第十一章三角形知识点归纳
第十一章 三角形知识点总结
第十一章三角形一．三角形知识要点梳理1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
4、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）5、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
6、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二．多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类2：叫做正多边形。
非正多边形：1、边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理2、任意多形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）三．典型例题讲解类型一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数n，根据条件列出关于的方程，求出n的值即可，这是一种常用的解题思路.【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？.【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
初二数学知识点归纳
初二数学知识点归纳初二数学知识点归纳一第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13、公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。
②边形共有条对角线。
第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1、基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。
八年级数学上册第十一章三角形知识点
八年级数学上册第十一章三角形知识点八年级数学上册第十一章三角形知识点包括以下内容：
1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3. 三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4. 三角形的中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5. 三角形的角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8. 多边形的内角的定义：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
这些知识点可应用于各种不同类型的三角形和多边形的计算和证明。
记住这些基本概念和性质对于理解和解答与三角形和多边形有关的数学问题非常重要。
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n-·180°⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.n-条对角⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 第十二章 全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章 轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a+⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn a a =⑶积的乘方：()nn n ab a b = 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± ③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法⑸添项法第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如AB，A B、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cbb d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd ⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n nna ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a+⨯=（m n 、是正整数） ⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数）⑶()n n n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
初二数学第十一章三角形详细知识点及题型总结
第十一章三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点在三角形的外部。
．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
第十一章 三角形知识归纳
第十一章 三角形知识归纳基础知识归纳一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形四、三角形的三条重要线段线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC于点D ． 标示图形符号语言 1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°) 1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点． 1．AD 是△ABC 的角平分线． 2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言 因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°) 因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ． 用途举例1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． —与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．(3)2n n -(2)180n n-°360n°凸多边形凹多边形。
八年级上下册数学知识点归纳
八年级上下册数学知识点归纳八年级上册。
第十一章三角形。
1. 三角形的边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2. 三角形的高、中线与角平分线：- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3. 三角形的内角和：三角形内角和为 180°。
4. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
第十二章全等三角形。
1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2. 全等三角形的判定：- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- RHS（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
第十三章轴对称。
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
2. 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
3. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
第十四章整式的乘法与因式分解。
1. 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，即a^m×a^n = a^m+n2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^mn3. 积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n = a^n b^n4. 整式的乘法：- 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
