] 支持力的方向与接触面垂直，所以M处的支持力的方向与地面垂直，即竖直向上，N处支持力的方向与接触面垂直，即垂直MN向上，故选项A正确，选项B 错误；摩擦力的方向与接触面平行，与支持力垂直，故选项C、D错误．B2摩擦力6．（2014·上海十三校调研）如图X2-6所示，两个梯形木块A、B叠放在水平地面上，A、B之间的接触面倾斜，A的左侧靠在光滑的竖直墙面上．关于两个木块的受力，下列说法正确的是()A．A、B之间一定存在摩擦力B．A可能受三个力作用C．A一定受四个力作用D．B受到地面的摩擦力的方向向右6．B[解析] 对A进行受力分析知，A受重力、墙面的支持力、B对A的支持力作用，根据平衡条件，A还可能受B对A的摩擦力作用，选项B正确，选项A、C错误．对A、B 整体进行受力分析知，整体受重力、外力F、地面对B的支持力、墙面对A的支持力作用，根据平衡条件知，还可能受地面对B的静摩擦力作用，方向可能向左，也可能向右，选项D 错误．14．[2014·浙江卷] 下列说法正确的是()A．机械波的振幅与波源无关B．机械波的传播速度由介质本身的性质决定C．物体受到的静摩擦力方向与其运动方向相反D．动摩擦因数的数值跟相互接触的两个物体的材料无关14．B[解析] 本题考查机械波、静摩擦力、动摩擦因数等知识．机械波的振幅与波源有关，选项A错误；传播速度由介质决定，选项B正确；静摩擦力的方向可以与运动方向相同，也可以相反，也可以互成一定的夹角，选项C错误；动摩擦因数描述相互接触物体间的粗糙程度，与材料有关，选项D错误．10．在如图所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝944m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝37°.过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝1.25 T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104 N/C.小物体P1质量m＝2×10－3kg、电荷量q＝＋8×10－6C，受到水平向右的推力F＝9.98×10－3N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力．当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1 s与P1相遇．P1与P2与轨道CD、GH 间的动摩擦因数均为μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力．求：(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；(2)倾斜轨道GH的长度s.10．(1)4 m/s(2)0.56 m[解析] (1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则F1＝qvB①f＝μ(mg－F1)②由题意，水平方向合力为零F－f＝0③联立①②③式，代入数据解得v＝4 m/s④(2)设P1在G点的速度大小为v G，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理qEr sin θ－mgr(1－cos θ)＝12mv2G－12mv2⑤P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，根据牛顿第二定律qE cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋qE sin θ)＝ma1⑥P1与P2在GH上相遇时，设P1在GH上运动的距离为s1，则s1＝v G t＋12a1t2⑦设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则m2g sin θ－μm2g cos θ＝m2a2⑧P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2，则s2＝12a2t2⑨联立⑤～⑨式，代入数据得s＝s1＋s2⑩s＝0.56 m○11B3力的合成与分解10．在如图所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝944m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝37°.过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝1.25 T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104 N/C.小物体P1质量m＝2×10－3kg、电荷量q＝＋8×10－6C，受到水平向右的推力F＝9.98×10－3N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力．当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1 s与P1相遇．P1与P2与轨道CD、GH 间的动摩擦因数均为μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力．求：(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；(2)倾斜轨道GH的长度s.10．(1)4 m/s(2)0.56 m[解析] (1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则F1＝qvB①f＝μ(mg－F1)②由题意，水平方向合力为零F－f＝0③联立①②③式，代入数据解得v＝4 m/s④(2)设P1在G点的速度大小为v G，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理qEr sin θ－mgr(1－cos θ)＝12mv2G－12mv2⑤P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，根据牛顿第二定律qE cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋qE sin θ)＝ma1⑥P1与P2在GH上相遇时，设P1在GH上运动的距离为s1，则s1＝v G t＋12a1t2⑦设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则m2g sin θ－μm2g cos θ＝m2a2⑧P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2，则s2＝12a2t2⑨联立⑤～⑨式，代入数据得s＝s1＋s2⑩s＝0.56 m○112．（2014·陕西宝鸡一检）在如图X2-2所示的甲、乙、丙、丁四幅图中，滑轮本身所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量都是m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直．假设甲、乙、丙、丁四幅图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为F A、F B、F C、F D，则以下判断中正确的是()图X2-2A．F A＝F B＝F C＝F D B．F D＞F A＝F B＞F CC．F A＝F C＝F D＞F B D．F C＞F A＝F B＞F D2．B[解析] 绳上的拉力等于重物所受的重力mg，设滑轮两侧细绳之间的夹角为φ，滑轮受到木杆P的弹力F等于滑轮两侧细绳拉力的合力，即F＝2mg cos φ2，由夹角关系可得F D＞F A＝F B＞F C，选项B正确．B4受力分析物体的平衡图X2-11．（2014·徐州期中）孔明灯相传是由三国时的诸葛孔明发明的．如图X2-1所示，有一盏质量为m 的孔明灯升空后向着东北偏上方向沿直线匀速上升，则此时孔明灯所受空气的作用力的大小和方向是( )A ．0B ．mg ，竖直向上C ．mg ，东北偏上方向 D.2mg ，东北偏上方向1．