第6章 对称性与群论
分子的对称性与群论基础群与分子点群
群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….
分子对称性和群论初步
Cn轴产生n个旋转操作的周期均为n。
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
对称元素: 旋转轴C2 对称操作: 旋转
H2O中的C2
H2O2中的C2
NH3中的C3轴
SF6中的C4轴
Fe(C5H5)2中的C5轴
C6H6中的C6轴
N2中的C∞轴
（3）对称面 s 和反映操作 s
对称面
相当于一个镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称 部分，两部分之间互为镜中映象；对称面所相应的对称 操作是镜面的一个反映，在对称面的反映操作下，分子 图形相等的两部分互相交换位置，相同性质的点（同类 原子）彼此置换。显然，反映操作的周期为2，即：
ˆ ˆ =E s
操作定义
Cn旋转轴能生成n个旋转操作，记为：
2 ˆ ˆ n, Cn , C
…
, ˆn=E ˆ C Cn
n 1 n
ˆk 若取逆时针方向的旋转为正操作，表示为 C n，则顺 k ˆ 时 针 旋 转 为 逆 操 作 ， 表 示 为C n ，不难理 (nk )。 ˆk ˆ 解C n =C n
操作的周期
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个 n重象转轴，须考虑 n的奇偶性。 n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
物理学中的对称性与群论
物理学中的对称性与群论对称性与群论在物理学中有着重要的作用，对于理解自然界的本质和探究物质和能量的行为规律都有着不可或缺的意义。
本文将介绍对称性与群论在物理学中的应用，从对称群的定义、群表示与物理量变换、连续对称性和相对论性质等方面阐述其内涵和意义。
一、对称群的定义对称群是指一个物体或系统的所有对称操作所构成的群。
对称操作包括旋转、平移、镜像、反演等，它们是可以相互组合的，形成了一个数学结构，称为对称群。
对称群的研究可以揭示这个物体或系统的对称性质，从而为进一步研究提供了基础。
例如，一张圆形的纸片具有旋转对称性，可以将纸片顺时针或逆时针旋转若干度而看不出任何变化，这就是圆形的对称群。
另外，如果将圆形纸片剪成一条条线段，再沿着线段翻转，仍然能得到同样的图形，这就是镜像对称性。
这些对称操作构成了圆形的对称群。
二、群表示与物理量变换在物理学中，对称群不仅仅是一个数学结构，还是一种反映物理规律的基本规律。
在描述物理现象时，我们通常会用到物理量，如质量、电荷、能量等。
而这些物理量在对称操作下的变换也是非常重要的。
物理量的变换可以通过群表示的概念来描述。
群表示是将群元素映射到矩阵空间中的一个线性变换，在物理学中一般用来描述物理量的变化规律。
例如，一个物体在空间中的位置可以用一个三维矢量来表示，而空间中的平移操作可以用一个平移矩阵来表示。
这种表示方法可以方便地描述物体在平移下的位置变换。
另外，物理量的变换也可以用量子力学中的幺正变换来描述。
量子力学中，物理量由厄米矩阵表示，其变换由幺正矩阵表示。
这种表示方法可以方便地描述粒子在旋转、对称操作等对称变换下的状态变化规律。
群表示不仅适用于变换对称性的描述，还可以用来描述隐含对称性的物理规律。
例如，电荷在空间中的分布具有电荷密度对称性，这个对称性可以用群表示来描述。
此外，不少基本物理定律和理论都具有很强的对称性，如守恒定律、规范对称性等。
三、连续对称性和相对论性质对称群不仅在离散对称性中有着重要的应用，其在连续对称性中的应用也发挥着重要的作用。
第六章 群论
1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理：一般 高于四次的方程不可能代数求解。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题，在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果， 只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。
6
对称性最为神奇的一点：和物理世界中的守恒一一对应。
