定积分的几何意义 (1)讲解

0
2
成立。 y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
22
2
1
2
A1
sin x 0,在[0， ]上sin x 0,并有
-1
2
A1 A2 ,所以

2

f
(x)dx

A2

A1

0
2
f(x)=sinx
A2
x
2
巩固练习
3.结论：
b a
f
( x)dx的值都可用区边梯形面积
的代数和表示
几何意义
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。

1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
1）．
2
sin xdx 0
0
2）.


sin xdx 2 2 sin xdx
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x
2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（2）在图②中，被积函数f (x) x2在[1，2]
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
课堂小结
定积分的几何意义及简单应用
被积函数
课堂新授
A f (x) 0
1.
b a
f
(x)dx

-A f (x) 0
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y
y=f(x)>0
A
0a
bx
y
a
b
0
A
x
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1
a0
c
A2
A3
d bx
则
b a
f
(x)dx

A1

A2

A3
定积分的几何意义
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
复习回顾 如何求曲边梯形面积 定积分的概念是怎样的。
定积分表达式：
积分上限
被积式
b a
f ( x)dx

来自百度文库
I
lim 0
n i 1
f (i )xi.
积分下限
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
b a
dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
解：（①4）在图④中②，被积函数f
(x)
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：

利用定积分的几何意义说明等式
2

sin
xdx