B [解析] 孔明灯做匀速直线运动，受重力和空气的作用力而平衡，则空气的作用力与重力等大反向，选项B 正确．4．（2014·江苏淮安二检）体育器材室里，篮球摆放在如图X2-4所示的球架上．已知球架的宽度为d ，每个篮球的质量为m ，直径为D ，不计球与球架之间的摩擦，则每个篮球对一侧球架的压力大小为( )图X2-4A.12mgB.mgD dC.mgD 2D 2－d 2D.2mg D 2－d 2D4．C [解析] 篮球受力如图所示，设球架对篮球的弹力与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件得F 1＝F 2＝mg2cos θ而cos θ＝⎝⎛⎭⎫D 22－⎝⎛⎭⎫d 22D 2＝D 2－d 2D则F 1＝F 2＝mgD2D 2－d 2，选项C 正确．8．[2014·浙江省金华市联考] 如图X2-8所示，质量为M 、半径为R 的半球形物体A 放在水平地面上，通过最高点处的钉子用水平细线拉住一质量为m 、半径为r 的光滑球B .则( )图X2-8A ．A 对地面的压力等于(M ＋m )gB ．A 对地面的摩擦力方向向左C ．B 对A 的压力大小为R ＋r R mgD ．细线对小球的拉力大小为rRmg8．AC [解析] 以A 、B 整体为研究对象可知A 对地面的压力等于(M ＋m )g ，选项A 正确；A 、B 整体在水平方向没有发生相对运动，也没有相对运动的趋势，A 对地面没有摩擦力，选项B 错误；以B 为研究对象，进行受力分析可知：F 2cos θ＝mg ，F 1＝mg tan θ，解得B 对A 的压力大小F 2＝R ＋r R mg ，细线对小球的拉力大小F 1＝mg r （r ＋2R ）R ，选项C 正确，选项D 错误．9． (18分)[2014·重庆卷] 如题9图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h ，质量为m ，带电荷量为＋q 的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g .题9图(1)求电场强度的大小和方向．(2)要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值．(3)若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．9．[答案] (1)E ＝mg q ，方向竖直向上 (2) (9－62)qBh m (3)可能的速度有三个：0.68qBh m ，0.545qBh m ，0.52qBhm本题考查了带电粒子在复合场、组合场中的运动．答题9图1 答题9图2 [解析] (1)设电场强度大小为E . 由题意有mg ＝qE得E ＝mgq，方向竖直向上．(2)如答题9图1所示，设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为v min ，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ.由r ＝mv qB有r 1＝mv min qB ，r 2＝12r 1由(r 1＋r 2)sin φ＝r 2 r 1＋r 1cos φ＝h v min ＝(9－62)qBhm(3)如答题9图2所示，设粒子入射速度为v ，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r 1和r 2，粒子第一次通过KL 时距离K 点为x .由题意有3nx ＝1.8h (n ＝1，2，3…) 32x ≥（9－62）h 2x ＝r 21－（h －r 1）2得r 1＝⎝⎛⎭⎫1＋0.36n 2h2，n <3.5 即n ＝1时，v ＝0.68qBhm ；n ＝2时，v ＝0.545qBhm ；n ＝3时，v ＝0.52qBhm19． [2014·浙江卷] 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A ，细线与斜面平行．小球A 的质量为m 、电荷量为q .小球A 的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B ，两球心的高度相同、间距为d .静电力常量为k ，重力加速度为g ，两带电小球可视为点电荷．小球A 静止在斜面上，则( )第19题图A ．小球A 与B 之间库仑力的大小为kq 2d2B ．当q d ＝mg sin θk 时，细线上的拉力为0 C ．当q d ＝mg tan θk 时，细线上的拉力为0 D ．当q d＝mgk tan θ时，斜面对小球A 的支持力为0 19．AC [解析] 本题考查库仑定律、受力分析、共点力的平衡等知识．根据库仑定律可知小球A 与B 之间的库仑力大小为k q 2d 2，选项A 正确．若细线上的拉力为零，小球A 受重力、库仑力和支持力作用，如图所示，由平衡条件可得F ＝k q 2d 2＝mg tan θ，选项B 错误，选项C 正确；因为两小球带同种电荷，所以斜面对小球A 的支持力不可能为0，选项D 错误．第20题图114． [2014·山东卷] 如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．木板静止时，F 1表示木板所受合力的大小，F 2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )A ．F 1不变，F 2变大B ．F 1不变，F 2变小C ．F 1变大，F 2变大D ．F 1变小，F 2变小14．A [解析] 本题考查受力分析、物体的平衡．在轻绳被剪短前后，木板都处于静止状态，所以木板所受的合力都为零，即F 1＝0 N ．因两根轻绳等长，且悬挂点等高，故两根轻绳对木板的拉力相等，均为F 2.对木板进行受力分析，如图所示，则竖直方向平衡方程：2F 2cos θ＝G ，轻绳剪去一段后，θ增大，cos θ减小，故F 2变大．选项A 正确．11．[2014·江西省南昌市期末] 如图X2-11所示，光滑金属球的重力G＝40 N．它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角θ＝37°的斜面体上．已知斜面体处于水平地面上保持静止状态，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：图X2-11(1)墙壁对金属球的弹力大小；(2)水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．11．(1)30 N(2)30 N方向水平向左[解析] (1)金属球静止，则它受到三个力的作用而平衡(如图所示)．由平衡条件可得墙壁对金属球的弹力为N1＝G tan θ＝40 N×tan 37°＝30 N.(2)斜面体对金属球的弹力为N2＝Gcos 37°＝50 N由斜面体平衡可知地面对斜面体的摩擦力大小为f＝N2sin 37°＝30 N摩擦力的方向水平向左．B5实验：探究弹力和弹簧伸长的关系21．[2014·浙江卷] 在“探究弹力和弹簧伸长的关系”时，某同学把两根弹簧如图1连接起来进行探究．第21题图1第21题表1(1)某次测量如图2所示，指针示数为________ cm.(2)在弹性限度内，将50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数L A和L B 如表1.用表1数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为____ N/m(重力加速度g取10 m/s2)．由表Ⅰ数据________(选填“能”或“不能”)计算出弹簧Ⅱ的劲度系数．第21题图221. [答案] (1)(15.95～16.05)cm，有效数字位数正确(2)(12.2～12.8) N/m能[解析] (1)由图2可知刻度尺能精确到0.1 cm，读数时需要往后估读一位．故指针示数为16.00±0.05 cm.(2)由表1中数据可知每挂一个钩码，弹簧Ⅰ的平均伸长量Δx1≈4 cm，弹簧Ⅱ的总平均伸长量Δx2≈5.80 cm，根据胡克定律可求得弹簧Ⅰ的劲度系数为12.5 N/m，同理也能求出弹簧Ⅱ的劲度系数．23． (10分)[2014·新课标Ⅱ卷] 某实验小组探究弹簧的劲度系数k 与其长度(圈数)的关系．