物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称； 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒； 物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律：动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米· 诺特（Emmy Noether）女士发现： 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。
5
“群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题， 但是今天它的应用场合已被大大拓展，最大用途是 关于“对称性”的研究，所有具有对称性的东西， 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，就 是对称的。
几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋 转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。 非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数， 无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)， 用t+2π代替t，也是不变的。
10
定理6.1 ： 一个半群(S , )，如果它有一个子代数系统
子集、运算相 同，且封闭
(M , )，则该子代数也是一个半群。
《对称性与群论》PPT课件
sin
0
cos
0
0 1精 选PPT
30
cos 0 sin
cn( y )
0
1 0
sin 0 cos
1 0
0
cn( x)
0 cos sin 0 sin cos
5、非真转动的相应矩阵 (sn )
矢量
r
rx.y.z
绕子轴转动
(
2
)
角，再对面反映
精选PPT
n
31
z
y
x
精选PPT
28
反映操作 v 和相应矩阵
x
x
100 x
v(xz) y = -y = 0 -1 0 y
z
z
001 z
x
-x
-1 0 0 x
v(yz) y = y = 0 1 0 y
z
z
00 1 z
精选PPT
29
X=rcosθ X’= rcos(θ +ф)
=rcosθcos ф - rsinθsin ф = xcos ф -ysin ф
4.2.1群的定义： ① 集合中任意二元素之“积”，任意一个元素的平方也是 群中的一个元素（封闭性）。
λa = b Є G
or a2 ＝ C Є G
② 群中包含一个单位元素E，对于任意元素A都有：
AE = EA = A。 ③ 群中每一元素A必有一个逆元素A-1，A-1也是群的元素。
（ A-1A = AA-1 = E）
C2 E
精选PPT
14
4.2.2群的乘法表 将群元素之间的关系的结合关系排列成一张表
精选PPT
Hale Waihona Puke 15点群：分子对称群至少有一个点在对称操作 下保持不变，故称点群
分子的对称性和群论初步
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
第6章 分子对称性与群论基础PPT课件
an1
an2
an
m bm 1
am2
amk
cn1
cn2
cnk
n×m
m×k
n×k
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2020/10/31
6.1 矩 阵
其中:
m
cij aip bp j
(i1,2, ,n;j1,2, ,k)
p1
[注意]只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才 能相乘。
1 0 3 A2 1 0
恒等操作 在进行对称操作时，分子中至少有1点是不动的，同
时这种对称操作不改变分子中任意两点之间的距离
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6.2 对称操作与对称元素
NH3分子的对称操作
2 对称操作的分类 统一分类并用标准符号表示之，其中的映面、象转及
反演操作能把右手变为左手，称为“非真的”或虚操作。
Sn 旋转2π/n，继之对垂直于旋转轴的平面进行反映
i 相对于对称中心的反演
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6.2 对称操作与对称元素
（1）旋转轴与旋转操作 分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转
一定角度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转可 以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.
