北师版数学高二-试卷第二章章末质量评估

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2020_2021学年高中数学第二章概率单元质量评估二课时作业含解析北师大版选修2_32020120

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．离散型随机变量X 的概率分布列如下：则c 等于( A ) A ．0.1 B ．0.24 C ．0.01D ．0.76解析：c ＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.2．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( A )A.49B.29C.427D.227 解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫1－132＝49.故选A . 3．若Y ～B(n ，p)，且EY ＝3.6，DY ＝2.16，则此二项分布是( B ) A ．B(4,0.9) B ．B(9,0.4) C ．B(18,0.2)D ．B(36,0.1)解析：由题意得np ＝3.6，np(1－p)＝2.16，所以n ＝9，p ＝0.4.4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( C )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04解析：三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.故选C .5．已知η的分布列为设ξ＝3η－2，则DξA ．5B.43C ．－23D ．－3解析：Eη＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，Dη＝⎝⎛⎭⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎫1＋132×16＝59，Dξ＝D(3η－2)＝32×59＝5.故选A . 6．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( D )A .35 B.25 C .110D.59解析：记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P(A)＝C 16C 19C 110C 19＝35，P(AB)＝C 16C 15C 110C 19＝13. 故P(B|A)＝P (AB )P (A )＝59.故选D .7．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( A )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)解析：由题意知C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，化简得2(1－p)≤3p ，解得p ≥0.4，又因为0<p<1，所以0.4≤p<1.故选A .8．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，则它是黄球的概率为( B )A .16 B.13 C .14D.15解析：解法一：设“取出的是白球”为事件A ，“取出的是黄球”为事件B ，“取出的是黑球”为事件C ，则P(C)＝1025＝25，∴P(C )＝1－25＝35，P(B)＝525＝15∴P(B|C )＝P (B C )P (C )＝13. 解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P ＝55＋10＝13. 9．某计算机网络有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率为p ，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为( B )A ．np(1－p)B ．npC ．nD ．p(1－p)解析：每天使用的终端个数X ～B (n ，p )，每天平均使用的终端个数值即EX ＝np ，故选B .10．已知X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，EY ＝73，则a 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为EX ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，所以EY ＝E(aX ＋3)＝aEX ＋3＝－13a ＋3＝73，所以a ＝2.故选B . 11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，X 的数学期望为( B )A.827 B.113 C.1681D.6581解析：记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量Y ，则Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，23，EY ＝4×23＝83. 因为X ＝1＋Y ，EX ＝1＋EY ＝113.故选B .12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量X ＝|a －b|，则X 的均值EX 为( A )A.89B.35C.25D.13解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 的可能取值为0,1,2，且P(X ＝0)＝6×7126＝13，P(X ＝1)＝8×7126＝49，P(X ＝2)＝4×7126＝29，所以EX ＝0×13＋1×49＋2×29＝89. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．如果随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，且EX ＝3，DX ＝1，那么μ＝3，σ＝1.解析：若X ～N(μ，σ2)，则EX ＝μ，DX ＝σ2.14．设X ～B(4，p)，且P(X ＝2)＝827，那么一次试验成功的概率p 等于13或23.解析：P(X ＝2)＝C 24p 2(1－p)2＝827，即p 2(1－p)2＝⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232，解得p ＝13或p ＝23.15．甲、乙两人进行一场比赛，已知甲在一局中获胜的概率为0.6，无平局，比赛有3种方案：①比赛3局，先胜2局者为胜者； ②比赛5局，先胜3局者为胜者； ③比赛7局，先胜4局者为胜者．则方案①对乙最有利．解析：设三种方案乙获胜的概率分别为P 1，P 2，P 3，每种方案都可以看成独立重复试验，则P 1＝C 22×0.42＋C 12×0.6×0.42＝0.352.P 2＝C 33×0.43＋C 23×0.6×0.43＋C 24×0.62×0.43≈0.317.P 3＝C 44×0.44＋C 34×0.44×0.6＋C 35×0.44×0.62＋C 36×0.44×0.63≈0.290.由于P 1>P 2>P 3，所以方案①对乙最有利．16．在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 6＝－2，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取三次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为625(用数字作答)．解析：由题意知，前10项为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.从中任取一数，得到正数的概率为410＝25，得到负数的概率为510＝12，三次取数相当于做了3次独立重复试验，所以三次取数中，取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×12＝625.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P(A 1)＝0.8，P(A 2)＝0.7，P(A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为P 2＝P 1＋P(A 1A 2A 3)＝0.228＋P(A 1)·P(A 2)·P(A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564. 18．(12分)某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过“希望杯”高一数学竞赛．若从该小组中任选3位同学参加“希望杯”高二数学竞赛，求这3位同学中参加过“希望杯”高一数学竞赛的人数ξ的分布列．解：由题意可知，随机变量ξ服从超几何分布， N ＝7，M ＝4，n ＝3.P(ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P(ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P(ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P(ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.则随机变量ξ的分布列为19.(12分)某班从63人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的概率分布； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B.求P(B)和P(B|A)．解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(X ＝0)＝C 34C 36＝15，P(X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P(X＝2)＝C 14C 22C 36＝15，∴X 的概率分布如下表所示：(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P(C)＝C 4C 36＝420＝15，∴所求概率为P(C )＝1－P(C)＝1－15＝45.(3)P(B)＝C 25C 36＝1020＝12，P(B|A)＝C 14C 25＝410＝25.20．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P(A)＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400. P(X ＝200)＝A 22A 25＝110，P(X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P(X ＝400)＝1－P(X ＝200)－P(X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为EX ＝200×110＋300×310＋400×610＝350.21．(12分)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm )对工期的影响如表：求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由题意易得P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X ≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为所以EY ＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，DY ＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)易得P(X ≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得 P(Y ≤6|X ≥300)＝P (300≤X<900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67，故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.22．(12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P(A 1)＝410＝25，P(A 2)＝510＝12，所以P(B 1)＝P(A 1A 2)＝P(A 1)P(A 2)＝25×12＝15，P(B 2)＝P(A 1A 2＋A 1A 2)＝P(A 1A 2)＋P(A 1A 2) ＝P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2) ＝P(A 1)[1－P(A 2)]＋[1－P(A 1)]P(A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12.故所求概率为P(C)＝P(B 1＋B 2)＝P(B 1)＋P(B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P(X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P(X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P(X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P(X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125X 的数学期望为EX ＝3×15＝35.。

