Lesson-02 节点导纳矩阵及节点网络方程的解法
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整理
( y10 y12 )V1 y12V2 I1
y12V1 ( y12 y20 y23 y24 )V2 y23V3 y24V4 0 y23V2 ( y23 y34 y30 )V3 y34V4 0 y24V2 y34V3 ( y24 y34 y40 )V4 I 4
Y22 Y23 Y42 Y43
节点导纳矩阵的形成：p7
② 各行非对角元素中非零元素个数等于对应节点连接的不 接地支路数；
Y11 Y 21 0 0 Y12 Y32 0 Y33 Y22 Y23 Y42 Y43 0 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
Y ji y ji
• 而且有：
Y ji Y ji
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
节点导纳矩阵的主要特点
• Yij =Yji ，节点导纳矩阵具有对称性
• 若节点i和j没有支路直接相联时，则Yij = 0 • 导纳矩阵具有高度稀疏性，即非对角线元素中有 很多零元素 • 矩阵元素物理意义清楚，有规律可循，因而形成 节点导纳矩阵的程序简单
i7
y24
I 1
1 y12 i5 2 i6 y23 i1 i2
y10
3 i3
y30
y34
i8 4 i4
y40
y20
I 4
导纳形式的节点方程
y12 (V2 V1 ) y20V2 y23 (V2 V3 ) y24 (V2 V4 ) 0 y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) y30V3 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4 y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
Y ji y ji
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点i与节点j之间的互导纳：导纳矩阵第i列非对 角元素Yji，在数值上等于节点i施加单位电压，其 他节点都接地时，节点j向电力网络注入的电流。 • 此时：节点j的电流实际上是 自网络流出并进入地中的电流， 所以Yji应等于节点i、j之间的 支路导纳的负值。
j 1
n
I YV
Y：节点导纳矩阵
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 如果在节点i施加一单位电压，其余节点全部接地， 即
Vi 1, V j 0, j 1, 2,
, n, j i
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
李长松
Spring 2016
电力系统计算机辅助分析
稳定性计算
第5/6章
发电机组和 负荷数学模型
第4章
潮流计算
第2章
电力网络 数学模型
第1章
短路计算
第3章
什么是“数学模型”
• A mathematical model is a description for property or behavior of a system (or a process or a phenomenon) using mathematical concepts and language.
导纳形式的节点方程
( y10 y12 )V1 y12V2 I1 y12V1 ( y12 y20 y23 y24 )V2 y23V3 y24V4 0 y23V2 ( y23 y34 y30 )V3 y34V4 0 y24V2 y34V3 ( y24 y34 y40 )V4 I 4
Y13 Y33 Y14 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
四节点网络
Y11 Y 21 Y31 Y41
Y12 Y32
发电 1
区域-2
电网仿真系统：IEEE 14 bus system
电网仿真系统：IEEE 30 bus system
电网仿真系统：IEEE 39 bus system
电网仿真系统：IEEE 118 bus system
导纳形式的节点方程
1 2
LD
4
四节点网络
LD
3
I1、I 4：节点注入电流
i7
y24
待求量是什么？
I 1
1 y12 i5 2 i6 y23 i1 i2
y10
3 i3
y30
y34
i8 4 i4
y40
y20
I 4
导纳形式的节点方程
y12 (V2 V1 ) y20V2 y23 (V2 V3 ) y24 (V2 V4 ) 0 y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) y30V3 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4 y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
节点导纳矩阵的形成：p7
③ 各对角元素（即自导纳）：等于相应节点所连支路的导 纳之和；
Y11 Y 21 0 0 Y12 Y22 Y32 Y42 0 Y23 y23 y34 y30 Y43 0 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
什么是“数学模型”：an example
• Electrical resistance
l R0 A
R(t ) R0 [1 (t t0 )]
电力系统的数学模型
• 是对电力系统运行状态的一种数学描述。
• 把电力系统中的物理现象的分析归结为某种形式 的数学问题。 • 包括：
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2 Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
Y V I i ij j
再整理
Y V I Y11V 1 12 2 1 Y21V1 Y22V2 Y23V3 Y24V4 0 Y32V2 Y33V3 Y34V4 0 Y V Y V I Y42V 2 43 3 44 4 4
Y11 y10 y12 Y12 y12 Y21 y12 Y12
说明什么？
导纳形式的节点方程
矩阵形式
Yij Y ji
Y V I Y11V 1 12 2 1 Y21V1 Y22V2 Y23V3 Y24V4 0 Y32V2 Y33V3 Y34V4 0 Y V Y V I Y42V 2 43 3 44 4 4
natural sciences engineering disciplines social sciences
mathematical model
• A model may help to explain a system and to study the effects of different components, and to make predictions about behavior.