称 中 心 i, 这 种 操 作
就是反演.
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6.1 矩 阵
(3) 数与矩阵相乘
若 kA=C， 则：Cij=kAij
例如：
2 3 0 6 9 0 31 5 33 15 9
（4）矩阵和矩阵的乘法
《群论对称性》课件
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01
群论对称性的基本概 念
02
群论对称性的数学原 理
03
群论对称性与物理学 的关系
04
群论对称性的实际应 用
05
群论对称性的研究进 展与未来展望
06
添加章节标题
群论对称性的基 本概念
群论对称性的定义
群论：研究对称性的 数学分支
对称性：物体或系统 在某种变换下保持不
变的性质
群论对称性：研究物 体或系统在群变换下
的对称性
群：一组具有封闭性、 结合性和交换性的元
素集合
群元素：群中的元素， 可以是物体、系统或
其变换
群运算：群元素之间 的运算，如加法、乘
法等
群对称性：群元素在群 运算下的对称性，如旋
转对称、反射对称等
群论对称性的分类
单击添加项标题
线性群：线性变换构成的群
单击添加项标题
反射群：反射变换构成的群
单击添加项标题
特殊正交群：特殊正交变换构成的群
单击添加项标题
特殊酉群：特殊酉变换构成的群
单击添加项标题
旋转群：旋转变换构成的群
单击添加项标题
正交群：正交变换构成的群
单击添加项标题
酉群：酉变换构成的群
群论对称性的应用领域
物理学：在量子力学、粒子物理、凝聚 态物理等领域有广泛应用
晶体结构：晶体中原子或分子排列的规律性
群论对称性：描述晶体结构对称性的数学工具
群论对称性与晶体结构的关系：群论对称性可以描述晶体结构的对称性，如旋转对称、反射对称 等
应用：群论对称性在晶体学、固体物理、材料科学等领域有广泛应用，如晶体结构分析、晶体生 长、晶体缺陷研究等
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
《群论对称性》课件
一、群论对称性简介1.1 群论的定义群论是数学的一个分支，研究了具有某种对称性的数学结构。
一个群是由一组元素及它们的运算组成的集合，满足封闭性、结合律和单位元的性质。
1.2 对称性的概念对称性是指物体或结构在某种变换下保持不变的性质。
在群论中，对称性是指一个对象在某个变换作用下，仍然与原对象相同或等价。
1.3 群论对称性的应用群论对称性在数学、物理、化学等领域中具有重要意义。
例如，在物理学中，对称性原理可以帮助我们理解和解释自然界的规律。
二、群的基本性质2.1 封闭性如果一个集合中的元素经过某种运算后仍然在这个集合中，这个集合就具有封闭性。
对于群而言，封闭性是基本性质之一。
2.2 结合律结合律是指在群中，任意三个元素经过某种运算后的结果与它们的顺序无关。
即(a b) c = a (b c)。
2.3 单位元单位元是一个特殊的元素，它与其他元素相乘或相除后，结果仍然是原来的元素。
对于群而言，单位元是使群保持不变的元素。
三、群的分类3.1 循环群循环群是最简单的群之一，它的所有元素都可以表示为一个元素的循环乘积。
循环群可以分为奇循环群和偶循环群。
3.2 交换群交换群是指群中任意两个元素交换后，结果仍然是原来的元素。
交换群也称为阿贝尔群。
3.3 非交换群非交换群是指群中任意两个元素交换后，结果不再是原来的元素。
非交换群在数学和物理学中具有重要意义。
四、群的作用4.1 群的表示群的表示是指将群的作用映射到某个空间上的方法。
群的表示可以是线性的，也可以是非线性的。
表示理论在数学、物理学和计算机科学等领域中具有重要意义。
4.2 群的作用在数学中的应用群的作用在数学中可以用于解决方程、几何问题等。
例如，在代数几何中，群的作用可以帮助我们理解和解释空间的性质。
4.3 群的作用在物理学中的应用群的作用在物理学中可以用于描述粒子的对称性。
例如，在量子力学中，粒子的状态可以通过群的表示来描述。
五、群论的对称性与宇宙的规律5.1 群论在宇宙规律中的应用群论对称性可以帮助我们理解和解释宇宙中的规律。
第六章 群论
所以，三个对称面等价。
7
量子化学
3 对称点群
分子点群：对称操作的完全集合构成的群——对称点群。 例1： G = {v, v2 = E} 逆元素 v-1 = v 例2： G = {E, C2, v(1), v(2)} H2O： C2V 点群 FONO: Cs 点群
单位元: E; 封闭性. v v = v2 = E, vE = v
1+2=3 1 + 2 + 3 = ( 1 + 2 ) + 3 = 1+ ( 2 + 3 ) = 6