高中数学第二章阶段质量检测北师大版选修22

【三维设计】高中数学第二章阶段质量检测北师大版选修2-2(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝1x 2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－14B ．－18C ．－8D ．－16解析：∵f ′(x )＝(x －2)′＝－2x －3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝－16.答案：D2．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )A ．－135°B ．45°C ．－45°D ．135°解析：y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：D3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( ) A ．在点x ＝x 0处的函数值B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案：C4．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )＝( ) A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．答案：A5．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x[解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x2，所以A 不正确；(3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．答案：B6．(2011·重庆高考)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x解析：依题意得，y ′＝－3x 2＋6x ，y ′|x ＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y －2＝3(x －1)，整理得y ＝3x －1.答案：A7．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A.23B ．2ln 3 C.23ln 3D.25ln 3解析：∵f ′(x )＝22x －1ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3. 答案：D8．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1，所以f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，则f ′(1)＝0. 答案：A9．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2解析：因为y ′＝x 2＋a 2′x －x ′x 2＋a 2x 2＝2x 2－a 2－x 2x 2＝x 2－a 2x2，所以x 20－a 2＝0，解得x 0＝±a .答案：B10．(2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x＞0，又x ＞0，所以x ＞2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________. 解析：∵f (x )＝log 3(x －1)， ∴f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1x －1ln 3，∴f ′(2)＝1ln 3. 答案：1ln 312．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )的大小关系是____________．解析：由题意，得f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x .由0<x <14，知0<f ′(x )<12，g ′(x )>1，故f ′(x )<g ′(x )．答案：f ′(x )<g ′(x )13．已知物体的运动方程是s (t )＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则物体在时刻t ＝4秒时的速度v ＝________米/秒，加速度a ＝________米/秒2.解析：∵s ′(t )＝2t －3t2，∴v (4)＝s ′(4)＝2×4－342＝12516，∵v (t )＝2t －3t 2，∴v ′(t )＝2＋6t3，∴a (4)＝v ′(4)＝2＋332＝6732.答案：12516 673214．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析：设切点坐标为(x 0，e x 0)，y ′＝e x，则切线斜率为e x 0，切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，代入原点坐标(0,0)⇒x 0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e.答案：(1，e) e三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋1x；(2)y ＝(x 2＋2)(3x －1)； (3)y ＝x ·e －x； (4)y ＝12sin 2x .[解：(1)y ′＝(sin x )′＋(1x )′＝cos x －1x2.(2)y ′＝(x 2＋2)′(3x －1)＋(x 2＋2)(3x －1)′ ＝2x (3x －1)＋3(x 2＋2) ＝9x 2－2x ＋6.(3)y ′＝x ′·e －x＋x ·(e －x)′ ＝e －x－x e －x＝(1－x )e －x.(4)y ′＝12(sin 2x )′＝12×2·cos 2x ＝cos 2x .16．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10上一点P ，求过曲线上P 点的所有切线中，斜率最小的切线方程．解：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3.∴当x ＝－1时，斜率最小为3，此时P 的纵坐标为y ＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，∴切点坐标为(－1，－14)． ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋3xf ′(a )(其中a ∈R)，且f (a )＝76，求：(1)f (x )的表达式；(2)曲线y ＝f (x )在x ＝a 处的切线方程．解：(1)f ′(x )＝x 2＋3f ′(a )，于是有f ′(a )＝a 2＋3f ′(a )⇒f ′(a )＝－a 22，∴f (x )＝13x 3－3a22x ，又f (a )＝76，即13a 3－32a 3＝76⇒a ＝－1，f (x )＝13x 3－32x ；(2)由(1)知切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，76，切线的斜率f ′(a )＝－12，∴切线方程为y －76＝－12(x ＋1)，即3x ＋6y －4＝0.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，则f (2)＝12.又f ′(x )＝a ＋b x2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6。

高中数学第二章变化率与导数章末综合测评(含解析)北师大版选修2-2(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评（含解析）北师大版选修2-2的全部内容。

（二) 变化率与导数(时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某质点沿直线运动的位移方程为f（x）＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A.－4 B。

－5C.－6 D。

－7【解析】错误!＝错误!＝错误!＝－6。

【答案】C2。

设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（)A。

1 B.错误!C。

－错误!D。

－1【解析】y′＝2ax,于是切线斜率k＝f′(1）＝2a，由题意知2a＝2,∴a＝1.【答案】A3。

下列各式正确的是( )A。

（sin α)′＝cos α（α为常数）B.（cos x)′＝sin xC。

(sin x)′＝cos xD.(x－5）′＝－错误!x－6【解析】由导数公式知选项A中（sin α）′＝0；选项B中（cos x）′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6。

【答案】C4。

设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x,则a等于（)A。

0 B。

1 C。

2 D。

3【解析】令f(x）＝ax－ln（x＋1)，则f′（x）＝a－1x＋1。

高二数学北师大必修单元检测：第二章解三角形 B 含解析

答案:B
8.(2014四川高考)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()
A.240( -1)mB.180( -1)m
C.120( -1)mD.30( +1)m
解析:如图,作AD⊥BC,垂足为D.
由题意,得DC=60×tan60°=60 (m),
即| || |= .
所以S△ABC= |·sinA= .
答案:
15.(2014课标全国Ⅰ高考)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.
A.10B.9C.8D.5
解析:由23cos2A+cos2A=0,得cos2A= .
∵A∈ ,∴cosA= .
∵cosA= ,∴b=5或b=- (舍).
答案:D
3.(2014江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC的面积是()
A.3B. C. D.3
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)由题设及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC
=13-12cosC,①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA
=5+4cosC.②
由①②得cosC= ,故C=60°,BD= .
(2)四边形ABCD的面积
S= AB·DAsinA+ BC·CDsinC
答案:
12.(2014福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则△ABC的面积等于.

单元质量评估(二)(北师大版选修2-1)

