2019全国各地中考数学考试真题及答案

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2019全国各地中考数学考试真题及答案

一、函数与几何综合的压轴题

1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x

轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1)

求证：E 点在y 轴上；

(2)如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3)如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时

AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴

,EO DO EO BO AB

DB

CD

DB

又∵DO ′＋BO ′＝DB ∴

1

EO EO AB

DC

图①

C （1，-

A

（2，- B

D

O

x

E

y

图②

C

A

（2，-

B

D

O

x

E ′

y

2

∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2又∵

DO EO DB

AB

，∴231

6

EO DO

DB

AB

∴DO ′＝DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y=2x-2①再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②联立①②得

02

x y ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程

y=ax 2

+bx+c(a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组

4263

2

a b c

a b c c

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y=-x 2

-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）可得：

1E F E F AB

DC

得：E ′F=2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB ，∴13DF

DB

S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1

1122

2

2

3

DC

DB

DC DF DC DB

=13

DC DB =DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式

3

方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′

1132

3

22BD

E F

k

k

∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′＝DC ∶AB =1∶２

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2

∶AB 2

=1∶４∴2

2139

9

2

AE C

ABCD

S

S AB CD BD k

梯形∴S =3+k 为所求函数解析式.

2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）

为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；

（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点 B.探究：直线AB 是否⊙Ｍ的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙Ｍ面积为S 2，若4

2

1h S S ，

抛物线

y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛

物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt △AOM 中，AO ＝

12

2

OM

AM

，

∴点A 的坐标为A （0，1）

（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1

∴y ＝x

＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0），AB ＝

2

1

1

2

2

2

2

AO

BO

在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2

4

2

2

2

2

2

4)

2()

2(BM

AM

AB

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90°∴直线AB 是⊙Ｍ的切线

（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝

2，AC ＝22，∴BC ＝

10

)

22()

2(2

2

2

2

AC

AB

∵∠BAC ＝90°∴△ABC 的外接圆的直径为

BC ，

∴2

5)

210()

2(2

2

1

BC S 而2

)2

22(

)

2(2

2

2

AC S 42

1h S S ，5

,4

2

2

5h h

即 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为：

y ＝a （＋1）（x －1），（a ≠0）即y ＝ax 2

－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝

±５

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2

－5或y ＝－5x 2＋5

解法二：（接上）

求得∴h ＝5

由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、

0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为

y ＝a （x －0）2

±５

又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a ±5＝0，

a ＝±５

∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2

－5或y ＝－5x 2

＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5 因为抛物线的方程为

y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）

A

B

C

D

x

M

·y