满足封闭性 满足结合律 0是单位元素 n有逆元素-n
0+3=3+0=3
n + ( -n ) = 0
乘法表
由于所有对称元素 都经过一个共同点， 因此把这种群称为 点群
2
量子化学
2 群的乘法表 a. 重排定理： 群的乘法表中每一行或每一列中每个元素都出现一 次，只是排列次序有所不同，这称为重排定理。 b. 构造乘法表
F F S F F
21
F F
量子化学
4 分子对称性的分类
c. Ih 群：正三角形二十面体或正五边 形十二面体的对称操作的 集合构成这个群。
22
量子化学
6.3 群的表示
1 群的表示矩阵
C2V 点群
选择x, y, z 为基 ——— 三维表示 在对称操作下，点的变换
23
量子化学
6.3 群的表示
1 群的表示矩阵
Sn仅当n为偶数时存在，对于n为 奇时恒等于Cnh群。
S4
1,3,5,7-四甲基环辛四稀
S2 = I
16
量子化学
4 分子对称性的分类
数学物理中的群论和对称性
数学物理中的群论和对称性群论和对称性是数学和物理学中非常重要的概念。
它们有着深刻的内在联系和相互依存的关系。
在本文中，我将详细探讨这两个概念，并阐明它们的应用和意义。
一、群论群论是研究集合上的代数结构的分支学科，它的基本概念是群。
群是一种数学结构，它由一组元素和一个二元运算组成，满足结合律、闭合性、恒等元素和逆元素等基本性质。
群论不仅仅是数学学科，而且在物理学、化学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。
例如，量子力学中的对称性问题，晶体结构分析乃至密码学都涉及到了群论的相关知识。
群论的应用可以归纳为以下三个方面：对称性、代数下的几何学和群表示论。
其中，对称性是群论的最基础也是最广泛的应用之一。
二、对称性对称性是自然世界中各种现象的重要特征，例如，对称性可以用于描述物质结构中的周期性、分子电子结构的对称性、元素的周期性等等。
对于物理学家来说，对称性甚至是发现自然规律的一把钥匙。
对称性可以被形式化地定义为一个操作下的不变性。
例如，在平面上一个图形的旋转、镜像和平移都不影响其形状和大小，这就是对称性的体现。
在对称操作下不变的对象被称为对称群。
例如，一个正方形的对称群有8个元素，它包括4个旋转和4个镜像操作。
对称群的大小（群的元素个数）等于在该群中的操作数目。
对称群中的元素可以表示为置换符号，它们的乘积可以组成置换群，而置换群恰好是对称群的一个子群。
对于物理学家来说，研究对称性问题可以为他们发现自然规律提供重要线索。
物理学中经常用对称群来描述自然规律。
同时，对称性有利于简化计算。
例如，在研究统计物理问题时，对称性是研究系统能量的简化方法。
三、对称性和群论的应用对称性和群论在物理学中有着广泛的应用。
例如，对于原子和分子的电子结构问题，对称性可以用来预测能级和谱线。
在晶体学中，对称性是判断晶体结构的一种重要手段。
在相对论物理中，对称性和群论用于描述基本粒子和其相互作用的规律。
另外，对称性也在高能物理中使用，例如，对称性的不变性可以帮助研究强相互作用的强子之间的相互作用。
数学中的群论与对称性
数学中的群论与对称性数学是现代科学的基础，涵盖了众多的分支学科，其中群论（Group Theory）就是一门重要的学科。
群理论作为数学中的一门基础学科，旨在研究一些具有结构的对象，如集合、变换、旋转等，以及这些对象之间的相互关系。
在现代数学中，群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中，都有着重要的应用。
对称性是群论的一个重要概念，研究对称性也是数学中的一个重要分支。
对称性指的是某些对象在经过某种操作后仍能够保持它们的某些方面不变，给人们带来美感和和谐感。
在对称性的研究中，群论起着至关重要的作用。
群的定义群是指由一组元素与一个特定运算组成的结构。
该运算通常用“·”、“+”表示，具有以下三个性质：1. 封闭性：在群中任意两个元素进行运算的结果仍然在群中。
2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c，满足(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元和逆元：群中存在一个元素e (称为单位元)，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a；群中任意元素都存在一个逆元a-1，满足a·a-1=a-1·a=e。
群的基本性质群的基本性质分为以下几类：1. 消去律：如果a·b=a·c，其中a、b、c都是群中的元素，那么b=c。
2. 唯一性：群中只有一个单位元。
3. 逆元唯一性：群中任意一个元素的逆元唯一。
4. 恒等式：a·b的逆元为b-1·a-1。