单元质量评估(二)第二章空间向量与立体几何(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a =(1，-2，1)，a +b =(-1,2,-1),则b等于( )(A)(2，-4，2) (B)(-2，4，-2) (C)(-2，0，-2) (D)(2，1，-3)2.如果向量AB AC BC、、满足AB AC BC =+ ,则( ) (A)AB AC BC =+ (B)AB AC BC =--(C)AC 与BC 同向 (D)AC 与BC同向3.已知空间四边形OABC 其对角线为OB 、AC,M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基底向量OA OB OC 、、表示向量OG，设OG xOA yOB zOC =++,则x,y,z 的值分别为( )(A)x=13,y=13,z=13 (B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=134.O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA OB OC、、为空间的一个基底，则( ) (A)O 、A 、B 、C 四点不共线(B)O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 (C)O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 (D)O 、A 、B 、C 四点不共面5.O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是△ABC的( )(A)三个内角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条高的交点 (D)三条中线的交点6.已知a,b 是异面直线,A 、B ∈a,C 、D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b 且AB=2，CD=1.则a 与b 的夹角为( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°7.a =(2，-1,2),b =(2,2,1),则以a ，b为邻边的平行四边形的面积为( )8.(2011·永嘉高二检测)在如图所示的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 的夹角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°9.已知AB =(1，5，-2)，BC =(3，1，z),若AB BC ⊥ ，BP =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC ，则BP等于( )(A)(337，157-，-3) (B)(407，157-，-3)(C)(407，157，-3) (D)(337，157，-3)10.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 、AC 上的点，且A 1M=AN=3a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 夹角的正弦值为( )(B)1212.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3， BE=1，则点C 到平面AEC 1F 的距离为( )11 (C)4 (D)11二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.已知向量p 关于基底{a b,c ，}的坐标为(3，2，-1)则p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标是 .14.(2011·海口高二检测)已知向量a b,c，两两夹角都是60°，其模都为1,则|a b 2c -+|等于 .15.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有的可能的情形).16.正方形ABCD 与ABEF 的边长都为a,若平面EAB 与平面ABC 夹角的大小为 30°，则EF 与平面ABCD 的距离为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如图，已知ABCD-A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12AA BC AB 23'++，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面 BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN AB AD AA =α+β+γ'，试求α、β、γ的值.18.(12分)(2011·哈尔滨高二检测)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. (1)确定点G 的位置;(2)求直线AC 1与平面EFG 夹角θ的大小.19.(12分)(2010·湖南高考)如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.20.(12分)(2011·杭州高二检测)如图，已知三棱锥A-BCD的侧视图，俯视图都是直角三角形，尺寸如图所示.(1)求异面直线AB与CD夹角的余弦值;(2)在线段AC上是否存在点F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的长度；若不存在，说明理由.21.(12分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若平面B1DC与平面DCC1的夹角为60°，求AD的长.22.(14分)(2011·辽宁高考改编)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD, PD∥QA,QA=AB=1PD.2(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求平面QBP 与平面BPC 夹角的余弦值.答案解析1.【解析】选B.b (a b)a =+-=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).2.【解析】选D.∵AB AC BC =+，∴A 、B 、C 共线且点C 在AB 之间，即AC CB与同向.3.【解析】选D.MG 2GN =∴()OG OM 2ON OG -=-∴()()111OG OM 2ON OA OB OC 332=+=++ ［］=111OA OB OC 633++∴x=16,y=z=13.4.【解析】选D.由基底定义，OA OB OC、、三向量不共面，但选项A 、B 、C 三种情形都有可能使OA OB OC、、共面，只有选项D 才能使这三个向量不共面. 5.【解析】选C.∵OA OB OB OC =∴()OB OA OC 0-=即OB CA 0=，∴OB ⊥AC.同理OC ⊥AB ，OA ⊥BC∴O 为△ABC 的三条高的交点.6.【解析】选C.()2AB CD AC CD DB CD CD 1=++==∴cos 〈AB CD 〉=AB CD 11212AB CD ==⨯∴AB 与CD 的夹角为60°，即异面直线a,b 的夹角为60°.7.【解析】选D.|a |3|b |3,== ，四边形为菱形,|a b |a b |+=-=∴S=1|a b ||a b |2+-=8.【解析】选C.设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),M(12,1,0),N(0,1,12),∴AC =(-1,1,0),MN =(11,0,22-).设AC 与MN的夹角为θ, 则cos θ=1MN AC1.2MN AC== ∴θ=60°.9.【解析】选A.∵AB BC ⊥ ,∴AB BC 0352z ==+-, ∴z=4,又BP⊥面ABC.∴BP AB BP BC ⊥⊥ 且.∴()()15y x 15y 607,.40333x 1y 120x x 177⎧=-⎪-++=⎧⎪⎪∴⎨⎨-+-=⎪⎪⎩=-=⎪⎩， 10. 独具【解题提示】利用三角形法则进行向量间的相互表示，寻找MN与平面BB 1C 1C 内向量的线性关系.【解析】选B.∵1A M AN 3==, ∴1111A M A B,AN AC,33==∴11MN MA A A AN =++=1111A B A A AC 33-++=11111111A B A A A A AB BC 3333--+++=121A A AD 33+=11121B B B C ,33+∴111MN B B B C 、、共面. 又∵MN 面BB 1C 1C, ∴MN ∥平面BB 1C 1C.11.【解析】选C.方法一：如图，取BC 的中点M ，连接OM 、AM. 则OM ⊥平面ABCD. ∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角. 令AB=2，则OM=1，∴. ∴sin ∠OAM=6. 方法二：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB=2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，∴AO=(-1，2，1).又1DD=(0，0，2)为平面ABCD 的法向量.设AO 与平面ABCD 的夹角为α,则sin α=|cos 〈1AO DD ，〉|=11|AO DD |6AO DD ==12.独具【解题提示】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(2，4，1)，C(0，4，0)， C 1(0，4，3) 设F(0，0，z),∵四边形AEC 1F 是平行四边形，∴1AF EC =∴(-2，0，z)=(-2,0,2) ∴z=2,即F(0，0，2)设1n 为平面AEC 1F 的法向量，显然1n 不垂直于平面ADF ，故可设1n=(x,y,1)由11n AE 00x 4y 10,2x 0y 20n AF 0⎧=⨯++=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+==⎩⎪⎩ ，得即x 1,4y 10,12x 20y .4=⎧+=⎧⎪∴⎨⎨-+==-⎩⎪⎩又1CC =(0，0，3)，设1CC 与1n的夹角为α,则|cos α|=1111|CC n |CC |n |==∴C 到平面AEC 1F的距离1d CC |cos |33311=α=⨯= 故选D.13.【解析】设p 关于基底{12a b,c 2-，}的坐标为(x,y,z)，则z p 2xa yb c 2=-+∴3x 2x 32y 2,y 2.z z 212⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-=∴=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪=-⎩⎩答案：(32，-2，-2)独具【误区警示】此处的坐标不是直角坐标，是在新的基底下的一种坐标形式.14.【解析】|a b 2c |-+==15.【解析】∵A 1C ⊥B 1D 1，∴111A C B D 0=∴()1AC AA BD 0.-=∴1AC BD AA BD 0-=又11AA BD AA BD 0⊥∴=，∴AC BD 0=∴AC ⊥BD.答案：AC ⊥BD(答案不唯一)16.【解析】如图，因为ABCD ，ABEF 均为正方形，所以EF ∥平面ABCD ，又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，所以∠EBC 就是平面EAB 与平面ABC 的夹角，所以∠EBC=30°，因为AB ⊥平面EBC ，而AB Ü平面ABCD ，所以面EBC ⊥面ABCD ，过E 作EG ⊥BC 于G ，则EG ⊥面ABCD ，在Rt △EBG 中，EG=EBsin30°=12a. 答案：12a17.【解析】(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH=23DC ，连接AH ，则12AH AA BC AB.23='++AH如图所示. (2)MN MB BN =+=13DB BC 24+'=()13AB AD (AA AD)24-+'+=113AB AD AA 244++'. ∴113,,.244α=β=γ=18.独具【解题提示】(1)设出G 点坐标，利用AC 1⊥EG 求出G 的坐标，确定G 的位置.(2)先求平面EFG 的法向量，代入公式求θ.【解析】(1)以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),E(1,1,0),A(0,2,0),C 1(0,0,2),1AC=(0,-2,2),EF=(0,-1,0).设G(0,2,h),则EG=(-1,1,h). ∵11AC EG,EG AC 0.⊥∴=∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1，即G 是AA 1的中点.(2)设m=(x,y,z)是平面EFG 的一个法向量，则m FE,m EG ⊥⊥ .所以y 0x y z 0=⎧⎨-++=⎩,平面EFG 的一个法向量m=(1,0,1).∵sin θ=11|m AC |1,2|m |AC == ∴θ=6π,即AC 1与平面EFG 的夹角θ为6π. 19.【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以1AB AD AA ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系.(1)依题意，得B(1，0，0)，E(0，1，12)， A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以BE =(-1，1，12)，AD =(0，1，0)，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角为θ,则sin θ=|BE AD |12.33BE AD 12==⨯ 即直线BE 和平面ABB 1A 1的夹角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0，0，1)，1BA =(-1，0，1)，BE =(-1，1，12)，设n=(x,y,z)是平面A 1BE 的一个法向量，则由1n BA 0n BE 0==，，得x z 0,1x y z 02-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以x=z,y=12z.取z=2，得n=(2,1,2).设F 是棱C 1D 1上的点，则F(t,1,1)(0≤t ≤1).又B 1(1，0，1)，所以1B F=(t-1,1,0),而B 1F 平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ()()11B F n 0t 1,1,0(212)02t 110t 2⇔=⇔-=⇔-+=⇔=⇔ ，，F 为C 1D 1的中点.这说明在棱C 1D 1上存在点F(C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE.20.独具【解题提示】(1)转化为AB CD与的夹角，注意角的范围；(2)先确定F的位置，然后求|CF|.【解析】(1)取BD 的中点O ，连接AO ，则AO ⊥平面CBD.以O 为原点建立空间直角坐标系，如图. A(0,0,1),B(1,0,0),AB=(1,0,-1),CD =(-2,- ,0),cos 〈AB,CD 〉=-4.所以所求异面直线AB 与CD 夹角的余弦值为4.(2)设CF CA =λ ,由(1)知CAAD=(-1,0,-1),BF BC CF =+=(-λ(1-λ),λ), BF CA 212(1)0BF AD 0⎧=λ--λ=⎪⎨=λ-λ=⎪⎩,解得λ=67,∴存在点F ，6CF CA 7==独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要方法是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力,但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能较为便捷地解题.21.【解析】(1)如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)， D(1，0，1).即11C B =(0,2,0),1DC =(-1,0,1),CD=(1,0,1). 由11CD C B=(1,0,1)·(0,2,0)=0+0+0=0,得CD ⊥C 1B 1;由1CD DC=(1,0,1)·(-1,0,1)=-1+0+1=0得CD ⊥DC 1; 又DC 1∩C 1B 1=C 1, ∴CD ⊥平面B 1C 1D. 又CD Ü平面B 1CD ， ∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)设AD=a ，则D 点坐标为(1，0，a)，CD=(1,0,a),1CB =(0,2,2),设平面B 1CD 的一个法向量为m=(x,y,z).则由1m CB 02y 2z 0,x az 0m CD 0⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩令z=-1. 得m =(a,1,-1),又平面C 1DC 的一个法向量为n=(0,1,0), 则由cos60°=|m n |12|m ||n |== ,即故独具【方法技巧】另有妙招利用空间向量解决立体几何中的空间位置关系、空间角以及空间距离，主要是建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后代入公式求解，在此过程中，运算量比较大，需要我们有较好的运算能力；但有些立体几何题目利用传统的解题方法，依据立体几何中的定理和结论，加上灵活的思维，同样能解题，以下是本题的传统解法. 【解析】(1)∵∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°, ∴B 1C 1⊥A 1C 1,又由直三棱柱性质知B 1C 1⊥CC 1， ∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1. 又∵CD Ü平面ACC 1A 1，∴B 1C 1⊥CD ① 由D 为中点可知，DC=DC 1∴DC 2+DC 12=2+2=4=CC 12，即CD ⊥DC 1 ②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD Ü平面B 1CD ，故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D.(2)由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或其延长线于E ，连EB 1，由三垂线定理可知∠B 1EC 1为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴∠B1EC 1=60°.由B 1C 1=2知，C 1设AD=x ，则∵△DC 1C 的面积S=11ACC A 11S 121,22=⨯⨯=∴11,23=解得22.【解析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)， P(0，2，0)，则DQ=(1，1，0)，DC =(0，0，1)， PQ=(1，-1，0)，所以PQ DQ 0PQ DC 0==，，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.(2)依题意有B(1，0，1)，CB=(1，0，0)，BP=(-1，2，-1).设n=(x ，y ，z)是平面PBC 的法向量，则n CB 0n BP 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，即x 0x 2y z 0=⎧⎨-+-=⎩，因此可取n=(0，-1，-2).设m 是平面PBQ 的法向量，则m BP 0m PQ 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取m =(1，1，1)，所以cos 〈m,n 〉=-5. 故平面QBP 与平面BPC夹角的余弦值为5.。

