配套学案：1.7.2定积分在物理中的应用
教学设计3：1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用教学目标1、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）.2、 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 教学重难点 定积分求体积以及在物理中应用.教学过程：复习1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？新课讲解定积分在物理中应用1.求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t ) ( v (t ) ≥0) 在时间区间[a ,b ]上的定积分，即()d ba s v t t =⎰.例 1：一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403d [30d ( 1.590)d s t t t t t =++-+⎰⎰⎰ 210402*********|30|(90)|1350(m)24t t t t =++-+=答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W =Fs .探究：如果物体在变力 F (x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x ) 相同的方向从x =a 移动到x =b (a <b ) ，那么如何计算变力F (x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()d ba W F x x =⎰.例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F （x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F （x ）= kx ,其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰ 答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3：A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间.【解析】作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ,b ]上的定积分,即()d ba S v t t ⎰＝.解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t =24, t 1=20(s),则AC ＝20220001.20.6|240(m)tdt t ==⎰.（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s),则DB ＝202200024 1.2d 0.6|240(m)t t t ==⎰（－）.（3）CD =7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ）课堂小结根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系.譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等.上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性。
学案6：1.7.1 定积分在几何中的应用~1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.1 定积分在几何中的应用~1.7.2 定积分在物理中的应用教材新知知识点一 定积分在几何中的应用如图，由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝f (x )和x 轴围成的曲边梯形面积为S 1.由直线x ＝a ，x ＝b ，曲线y ＝g (x )和x 轴围成的曲边梯形的面积为S 2.问题1：如何求S 1?问题2：如何求S 2?问题3：如何求阴影部分的面积S ?平面图形的面积由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积．(1)如图①所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab _______d x .(2)如图②所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab d x . 相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )相交，则所求面积S ＝S 1＋S 2＝ ⎠⎛a c[f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b[g (x )－f (x )]d x ＝⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .知识点二定积分在物理中的应用问题：在《1.5.2汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间上的定积分，即s＝_________.2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为.求变速直线运动的路程的注意点对于给出速度－时间曲线的问题，关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限，需要注意的是分段解析式要分段求路程，然后求和．常考题型题型一不必分割的图形的面积求解例1 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．方法归纳求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．跟踪训练1.求曲线y＝e x，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．题型二需分割的图形的面积求解例2求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．方法归纳需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．跟踪训练2.试求由抛物线y＝x2＋1与直线y＝－x＋7以及x轴、y轴所围成图形的面积．题型三求变速直线运动的路程、位移例3A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，经t s后，在B点恰好停车．试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．方法归纳求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．跟踪训练3.一点在直线上从时刻t＝0(单位：s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求：(1)在t＝4 s时的位置；(2)在t＝4 s时运动的路程．题型四求变力做功例4 一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力位移曲线如图所示．求该物体从x＝0 m处运动到x＝4 m处力F(x)做的功．方法归纳解决变力做功应关注两点(1)首先将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步； (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题． 跟踪训练4.设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功． 课堂检测1．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．22 B ．42 C ．2D ．42．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为( ) A ．46 m B ．46.5 m C ．87 mD ．47 m3．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．4．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 5．一物体在变力F (x )＝36x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8处运动到x ＝18处，求力F (x )在这一过程中所做的功．