5. 直积：如果有两个群 (G,*) 和 (H,+)，则可以定义一个新的群(G×H,*)，称为直积。
群的作用群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中有重要的应用。
下面我们来介绍一下群在这些领域中的具体应用。
1. 物理在物理中，群论的应用非常广泛。
例如：（1）对称群：许多物理现象都具有对称性，如圆周对称、面内对称、平移对称等。
群论与对称性的研究
群论与对称性的研究对称性是数学中常见且重要的概念，而群论正是研究对称性的一种数学工具。
本文将探讨群论在对称性研究中的应用，从基本概念到一些重要的结果，深入探讨群论对于对称性理解和分析的重要性。
一、引言对称性在自然界和数学领域都起着至关重要的作用。
无论是物理学中的对称性定律，还是几何学中的对称图形，都有一个共同的基础——群论。
群论是代数学的一个分支，专门研究集合中的元素以及它们之间的运算规则。
群论可以用来描述和研究各种各样的对称性，从而在许多领域产生了深远的影响。
二、群的定义与基本性质群是一个集合 G，上面定义了一个运算 *，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
群的定义是群论研究的核心，它不仅仅是一种抽象的代数结构，更是研究对称性的基础。
通过群的定义，我们可以描述和分析各种对称性，如平移、旋转、反射等。
三、对称群与置换群对称群和置换群是群论中最常见的两种群。
对称群是一个集合中所有对称变换所组成的群，而置换群是一个集合中所有元素的排列所组成的群。
对称群和置换群是群论与对称性研究紧密联系的重要工具。
通过对称群和置换群，我们可以描述和分析各种几何图形和物理现象中的对称性。
四、群同态与群同构群同态和群同构是群之间的映射关系。
群同态是指将一个群映射到另一个群，并保持运算规则的关系。
群同构是指两个群之间存在一种一一对应关系，并且保持运算规则的关系。
群同态和群同构可以帮助我们识别和分析不同群之间的相似性和差异性，从而更深入地理解对称性的本质。
五、对称性与群表示论群表示论是研究群如何作用于向量空间的一种数学工具。
通过群表示论，我们可以将群的元素表示为矩阵或线性运算符，并且研究其在向量空间中的作用。
群表示论在物理学和几何学中具有广泛的应用，例如量子力学中的旋转群表示和晶体学中的空间群表示等。
六、对称性破缺与群的标准模型对称性破缺是指在某些条件下，对称性被破坏或隐藏的现象。
群论在对称性破缺的研究中发挥了重要的作用，特别是在物理学中的标准模型的研究中。
群论概论-对称性
有限运动群与离散运动群对称是一种普遍存在现象，在数学中它与群有着密切的联系，这里我们将从群的角度来理解对称，并讨论刚体运动的分类与性质，根据这些性质，我们将刻画平面上有限运动群和离散运动群。
对称是一种普遍存在现象，在数学中它与群有着密切的联系，而刚体运动是一种特殊的对称，他在现实生活中有广泛的应用，比如说力学，晶体化学，纺织工业中，都有很多应用。
下面将给出刚体运动的定义与性质，并由此推导出一些有趣的结果。
定义 平面P 到自身的映射:m P P →称为刚体运动，如果它保持距离不变。
定理1 任意刚体运动都可以由下列三类刚体运动合成得到：（i ）由向量a 给出的平移a t ；（ii ）围绕原点转过角度θ的旋转θρ；（iii ）关于x 轴的反射r 。
定理2 任意一个刚体运动为下列运动之一:（a ） 保向运动：（i ）平移：由向量a 给出的平移:a t p p a →+（ii ）旋转：绕某一点转过角度θ （b ）反向运动：（i ）关于直线l 的反射（ii ）滑动反射：先关于直线l 反射，再平移一个与直线l 平行的向量a（c ）恒等映射设G 是保持原点不动的刚体运动群的群O 的一个子群，则G 是下面的群之一： （a ）n G C =：n 阶循环群，由旋转θρ生成，其中2nπθ=。
（b ）n G D =：2n 阶二面体群，由两个元素生成，一个由旋转θρ生成，其中2nπθ=，另一个由关于过原点的直线的反射'r 生成。
证明：设G 是O 的有限子群，而O 的元素是旋转θρ和反射r θρ。
（1）G 中的元素都是旋转。
我们要证明在这种情形下G 是循环群。
若G={1}，则1G C =，否则G 有一个非平凡的旋转θρ。
令θ为G 元素中旋转转过的最小正角度。
则G 由θρ生成。
若有αρ是G 中的旋转，设n θ是比α小的最大的θ的倍数，则n αθβ=+，且0βθ≤<，那么有nn n G βαθαθαθρρρρρρ---===∈，由于θ是最小正旋转，因而有0β=。
高中数学选修课对称与群
对称与群
逆时针 旋转120 度
如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?