高中数学阶段质量评估2 北师大版选修22

第二章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝st ＋Δt －s tΔtB.v ＝s ΔtΔtC.v ＝s ttD.v ＝s t ＋Δt －s ΔtΔt解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到Δt ，Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt＝st ＋Δt －s tΔt.答案： A2．下列各式正确的是( ) A ．(ln a )′＝1a(a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －3)′＝－13x －4解析：因为a 为常数，(ln a )′＝0，故A 错．由导数公式表易知B 、D 错误．答案： C3．设f (x )＝x ln x ＋x ，若f ′(x 0)＝3，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 2eD ．ln 2解析： ∵f (x )＝x ln x ＋x ，∴f ′(x )＝ln x ＋2. 又∵f ′(x 0)＝3，∴x 0＝e. 答案： B 4．设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ．0 B.12 C.56D ．－56解析： ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23 －x －32 ′＝－23x －53 ＋32x －52 ，∴f ′(1)＝－23＋32＝56.答案： C5．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3解析： y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－ 3.又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案： B6．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.答案： A7．已知f (x )＝x 33＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．3解析： f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝3f ′(0)，则f ′(0)＝0. ∴f ′(1)＝1＋3f ′(0)＝1. 答案： A8．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24－3ln x ′＝x 2－3x ，令x 2－3x ＝12，结合x ＞0，得x ＝3. 答案： A9．已知y ＝12sin 2x ＋sin x ，则y ′( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋sin x ′ ＝12(sin 2x )′＋(sin x )′ ＝12·cos 2x ·2＋cos x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98， ∴y ′max ＝2，y ′min ＝－98，且y ′＝2cos 2x ＋cos x －1为偶函数．答案： B10．若曲线C ：y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．－1解析： y ′＝3x 2－4ax ＋2a ，∵曲线在任意点处的切线的倾斜角都是锐角， ∴3x 2－4ax ＋2a ＞0恒成立． ∴Δ＝16a 2－24a ＜0，∴0＜a ＜32.又a ∈Z ，∴a ＝1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设曲线y ＝xn ＋1－2(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1＋log 2 011x 2＋…＋log 2 011x 2 010的值为________________．解析：由y ＝xn ＋1－2，得y ′＝(n ＋1)x n，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴log 2011x 1＋log 2011x 2＋…＋log 2011x 2 010＝log 2011(x 1·x 2·…·x 2010)＝log 2011⎝⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×2 0102 011 ＝log 2 01112 011＝－1.答案：－112．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是________________．解析： ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3， ∴当x ＝－1时，y ′有最小值3，即斜率最小为3. 此时切点为(－1，－14)，所以切线方程为3x －y －11＝0. 答案： 3x －y －11＝013．已知过曲线y ＝x 3＋bx ＋c 上一点A (1,2)的切线为y ＝x ＋1，则bc 的值为_________．解析： f ′(1)＝(3x 2＋b )|x ＝1＝3＋b ＝1，所以b ＝－2. 所以y ＝x 3－2x ＋c ，所以2＝1－2＋c ，所以c ＝3，从而bc ＝－6. 答案：－614．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________．解析： ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x 5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)， ∴－15x 5∈(－∞，0)，∴a ∈(－∞，0)．答案： (－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (3)y ＝1－sin x 1＋cos x ；(4)y ＝a 3xcos(2x ＋1)．解析： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2＝x 3＋x －32＋x －2sin x . ∴y ′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5) ＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5. ∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′＝1－sin x ′1＋cos x －1－sin x1＋cos x ′1＋cos x 2＝sin x －cos x －11＋cos x2.(4)y ′＝[a 3xcos(2x ＋1)]′＝(a 3x)′cos(2x ＋1)＋a 3x[cos(2x ＋1)]′＝a 3xln a ·(3x )′cos(2x ＋1)＋a 3x·[－sin(2x ＋1)]·(2x ＋1)′ ＝3a 3xln a ·cos(2x ＋1)－2a 3xsin(2x ＋1) ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋1)－2sin(2x ＋1)]．16．(本小题满分12分)偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．解析： ∵f (x )的图像过P (0,1)点，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0. ∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴可知切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解析： (1)f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13， ∴切线方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. ∴直线l ：y ＝13x .切点(－2，－26)．18．(本小题满分14分)已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，若直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．解析：依题意，设直线l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21；对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.依题意，两条切线互相重合，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2x 2－2，－x 21＝x 22－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