参考答案教材新知知识点一 定积分在几何中的应用问题1：【答案】S 1＝⎠⎛a b f (x )d x .问题2：【答案】S 2＝⎠⎛ab g (x )d x . 问题3：【答案】S ＝S 1－S 2.平面图形的面积(1) f (x )-g (x ) (2) f (x )-g (x )知识点二 定积分在物理中的应用 问题：【答案】变力做功． 1．⎠⎛abv (t )d t 2．W ＝⎠⎛ab F (x )d x例1 解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．因此所求图形的面积为：S ＝⎠⎛03(x ＋3)dx －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2＝92. 跟踪训练1.解：作图，并由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝e －x，解得交点(0,1)．所求面积为⎠⎛01(e x －e －x )dx ＝(e x ＋e －x )＝e ＋1e－2.例2 解：先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，31求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为 S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝423x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22332x －12x 2＋4x ＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛－42⎝⎛⎭⎫4－y －y 22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －12y 2－16y 3＝18.跟踪训练2. 解：画出图形(如下图)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋7，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝10(舍去)， 即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S ＝⎠⎛02(x 2＋1)d x ＋⎠⎛27(7－x )d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |20＋⎝⎛⎭⎫7x －12x 2|72 ＝143＋252 ＝1036. 例3 解：(1)设A 到C 的时间为t 1， 则1.2t 1＝24，t 1＝20 s ，3228224－则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2＝240(m)．(2)设D 到B 的时间为t 2， 则24－1.2t 2＝0，t 2＝20 s ， 则DB ＝⎠⎛020 (24－1.2t )d t＝(24t －0.6t 2)＝240(m)．跟踪训练3. 解：(1)在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m.(2)∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间及上v (t )≥0， 在区间上，v (t )≤0.∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |10－⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |31＋(13t 3－2t 2＋3t )|43＝4(m)， 即在t ＝4 s 时运动的路程为4 m.例4 解：由力位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，2＜x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ＝46(J)．跟踪训练4.解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，解得即0.05k ＝100，∴k ＝2 000， ∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛00.152 000x d x ＝1 000x 2＝22.5(J)．课堂检测 1．【答案】D【解析】由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线2020242.015y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4＝4.2．【答案】B【解析】s ＝⎠⎛36 (3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t ＝(54＋12)－⎝⎛⎭⎫272＋6＝46.5(m)．3．【答案】16【解析】如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 4．【答案】49【解析】由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x ＝23a ＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49. 5．解：由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x－1＝(－36×18－1)－(－36×8－1) ＝(－2)－⎝⎛⎭⎫－92＝52(J)． 从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.26332a3212188。
1.7.2定积分在物理中的应用 闵党生 教师版
1.7.2定积分在物理中的应用课前预习案【学习目标】1.掌握利用定积分求变速直线运动的路程，变力做功；2.提高数学在物理学中的应用能力及“数形结合”的思想方法解决问题的能力；3.感悟学科间的区别与联系.【自主学习】知识梳理（教材概念梳理出1，2……点）1.变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度-时间函数为v=v (t)，则物体在区间［a ，b ］上的位移为定积分 ()ba v t dt ⎰；物体在区间［a ，b ］上的路程为|()|ba v t dt ⎰． 2.确立变力做功的策略首先要确定变力与位移的函数式F(x)，其次是确定变力作用下物体产生的位移，求积分区间上的定积分()ba W F x dx =⎰即可.【拓展】如果做变速直线运动的物体的运动速度与时间的函数关系为：v=v(t)，其在区间［a ，b ］上的运动路程可分以下三种情况求解：(1)当t ∈［a ，b ］，v(t)≥0时，路程()ba s v t dt =⎰，此时路程与位移相等.(2)当t ∈［a ，b ］，v(t)<0时，路程()ba s v t dt =-⎰.(3)当t ∈［a ，c ］，v(t)≥0，t ∈［c ，b ］，v(t)<0时，路程()()c b a c s v t dt v t dt =-⎰⎰.【知识迁移】（2-3个小题）1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)速度是路程与时间的函数关系的导数.( )(2)一个物体在2≤t≤4时，运动速度为v(t)=t 2-4t ，则它在这段时间内行驶的路程为422(4)t t dt -⎰.( ) (3)一物体在力F(x)作用下沿F(x)相同的方向从x=0运动到x=10，则该力对物体做的功为100()F x dx ⎰.( )答案：(1)√ (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)一物体在变力F(x)=2x 2-1作用下沿直线由x=1运动到x=3，则力F(x)所做的功等于________.(2)一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)=27-0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________.(3)做变速直线运动的物体速度是v(t)=5-t2(单位：m/s)，则该物体在第1s到3s间运动的位移为________m.【答案】464 (1),(2)405,(3)333.质点直线运动瞬时速度为v(t)=-3sint，则t1=3s至t2=5s时间内的位移是________.(精确到0.01) 【解析】x=v(t)dt=(-3sint)dt=3cost=3(cos5-cos3)≈3.82.