实验装置如图(a)所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P 0、P 1、P 2、P 3、P 4、P 5、P 6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P 0指向0刻度．设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x 0；挂有质量为0.100 kg 的砝码时，各指针的位置记为x .测量结果及部分计算结果如下表所示(n 为弹簧的圈数，重力加速度取9.80 m/s 2)．已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm.图(a)(1)将表中数据补充完整：①________；②________．(2)以n 为横坐标，1k 为纵坐标，在图(b)给出的坐标纸上画出1k －n 图像．图(b)(3)图(b)中画出的直线可近似认为通过原点．若从实验中所用的弹簧截取圈数为n 的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k 与其圈数n 的关系的表达式为k ＝____③__N/m ；该弹簧的劲度系数k 与其自由长度l 0(单位为m)的关系的表达式为k ＝____④__N/m.23．[答案] (1)①81.7 ②0.0122 (2)略(3)③1.75×103n (在1.67×103n ～1.83×103n 之间均同样给分) ④3.47l 0(在3.31l 0～3.62l 0之间均同样给分)[解析] (1)①k ＝mg Δx ＝0.100×9.80（5.26－4.06）×10－2＝81.7 N/m ； ②1k ＝181.7m/N ＝0.0122 m/N. (3)由作出的图像可知直线的斜率为5.8×10－4，故直线方程满足1k ＝5.8×10－4n m/N ，即k＝1.7×103 n N/m(在1.67×103n ～1.83×103n之间均正确)④由于60圈弹簧的原长为11.88 cm ，则n 圈弹簧的原长满足n l 0＝6011.88×10－2，代入数值，得k ＝3.47l 0(在3.31l 0～3.62l 0之间均正确)．34．(2)某同学根据机械能守恒定律，设计实验探究弹簧的弹性势能与压缩量的关系． ①如图23(a )所示，将轻质弹簧下端固定于铁架台，在上端的托盘中依次增加砝码，测量相应的弹簧长度，部分数据如下表．由数据算得劲度系数k ＝________N/m.(g 取9.80 m/s 2)②取下弹簧，将其一端固定于气垫导轨左侧，如图23(b)所示；调整导轨，使滑块自由滑动时，通过两个光电门的速度大小________．③用滑块压缩弹簧，记录弹簧的压缩量x ；释放滑块，记录滑块脱离弹簧后的速度v .释放滑块过程中，弹簧的弹性势能转化为________．④重复③中的操作，得到v 与x 的关系如图23(c)．由图可知，v 与x 成________关系．由上述实验可得结论：对同一根弹簧，弹性势能与弹簧的________成正比．B6 实验：验证力的平行四边形定则B7 力与平衡问题综合8． (16分)[2014·重庆卷] 某电子天平原理如题8图所示，E 形磁铁的两侧为N 极，中心为S 极，两极间的磁感应强度大小均为B ，磁极宽度均为L ，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C 、D 与外电路连接，当质量为m 的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I 可确定重物的质量，已知线圈匝数为n ，线圈电阻为R ，重力加速度为g .问题8图(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C 端还是从D 端流出？ (2)供电电流I 是从C 端还是D 端流入？求重物质量与电流的关系． (3)若线圈消耗的最大功率为P ，该电子天平能称量的最大质量是多少？ 8．[答案] (1)从C 端流出 (2)从D 端流入 2nBILg(3)2nBL gP R本题借助安培力来考查力的平衡，同时借助力的平衡来考查受力平衡的临界状态． [解析] (1)感应电流从C 端流出．(2)设线圈受到的安培力为F A ，外加电流从D 端流入． 由F A ＝mg 和F A ＝2nBIL得m ＝2nBL gI(3)设称量最大质量为 m 0. 由m ＝2nBL g I 和P ＝I 2R得m 0＝2nBLgP R19． [2014·浙江卷] 如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ.一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A ，细线与斜面平行．小球A 的质量为m 、电荷量为q .小球A 的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B ，两球心的高度相同、间距为d .静电力常量为k ，重力加速度为g ，两带电小球可视为点电荷．小球A 静止在斜面上，则( )第19题图A ．小球A 与B 之间库仑力的大小为kq 2d 2B ．当q d ＝mg sin θk 时，细线上的拉力为0 C ．当q d ＝mg tan θk 时，细线上的拉力为0 D ．当q d＝mgk tan θ时，斜面对小球A 的支持力为0 19．AC [解析] 本题考查库仑定律、受力分析、共点力的平衡等知识．根据库仑定律可知小球A 与B 之间的库仑力大小为k q 2d 2，选项A 正确．若细线上的拉力为零，小球A 受重力、库仑力和支持力作用，如图所示，由平衡条件可得F ＝k q 2d 2＝mg tan θ，选项B 错误，选项C 正确；因为两小球带同种电荷，所以斜面对小球A 的支持力不可能为0，选项D 错误．第20题图110．（2014·徐州期中）如图X2-10所示，质量为m 1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O ，轻绳OB 水平且B 端与站在水平面上的质量为m 2的人相连，轻绳OA 与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(1)轻绳OA 、OB 受到的拉力分别是多大？ (2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？(3)若人的质量m 2＝60 kg ，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m 1最大不能超过多少？图X2-1010．(1)54m 1g 34m 1g(2)34m 1g ，方向水平向左 (3)24 kg[解析] (1)以结点O 为研究对象进行受力分析，如图甲所示，由平衡条件有 F OB －F OA sin θ＝0 F OA cos θ－m 1g ＝0 联立以上二式解得F OA ＝m 1g cos θ＝54m 1g ，F OB ＝m 1g tan θ＝34m 1g故轻绳OA 、OB 受到的拉力分别为54m 1g 、34m 1g .(2)人在水平方向受到OB 绳的拉力F ′OB 和水平面的静摩擦力作用，F ′OB ＝F OB ，受力如图乙所示，由平衡条件得f ＝F OB ＝34m 1g ，方向水平向左．乙(3)当人刚要滑动时，甲的质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值．有f m ＝μm 2g由平衡条件得 F ′OB m ＝f m 又F ′OB m ＝m 1m g tan θ＝34 m 1m g联立以上二式解得m 1m ＝4F ′OB m 3g ＝4μm 2g3g＝24 kg 即物体甲的质量m 1最大不能超过24 kg.。
高中物理竞赛专题一力物体的平衡(含习题及答案)
专题一力物体的平衡第一讲力的处理矢量的运算1、加法表达：a + b = c o名词：c为“和矢量”。
法则：平行四边形法则。
如图1所示和矢量大小：c = a2b22abco^ ，其中a为a和b的夹角。
和矢量方向：c在a、b之间，和a夹角B = arcs in ------2 2.a b 2abcos:-2、减法表:达：a = c — b o名词：c为“被减数矢量”，b为“减数矢量”，a为“差矢量”法则：三角形法则。
如图2所示。