北师大版高中数学选修2-2阶段质量评估1.docx

第一章推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系()A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案： B2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.共中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②错误，③正确．答案： B3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案： B4．实数a ，b ，c 不全为0等价于( ) A ．a ，b ，c 全不为0B ．a ，b ，c 中最多只有一个为0C ．a ，b ，c 中只有一个不为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析： “不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案： D5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是( ) A.n 2－n ＋62B.n 2－n ＋42C.n 2－n ＋22D.n 2－n 2解析：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n －1行n －1个数 ∴1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)·n2，∴第n 行的第3个数为(n －1)·n 2＋3＝n 2－n ＋62.答案： A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析： ∵已知等式对一切n ∈N ＋都成立， ∴当n ＝1,2,3时也成立．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝c ＝14.答案： A7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左端应添加的项是( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．[(k ＋1)＋1]2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析： n ＝k 时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D. 答案： D8．已知x ∈R ＋，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析：观察a 与n ＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n ＋1－1)n →n ＋1，所以a ＝n n .答案： D9．数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N)，则a 2 009的值为( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析： ∵a n ＝11－a n －1，又a 1＝12，∴a 2＝11－a 1＝2.a 3＝11－a 2＝－1.a 4＝11－a 3＝a 1＝12.∴数列{a n}的项是周期性出现，周期为3.∴a2 009＝a669×3＋2＝a2＝2.答案： D10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在等差数列{a n}中，有S m＋n＝S m＋S n＋mnd，其中S m，S n，S m＋n，分别是{a n}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数列{b n}中，有__________________．解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和↔积”，“积↔乘方”可猜测在等比数列中有A m＋n＝A m·A n·q mn，事实上，设公比为q，A n为前n项积，则有A m＋n＝b1·b2·b3·…·b m＋n ＝b1·b1q·b1q2·…·b1q m＋n－1＝b m＋n1·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝b m＋n1q(m＋n－1)(m＋n)2又A m·A n·q mn＝(b1·b2·…·b m)·(b1·b2·…·b n)·q mn＝b m1·q1＋2＋…＋(m－1)·b n1·q1＋2＋…＋(n－1)·q mn＝b m＋n1·q(m－1)m2＋(n－1)n2＋mn＝b m＋n1·q(m＋n)(m＋n－1)2故猜测正确．答案：A m＋n＝A m·A n·q mn，其中A m＋n、A m、A n分别是{b n}的前m＋n，m，n项之积，q为公比12．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝________________.解析：由f(x)＝xx＋2(x＞0)得，f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16＝x(24－1)x＋24，…∴当n≥2且n∈N＋时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．解析：平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．答案：在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)＝_____________.解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，故f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.答案：3n2－3n＋1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．所以a2＝4n2＋4n＋1.因为4(n2＋n)是偶数，所以4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而，a一定是偶数．16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17.(本小题满分12分)将自然数排成螺旋状如图所示；第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？解析：前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，…，这是一个数列，把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，于是原数列的第n项a n就等于此新数列的前n项和，即a1＝2＝1＋1＝2，a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5，a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以，第20个拐弯处的数是：a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×(1＋2＋…＋10)＝111，第25个拐弯处的数是：a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13)＝170.18．(本小题满分14分)数列{a n }是这样确定的：a 1＝1，a n ＋1＝pa n ＋x ，p ≠0且p ≠1，n ＝2,3,4，…，试归纳出a n 的表达式，并用数学归纳法予以证明．解析： a 2＝pa 1＋x ＝p ＋x ，a 3＝pa 2＋x ＝p (p ＋x )＋x ＝p 2＋(p ＋1)x ，同理a 4＝p 3＋(p 2＋p ＋1)x ， …猜想a n ＝p n －1＋(p n －2＋p n －3＋…＋1)·x＝pn －1＋p n －1－1p －1·x .证明：(1)当n ＝1时，公式成立． (2)假设n ＝k 时，公式成立，即a k ＝pk －1＋p k －1－1p －1·x ，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝pa k ＋x ＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫p k －1＋p k －1－1p －1·x ＋x ＝p k ＋p k－1p －1·x ， ∴当n ＝k ＋1时公式也成立．由(1)、(2)知，公式对任何n ∈N ＋都成立．。

北师大版数学高二-【北师大版】选修2-2第二、三章检测题齐宗锁

金台区高二年级数学理科学科第二、三单元质量检测试题参赛试卷学校：石油中学命题人：齐宗锁高中数学选修2-2（第二、三章）《导数及其应用》检测题（北师大版）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.函数y=x 2cosx 的导数为( )(A) y ′=2xcosx －x 2sinx (B) y ′=2xcosx+x 2sinx(C) y ′=x 2cosx －2xsinx (D) y ′=xcosx －x 2sinx 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 (C)如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 (D)如果在x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值3．过曲线23-+=x x y 上的点0P 的切线平行于直线14-=x y ，则切点0P 的坐标为（） A ．（0，-1）或（1，0） B ．（1，0）或（-1，-4）C ．（0，-2）或（-1，-4）D ．（2，8）或（1，0）4．下列结论中①若x y cos -=，则x y sin -='；②xx y x x f 21,1)(-='=则若；③272)3(,1)(2-='==f xx f y 则若；正确的个数为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（）(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A ． 18B ．41C ． 21D.．17．设2)(=x x f 在处有导数，则=∆∆--∆+→∆xx f x f x 2)2()2(lim 0（）A ．)2(2f 'B ．)2(21f ' C ．)2(f ' D ．)2(4f '8．曲线),4(221e P e y x 在点=处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．229e B ．24e C ．22e D ．2e第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上9.曲线y=2x 3－3x 2共有____个极值.10．已知)5)(4)(3)(2)(1()(-----=x x x x x x f 则f '=)1( 11．求曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x l ：的最短距离。

