一维水量水质模型

第七章 一维非恒定河流和河网水量水质模型

对于中小型河流，通常其宽度及水深相对于长度数量较小，扩散质（污染物质、热量）很容易在垂向及横向上达到均匀混合，即扩散质浓度在断面上基本达到均匀状态。这种情况下，我们只需要知道扩散质在断面内的平均分配状况，就可以把握整个河道的扩散质空间分布特征，这是我们可以采用一维圣维南方程描述河流水动力特征或水量特征（水位、流量、槽蓄量等）；用一维纵向分散方程描述扩散质在时间及河流纵向上的变化状况。特别地，对于稳态水流，可以采用常规水动力学方法推算水位、断面平均流速的沿程变化；采用分段解析解法计算扩散质浓度沿纵向的变化特征。但是，在非稳态情况下（水流随时间变化或扩散质源强随时间变化）解析解法将无能为力（水流非恒定）或十分繁琐（水流稳态、源强非恒定），这时通常采用数值解法求解河道水量、水质的时间、空间分布。在模拟方法上，无论是单一河道还是由众多单一河道构成的河网，若采用空间一维手段求解，描述水流、水质空间分布规律的控制方程是相同的，只不过在具体求解方法上有所差异而已。

7.1 单一河道的控制方程 7.1.1 水量控制方程

采用一维圣维南方程组描述水流的运动，基本控制方程为：

(1)

023/42

2=+-++R

Q u n g x A u x Z gA x Q u t Q ∂∂∂∂∂∂∂∂ (2)

式中t 为时间坐标，x 为空间坐标，Q 为断面流量，Z 为断面平均水位，u 为断面平均流速，n 为河段的糙率，A 为过流断面面积，B W 为水面宽度（包括主流宽度及仅起调蓄作用的附加宽度），R 为水力半径，q 为旁侧入流流量（单位河长上旁侧入流场）。此方程组属于二元一阶双曲型拟线性方程组，对于非恒定问题，现阶段尚无法直接求出其解析解，通常用有限差分法或其它数学离散方法求其数值解。在水流稳态、棱柱形河道条件下，上述控制方程组退化为水力学的谢才公式，可采用相应的方法求解水流特征。

7.1.2 扩散质输运控制方程

描述河道扩散物质运动及浓度变化规律的控制方程为：带源的一维对流分散（弥散）方程，形式如下：

S S h

A

KAC x c AE x x QC t AC r x ++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∂∂∂∂∂∂∂∂)()( (3) 式中，C 为污染物质的断面平均浓度，Q 为流量，

为纵向分散系数，S 为单

位时间内、单位河长上的污染物质排放量，K 为污染物降解系数，S r 为河床底泥释放污染物的速率。

此方程属于一元二阶偏微分方程，对于非恒定水流问题，微分方程位变系数的偏微分方程，现阶段尚无法直接求出其解析解，通常用有限差分法或其它数学离散方法求其数值解。在水流稳态、污染源源强恒定条件下，可按水动力特征将河道分为若干子段，在每个分段上，上述控制方程简化为常系数的常微分方程，可采用解析方法秋初起理论解。

7.2 单一河道一维水量水质模型

7.2.1 单一河道一维水量模型 （1）控制方程的离散

采用四点隐式差分格式离散方程组。如图1所示，河道被(n+1)个断面分为n 个子河段，在第i 个子河段M (i,i+1)上，对任一变量取：

性化：

5.01113/4213/423/42⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++j i j i j i j i

Q R u n Q R u n g R u Q n g (7) 将式(4)-(6)代入连续方程得第i 个子河段的差分方程：

i i i i i i i D Q Q Z C Z C =+-+++11 (8)

式中，t x Bw C i i i ∆∆=+θ22

/1，θ

θθi i

j

i j i i j i j i i x q Z Z C Q Q D ∆+++--=++)()()1(11

下角标i +1/2表示断面i 与断面i +1河段的均值。按照同样的方法，可得动量方程的差分方程：

i i i i i i i i i H Z F Z F Q G Q E =+-+++11 (9)

式中，j

i

i j i i

i R u n x g u t

x E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-∆∆=

+3/422

/1222θθ ()

j

i i Bu gA F 2

/12

+-=

j

i i

j i i i R u n x g u t x G 1

3/422/1222++⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∆+

+∆∆=θ

θ

()

)(1)(12112

/1212/12/1j

j i j

i j

i j i j i j i i i Z Z Bu gA Q Q u Q t x H ------+∆∆=

+++++θ

θθθθ

对任一河段),2,1(n i i =，可得到方程组：

⎩⎨

⎧=+-+=+-+++++i i i i i i i i

i i

i i i i i i H Z F Z F Q G Q E D Q Q Z C Z C 1111 (10) 对每一河段可列出两个线性代数方程，再加上上下游边界条件，构成完备的封闭方程组，采用追赶法可求得各个断面的水位流量。 （2）边界条件

根据上有下游边界条件类型的不同可以写成如下两种追赶形式：

·上游水位边界条件)(*

11

t Z Z

=；下游水位（或流量）边界条件)(*

11t Z Z n n ++=（或

)(*

11t Q Q n n ++=）

，追赶形式为：