初二数学知识点归纳总结
初二数学知识点归纳总结第十一章全等三角形一、知识框架二、知识概念1。
全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2。
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3。
三角形全等的判定公理及推论有：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS”(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。
4。
角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5。
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系)。
②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么。
③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。
在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称一、知识框架二、知识概念1。
对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2。
性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)角平分线上的点到角两边距离相等。
(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3。
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)4。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
第十一章三角形知识点归纳
第十一章三角形知识点归纳Chapter 11: Summary of Triangle KnowledgeTopic 1: XXX1.The sum of two sides of a triangle is greater than the third side.2.The difference een two sides of a triangle is less than the third side.3.The minimum sum of two sides is greater than the third side to form a triangle.4.Given the lengths of two sides of a triangle (a and b)。
the range of the third side is: the difference een the two sides is less than the third side。
which is less than the sum of the two sides。
XXX: Which of the following sets of line segments can form a triangle。
A。
5.6.10 B。
5.6.11 C。
3.4.8 D。
4.4.8Example: Given two sides of a triangle as 7 and 12.the range of the third side is:Topic 2: XXXXXX: Which of the following shapes are stable。
A。
XXX-angled triangleTopic 3: Heights of TrianglesA perpendicular line XXX side BC。
and the n point is D。
新人教版-第十一章-三角形-知识点总结
第十一章三角形知识点总结11.1 与三角形有关的线段第1课时三角形的边1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b要求会的题型：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。
Page2 题1②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可Page2 题4③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。
Page2 题11④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋bPage2 题5，9，10⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
Page3 题14，15第2课时三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。
2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
第十一章三角形16个必考点全梳理(教案)
1.教学重点
-三角形的定义及分类：理解三角形的基本概念，掌握三角形的分类方法。
-重点举例：区分等腰三角形与等边三角形，识别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
-三角形全等定理：掌握SSS、SAS、ASA、AAS全等定理。
-重点举例：通过实际操作，让学生理解全等三角形的性质，并能够运用全等定理解决具体问题。
-重心：三角形三边中线的交点
-外心：三角形三边垂直平分线的交点
-内心：三角形内角平分线的交点
-垂心：三角形三边高的交点
6.三角形面积计算公式
-底×高÷2
-海伦公式（已知三边长）
7.三角函数的定义及性质
-正弦（sin）
-余弦（cos）
-正切（tan）
-三角函数的周期性、奇偶性、单调性
8.解直角三角形
-利用正弦、余弦、正切函数求解
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形全等与相似定理、三角函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过图例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形相关的问题，如三角形全等的判定条件或三角函数在实际问题中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器测量角度，演示三角函数的计算过程。
-难点举例：在实际应用问题中，学生可能难以将问题抽象为直角三角形模型，需要教师引导学生进行问题分析和模型构建。
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过测量三角形面积或解直角三角形的情况？”（如测量旗杆高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
人教版八年级上册第十一章 三角形知识点复习及习题练习
第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。
2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。
边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。
夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。
练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。
（2）写出△ABD的三个内角。
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
第十一章 三角形