高中数学章末质量评估2北师大版选修1_2word版本

第二章框图(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下说法正确的是( )A．工艺流程图中不可能出现闭合回路B．程序框图中不可能出现闭合回路C．在一个程序框图中三种程序结构可以都不出现D．在一个程序框图中三种程序结构必须都出现解析：根据流程图的定义可知，程序框图中可以出现闭合回路，而工艺流程图中不可能出现闭合回路，所以A正确；在一个程序框图中三种基本程序结构必会出现顺序结构，但不一定出现条件结构和循环结构，所以C、D均不正确．答案： A2．下面是对三角形分类的结构图，其中不正确的是( )解析：显然选项B中对三角形的分类不完整，遗漏了不等边三角形．答案： B3．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图中只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D ．结构图中只能用方向箭头表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析：结构图中表达各要素之间关系有时用连线，有时用方向箭头，如组织结构图中一般用连线即可．答案： D4．下列判断不正确的是( )A ．画工艺流程图类似于算法的流程图，自顶向下，逐步细化B ．在工艺流程图中可以出现循环回路C ．工艺流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D ．结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系解析：在工序流程图中不能出现循环回路．答案： B5．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用( ) A ．程序框图 B ．工艺流程图 C ．知识结构图D ．组织结构图解析：这是设计生产过程，应为工艺流程图．答案： B6．将x ＝2输入以下程序框图，得结果为( )A ．3B ．5C ．8D ．12解析：由题意知该程序框图的作用即为求一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x2＋x3＋的值，将x ＝2代入上述函数表达式，显然2≥1，故将x ＝2代入y ＝x 3＋2x 得y ＝12. 答案： D7．下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是( )解析：A，B，D表示的是从属关系，选C.答案： C8．如下图所示的是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过的工序的道数是( )A．6或8 B．5或7C．4或5 D．7或8解析：由流程图可得．答案： B9．如下图，某人拨通了电话，准备为手机充值，需要如何操作( )A．1－5－1－1 B．1－5－1－5C．1－5－2－1 D．1－5－2－3解析：由流程图按步骤操作：1－5－2－1.答案： C10．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ．24C ．20D ．19解析：由A 向B 传递信息共有4条线路．第一条为A —D —C —B 线，传递的最大信息量为3，第二条A —D —E —B ，传递的最大信息量为4，第三条为A —G —F —B ，第四条为A —G —H —B ，要使从A 到B 有最大的信息通过，G —F 的信息量为6，H —B 的信息量为6.所以最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．某一程序框图如图，输入x ＝1得结果________．解析： ∵x ＝1>0， ∴y ＝12×1－5＝－92.答案：－9212．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：如果某人用手机查询该机卡上余额，其操作为________________________________．解析：因为是查询本机余额，应先按1号键，再按2号键．答案：拨10011电话，按1号键，再按2号键13．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入向量共线的“充要条件”，则应该是在________的下位．解析：向量共线的充要条件是两个向量能写成数乘的形式．答案：数乘14．已知某算法的流程图如下图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)、(x2，y2)、…、(x n，y n)、….(1)若程序运行中输出的一个数组是(t，－8)，则t＝______；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为________．解析：容易看出这是用循环结构表示的程序，n依次取值：1,3，5,7,9,11，…；相应地x依次取1,3,9,27,81,243，…，y依次取值：0，－2，－4，－6，－8，－10，…；可知：t＝81；共输出1 004组．答案：(1)81 (2)1 004三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设计一个解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)过程的流程图．解析：当ax2＋bx＋c＞0时，需解方程ax2＋bx＋c＝0，按Δ＝b2－4ac进行分类，分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0共三种情况，其流程图为：16．(本小题满分12分)画出《数学·必修2》中“直线与方程”一章的知识结构图．解析：知识结构图如下：17．(本小题满分12分)根据如图所示程序框图写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等差数列吗？解析：若将打印出来的数列依次记为a 1a 2a 3a 4a 5则a 1＝1，a 2＝a 1＋3＝1＋3＝4， a 3＝a 2＋3＝4＋3＝7， a 4＝a 3＋3＝7＋3＝10， a 5＝a 4＋3＝10＋3＝13.于是可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，an ＝an －1＋3.由于a n －a n －1＝3，因此这个数列是等差数列．18．(本小题满分14分)北京期货商会组织结构设置如下：(1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共辖理事会；(2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长；(3)秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．据以上绘制其组织结构图．解析：结构图如图所示．。