将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。
差矢量大小：a = ；b2• c2- 2bccosr，其中B为c和b的夹角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。
例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R，周期为T，求它在-T内和4 1在-T内的平均加速度大小。
21解说：如图3所示，A到B点对应-T的过程，A4到C点对应1T的过程。
这三点的速度矢量分别设为2v A、v B和 v C。
图3_v t —V 。
/曰 __V B —V A . _v c —V A a =得：a AB = , a Ac =-tt ABt AC由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量.：V 1= V B — V A ，厶v 2= v c — V A ,根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（：V2的“三角形”已被拉 伸成一条直线）。
本题只关心各矢量的大小，显然：V A = V B = V c = 2JI R且.T■：v 1 = . 2 v A =2 2二 RTL V2 = :2 V A =4 二 R 'T2 2 二R4二 R所以： a AB =v 1 _ T =8 2 二Ra■ A V 2T - 8二 Rt ABT T 2ACt ACT T 242观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 答：否；不是。
高中物理竞赛培训资料必修一1
第一讲： 力学中的三种力【知识要点】 摩擦角将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。
在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。
由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力F '同接触面法线的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。
换句话说，只要全反力F '的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。
【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=33的水平面上，用一个与水平方向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力?f【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑动摩擦因数（g 取10m/s 2）。
【练习】1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知，A 、B 间的滑动摩擦因数μ1和B 、C 间滑动摩擦因数μ2有可能是：（ ） A 、μ1=0，μ2=0； B 、μ1=0，μ2≠0； C 、μ1≠0，μ2=0； D 、μ1≠0，μ2≠0；2、如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板，一平板穿过挡板的孔匀速向右运动，槽中间有一木块置于平板上，质量为m ，已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F 沿槽方向匀速拉动物体时，拉力F 与摩擦力μmg 大小关系是（ ）A 、F ＞μmgB 、F=μmgC 、F ＜μmgD 、无法确定3、每根橡皮条长均为l =3m ，劲度系数为k =100N/m ，现将三根橡皮条首尾相连成如图所示的正三角形，并用同样大小的对称力拉它，现欲使橡皮条所围成的面积增大一倍，则拉力F 应为多大？4、两本书A、B交叉叠放在一起，放在光滑水平桌面上，设每页书的质量为5克，两本书均为200页，纸与纸之间的摩擦因数为0.3，A固定不动，用水平力把B抽出来，求水平力F的最小值。
【专题一】受力分析物体的平衡(含答案)
【专题一】受力分析物体的平衡【考情分析】1．本专题涉及的考点有：滑动摩擦、静摩擦、动摩擦因数；形变、弹性、胡克定律；力的合成和分解。
《大纲》对“滑动摩擦、静摩擦、动摩擦因数，形变、弹性、胡克定律”等考点均为Ⅰ类要求；对“力的合成和分解”为Ⅱ类要求。
力是物理学的基础，是高考必考内容。
其中对摩擦力、胡克定律的命题几率较高。
主要涉及弹簧类问题、摩擦力等，通过连接体、叠加体等形式进行考查。
力的合成与分解、摩擦力的概念及变化规律是复习的重点。
2．本专题的高考热点主要由两个：一是有关摩擦力的问题，二是共点的两个力的合成问题。
本章知识经常与牛顿定律、功和能、电磁场等内容综合考查。
单纯考查本章的题型多以选择题为主，中等难度。
【知识交汇】1．重力（1）产生：重力是由于地面上的物体受地球的_____________而产生的，但两地得不等价，因为万有引力的一个分力要提供物体随地球自转所需的___________．而另一个分力即重力，如图所示．（2）大小：随地理位置的变化而变化在两极：G F=万在赤道：G F F－=万向一般情况下，在地表附近G=________（3）方向：竖直向下，并不指向地心．2．弹力（1）产生条件：①接触；②挤压；③____________．（2）大小：弹簧弹力F kx=，其它的弹力利用牛顿定律和___________求解．（3）方向：压力和支持力的方向垂直于_____________指向被压或被支持的物体，若接触面是球面，则弹力的作用线一定过___________．绳的作用力_________沿绳，杆的作用力__________沿杆．提醒 绳只能产生拉力，杆既可以产生拉力，也可以产生支持力，在分析竖直面内的圆周运动问题应注意二者区别．3．摩擦力（1）产生条件：①接触且挤压；②接触面粗糙；③有_______________ 或______________．（2）大小：滑动摩擦力1N F F μ=，与接触面的___________无关；静摩擦力根据牛顿定律或平衡条件来求．（3）方向：沿接触面的___________方向，并且与相对运动或相对运动趋势方向相反．4．力的合成与分解由于力是矢量，因此可以应用平行四边形定则进行合成与分解，常用___________法和____________法来分析平衡问题．5．共点力的平衡（1）状态：静止或_____________ （2）条件：________________ 【思想方法】1．处理平衡问题的基本思路：确定平衡状态（加速度为______）→巧选研究对象（整体法或隔离法）→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．2．常用的方法有：（1）在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定方向时常用______法．（2）求解平衡问题常用：正交分解法、力的合成法（在三个共点力作用下的平衡，任意两个合力必与第三个力等大反向）、解矢量三角形法和________法（分析动态平衡问题）．一、受力分析的基本技巧和方法对物体进行受力分析，主要依据力的概念，分析物体所受到的其他物体的作用。
物体的平衡练习题参考答案
mg
2 M 2
B．
3 M 2
C． 2 M
D． 3M
O 300 A O’ Mg
【解析】 平衡后，物体上升 L，说明环下移后，将绳子拉过来的长度为 L，取环重新平衡 的位置为 A 点，则 OA O ' A L ,则如图易知 mg 3Mg ，选项 D 正确。 【答案】 D
【练3】 跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知运动员和他身上装备 的总重量为 G1，圆顶形降落伞伞面的重量为 G2，有 12 条相同的拉线（拉线重量不 计）,均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖直方向都成 30° 角。则每根拉线上的张力 大小为： A、
F
A
B
C