第十一章三角形知识点+练习一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引n(3)n-/2条对角线第十一章 三角形检测题(本检测题满分：100分，时间：90分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( )A.6B.3C.2D.112.在△ABC 中，∠A ︰∠B ︰∠C =3︰4︰5，则∠C 等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°3.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B =35°，∠ACE =60°，则∠A =() A.35° B.95° C.85° D.75°4.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定( )A.小于直角B.等于直角C.大于直角D.不能确定5.下列说法中正确的是( )A.三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B.等腰三角形任何一个内角都有可能是钝角或直角C.三角形的外角一定是钝角D.在△ABC 中，如果∠A ∠B ∠C ，那么∠A 60°，∠C 60°第3题图6.(2016·山东枣庄中考)如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°7.不一定在三角形内部的线段是( )A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上皆不对8.已知△ABC 中， ，周长为12， ，则b 为( )A.3B.4C.5D.6 9.如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB =AD =DC ，∠B =80°，则∠C 的度数为( )A.30°B.40°C.45°D.60°10.直角三角形的两锐角平分线相交成的角的度数是( )A.45°B.135°C.45°或135°D.以上答案均不对二、填空题(每小题3分，共24分)11.(广州中考)在△ABC 中，已知6080A B ∠=︒∠=︒，，则C ∠的外角的度数是______°.12.如图所示是一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______°．13.若将边形边数增加1倍，则它的内角和增加__________. 第12题图第9题图第6题图14.如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE .若∠A ＝20°，∠C ＝120°，则∠AED 的度数是.15.设为△ABC 的三边长，则_______.16.在△ABC 中，AB ＝4,AC ＝3,AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是 .17.如图所示，AD 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD =_______°.18.如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A＝80°，∠B ＝40°，则∠ACE 的大小是＿＿＿＿＿度．三、解答题(共46分)19.(6分)一个凸多边形，除了一个内角外，其余各内角的和为2 750°，求这个多边形的边数.20.(6分)如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线把三角形的周第17题图 第18题图第14题图长分为24 cm和30 cm的两部分，求三角形各边的长．第20题图21.(6分)有人说，自己的步子大，一步能走四米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由．22.(6分)已知一个三角形有两边长均为，第三边长为，若该三角形的边长都为整数，试判断此三角形的形状．23.(6分)如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．(1)当汽车运动到点D时，刚好BD=CD，连接AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？此时有面积相等的三角形吗？(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段？在△ABC中，这样的线段又有几条？(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样的线段有几条？第23题图第24题图24.(8分)（2016·南京中考）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.证法1：∵，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-(∠1+∠2+∠3).∵，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.25.(8分)规定，满足(1)各边互不相等且均为整数，(2)最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数．根据规定解答下列问题：(1)求周长为13的比高三角形的比高系数k的值；(2)写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长.第十一章三角形检测题参考答案1.A 解析：设第三边长为x，则7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10，故选A.点拨：本题考查了三角形的三边关系，熟记“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键.2.C 解析：根据三角形内角和为180°，得∠C=180°×53+4+5=180°×512=75°,即∠C=75°.3.D 解析：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°.故选C.4.C 解析：因为在△ABC中，∠ABC+∠ACB180°，所以12所以∠BOC90°.故选C.5.D 解析：A.三角形包括直角三角形和斜三角形，斜三角形又包括锐角三角形和钝角三角形，所以A错误；B.等腰三角形只有顶角可能是钝角或直角，所以B错误；C.三角形的外角可能是钝角、锐角，也可能是直角，所以C错误；D.因为△ABC中，∠A∠B∠C，若∠A≤60°，则∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°；若∠C ≥60°，则∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，与三角形的内角和为180°相矛盾，所以原结论正确，故选D.6.A 解析：如图，∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠3+∠4=∠A +∠1+∠2，∴ 2∠4=2∠2+∠A.∵ ∠4=∠2+∠D ，∴ ∠A =2∠D ,∴ ∠D =∠A =×30°=15°.故选A.点拨：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和这一性质进行分析.7.C 解析：因为三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以答案选C ．8.B 解析：因为，所以.又，所以故选B.9.B 解析: , 80AB AD ADB B =∴∠=∠=︒Q . , ,AD DC C CAD =∴∠=∠Q280, 40ADB C CAD C C ∴∠=∠+∠=∠=︒∴∠=︒.10.C 解析：如图所示：∵ AE 、BD 是直角三角形中两锐角平分线，∴ ∠OAB +∠OBA =90°÷2=45°.两角平分线组成的角有两个：∠BOE 与∠EOD ，根据三角形外角的性质，∠BOE =∠OAB +∠OBA =45°，∴ ∠EOD =180°-45°=135°，故选C ． 11.140 解析：根据三角形内角和定理得∠C =40°，则∠C 的外角为18040140︒-︒=︒． 12.270 解析：如图，根据题意可知∠5=90°，∴ ∠3+∠4=90°，∴ ∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.第10题答图第12题答图第16题答图13. 解析：利用多边形内角和定理进行计算.因为边形与边形的内角和分别为和，所以内角和增加.14.80°解析：方法1：如图①，延长DE交AB于点F.∵BC∥DE，∴∠AFE=∠B.∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.∵∠C＝120°，∴∠AFE=∠B=60°.∵∠A＝20°，∴∠AED=∠A+∠AFE=80°.①②方法2：如图②，延长AE交BC于点F.∵BC∥DE，∴∠AED=∠AF C.∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.∵∠C＝120°，∴∠B=60°.