对称与群
2.3 抽象观点与具体例子的对照
把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述
刚体是指在运动过程中任意两点间的距离保持不变的 物体。 2.2.1 平面刚体运动的定义：
2.2.2 平面刚体运动的性质
对称与群
变中有不变
注意，在上述“运动”的定义下,“不动”也是一种“运 动”,它可以看成旋转0o的“运动”,也可以看成平移 a=0 的“运动”.这样，任何平面图形都会在某种“运动”下 不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种平面图形 （例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变, 那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它 “不对称”.
e a a，称e 为a幺元； e
④逆元律, a ，G存在
称b为a的逆元。
，b使G b a a b e
群{G； }也简记为G
对称与群
对称与群
对称与群
x1, x2 , x3
及系数,另一方面是他们间的“运算”——加法和乘法。
3元多项式
f1 x1 x2 0 x3
f2 x1 x2 0 x3
f3 (x1 x2 )(x1 x3 )(x2 x3 ) f4 x1x2 x1x3 x2 x3
谁比谁更对称一些?
对称与群
3元多项式的对称性
对称与群
① 不S变(，N)故中任意两仍1个在 元S(素N2 )中1,,称相之2继为作S(用N的)中结的果运仍算保满持足N封整闭体
对称性的群论
对称性的群论对称性是数学中一个重要的概念，它的应用范围广泛，从物理到化学，从几何到图论。
对称性的研究已成为数学的重要分支之一，而对称性的群论是研究对称性的主要工具之一。
一、群论基础群论是数学中的一个分支，研究代数结构中的集合和运算之间的关系。
一个群是一个集合，其中包含一些元素和一些运算，这些运算必须满足特定的代数性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
群论的基础在于集合和代数运算的抽象概念，因此它可以应用于各种领域。
二、对称性的群论对称性的群论是研究对称性的一种方法，它将对称性看做一种代数结构的变换，这种代数结构可以用群表示。
例如，在平面上，将一个点绕另一个点旋转，或者将一个图形通过对称轴镜像，可以看做是一个变换，这种变换可以用群表示。
群的元素表示变换，群的运算定义了这些变换的组合方式。
对称性的群论在物理学中有广泛的应用，例如对称群在量子力学中的应用，空间对称群在晶体学中的应用。
而在几何学中，对称性的群论是研究对称性的重要工具，可以用群来表示对称性，对称性可以被看做一种约束条件，用群论解决几何问题的方法被称为群论几何。
三、例子1. 正方形的对称群我们来看一个例子，一个正方形有8个对称变换，可以分别表示为：这些变换组成了正方形的对称群，可以用符号S<sub>4</sub>表示，S<sub>4</sub>的元素是正方形的8个对称变换，例如S<sub>4</sub>的元素a表示将正方形逆时针旋转90度，而S<sub>4</sub>的元素b表示将正方形相对于水平轴对称。
2. 正三角形的对称群正三角形有6个对称变换，可以表示为：这些变换组成了正三角形的对称群，可以用符号S<sub>3</sub>表示，S<sub>3</sub>的元素是正三角形的6个对称变换，例如S<sub>3</sub>的元素a表示将正三角形逆时针旋转120度，而S<sub>3</sub>的元素b表示将正三角形相对于一条对角线对称。
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各种正棱往体的几何构型也都具有Dnh对称性．
Dnh点群
化学中的重要点群
Dnd点群
对称元素: Cn C2(在主轴的垂面方向上) σd (一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面) 例:
化学中的重要点群
Dh 点群 对称元素:
C
σv σh C2
(和键轴方向一致) (无穷多个,通过键轴的垂直镜面) (水平镜面) (无穷多个,垂直于 C )
群元素可以是数字、矩阵、算符或
对称操作等（数学对象、物理动作、 理化性质等）。 只要满足前述四 个条件的集合即为群（G）： G { A, B, C, D ,…}
对称操作群
定义：对称操作的集合构成的群称
为对称操作群，简称对称群 (symmetry group)
对称操作群也必具有数学上群的四 条基本性质．连续两个对称操作和两个 元素相乘对应。
旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为
Cnm Cnn-m = Cnn = E
旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关
n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m
n=是奇数，m=偶数，则Snm = Cnm ，因而它的逆操作是Cnn-m n=是奇数，m=奇数，则Snm = Cnm σ，它的逆操作应为Cnn-m σ 的 乘积，且等于Cn2n-m σ ，因而可写成单一的操作Sn2n-m
对称操作群---分子点群
分子点群有二层解释含义：
1）这些对称操作都是点操作，操作
时分子中至少有一点不动。
2）分子中全部对称元素至少通过一
个公共点，若不交于一点，分子就不能维
持有限性质。
一个分子所具有的对称操作的完全集合构成一个点群 每个点群有一个特定的符号 C2v 点群 C2v {C2 , yz , xz , E} 封闭性： C2 xz yz 元素相乘符合结合律 ：
即 A∈G， B∈G， 则 AB∈G
群的定义
2．结合律(associative law)成立。G中任意元素 A，B，C，有(AB)C=A(BC)。 3．单位元E(unit element)存在。对于G中任何 元素A，有EA=AE=A.