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
n节点网络
导纳形式的节点方程
Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2 nVn I 2 ... Yn1V1 Yn 2V2 YnnVn I n Y11V1 Y12V2
Biblioteka Baidu
节点导纳矩阵的形成：p7
④ 非对角元素（即互导纳）：等于相应节点之间的导纳的 负值。
Y11 Y 21 0 0 Y12 Y22 y 23 Y42 0 Y23 y23 y34 y30 Y43 0 V1 I1 Y24 V2 I 2 y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
Y11V1 Y12V2
Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2 nVn I 2 ... Yn1V1 Yn 2V2 YnnVn I n
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点i的自导纳：导纳矩阵第i列对角元素Yii，在数 值上等于节点i施加单位电压，其他节点都接地时， 节点i向电力网络注入的电流。 • 即：自导纳Yii是节点i以外的所有 节点都接地时节点i对地的总导纳。
Yii yi 0 yij
ji
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点i与节点j之间的互导纳：导纳矩阵第i列非对 角元素Yji，在数值上等于节点i施加单位电压，其 他节点都接地时，节点j向电力网络注入的电流。
Y22 Y23 Y42 Y43
YV = I
导纳形式的节点方程
节点电压 待求
YV = I
节点导纳 矩阵已知 节点注入 电流已知
I1 0, I 4 0
I 2 I3 0
I2
I3
导纳形式的节点方程
矩阵形式
Y11V1 Y12V2
Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2 nVn I 2 ... Yn1V1 Yn 2V2 YnnVn I n
节点导纳矩阵的修改
• 网络中含有非标准变比的变压器支路时，导纳矩 阵元素的修改
节点导纳矩阵的修改
• 网络中含有非标准变比的变压器支路时导纳矩阵 元素的修改
• 节点p的自导纳改变量
1 k 1 1 Ypp kz kz z
• 节点q的自导纳改变量 • 增加节点p、q间的互导纳
1 1 k 1 Yqq 2 2 kz k z k z
节点导纳矩阵的形成：p7
① 导纳矩阵阶数等于电力网络的节点数；
Y11 Y 21 Y31 Y41 Y12 Y32 Y13 Y33 Y14 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
1 Ypq Yqp kz
节点导纳矩阵的修改
• 网络接线改变时节点导纳矩阵的修改
电力网络的数学模型
发电机的数学模型 负荷的数学模型
第1、2章
第4章 第4章
1.1 节点导纳矩阵 1.2 节点阻抗矩阵 1.3 电力网络方程的求解方法
电网仿真系统：WSCC9 system
GEN2-230 GEN3-230
发电 2
STNC-230
发电 3
区域-1
STNA-230
STNB-230
GEN1-230
( y10 y12 )V1 y12V2 I1
y12V1 ( y12 y20 y23 y24 )V2 y23V3 y24V4 0 y23V2 ( y23 y34 y30 )V3 y34V4 0 y24V2 y34V3 ( y24 y34 y40 )V4 I 4
Y22 Y23 Y42 Y43
节点导纳矩阵的形成：p7
② 各行非对角元素中非零元素个数等于对应节点连接的不 接地支路数；
Y11 Y 21 0 0 Y12 Y32 0 Y33 Y22 Y23 Y42 Y43 0 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
Y ji y ji
• 而且有：
Y ji Y ji
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
节点导纳矩阵的主要特点
• Yij =Yji ，节点导纳矩阵具有对称性
• 若节点i和j没有支路直接相联时，则Yij = 0 • 导纳矩阵具有高度稀疏性，即非对角线元素中有 很多零元素 • 矩阵元素物理意义清楚，有规律可循，因而形成 节点导纳矩阵的程序简单
i7
y24
I 1
1 y12 i5 2 i6 y23 i1 i2
y10
3 i3
y30
y34
i8 4 i4
y40
y20
I 4
导纳形式的节点方程
y12 (V2 V1 ) y20V2 y23 (V2 V3 ) y24 (V2 V4 ) 0 y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) y30V3 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4 y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
Y ji y ji
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点i与节点j之间的互导纳：导纳矩阵第i列非对 角元素Yji，在数值上等于节点i施加单位电压，其 他节点都接地时，节点j向电力网络注入的电流。 • 此时：节点j的电流实际上是 自网络流出并进入地中的电流， 所以Yji应等于节点i、j之间的 支路导纳的负值。
j 1
n
I YV
Y：节点导纳矩阵
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 如果在节点i施加一单位电压，其余节点全部接地， 即
Vi 1, V j 0, j 1, 2,
, n, j i
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
李长松
Spring 2016
电力系统计算机辅助分析
稳定性计算
第5/6章
发电机组和 负荷数学模型
第4章
潮流计算
第2章
电力网络 数学模型
第1章
短路计算
第3章
什么是“数学模型”
• A mathematical model is a description for property or behavior of a system (or a process or a phenomenon) using mathematical concepts and language.