∵∠A＝20°，∴∠AED=∠AFC=∠A+∠B=80°.15. 解析：因为为△ABC的三边长，所以，，所以原式=第16题答图第14题答图16.4∶3 解析：如图所示，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为点M 和点N ，∵ AD 平分∠BAC ，∴ DM ＝DN .∵ AB ×DM ，AC ×DN ，∴ 142132ABD ACD AB DM S AB S AC AC DN ´´＝＝＝△△. 17.72 解析：正五边形ABCDE 的每个内角为(52)1805-⨯︒=108°，由△AED 是等腰三角形得，∠EAD =12（180°-108°）=36°，所以∠DAB =∠EAB -∠EAD =108°-36°=72°. 18.60 解析：∵ ACD ∠是△ABC 的一个外角，∴ 8040120ACD A B ∠=∠+∠=︒+︒=︒. ∵ CE 平分∠ACD , ∴ 111206022ACE ACD ∠=∠=⨯︒=︒.19.分析：由于除去的一个内角大于0°且小于180°，因此题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，在一些竞赛题目中常常会出现这种问题，这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值.解：设这个多边形的边数为(为自然数)，除去的内角为°(0＜＜180)，根据题意，得∵ ∴∴ ，∴ .点拨：本题在利用多边形的内角和公式得到方程后，又借助角的范围，通过解不等式得到了这个多边形的边数.这也是解决有关多边形的内、外角和问题的一种常用方法.20.分析：因为BD 是中线，所以AD =DC ，造成所分两部分周长不相等的原因就在于腰长与底边长的不相等，故应分情况讨论．解：设AB =AC =2，则AD =CD =.（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴=10，2 =20，BC=24－10=14.三边长分别为：20 cm，20 cm，14 cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴=8，，BC=30－8=22.三边长分别为：16 cm，16 cm，22 cm．21.分析：人的两腿可以看作是两条线段，走的步子也可看作是线段，则这三条线段正好构成三角形的三边，就应满足三边关系定理．解：不能．如果此人一步能走四米多，由三角形三边的关系得，此人两腿长的和大于4米，这与实际情况不符．所以他一步不能走四米多．22.分析：已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系，列出不等式，再求解.解：根据三角形的三边关系，得＜＜，．0＜＜6-，0＜＜32因为2，3-x均为正整数，所以=1．所以三角形的三边长分别是2，2，2．因此，该三角形是等边三角形．23.分析：（1）由于BD=CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；（2）由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分线；（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，则AF是三角形的高线．解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．（2）AE是△ABC中∠BAC的平分线，三角形中角平分线有三条．（3）AF是△ABC中BC 边上的高线，三角形有三条高线．24.∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°(1分))∠1+∠2+∠3=180°(3分证法2：如图，过点A作射线AP，使AP∥B D.(4分)∵AP∥BD，∴∠CBF=∠PAB，∠ACD=∠EAP.(6分)∵∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°.(8分)解析：(1)因为∠1与∠BAE互为邻补角，∠2与∠CBF互为邻补角，∠3与∠ACD互为邻补角，所以根据邻补角的定义，得∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°.因为∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角，所以根据三角形的内角和定理，得∠1+∠2+∠3＝180°.(2)过点A作射线AP∥BD，根据两直线平行，同位角相等，得∠CBF=∠PAB,∠ACD=∠EAP.根据∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°，问题得证.注意：三角形的内角和为180°以及邻补角等都是题目中的隐含条件，在做证明题时注意隐含条件的使用.25.分析：（1）根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析；（2）根据比高三角形的知识结合三角形三边关系求解只有4个比高系数的比高三角形的周长.解：（1）根据定义和三角形的三边关系，知此比高三角形的三边长是2，5，6或3，4，6，则k=3或2．（2）如周长为37的比高三角形，只有4个比高系数.当比高系数为2时，这个三角形三边长分别为9、10、18或8、13、16；当比高系数为3时，这个三角形三边长分别为6、13、18；当比高系数为6时，这个三角形三边长分别为3、16、18；当比高系数为9时，这个三角形三边长分别为2、17、18．。
人教版八年级数学上册知识点归纳
人教版八年级上册数学知识点归纳第十一章三角形知识点一:三角形1、定义:由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。
2、分类:(1)按角分:锐角三角形;直角三角形;钝角三角形;(2)按边分:不等边三角形;等腰三角形;等边三角形;3、角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4、中线:连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
注意:三角形的角平分线、中线与高都有三条。
6、三角形的三边关系:三角形的任意两边的与大于第三边,任意两边的差小于第三边。
7、三角形的内角:三角形的内角与等于。
如图:8、三角形的外角(1)三角形的一个外角与相邻的内角互补。
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与。
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
＞或＞6、三角形的周长、面积求法与三角形稳定性。
(1)如图1:C△A BC=AB＋BC＋AC或C△A BC= a＋b＋c。
四个量中已知其中三个能求第四个。
(2)如图2:AD为高,S△ABC =·BC·AD三个量中已知其中两个能求第三个。
(3)如图3:△ABC中,∠A CB=90°,CD为AB边上的高,则有:S△ABC =·AB·CD=·AC·BC即:AB·CD=AC·BC四条线段中已知其中三条能求第四条。
知识点二:多边形及其内角与1、边形的内角与=;2、边形的外角与=。
3、一个边形的对角线有条,过边形一个顶点能作出n-3条对角线,把边形分成了n-2个三角形。
练习题:1.三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的就是()A.角平分线B.中位线C.高D.中线【考点】三角形的角平分线、中线与高.2.下列线段能组成三角形的就是( )A.1,1,3B.1,2,3C.2,3,5D.3,4,5【考点】三角形三边关系.3.如图,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°,则∠P的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°【考点】三角形的外角性质;角平分线的定义;三角形内角与定理.4.一个多边形的每个内角都等于120°,则这个多边形的边数为( )A.4B.5C.6D.7【考点】多边形内角与外角.