4．逆元素(inverse element)存在。对于G中每 一元素A，都有G中的一个元素B=A-1, 称为A的 逆元，使得AB=BA=E
对称操作群中的每一元素，即任一对称
对称操作群 ---逆元素
操作都具有相应的逆元素，或称逆操 作．给定对称操作的逆操作就是指经过 另一个对称操作，能够准确地消除给定 对称操作的作用。用数学关系表示即为 AA-1=A-1A=E
对称操作群 ---逆元素
反映 σ 的逆操作就是 σ 本身
σ σ = σ 2=E
若：a G, E G, 则有：aE Ea a, E为恒等元素
(d ) 存在逆元素： 若：a G , 则必有：ab ba E 这里b为a的逆元素，记作：a 1 b
群的定义
定义：在元素的集合G上定义一种结合法(称为乘
法)，若G对于给定的乘法满足下述四条公设 (postulate)，则集合G称为给定的乘法的一个群 (group)： 1．封闭性。 G中任何两个(不同的或相同的)元素 A 和 B，它们 的乘积 AB 仍是G中的元素。
反演 vs C2
8
旋转-反映
定义: 旋转和反映的联合操作称为旋转-反映
(rotation-reflection)对称操作，简称旋转-反映. 符号:Sn 对称元素:旋转-反映轴(rotation-reflection axis) 旋转-反映对称操作: 先绕一根轴旋转2/n度，接着按垂直该轴的 镜面进行反映，使分子复原.
6
反演
定义: 将分子的各点移到和反演中心连线的延长线
上，且两边的距离相等， 若分子能恢复原状 反演(inversion)对称操作，简称反演. 符号: i 对称元素: 对称中心 (center of symmetry) 例: 平面正方形的 PtCl42铂原子核的位置即为 相应离子的对称中心.
例:
正四面体构型的分子或离子
CH4 ， CCl4 ，GeCl4 ，ClO4- ，Ni(CO) 4
化学中的重要点群
Oh 点群
对称元素: C4 (3个, 同时又是S4映轴, C2轴) C3 (4个, 同时又是S6映轴) C2’ (6个, 平分对边) σd (6个) σh (3个) i 例: 正八面体构型的分子或离子 UF6 ， SF6 ，PtCl62-
化学中的重要点群
Cnv 点群 对称元素: n n个σv /σd 2n 阶群 例:
化学中的重要点群
• Cnv 点群
化学中的重要点群
Cnh 点群 对称元素:
n σh
2n 阶群
C1h =Cs
例:
化学中的重要点群
Cv 点群
对称元素: C (和键轴方向一致) σv (无穷多个,通过键轴的垂直镜面) 例: CO、HCN Cv 无对称中心的线型分子均属 点群
C2h点群 (6) Dn 点群 一个Cn轴和n个垂直于Cn轴的C2 轴
(7) Dnh 点群
具有一个Cn轴, n个垂直于Cn轴的C2轴 和一个 h
D4h 点群
(8) Dnd 点群 具有一个Cn轴, n个垂直于Cn轴的C2 轴 和n个分角对称面 d
D5d点群
(9) Sn 点群
只具有一个Sn轴
S4 点群
C2 ( xz yz ) C2C2 E (C2 xz ) yz C yzC yz E C2 ( xz yz ) (C2 xz ) yz
点群中有一恒等操作E： EC 2 C 2 E C 2
每个元素都有其逆元素：
1 1 C2 C 2 C 2C 2 E
n重对称轴 镜面 反演中心 n重非真旋转轴 或旋转反映
进行这些操作时，分子中至少有一个点保持不动 “点群对称”操作。
旋转