【练14】 如下图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为 F 的拉力作用，而 左端的情况各不相同： ①中弹簧的左端固定在墙上； ②中弹簧的左端受到大小也为 F 的拉力作用； ③中弹簧的左端拴一小块物块，物块也在光滑的桌面上滑动；④中弹簧的左端拴一小物块，物块 在粗糙的桌面上滑动。 若认为弹簧的质量都为零， 以 l1 、 l2 、 l3 、 依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ） l4 A． l1 l2 B． l2 l3 C． l3 l4 D． l1 l2 l3 l4 【答案】 D 【练15】 如图所示，一根劲度系数为 k2 的弹簧，竖直放在桌面上，上面压一质量为 m 的物体，另 一根劲度系数为 k1 的弹簧竖直放在物体上面，其下端与物体的上表面连接在一起，两个 弹簧的质量都不计。要想使物体在静止时下面弹簧的上端 A 竖直向上提高一段距离 d ， 则d 。 【解析】 物体处于平衡状态，在竖直方向上所受的合力为 0．当上面的弹簧没有作用力时，下面 mg 弹簧对物体的支持力等于物体的重力，所以下面弹簧的压缩量为 Δr1 。 k2 2 2mg 当上面弹簧被提起时， 下面弹簧的弹力为物体重力的 ， 故弹簧的压缩量为：Δr2 ，k2 Δx2 ， 3 3 2mg Δx2 。 3k2 mg 下面弹簧两次压缩量之差为 Δx Δx1 Δx2 。 3k2 mg 当提起 A 端时，上面的弹簧伸长量为 Δx3 ，产生的弹力大小为 k1Δx3 ，所以 3 mg Δx3 。 3k1 A 端竖直上提的高度等于下面弹簧压缩量的减少量与上面弹簧伸长量之和，如图 k k mg 所示。 d Δx Δx3 1 2 。 3k1k2 【答案】
高中物理竞赛培训第二讲力矩和力矩平衡(精)
高中物理竞赛培训第二讲力矩和力矩平衡力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。
它等于力和力臂的乘积。
表达式为：M=FL，其中力臂L是转动轴到F的力线的（垂直）距离。
单位：Nm 效果：可以使物体转动.正确理解力矩的概念力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。
但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态的变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响。
力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。
物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。
力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。
力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算。
力对物体的转动效果使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。
①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。
②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。
需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。
大小一定的力有最大力矩的条件：①力作用在离转动轴最远的点上；②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。
力矩的计算：①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL如图中，力F 的力臂为LF=Lsin θ 力矩M ＝F •L sin θ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。
2014级期末考试必考题型分类---力和物体平衡编者胡明会
高2014级物理期末考试必考题型分类---力和物体平衡编者:胡明会 班 小組 姓名一．受力分析及力的概念（ ）１、物体静止在水平桌面上，物体对水平桌面的压力A 、就是物体的重力B 、是由于物体的形变而产生的C 、是由于桌面的形变而产生的D 、是由于地球的吸引而产生（ ）2、小球通过不可伸长的细绳悬挂在O 点，斜面ABC 开始时静止在左边，在水平外力作用下缓慢向右移动，当斜边AB 到达O 点正下方时停止，斜面和小球都处于静止状态，此时小球受到的作用力有A 、重力和绳的拉力B 、重力、绳的拉力和斜面的弹力C 、重力、绳的拉力和斜面的摩擦力D 、重力、绳的拉力、斜面的弹力和斜面的摩擦力（ ）3、一个物体从斜面上匀速下滑，如图所示，它的受力情况是A ．重力、弹力、下滑力和摩擦力B ，重力、弹力和下滑力C.重力、弹力和摩擦力 D ．弹力、摩擦力和下滑力（ ）4、关于摩擦力，下列说法正确的是A 、摩擦力是在两个相对滑动的物体之间产生的B 、两个相互接触的物体间一定产生摩擦力C 、滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，跟物体的相对运动方向相反D 、静摩擦力的大小与两个物体间的压力成正比（ ）5、如图所示，竖直细绳AB 、CD 悬吊着上表面是平面的木梁灯，木梁M 倾斜，上表面放着物体m ，已知M 和m 均处于静止状态，则A 、M 对m 的支持力方向竖直向上B 、M 对m 的支持力大于m 的重力C 、m 对M 的摩擦力为零D 、m 对M 的摩擦力不为零且方向平行于木梁表面向下二、摩擦力应用（ ）6、如图所示，皮带运输机可以把物体匀速送往高处，也可以把物体从高处匀速送往地面，这两种情况下物体受到的摩擦力的方向A 、运往高处时物体受到的摩擦力沿皮带向上B 、运往高处时物体受到的摩擦力沿皮带向下C 、运往地面时物体受到的摩擦力沿皮带向上D 、运往地面时物体受到的摩擦力沿皮带向下（ ）7、某人用双手握住竖直的竹竿先匀速上爬，到了顶端之后匀速下滑，匀速下滑过程中人的姿势不变。
2014年理综物理(新课标II)解析版 Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）（2014年 全国卷2）14.甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。
在t=0到t=t 1的时间内，它们的v-t 图像如图所示。
在这段时间内A.汽车甲的平均速度比乙大B.汽车乙的平均速度等于221v v + C.甲乙两汽车的位移相同D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大14. 【答案】 A【命题立意】考察运动物体的v-t 图像相关知识。
【解题思路】根据v-t 图像的知识，图像与时间轴所围的面积表示位移，图像的斜率表示加速度可知C 、D 均错。
因为两车均是变加速运动，平均速度不能用221v v +计算，故B错；根据平均速度的定义式结合图像可知A 对。
【解题点拨】熟练掌握运动物体的位移时间—图像与速度—时间图像是解题的关键，也是分析物理的图像问题的基本方法。
（2014年 全国卷2）15.取水平地面为重力势能零点。
一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。
不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（ ） A.6π B. 4π C. 3π D. 125π 15. 【答案】 B【命题立意】该题主要考察了平抛运动速度的夹角问题，同时加入了能量的基本知识。
【解题思路】建立平抛运动模型，设物体水平抛出的初速度为v 0，抛出时的高度为h 。
根据题意，由2012mv mgh =，有0v =的竖直速度y v =。
所以落地时速度方向与水平方向的夹角1t a n y v v θ===，则4πθ=，选项B 正确。
【解题点拨】切忌在竖直方向使用动能定理，因为动能定理是一个标量式。