第十二章:全等三角形12、1全等三角形(1)、全等图形:形状、大小相同的图形能够完全重合;(2)、全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形;(3)、全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;(4)、平移、翻折、旋转前后的图形全等;(5)、对应顶点:全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点;(6)、对应角:全等三角形中相互重合的角叫做对应角;(7)、对应边:全等三角形中相互重合的边叫做对应边;(8)、全等表示方法:用“”表示,读作“全等于”(注意:记两个三角形全等时,把表示对应顶点的字母写在对应的位置上)(9)、全等三角形的性质:①全等三角形的对应边相等;②全等三角形的对应角相等;12、2三角形全等的判定(1)若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等;(2)三角形全等的判定:①三边对应相等的两个三角形全等;(“边边边”或“SS”S)②两边与它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(“边角边”或“SAS”)③两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(“角边角”或“ASA”)④两角与其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(“角角边”或“AAS”)⑤斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;(“斜边直角边”或“HL”) 注:①证明三角形全等:判断两个三角形全等的推理过程;②经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等;③三角形的稳定性:三角形的三边确定了,则这个三角形的形状、大小就确定了;(用“SSS”解释)12、3角的平分线的性质(1)、角的平分线的作法:课本第19页;(2)、角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(3)、证明一个几何中的命题,一般步骤:①明确命题中的已知与求证;②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知与求证;③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程;(4)、性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;(利用三角形全等来解释)(5)、三角形的三条角平分线相交于一点,该点为内心;练习题:5.已知△ABC≌△DEF,且∠A=100°,∠E=35°,则∠F=( )A.35°B.45°C.55°D.70°【考点】全等三角形的性质.6.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的就是( )A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD【考点】全等三角形的判定.7.下列条件中能判定△ABC≌△DEF的就是( )A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DB.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FC.AC=DF,∠B=∠F,AB=DED.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF【考点】全等三角形的判定.8.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAE=30°,则∠DEC等于( )A.7、5°B.10°C.15°D.18°【考点】等腰三角形的性质;三角形内角与定理;三角形的外角性质.9.如图,A、C、B三点在同一条直线上,△DAC与△EBC都就是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,求证:①△ACE≌△DCB;②CM=CN.【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.10.如图,A、B、C在同一直线上,且△ABD,△BCE都就是等边三角形,AE交BD于点M,CD交B E于点N,求证:(1)∠BDN=∠BAM;(2)△BMN就是等边三角形.【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.11.已知:如图,△ABC就是等腰直角三角形,D为AB边上的一点,∠ACB=∠DCE=90°,DC=EC. 求证:∠B=∠EAC.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.第十三章:轴对称13、1轴对称(1)轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么就称这个图形就是轴(2)对称图形;这条直线叫做它的对称轴;也称这个图形关于这条直线对称;(3)两个图形关于这条直线对称:一个图形沿一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这(4)两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点就是对应点,叫做对称点;(5)轴对称图形与两个图形成轴对称的区别:轴对称图形就是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分(6)能完全重合;而两个图形成轴对称指的就是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合;(7)轴对称图形与两个图形成轴对称的联系:把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称;把成轴对称的两个图形瞧成一个整体,它就就是一个轴对称图形。
第十一章三角形知识点整理
第十一章三角形知识点整理
第十一章三角形知识点整理：
1、三角形的定义：三角形是由三条相交的直线所组成的多边形，它有两个内角加上一个外角，两边加起来等于另外一边。
2、直角三角形：直角三角形是指其中的一个内角是90度的三角形，它的三边长等于斜边的平方，斜边的计算公式是
“a^2=b^2+c^2”。
3、等腰三角形：等腰三角形是指其中两条边等长，其它一边为斜边的三角形，其它两边等于斜边的一半，斜边等于其它两边的平方和。
4、等边三角形：等边三角形是指三边都是等长的三角形，其三个内角都是60度，正三角形就是这种类型的三角形，边长可以通过“a=√3s/2”公式求出。
5、旋转三角形：旋转三角形是指三角形中某一边可以旋转形成另一种新的三角形，其计算公式是“a^2+b^2=2abcos(α)”。
6、三角形的周长和面积：三角形的周长是指三角形三条边之和，其计算公式是“P=a+b+c”，三角形的面积则可以通过海伦公式求出，其计算公式是“S=√p(p-a)(p-b)(p-c)”。
初中数学第十一章三角形
第十一章三角形及其性质归纳1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．归纳2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5B．10C．11D．12归纳3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°归纳4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°基础练习1．（2015崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）A．2B．3C．5D．82．（2015来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°3．（2015柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．（2015南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 5．（2015宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ） A ．9 B ．12 C ．7或9 D ．9或126．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．107．（2015绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC =42°，∠A =60°，则∠BFC =（ ）A ．118°B ．119°C ．120°D ．121°8．（2015广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10 B ．14 C ．10或14 D ．8或10 9．（2015北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．