围绕通过分子的某一根轴转动 2/n 度能使分子复原的操作称为旋转 (proper rotation)对称操作，简称旋转. 符号: Cn 对称元素: 旋转轴(rotation axis) 分子中常出现的旋转轴： C2 C3 C4 C5 C6 C
HCN
Dn点群
对称元素:
Cn C2(在主轴的垂面方向上)
例: Co(en)33+和Cr(C2O4)33含三个相同双卤配体的六配位化合物均属D3点群．
化学中的重要点群
Dnh点群 对称元素: Cn C2(在主轴的垂面方向上) σh (水平) *在Dnh点群中，(C2 σh )的乘积又给出一套垂直镜 面σv 或σd 它们包含C2轴． 例:
Td点群
Oh点群
(10) Td点群 {4C3,3C2, 3S4 , 6d }
(11) Oh点群{3C4, 4C3, 3C2, 6C2΄, 4S6, 3S4, 3h, 6d, i}
(12) D∞h点群{C∞ , Sn, v, i}
(13) C∞v点群{C∞v, v}
D∞h点群
C∞v点群
化学中的重要点群
定义:
4
反映
定义: 通过某一镜面将分子的各点反映到镜面另一
侧位置相当处，结果使分子又恢复原状的操作 反映(reflection)对称操作，简称反映. 符号:σ 对称元素:镜面(mirror plane) 镜面类型： σv 通过主轴 σh 和主轴垂直 σd 通过主轴并平分两个副轴间夹角
10
11
恒等操作
定义: 恒等操作(identity operation)即保
持分子中任意点的位置不变的对称操作.
符号: E 恒等操作没有净的作用效果，但由于数学上
的原因仍 把它列为一种对称操作．
对称操作的表示矩阵
笛卡尔坐标系中，物体上的任一点的坐标
为x、y、z，对称操作使该点的坐标发生变 换．因此，对称操作的作用结果相当于不 同的坐标变换. 坐标变换可以用矩阵表示．换句话说，对 称操作可以用矩阵来表示． 若存在一组坐标的函数，当坐标变换时， 其中的任一函数变为这组函数的一个线性 组合，故由对称操作导致的这组函数的变 化情况也可以用矩阵来表示．
xz
1 xz
几种主要分子点群
(1) C1点群 [除C1外，无任何对称元素 ]
非对称化合物
(2) Cn 点群
[仅含有一个Cn轴 ]
几种主要分子点群
(3) Cs点群 仅含有一个镜面
(4) Cnv 点群
含有一个Cn轴和 n个竖直对称面
(5) Cnh 点群
含有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的面h
对称操作群 --- 封闭性
封闭性 --- 任何两个对称操作的乘积必定也是该
群的一个对称操作。
两个对称操作的乘积 --- 两个对称操作相继进行． 例:水分子H2O(C2v 群):
对称操作1: 对 σv’ 镜面进行反映
对称操作2:
所得结果:
进行 C2 的旋转对称操作，
相当于直接对 σv 镜面进行反映， 而 σv 显然也是 C2v 的点群的一个对称操作.
旋转-反映操作的矩阵方程描述
(绕 z 轴按逆时针方向转动 θ 角)
旋转-反映操作的表示矩阵
2. 分子点群
元素和它们的组合构成了的完全集合----群 对称元素可以交汇于空间的一点----点群 集合：G{a,b,c….}
(a ) 封闭性：若：a G, b G, 则有：ab c, c G (b) 结合律成立：若：a, b, c G, 则有：a(bc) (ab)c (c) 存在一个恒等元素：
化学中的重要点群
Ih 点群 对称元素:
C5 C3 C2’
(6个) (10个) (15个) (15个) 共计120个对称操作
σd
….