高中数学第二章概率章末质量评估北师大版选修23

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%.则这种产品的一级品率为 ( )．A ．15%B ．19%C ．20%D ．21%解析 A ＝“产品为合格品”，B ＝“产品为一级品”，P (B )＝P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.2×0.95＝0.19.所以这种产品的一级品率为19%. 答案 B2．设实数x ∈R ，记随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈0，＋∞，0，x ＝0，－1，x ∈－∞，0.则不等式1x≥1的解集所对应的ξ的值为 ( )．A ．1B ．0C ．－1D ．1或0解析解1x≥1得其解集为{}x |0＜x ≤1，∴ξ＝1.答案 A3．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为23，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是 ( )．A.881B.3281 C.827D.2627解析设正面朝上X 次，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23， P (X ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝3281. 答案 B4．设随机变量ξ～B (n ，p )，且Eξ＝3，Dξ＝1.5，则p (1≤ξ≤6)等于( )．A.3132B.1516C.6364D.7681解析由题意知np ＝3且np (1－p )＝1.5，∴p ＝12，n ＝6，∴p (1≤ξ≤6)＝1－p (ξ＝0)＝1－C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝3132.答案 A5．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)＝( )．A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)解析设随机变量η＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 ξ＜x 1，0x 1≤ξ≤x 2，1ξ＞x 2.则P (η＝－1)＝P (ξ＜x 1)＝1－P (ξ≥x 1)＝1－(1－α)＝α.P (η＝1)＝P (ξ＞x 2)＝1－P (ξ≤x 2)＝1－(1－β)＝β.∴P (η＝0)＝P (x 1≤ξ≤x 2)＝1－(α＋β)．答案 B6．若随机变量ξ的分布列如下表所示且E (ξ)＝1.6，则a －b 等于( ).ξ 0 1 2 3 P0.1a b0.1C ．－0.2D ．－0.4解析由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8 ①，又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3②，由①②得，a ＝0.3，b ＝0.5，所以a －b ＝－0.2，故应选C. 答案 C7．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是( )．A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)解析由题意知，C 14P ·(1－P )3≤C 24P 2(1－P )2解得P ≥0.4.又0<P <1，故所求P 的取值范围为[0.4,1)．8．甲做一种游戏一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5(一次游戏得分只能是3分、2分、1分或0分)，其中a 、b ∈(0,1)，已知甲做游戏一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )． A.16 B.112 C.124D.132解析由题意知，甲做游戏得分X 的分布列为∴EX ＝0×2＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a －b ＋2b ＋3a ＝2a ＋b ＋12＝1.∴2a ＋b ＝12，∴ab ＝12·2a ·b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝132，当且仅当2a ＝b 且2a ＋b ＝12，即a ＝18，b ＝14时等号成立．答案 D9．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则EY ，DY 分别为( )．A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6解析 ∵X ～B (10,0.6)∴EX ＝10×0.6＝6，DX ＝10×0.6×0.4＝2.4 ∵X ＋Y ＝8， ∴Y ＝8－X .∴EY ＝E (－X ＋8)＝－EX ＋8＝－6＋8＝2.DY ＝D (－X ＋8)＝DX ＝2.4.故选B.10．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )等于( )． A.56 B.910 C.310D.110解析由条件概率计算公式P (B |A )＝P AB P A ，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310.故选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共30分)11．一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为8081，则该射手一次射击的命中率为________．解析设命中率为p ，则1－(1－p )4＝8081，(1－p )4＝181，p ＝23.答案 2312．设随机变量X 的概率分布为X 1 2 3 4 P13m1416，则P (|解析 13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案51213．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．解析至少命中三次，包括命中三次和命中四次，即P ＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343×14＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝189256.答案18925614．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则c ＝________.解析由概率分布列的性质，得P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，即c 1＋c2＋c 3＋c4＝1⇒2512c ＝1，∴c ＝1225. 答案122515．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝3，则Dξ的值是________．解析 ∵a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ，∴b ＝13，a ＋c ＝23.由Eξ＝13，∴13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12，Dξ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.答案 5916．已知随机变量X 服从正态分布，且方程x 2＋2x ＋X ＝0有实数解的概率为12，若P (X ≤2)＝0.8，则P (0≤X ≤2)＝________. 解析由方程x 2＋2x ＋X ＝0有实数解，得Δ＝4－4X ≥0. ∴X ≤1. 即P (X ≤1)＝12.∴正态曲线的对称轴为X ＝1. ∴P (X ≤0)＝P (X ≥2)＝1－P (X ≤2) ＝1－0.8＝0.2. ∴P (0≤X ≤2)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥2) ＝1－0.2－0.2＝0.6.答案 0.6三、解答题(每小题10分，共40分)17．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (A |B )．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得， P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为X 0 1 2 P153515(2)则P (C )＝C 34C 36＝420＝15，∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (AB )＝C 14C 36＝15，∴P (A |B )＝P AB P B ＝25.18．在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为14、13，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．(1)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．解 (1)设“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A . 由题意知事件A 包括以下两个互斥事件．①事件B ：有2件甲批次产品检验不合格，其概率为P (B )＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫142·⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝964； ②事件C ：有3件甲批次产品检验不合格，其概率为P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.∴至少有2件甲批次产品不合格的概率为P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝964＋164＝532.(2)设“甲批次产品检验不合格件数恰比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D ，则D 包含以下三个互斥事件．①事件E ：3件甲批次产品都不合格，且2件乙批次产品不合格，其概率为P (E )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143·C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝1288； ②事件F ：2件甲批次产品检验不合格，且1件乙批次产品不合格，其概率为：P (F )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝⎛⎭⎪⎫1－14·C 13·13·⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝116； ③事件G ：1件甲批次产品不合格，且0件乙批次产品不合格，其概率为P (G )＝C 13·14·⎝⎛⎭⎪⎫1－142·⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝18. 故所求概率为P (D )＝P (E ＋F ＋G )＝P (E )＋P (F )＋P (G )＝1288＋116＋18＝55288. 19．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记X 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)(2)求p ，q 的值； (3)求数学期望EX .解事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3，由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“X ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (X ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知，P (X ＝0)＝P (A 1] A 2] A 3])＝15(1－p )(1－q )＝6125P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125整理得pq ＝625，p ＋q ＝1由p >q ，可知p ＝35，q ＝25.(3)由题意知，a ＝P (X ＝1)＝P (A 1A 2] A 3])＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1] A 2]A 3)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋15×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋15×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×25＝37125，b ＝P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝1－6125－37125－24125＝58125，∴EX ＝0×6125＋1×37125＋2×58125＋3×24125＝95.20．某批发市场对某种商品日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如图.(1)(2)若以频率为概率，其每天的销售量相互独立． ①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品两天销售利润的和，求X 的分布列和数学期望．解 (1)日平均销售量为150(1×10＋1.5×25＋2×15)＝1.55(吨)．(2)①销售量为1.5吨的概率P ＝2550＝12.设5天中销售量为1.5吨的天数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12.∴P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.②X 的所有可能取值为4,5,6,7,8.由题意知：P (X ＝4)＝0.22＝0.04， P (X ＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2， P (X ＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37， P (X ＝7)＝2×0.5×0.3＝0.3， P (X ＝8)＝0.32＝0.09.∴X 的分布列为。

北师大版高二数学必修质量检测题及答案

高二数学必修5质量检测题（卷）2009.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至6页．考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 3,…那么A .第12项B .第13项C ．第14项D ．第15项 2. 已知数列{a n }中，12n n a a -= (n ≥2)，且a 1=1，则这个数列的第7项为A ．512B ．256C ．128D ．64 3. 已知等差数列}{n a 中，610416,2,a a a +==则6a 的值是 A . 15 B . 10 C. 5 D. 8 4. 数列{n a }的通项公式是n a ＝331n n -(n ∈*N )，则数列{n a }是 A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定该数列的增减性5.在ABC ∆中，6016A AB ∠=︒=，，面积S =，则AC 等于A.50B.C.100D. 6.对于任意实数a 、b 、c 、d ，以下四个命题中的真命题是A ．若,0,a b c >≠则ac bc >B ．若0,,a b c d >>>则ac bd >C ．若,a b >则11a b< D ．若22,ac bc >则a b > 7. 在等比数列{a n }中，3S =1，6S =4，则101112a a a ++的值是 A ．81 B ．64 C ．32 D ．27 8. 已知等比数列{}n a 满1223412a a a a +=+=，，则5a =A ．64B ．81C ．128D ．2439.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f > 的解集是A.()()3,13,-+∞UB. ()()3,12,-+∞UC. ()()1,13,-+∞UD. ()(),31,3-∞-U 10. 用铁丝制作一个面积为1 m 2的直角三角形铁框，铁丝的长度最少是 A. 5.2 m B. 5 m C. 4.8 m D. 4.6 m11.已知点P （x ，y ）在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则12z x y =-+的取值范围是 A ．[－1，－1] B ．[－1，1] C ．[1，－1] D ．[1，1]12．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米，测得灯塔A 在观察站C 的正西方向，灯塔B 在观察站C 西偏南30o，若两灯塔A 、B千米，则x 的值为C.或二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上．13. 不等式2(2)(23)0x x x ---<的解集为14. 已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =-，则其通项公式为=n a ________15. 在29和34之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则插入的2个数的乘积为 16．已知点（3，1）和（-1，1）在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是．若2＋22＋ (2)>130，n ∈N*，则n 的最小值为_______.高二数学必修5质量检测题（卷）2009.11第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.把答案填在题中横线上. 13． ; 14. .15. . 16. ； 17.__________.三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分15分）设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B. （1）求A∩B；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B，求,a b 的值.19. （本题满分15分）在锐角△ABC 中，已知AC =2AB =， 60A ∠=o. 求:(1)BC 边的长；（2）分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数.20. （本题满分15分）已知a ∈R, 解关于x 的不等式：220x x a a ---<21. （本题满分15分）某种汽车购买时费用为16．9万元，每年应交付保险费及汽油费共1万元；汽车的维修费第一年为1千元，以后每年都比上一年增加2千元．（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为n S ，试写出n S 的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.高二数学必修5质量检测题参考答案及评分标准2009.11一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分．1. B （根据石油中学魏有柱供题改编）2. D （根据铁一中张爱丽供题改编）3. C （根据金台高中高二数学组供题改编）4.B （根据铁一中周粉粉供题改编）5.A. （根据十二厂中学闫春亮供题改编）6.D （根据金台高中高二数学组供题改编）7. D （根据石油中学夏战灵供题改编）8. B （根据石油中学高建梅供题改编） 9.A （ 09天津高考题）10. B （根据教材第94页练习改编） 11. B （根据铁一中周粉粉供题改编）12．D （根据金台高中高二数学组及斗鸡中学张永春供题改编）二、填空题：13.{}123或x x x <-<< （根据铁一中孙敏供题改编）; 14. 64n -（根据铁一中周粉粉供题改编）; 15.16（根据铁一中孙敏供题改编）; 16．{|}75或a a a <->（根据斗鸡中学张永春、铁一中张爱丽、石油中学高建梅供题改编）;17．7（根据石油中学夏战灵供题改编）. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．18．设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B.（1）求A∩B；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B，求,a b 的值. （根据斗鸡中学张永春、石油中学高建梅等供题改编）解:(1) A={}13x x <<, （3分） B={}32或x x x <->（6分） A∩B ={}23x x << （9分）（2）∵不等式20x ax b ++<的解集为A∩B∴ 23a +=-（11分） 23b ⨯= （13分）得5a =-，6b = （15分）19.在锐角△ABC 中，知AC =2AB =， 60A ∠=o. 求:(1)BC 边的长；（2）分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数.解：（1）由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠g g （3分）=22122+-⨯ =3 （6分）∴BC =（7分）（2）45oB ∠= ，能用正弦定理求出B ∠的度数得4分，过程略. 能用余弦定理求出B ∠的度数得4分，过程略. （根据铁一中张爱丽供题改编）20. 已知a ∈R, 解关于x 的不等式：220x x a a ---< 解：由题意得(1)()0x a x a --+< (3分)∴ 当1a a +<-时,即12a <-时,解集为(1,)a a +- (7分)当1a a +>-时,即12a >-时,解集为(,1)a a -+ (11分)当1a a +=-时,即12a =-时,解集为φ(15分)（根据铁一中孙敏、金台高中高二数学组。