中心 D ．重心 10．（2015百色）下列图形中具有稳定性的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形11．（2015百色）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ） A ．4 B ．4或5 C ．5或6 D ．612．（2015广安）下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2015宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．直角三角形14．（2015长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2015鄂尔多斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256 B ．51 C ．254 D ．25716．（2015淄博）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）A ．17 B ．16 C ．15 D ．1417．（2015淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ．18．（2015宜宾）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．若∠B =35°，∠D =45°，则∠AEC = ．19．（2015巴中）若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．20．（2015南充）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A =80°，∠B =40°，则∠ACE 的大小是 度．21．（2015佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个．22．（2015广东省）如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若A B C 12S =△，则图中阴影部分的面积是 ．23．（2015长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE =3，则线段BE 的长为 ．24．（2015昆明）如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC =43，在BE 上截取BG =2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为 ．25．（2015临沂）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OBOD= ．26．（2015六盘水）如图，已知， l 1∥l 2，C 1在l 1上，并且C 1A ⊥l 2，A 为垂足，C 2，C 3是l 1上任意两点，点B 在l 2上，设△ABC 1的面积为S 1，△ABC 2的面积为S 2，△ABC 3的面积为S 3，小颖认为S 1＝S 2＝S 3，请帮小颖说明理由．27．（2015达州）化简2221432a a a a a a+⋅----，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数． 28．（2015青岛）【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． 所以，当n =3时，m =1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）能力提升1.（2014年福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，42.（2014年浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm3．（2014•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．114.（2014•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC 沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°5.（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°6.（2014年江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）7、（2014年广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．8.（2014年湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．作业1．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°2．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61°B．71°C．109°D．119°3．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°4．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．180°5．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A．55B．255C．225D．1056．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．8．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= 度．9．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n﹣1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．11。
人教版八年级上册第十一章三角形知识点归纳
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何■证明）1.三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）A△B D C几何表达式举例：（1）河平分NBAC.•.ZBAD=ZCAD（2）VZBAD^ZCAD...AD是角平分线2.三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）AzA B D C几何表达式举例：（1）•.•AD是三角形的中线BD=CD⑵V BD=CD.•.AD是三角形的中线3.三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）AA B D C几何表达式举例：(1)...AD是AABC的高ZADB^O0(2)•.NADB力0°AAD是△A BC的高^4.三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）AzA B C几何表达式举例：(1)VAB+eC>AC•••(2)V AB-BC<AC•••5.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角几何表达式举例：（1）•.•△ABC是等腰三角形形.（如图）AA AB=AC(2)VAB=ACB C.•.△ABC是等腰三角形6.等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.（如图）A△几何表达式举例：（1）WABC是等边三角形.•.AB=BC=ACB C(2)•.•AB=BC=AC.•.△ABC是等边三角形7.三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°;（如图）⑵直角三角形的两个锐角互余；（如图）⑶三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）浓⑷三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.A A 几何表达式举例：(1)•:N A+N B+N 0=180°•••⑵V ZC=90°:.ZA+ZB=90°⑶V ZACD=ZA+ZBB c c B r-------c-----D(1)(2)(3)(4)••⑷ZACD>ZA••8.