导纳形式的节点方程
( y10 y12 )V1 y12V2 I1 y12V1 ( y12 y20 y23 y24 )V2 y23V3 y24V4 0 y23V2 ( y23 y34 y30 )V3 y34V4 0 y24V2 y34V3 ( y24 y34 y40 )V4 I 4
Y13 Y33 Y14 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
四节点网络
Y11 Y 21 Y31 Y41
Y12 Y32
发电 1
区域-2
电网仿真系统：IEEE 14 bus system
电网仿真系统：IEEE 30 bus system
电网仿真系统：IEEE 39 bus system
电网仿真系统：IEEE 118 bus system
导纳形式的节点方程
1 2
LD
4
四节点网络
LD
3
I1、I 4：节点注入电流
i7
y24
待求量是什么？
I 1
1 y12 i5 2 i6 y23 i1 i2
y10
3 i3
y30
y34
i8 4 i4
y40
y20
I 4
导纳形式的节点方程
y12 (V2 V1 ) y20V2 y23 (V2 V3 ) y24 (V2 V4 ) 0 y23 (V3 V2 ) y34 (V3 V4 ) y30V3 0 y24 (V4 V2 ) y34 (V4 V3 ) y40V4 I 4 y10V1 y12 (V1 V2 ) I1
节点导纳矩阵的形成：p7
③ 各对角元素（即自导纳）：等于相应节点所连支路的导 纳之和；
Y11 Y 21 0 0 Y12 Y22 Y32 Y42 0 Y23 y23 y34 y30 Y43 0 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
什么是“数学模型”：an example
• Electrical resistance
l R0 A
R(t ) R0 [1 (t t0 )]
电力系统的数学模型
• 是对电力系统运行状态的一种数学描述。
• 把电力系统中的物理现象的分析归结为某种形式 的数学问题。 • 包括：
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2 Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
Y V I i ij j
再整理
Y V I Y11V 1 12 2 1 Y21V1 Y22V2 Y23V3 Y24V4 0 Y32V2 Y33V3 Y34V4 0 Y V Y V I Y42V 2 43 3 44 4 4
Y11 y10 y12 Y12 y12 Y21 y12 Y12
说明什么？
导纳形式的节点方程
矩阵形式
Yij Y ji
Y V I Y11V 1 12 2 1 Y21V1 Y22V2 Y23V3 Y24V4 0 Y32V2 Y33V3 Y34V4 0 Y V Y V I Y42V 2 43 3 44 4 4
natural sciences engineering disciplines social sciences
mathematical model
• A model may help to explain a system and to study the effects of different components, and to make predictions about behavior.
Y11 Y12 Y Y 21 22 Yn1 Yn 2
Y1n V1 I1 Y2 n V2 I 2 Ynn Vn In
n节点网络
导纳形式的节点方程
Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2 nVn I 2 ... Yn1V1 Yn 2V2 YnnVn I n Y11V1 Y12V2
Biblioteka Baidu
节点导纳矩阵的形成：p7
④ 非对角元素（即互导纳）：等于相应节点之间的导纳的 负值。
Y11 Y 21 0 0 Y12 Y22 y 23 Y42 0 Y23 y23 y34 y30 Y43 0 V1 I1 Y24 V2 I 2 y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
Y11V1 Y12V2
Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2 nVn I 2 ... Yn1V1 Yn 2V2 YnnVn I n
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点i的自导纳：导纳矩阵第i列对角元素Yii，在数 值上等于节点i施加单位电压，其他节点都接地时， 节点i向电力网络注入的电流。 • 即：自导纳Yii是节点i以外的所有 节点都接地时节点i对地的总导纳。
Yii yi 0 yij
ji
I1 Y1i I 2 Y2i I i Yii I n Yni
节点导纳矩阵元素的物理意义
• 节点i与节点j之间的互导纳：导纳矩阵第i列非对 角元素Yji，在数值上等于节点i施加单位电压，其 他节点都接地时，节点j向电力网络注入的电流。
Y22 Y23 Y42 Y43
YV = I
导纳形式的节点方程
节点电压 待求
YV = I
节点导纳 矩阵已知 节点注入 电流已知
I1 0, I 4 0
I 2 I3 0
I2
I3
导纳形式的节点方程
矩阵形式
Y11V1 Y12V2
Y1nVn I1 Y21V1 Y22V2 Y2 nVn I 2 ... Yn1V1 Yn 2V2 YnnVn I n
节点导纳矩阵的修改
• 网络中含有非标准变比的变压器支路时，导纳矩 阵元素的修改
节点导纳矩阵的修改
• 网络中含有非标准变比的变压器支路时导纳矩阵 元素的修改
• 节点p的自导纳改变量
1 k 1 1 Ypp kz kz z
• 节点q的自导纳改变量 • 增加节点p、q间的互导纳
1 1 k 1 Yqq 2 2 kz k z k z
节点导纳矩阵的形成：p7
① 导纳矩阵阶数等于电力网络的节点数；
Y11 Y 21 Y31 Y41 Y12 Y32 Y13 Y33 Y14 V1 I1 Y24 V2 I 2 Y34 V3 I3 Y44 V I 4 4
1 Ypq Yqp kz
节点导纳矩阵的修改
• 网络接线改变时节点导纳矩阵的修改
电力网络的数学模型
发电机的数学模型 负荷的数学模型
第1、2章
第4章 第4章
1.1 节点导纳矩阵 1.2 节点阻抗矩阵 1.3 电力网络方程的求解方法
电网仿真系统：WSCC9 system
GEN2-230 GEN3-230
发电 2
STNC-230
发电 3
区域-1
STNA-230
STNB-230
GEN1-230