【创新设计】高中数学第2章末质量评估北师大版必修2

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( )． A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 解析由k AB ＝k AC ，得b ＝－9. 答案 D2．过原点且在x ，y 轴上的截距分别为p 、q (p 、q 均不为0)的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2－px －qy ＝0 B ．x 2＋y 2＋px －qy ＝0 C ．x 2＋y 2－px ＋qy ＝0 D ．x 2＋y 2＋px ＋qy ＝0解析由题意知，圆过原点，且在x ，y 轴上的截距分别为p 、q ，则圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，q2且常数项为0. 答案 A3．直线Ax ＋By ＋C ＝0，经过第一、二、三象限，则( )． A ．AB ＞0 B ．AB ＜0C ．AB ＝0D ．A 与B 的符号不确定解析由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k ＝－A B＞0，则AB ＜0. 答案 B4．已知正方体不在同一侧面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是 ( )．A ．16B ．192C ．64D ．48解析要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A 、B 为不在同一侧面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为： |AB |＝＋2＋－2－2＋＋2＝43，∴正方体的棱长为33|AB |＝4. ∴正方体的体积是43＝64. 答案 C5．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )．A ．－4B ．20C ．0D ．24解析垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4×25＝－1，∴a ＝10，l 1：10x ＋4y－2＝0.将(1，c )代入，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2：得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 答案 A6．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得，512＜k ≤34.答案 D7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线斜率是0，则AC 、AB 所在直线斜率之和为( )．A ．－2 3B ．0 C. 3 D ．2 3解析 k AB ＝tan 60°＝3，k AC ＝t an 120°＝－3，所以k AB ＋k AC ＝0. 答案 B8．过点M (2,1)的直线与x 轴，y 轴分别交于点P ，Q 两点，且|MP |＝|MQ |，则l 的方程是( )． A ．x －2y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －4＝0解析由题意可知，M 为线段PQ 的中点，Q (0,2)，P (4,0)，可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0. 答案 D9．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是( )．A ．|b |＝ 2B ．－1＜b ＜1或b ＝－ 2C ．－1＜b ≤1D ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2解析如图，由数形结合知，选D.答案 D10．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)、B (－5,2,1)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )．A ．4B ．3C ． 2D ．1解析 △ABC 在yOz 平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz 平面上的射影图形是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.答案 D二、填空题(每小题5分，共30分)11．在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则|OB |＝________.解析易知点B 坐标为(0,2,3)，故OB ＝13. 答案1312．若平行直线2x ＋3y －6＝0和4x ＋6y ＋a ＝0之间的距离等于51326，则a 的值是________．解析 2x ＋3y －6＝0,2x ＋3y ＋a2＝0，d ＝51326＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6－a 222＋32.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋a 2＝52，解之得a ＝－7或a ＝－17. 答案－7或－1713．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是_____________________________________________________．解析将x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝16，则圆心A (2，－1)，设PA 的中点M (x ，y )，则P (2x －2,2y ＋1)代入方程x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0. 化简，得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 答案 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝014．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析设M (0，y,0)，由12＋y 2＋4＝1＋(－3－y )2＋1，可得y ＝－1，故M (0，－1,0)．答案 (0，－1,0)15．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案 2x ＋y －5＝016．直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a (a ＜3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为 (0,1) ，则直线l 的方程为________．解析圆心为(－1,2)，弦中点与圆心连线的斜率为2－1－1－0＝－1，由圆的性质知，弦AB 所在直线即l 的斜率为k ＝1. 故l 的方程为x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝0三、解答题(本大题共4小题，共40分) 17．(10分)求过点M (2,3)且与点P (1,0)的距离是1的直线方程．解当直线的斜率存在时，设过点M (2,3)且与点P (1,0)距离是1的直线的方程是y－3＝k (x －2)，将其化简为一般形式得kx －y －2k ＋3＝0.由点到直线的距离公式得P 点到直线的距离是1＝|k －2k ＋3|k 2＋1，解得k ＝43，所求直线方程为4x －3y ＋1＝0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2时也满足已知条件．综上所述可知，所求直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.18．(10分)直线l ：3x ＋4y －10＝0与曲线C ：x 2＋y 2－5y ＋p ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，求实数p 的值．解直线l 和曲线C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10＝0，x 2＋y 2－5y ＋p ＝0，消去x ，得25y 2－125y ＋100＋9p ＝0.∴y 1y 2＝100＋9p25.同理，x 1x 2＝16p －10025.∵OA ⊥AB ，∴y 1y 2x 1x 2＝－1.∴100＋9p 2516p －10025＝－1，解得p ＝0.19．(10分)如图，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.20．(10分)已知动直线l ：(m ＋3)x －(m ＋2)y ＋m ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝ 9. (1)求证：无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交． (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值．(1)证明法一设圆心C (3,4)到动直线l 的距离为d ，则d ＝m ＋－m ＋＋m |m ＋2＋m ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋522＋12≤ 2.∴当m ＝－52时，d max ＝2＜3(半径)．故动直线l 总与圆C 相交．法二直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝－2＋－2＝2＜3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小． ∴最小值为232－22＝27.。

北师版数学高二-试卷第二章章末质量评估

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