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）A[X几何表达式举例：（1）V ZC=90°.•.△ABC是直角三角形C B⑵•「△ABC是直角三角形A ZC=90°9.等腰直角三角形的定义：几何表达式举例：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)A(1)V ZC=90°CA=CB.•.△ABC是等腰直角三角形⑵V AABC是等腰直角三角形A ZC=90°CA=CB10.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；(如图)(2)全等三角形的对应角相等.(如图)A E二4R C f G 几何表达式举例：(1)VAABC^AEFGAB=EF.....⑵VAABC^AEFG .•.ZA=ZE.....11.全等三角形的判定：“SAS""ASA""AAS”"SSS""HL".(如图)A E△△B C f G(1)(2)A EK KC B G F(3)几何表达式举例：(1)V AB=EFV ZB=ZF又BC=FG.-.AABC^AEFG⑵.............⑶在Rt AABC和RtAEFG中V AB=EF又AC=EG.•.RtAABC^RtAEFG12.角平分线的性质定理及逆定理：(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等；(如图)(2)到角的两边距离相等的点在角几何表达式举例：(1)V0C平分NA0B 又VCD±0A CE±0B CD=CE系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.（如图）19.Rt△斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）⑵如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）AkC B几何表达式举例：•.•△ABC是直角三角形•..D是AB的中点.•.CD=2AB（2）VCD=AD=BD.•.△ABC是直角三角形几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1.三角形中，第三边长的判断：另两边之差V第三边V另两边之和.2.三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3.如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD±AB,BE±CA,则CD«AB=BE-CA.4.三角形能否成立的条件是：最长边V另两边之和.X5.直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.B C6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7.如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：a△C B(1)AC•CB=CD•AB;(2)Z1=ZB,N2=NA.8.三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9.全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10.等边三角形是特殊的等腰三角形.11.几何习题中，“文字叙述题"需要自己画图，写已知、求证、证明.12.符合“AAA”“SSA“条件的三角形不能判定全等.13.几何习题经常用四种方法进行分析：(1)分析综合法；(2)方程分析法；(3)代入分析法；(4)图形观察法.14.几何基本作图分为：(1)作线段等于已知线段；(2)作角等于已知角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的垂线；(5)作线段的中垂线；(6)过已知点作已知直线的平行线.15.会用尺规完成“SAS”、“ASA"、“AAS"、“SSS"、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形"的作图.16.作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型：(1)估画图；(2)工具画图；(3)尺规画图.湘8.几何重要图形和辅助线：(1)选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)①在BA 上截取BE=BC 构造全等,转移线段和角；AC角形.②过D 点作DE/7BC 交AB 于E,构造等腰三B (5)其它作等边三角形ABC 一边的平行线DE,构造新的等边三角形；②作CE/7AB,转移角;③延长BD 与AC 交于E, 不规则图形转化为规则图。
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第十一章三角形知识点归纳
考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边
2、三角形两边的差 第三边
3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边
4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是
两边之差＜第三边＜两边之和
例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.5,6,10
B.5,6,11
C.3,4,8
D.4,4,8
例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（ ）
考点二：5、三角形具有 性，四边形具有 性
例：下列图形具有稳定性的是（ ）
A.正方形
B.矩形
C.平行四边形
D.直角三角形
考点三：
1. 三角形的高
从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，
那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。
注：三角形面积=底×底边上的高
例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC=
例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是
2. 三角形的中线
连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ，
所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。
几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2
1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例：AD 是△ABC 的中线 ，BD=3，则CD= ，BC= ，
若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于 。
3. 三角形的角平分线
∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。
几何语言： AD 是△ABC 的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=2
1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD=
考点四：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于
几何语言：∠A+∠B+∠C=
例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A=
考点五：三角形的外角
1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角
∴∠ACD=∠A+∠B
例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A=
考点六：n 边形的内角和公式等于
例：计算五边形的内角和是
例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是
考点七：多边形的外角和等于
例：十二边形的外角和等于
例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是。