几种证明全等三角形添加辅助线方法

全等三角形复习课

适用学科数学适用年级初中二年级

适用区域通用课时时长（分钟）120

知识点全等三角形的性质和判定方法

熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用

教学目标

学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法

教学重点

通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力

教学难点

教学过程

构造全等三角形几种方法

在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形

例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC>2AD。

图1 图2

证明：延长AD至E,使AD= DE,连接CE如图2。••• AD是厶ABC的中线，二BD= CD。

又•••/ 1 = Z 2，AD= DE,

•••△ ABD^A ECD( SAS。AB= CE

•••在△ ACE中，CE+ AC>AE,

••• AB+ AC> 2AD。

、沿角平分线翻折构造全等三角形

例 2.如图 3,在厶 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/C 。求证：AB + BD = AC 。 A

D 图3 ■ 3 ---- -- C 图4

证明：将厶ABD 沿AD 翻折，点B 落在AC 上的E 点处，即：在AC 上截取 AE = AB,连接EDb 如图4。

•••/ 1 = / 2, AD =AD , AB = AE,

•••△ ABD^A AED ( SAS 。

••• BD = ED,/ ABC =/ AED = 2/C 。

而/AED =/ C +/ EDC

•••/ C =/ EDC 所以 EC = ED = BD 0

••• AC = AE + EC,二 AB + BD = AG

三、作平行线构造全等三角形

例3.如图5,A ABC 中，AB = AG E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长 AC 至U D , 使 CD = BE,连接 DE 交 BC 于 F 。求证：EF = FD

证明：过E 作EM // AC 交BC 于M ，如图6

则/ EMB

=/ ACB / MEF =/ CDR

••• AB = AC,A / B =/ ACB

•••/ B =/ EMB 。故 EM = BE

••• BE = CD,二 EM = CB

又•••/ EFM=/ DFC / MEF =/ CDF

•••△ EFM^A DFC( AAS。EF= FD。

四、作垂线构造全等三角形

例4.如图7,在厶ABC中，/ BAO90°, AB= AC。M是AC边的中点。AD

丄BM交BC于D,交BM于E。求证：/ AMB=Z DMC。

vZ BAO90°, AD丄BM,

•••/ FAC=Z ABM= 90°—Z BAE

v AB= AC, Z BAM=Z ACM 90°,

•••△ ABM^A CAF( ASA。。

•••Z F=Z AMB, AM = CF

v AM = CM,.'. CF= CMo

vZ MCD=Z FCD= 45°, CD= CD,

•△ MCD^A FCD(SASo 所以Z F=Z DMC。

•Z AMB=Z F=Z DMCo

五、沿高线翻折构造全等三角形

例5.如图9,在厶ABC中，AD丄BC于D,Z BAD>Z CAB 求证：AB>AC。

A

D 图9

A

D 图10

证明：把厶ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE= DC,连接AEo如图10。

•••△ ADC^AADE (SAS。AC= AE,Z C=Z AED

vZ AED>Z B,A Z C>Z B。从而AB>AC

六、绕点旋转构造全等三角形

例6.如图11,正方形ABCD中，Z 1 = Z 2, Q在DC上, P在BC上。求证：PA= PB+ DQ。

图11 图L2

证明：将厶ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,使AD与AB重合，得到△

ABM,即：延长CB到M，使BM = DQ,连接AM。如图12。

•••△ ABM^AADQ (SAS。

•••Z 4=Z 2=Z 1,Z M = Z AQD0

v AB// CD, •••/ AQD=Z BAQ=Z 1 + Z 3=Z 4+Z 3 = Z MAP。

•Z M = Z MAPo

•PA= PM = PB+ BM = PB+ DQ (因BM = DQ)。

【课堂练习】

1、如图，已知AD=AE,AB=A(求证：BF=FC

2、如图，在△ ABC 中，AB=AC 延长AB 到D ,使BD=AB 取AB 的中点E ,连 接CD 和CE.F 为CD 中点 求证：CD=2CE

4、 已知：AB=CD / A=Z D ,求证：/

B=Z C

AB =AC + CD. / 1 = / 2。求

A D

5、已知：如图，CD丄AB于点D, BE±AC于点E, BE、CD交于点O,且AO平分/ BAC 求证：OB= OC.

6如图，已知C为线段AB上的一点，- ACM和CBN都是等边三角形，AN和

CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：厶CEF是等边三角形。

7、如图所示，已知AE!AB, AF丄AC，AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2)

EC丄BF

F