（2014年 全国卷2）16.一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v ，若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v ，对于上述两个过程，用1F W 、2F W 分别表示拉力F 1、F 2所做的功，1f W 、2f W 分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则（ ）A. 124F F W W 〉，122f f W W 〉B. 124F F W W 〉，122f f W W =C. 124F F W W 〈，122f f W W =D. 124F F W W 〈，122f f W W 〈16.【答案】 C【命题立意】考察物体的运动，牛顿定律和动能定理的知识。
从高考-竞赛复习资料5——一般物体的平衡1
第一讲 力、物体的平衡北京市第八十中学何德强§1.1常见的力1、1、1力的概念和量度惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系的速度不变，也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变，必是由于受到其他物体对它的作用，在力学中将这种作用称为力。
凡是讲到一个力的时候，应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。
一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要变化，或者说，它获得相对于惯性参照系的加速度，很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为力的大小的量度。
实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来测量。
重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为重力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化）弹力 物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。
反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）S F =σ与胁变（应变）l l ∆=ε之间的正比例关系，如图所示εσE =式中E 为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。
弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。
F=-kx式中x 表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k 为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。
接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称反力）。
这种反力实质上是一种弹性力，常见如下几类：1、柔索类（图1-1-2）如绳索、皮带、链条等，其张力⎩⎨⎧拉物体指向沿柔索方位::T一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。
滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同F图1-1-1Cc A图1-1-3图1-1-2一根绳内的张力处处相等。
2、光滑面（图1-1-3）接触处的切平面方位不受力，其法向支承力⎩⎨⎧压物体指向沿法线方位::N3、光滑铰链物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。
2014竞赛第二讲_一般物体的平衡答案
2014第二讲 一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
二、常用方法①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
三、巩固练习1.如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。
求它的重心。
【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C 。
C 在AB 连线上，且AC ·M=BC ·m ； 第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·（2M+m ）=C A '·M 。
不难看出两种方法的结果都是mM l R M BC +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2。
2.将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球的最高点斜面倾角为370.求： (1)绳子的力.(2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N ；（2）10N ，30N]解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N; （2）取球心为转轴得，f =T =10N;取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N.（M+m ）g（2M+m ）g3.—个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加一个竖直向下的力F ，如图所示．问；力F 离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动? [解]当球开始转动时,12f f ，达到最大静摩擦1221F G N f N f +=+⎧⎨=⎩ 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.12Fs f r f r =+ 因12f f ，为最大静摩擦:1122f N f N μμ=⎧⎨=⎩将以上方程联立可得:2()(1)(1)F G s r F μμμ++=+4.如图所示,均匀杆的A 端用铰链与墙连接,杆可绕A 点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB 杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N ） 解:木块静止时弹力为10N ，可得杆重G =20N 向左拉时:N 1L cos +N 1L sin =G 2L cos ,或N 1sin =21G cos -N 1cos向右拉时:N 2L cos =N 2L sin +G 2L cos ,或N 2sin =N 2cos -21G cos两式相比得10910922--=N N ,得N 2=11.25N5.有一轻质木板AB 长为L ,A 端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r ,重均为G .木板与墙的夹角为(如图所示).一切摩擦均不计,求BC 绳的力.[答案：)cos sin 21cos 11(3θθθ++-=L Gr T ]解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的力.比较麻烦.解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的力.但弹力的力臂比较难求.解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot .再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).对A点,有力矩平衡)sin2(31θrrGADNTAC++=式中θθcos,2tan/LACrAD==有上述四式可行)cossin21cos11(3θθθ++-=LGrT.6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。
