第九届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

(1)（本小题6分）显然，在转速ω0下，各金属片均与竖直线成60o角。先分析下片的受力，如图1-2(a)所示。建立如图所示的局部坐标系。重力为均布荷载，合力为G，作用点在x= L处。
离心力为线性分布荷载，在坐标为x的截面处，集度为G rω02=3Gω02x，其合力为3Gω02L，
Lg2Lg4g
作用点在x= L处。左端O′处的竖向杆端力仅来自于弹簧。由于弹簧的压缩量为L，故总压缩力
第九届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
出题学校：
第
(1)ω0=
(2) ∆∠OAO′ =4。
3Eb
第
3π3σpd2σpd2(1)[F]= ≈0.4651 。
200nn
(2)不会波动，证明见详细解答。
(3)可以，许用荷载 多可提高76.7％。
第
(1) α1=0，α2=arccos 100=45o。
200
⎝2⎠EI⎝2⎠16EI
根据叠加原理，有
ξq1L3q1L3ξq1L3
= +
EI48EI16EI
，⑤
由上式可算出ξ= ，故有
q L3θ1=1
45EI
。①(1-7)
若从式(1-6)以后没有任何步骤直接得到式(1-7)，则只能得结论的①分。
这样，所求角度∠OAO′的变化量
10 3GL2
=4
3Eb
∆∠OAO′= 2q1L3。①(1-8) 45EI
L+3Gω02L⋅L+R⋅L−F⋅3L=0，
4g322
R=23G⎛⎜⎜⎝−ω302gL+26⎞⎟⎟⎠
故有。②(1-3)
式(1-2)和(1-3)中的R在数值上相等，由此可得
ω02L
=75，即ω=。①(1-4)
g
(2)（本小题9分）本小题的求解可以采用下述两类方法。叠加法求角度∠OAO′的增量
上下两个金属片所受的离心力和重力在横向上的分量，导致它们产生弯曲变形。上下两个金属片都可以简化为简支梁，其横向力如图1-3所示。图中，q0为重力的横向分量，q1为离心力在A处
该变化量使原有角度 得以增ຫໍສະໝຸດ Baidu。积分法求角度∠OAO′的增量
所求角度的变化量
第一种积分方案：与上述叠加法中开始的初步分析类似， q=，①
即为图1-4(a)所示简支梁A端转角的2倍，①然后用下述积分法求解。
1在图1-4(a)中，易得左方铰的支反力为 q1L，以O为坐标原点，可列出弯矩方程
6
M(x)= −1q1x3+1q1Lx。
第
图1-1为某个装在主机上的旋转部件的简图。四个重量为G，厚度为b，宽度为3b，长度为L，弹性模量为E的均质金属片按如图的方式安装在轴OO′上。在A处相互铰结的上下两个金属片构成一组，两组金属片关于轴OO′对称布置。两组金属片上方均与轴套O铰结，且该轴套处有止推装置，以防止其在轴向上产生位移。两组金属片下方均与O′处的轴套铰结，该轴套与轴OO′光滑套合。当主机上的电动机带动两组金属片旋转时，O′处的轴套会向上升起。但轴套上升时，会使沿轴安装的弹簧压缩。弹簧的自然长度为2L，其刚度k= 23G。O和O′
另外两个应变片ε(2)和ε(3)应该贴在J截面水平直径的两端处，并沿着与轴线成45°夹角的方向
1Eπd3(ε+ε)3Eπd2(ε−ε)上粘贴。MJ= Eπd3ε(1)，TJ= (2) (3)，FSJ= (2) (3)。
3232(1+ν)32(1+ν)
第
(1)e= 。
(2) vC=⎜⎜⎛⎝65+5482π⎞⎟⎟⎠gL。
为Lk=23G，一个下片所受的向下压缩力为 G。这样，根据竖直方向上的力平衡，右端A处的竖向杆端力
F=G。①(1-1)
对O′取矩，则可求出右端A处水平方向杆端力R，
L−3Gω02L⋅L+R⋅L L+F⋅ L=0，
4g322
R=23G⎛⎜⎜⎝ω302gL−24⎞⎟⎟⎠
故有。②(1-2)
再考虑上片。如图1-2(b)所示，与上片类似，对O取矩，可得
6L6
q1⎛14123⎞，
故有θ=⎜−x+Lx+C′L⎟
1-4(b)和图1-4(c)所示。在图1-4(b)中，A处转角为⎛⎜q1⎞⎟L3=q1L3。在图1-4(c)中，由于荷载⎝2⎠24EI48EI
反对称，梁的中点挠度和弯矩均为零，故中点可视为铰支点。这样，中点与A之间可视为一个简支
梁，这个简支梁也作用着线性分布的荷载。根据上述假设，其A处转角必定为⎛⎜q1⎞⎟ξ⎛⎜L⎞⎟3=ξq1L3。
集度的横向分量，
75 3G
=
4L
q1=1⋅3Gω02L。①(1-5) 2 2Lg
q1
(a)(b)
图1-3
记重力和离心力的横向分量在A端引起的转角数值分别为θ0和θ1，则上片转角为θu=θ0−θ1，
下片转角为θb=θ0+θ1，上下两片轴线的相对转角为
θb−θu=2θ1。(1-6)故所求角度的变化量即为图1-4(a)所示简支梁A端转角的2倍。①
详细参考解答及评分标准
评分总体原则
各题均不限制方法。若方法与本文不同，只要结果和主要步骤正确，即给全分；若方法不同而结果不正确，各地自行统一酌情给分。本文中多处用图形解释，若试卷中未出现相应图形但已表达了同样的意思，则同样给分。计算结果用分数或小数表达均可。
本文中用浅黄色标识的公式和文字是给分的关键点，其后圆圈内的数字仅为本处的所得分值。
如果说明了在转速ω0下离心力的作用远大于重力的作用，从而可以忽略重力的影响，同时又有上述两处得分点的结论，此处也算全对。
图1-4
可以一般性地假设，在如同图1-4(a)那样荷载呈线性分布的简支梁中，A处的转角为ξ q1L3，
EI
其中ξ是一个待定的无量纲常数。图1-4(a)的荷载可分解为对称部分和反对称部分之和，分别如图
(2)x2=200y。
(3) 长度2L小于200 mm的杆水平放置的平衡是稳定的。长度大于200 mm的杆水平放置的平衡是不稳定的，处于角度α=arccos100上的平衡是稳定的。
L
第
195Eπd3εmax
(1)F= 。
5248L
(2)可以，原因见详细解答。
(3)除了温度补偿片，至少还应该贴3个应变片。J截面的上顶点处沿轴向贴一个应变片ε(1)，
L
处的轴套、弹簧，以及各处铰的重量均可以忽略。
(1)暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时O′处轴套向上升起的高度H=L是额定的工作状态，那么相应的转速ω0是多少？
(2)当转速恒定于ω0时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算图示角度∠OAO′相对于把金属片视为刚
体的情况而言的变化量。
图1-1
解答及评分标准