广西南宁二中2014年高中物理 专题五 物体的平衡竞赛辅导试题 新人教版必修2
专题五 物体的平衡【要点突破一】共点力作用下的物体处于静止或匀速运动状态叫做平衡状态。
平衡物体的受力有一定的特征。
1、共点力作用下物体的平衡作用在物体上的几个力，如果它们的作用线交于一点，就叫做共点力。
共点力的平衡条件：合力等于零，即∑0=F 。
2、有固定转动轴的物体的平衡在转动的物体中，如有一个固定不动的点，这个点就是固定转动轴。
从转动轴到力的作用线的垂直距离叫做力臂L ，力臂和力的乘积叫做力矩M ，M=F ×L ，力矩的单位是N ·m 〔牛·米〕。
有固定转动轴的物体的平衡条件：顺时针方向的力矩之和，等于逆时针方向的力矩之和，即∑∑=逆顺M M或者以顺时针力矩为正，逆时针力矩为负，由固定转动轴的物体的平衡条件可表示为：对转动轴的力矩代数和为零，即∑∑0=+逆顺M M 或∑0=M【典例剖析一】【例1】如下列图，光滑斜面的底端a 与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接，平板长为2L ，L ＝1m ，其中心C 固定在高为R 的竖直支架上，R ＝1m ，支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O 连接，因此平板可绕转轴O 沿顺时针方向翻转。
问：在斜面上离平板高度为h 0处放置一滑块A ，使其由静止滑下，滑块与平板间的动摩擦因数μ＝0.2。
为使平板不翻转，h 0最大为多少？【跟踪训练一】1．〔高考某某物理卷〕如下图为人手臂骨骼与肌肉的生理结构示意图。
手上托着重量为G 的物体。
〔1〕在方框中画出前臂受力示意图〔手、手腕、尺骨和挠骨看成一个整体。
所受重力不计，图中O 点看作固定转动轴。
O 点受力可以不画〕〔2〕根据图中标尺估算出二头肌此时的收缩力约为.2．如下列图是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴。
手在A点施加一个作用力F时，b将压紧轮子，使轮子制动．假设使轮子制动所需的力矩是一定的，如此如下说法正确的答案是〔〕A．轮a逆时针转动时，所需的力F较小 B．轮a顺时针转动时，所需的力F较小C．无论a逆时针还是顺时针转动，所需的力F一样D．无法比拟 F 的大小3．如下列图，重物G挂在均匀硬棒上，悬点与光滑转轴O的距离为L0，硬棒单位长度的质量为m0。
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2014第二讲 一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
二、常用方法①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； ③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
三、巩固练习1.如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。
求它的重心。
【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C 。
C 在AB 连线上，且AC ·M=BC ·m ；第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球A '的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C ，C 在AB 连线上，且BC ·（2M+m ）=C A '·M 。
不难看出两种方法的结果都是mM l R M BC +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2。
2.将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与水平面平行，C 点为球的最高点斜面倾角为370.求： (1)绳子的张力.(2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N ；（2）10N ，30N] 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N;（2）取球心为转轴得，f =T =10N;取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N.（M+m ）g（2M+m ）g3.—个半径为r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加一个竖直向下的力F ，如图所示．问；力F 离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动? [解]当球开始转动时,12f f ，达到最大静摩擦1221F G N f N f +=+⎧⎨=⎩ 分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.12Fs f r f r =+ 因12f f ，为最大静摩擦:1122f N f N μμ=⎧⎨=⎩将以上方程联立可得:2()(1)(1)F G s r F μμμ++=+4.如图所示,均匀杆的A 端用铰链与墙连接,杆可绕A 点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB 杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N ） 解:木块静止时弹力为10N ，可得杆重G =20N向左拉时:N 1L cos α+μN 1L sin α=G 2L cos α,或N 1μsin α=21G cos α-N 1cos α向右拉时:N 2L cos α=μN 2L sin α+G 2L cos α,或N 2μsin α=N 2cos α-21G cos α两式相比得10910922--=N N ,得N 2=11.25N5.有一轻质木板AB 长为L ,A 端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r ,重均为G .木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC 绳的张力. [答案：)cos sin 21cos 11(3θθθ++-=L Gr T ]解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的张力.比较麻烦.解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的张力.但弹力的力臂比较难求.解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot θ.再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).对A 点,有力矩平衡)sin 2(31θr r G AD N TAC ++=式中θθcos ,2tan /L AC r AD ==有上述四式可行)cos sin 21cos 11(3θθθ++-=L Gr T .6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。
将C 柱体放上去之前，A 、B 两柱体接触，但无挤压。
假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。
若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得1112()22N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得112102N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得2111022f N N +-= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得1222f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤023μ≥，2μ≥7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。
答案：mg/42解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B 1、A 2B 2、…、A 5B 5的受力情况完全相同，因此将A 1B 1、A 2B 2、…A 5B 5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i 个薄片AB 为研究对象，受力情况如图甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力N i 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N i +1. 选碗边B 点为轴，根据力矩平衡有2,211++=⋅=⋅i i i i N N LN L N 得所以65321)21(212121N N N N ==⨯== ①12 3 B再以A 6B 6为研究对象，受力情况如图乙所示，A 6B 6受到薄片A 5B 5向上的支持力N 6、碗向上的支持力和后一个薄片A 1B 1向下的压力N 1、质点向下的压力mg. 选B 6点为轴，根据力矩平衡有L N L mg L N ⋅=⋅+⋅61432 由①、②联立，解得 N 1=mg /42所以，A 1B 1薄片对A 6B 6的压力为mg /42.8.（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4Lh =的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
[解]设1号右端面到2号右端面的距离为x 1，12L x =, 2号右端面到3号右端面到的距离为x 2……，以第2号木块的左端为转轴力矩平衡:22()2LGL G G L x +=-,可以得出24Lx =,同理:第3号右与第4号右端的距离为x 3, 以第3号木块的左端为转轴力矩平衡323()2L GL G G L x +⋅=- 求得36L x = 第k 号的右端面的距离为x k ……，则第k 号由力矩平衡知： (1)()2k Lk GL G kG L x -+=- 求得： 解得2k Lx k=则桥拱长的一半为11121122n n k K k s L Lx x x k k--===+++==∑∑由图1可知1(1)(1)4H n h n L =-=-所以11411n K s H n k -==-∑。
将n=10代入可得． 1.258sH=9.有一质量为m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数3.0=μ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角30=θ，如图所示。
（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离L L h (5/21=为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？（2）若将作用点移到5/42L h =处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。
杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得)(0cos 0sin =--=--=--fL h L F mg T N f T F θθ另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：N f μ=解得：hh L mgL F mas --=μθθ/tan )(tan由上式又可知，当L h h h L 66.0,/tan )(0=∞→--即当μθ时对F 就没有限制了。
（1）当0152h L h <=，将有关数据代入max F 的表达式得 N F 385max =（2）当,5402h L h >=无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。
10.用两个爬犁 (雪橇)在水平雪地上运送一根质量为m 长为l 的均匀横粱，横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示．每个爬犁的上端A 与被运送的横梁端头固连，下端B 与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引力Ｆ作用于前爬犁．作用点到雪地的距离用h 表示．已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 1．后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 2．问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动．h 应满足什么条件?水平牵引力F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计．[分析]正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件0F M ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑ 是求解平衡问题的基本出发点,准确地领会题中隐含信息,则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.[解]整个装置的受力如解图1-24所示,其中N 1与N 2分别为雪地对爬犁的支持力,f 1和f 2分别为摩擦力,根据平衡条件有12F f f =+ ①12mg N N =+ ②212Fh N l mgl += ③根据摩擦力与正压力的关系有:111f k N = 222f k N =h 越大以爬犁与地的前接触点为轴,F 的力矩越大.故N 2越小.h 最大时对应N 2=0的情况.将N 2=0代入以上各式,可以解得:12lh k =1212()12()l k k F mg l k k h +=--故:h 应满足的条件是:12lh k ≤11.半径为r ,质量为m 的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m 、半径为R 的第四个球,放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为μ=15/3(约等于0.775).问R 取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来? [答案：.)133332()1332(r R r -≤<-]解：当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势,互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示. 对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N 2sin θ-3f 2soc θ=mg ----① （或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，力矩平衡N 2r sin θ+mgr =f 2r (1+cos θ)）再对四个小球为整体,在竖直方向3f 1=4mg -----------②下面的小球,对球心为为转轴，有力矩平衡条件f 1r =f 2r ，得f 1=f 2----③对下面的小球,取f 1和f 2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N 1>N 2,故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动， 当R 最大时：f 2=μN 2--------------④有上述四式得：128soc 2θ+24cos θ-77=0,解得：cos θ=1611,因1611)/(332cos =+=R r r θ，所以r R )133332(-=。