答案：3.82课上互动研讨案【课堂检测】（2-3小题，有客观、主观题）1.设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为( )A.70mB.72mC.75mD.80m【解析】选B.s=(3t2+t)dt==72(m).2.已知弹簧拉长0.02m需要98N的力，则把弹簧拉长0.1m所做的功为( )A.24.5 JB.23.5 JC.22.5 JD.25.0 J【解析】选A.设F(x)=kx，k==4900.所以F(x)=4900x.W=4900xdx=24.5(J).3.已知质点的速度v=10t，则从t=t1到t=t2质点的平均速度为__________.【解析】依题意，质点从t=t1到t=t2的路程为s=10tdt=5t2=5-5，所以质点的平均速度为=5(t1+t2).答案：5(t1+t2)【课上互动研讨】探究一：求变速直线运动的路程例1.一质点在直线上从时刻0()t s =开始以速度243(/)v t t m s =-+运动，求点在4t s =时的位置及经过的路程.解:在t=4 s 时该点的位移为40(t 2-4t+3)d t= 1t 3-2t 2+3t |04=4(m ). 即在t=4 s 时该点距出发点43 m .又∵v(t)=t 2-4t+3=(t-1)(t-3),∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0,在区间[1,3]上,v(t)≤0.∴在t=4 s 时的路程为s= 10(t 2-4t+3)d t+ (31t 2-4t +3)d t + 43(t 2-4t+3)d t = 10(t 2-4t+3)d t- 31(t 2-4t+3)d t+ 43(t 2-4t+3)d t =4(m ).探究二：求变力做功 例 2.由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比，现知2N 的力能使一个弹簧伸长3cm ，试求要把弹簧拉伸0.4m 所做的功.解:由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)=kx,其中x 为伸长量.∴2=0.03k,得k=200(N/m ).于是F(x)=2003x. 故将弹簧拉长0.4 m 所做的功为W= 0.402003x d x=1003x 2|00.4=163(J ). 因此将弹簧拉长0.4 m 所做的功为16 J .（注：每课时探究两个问题，不能照搬教材内容；探究应该是针对本节知识中易错、易混、易漏问题展开.）【当堂训练】（2-3题，有客观、主观题）（使用说明：A 、B 类学生全完成，C 类学生完成前2题）1.物理以速度2()323v t t t =-+做直线运动，它在0t =和t=3这段时间内的位移是_______.【答案】272.物理以速度()2v t t =-做直线运动，则它在1t =和3t =这段时间的路程为_______；则它在第2秒内所走过的路程为_______. 【答案】31,23.做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力()1x F x e =+，则质点沿着与()F x 相同的方向，从点10x =处运动到点21x =处，力()F x 所做的功是_________.【答案】e解析 W ＝⎠⎛01F (x )d x ＝ ⎪⎪⎠⎛01(1＋e x )d x ＝(x ＋e x)10＝(1＋e)－1＝e.【小结与反馈】1.解决变速直线运动位移和路程问题(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．2.解决变力作功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．课后拓展提升案姓名_________小组_________ 得分___________（使用说明：A 类学生完成1-8，B 类学生完成1-7，C 类学生完成1-6）1．如图是一个质点做直线运动的v —t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________．[答案] 9m [解析] 直线OA 方程为y ＝34x ，直线AB 方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为⎠⎛0434x d x ＋⎠⎛46(－32x ＋9)d x ＝38x 2|40＋(－34x 2＋9x )|64＝6＋3＝9. 2.一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 3．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D. 4．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12 B ．3－322 C ．6＋3 2 D ．6－3 2[答案] D[解析] ⎠⎛3636t dt ＝6t | 63＝6－32，故应选D. 5．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．[答案] 23(1132－1) [解析] S ＝∫1001＋t d t ＝23(1＋t )32| 100＝23(1132－1)． 6.以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度v=40-10t 2，求此物体达到最高时的高度.【解析】v ＝0时物体达到最高，此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s.又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s.∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝1603(m)． 7．有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．答案 144 cm 3解析 由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4 ⎪⎪⎪⎠⎛06(6t －t 2)d t ＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 360＝144 (cm 3)．故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3.8．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离；(2)B ，D 间的距离．解 (1)设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2 t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2⎪⎪200＝240(m )， 即A ，C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)⎪⎪ 200＝240(m)． 即B 、D 间的距离为240 m ．。
人教版高中数学选修2-2《1.7.2定积分在物理中的应用》
类型二 变力做功问题 如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m处,求克服弹力所做的功.
l
三、巩固练习、体验新知
类型一、变速直线运动问题 某点在直线上从时刻 t 0( s) 开始，以速度运 动v t 2 4t 5(m / s),求该点前4秒行驶的路程.
解：由题可知
F ( x) kx
其中常数k 是比例系数.
由变力做功公式可得
l
l
1 2 答：克服弹力所做的功为 kl J . 2
1 2l 1 2 W kxdx kx 0 kl ( J ) 0 2 2
四、拓展练习、应用新知
1、帮扶干部在实施国家精准扶贫的路途中，他驾
3t , (0 t 10) (10 t 40)（单位：m/s） 车沿直线以v(t ) 30, 1.5t 90, ( 40 t 60)
谢 谢！
a
类型二
变力做功问题
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如 果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功 为
b a
F(x)dx
三、巩固练习、体验新知
类型一、变速直线运动问题 某点在直线上从时刻 t 0( s) 开始，以速度运 动v t 2 4t 5(m / s),求该点前4秒行驶的路程.
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、创设情境、导入新课
1、理解应用定积分解决求变速直线运动的路程， 求变力做功等问题的实质。 2、应用定积分的思想方法，解决一些简单的变速 直线运动的路程、变力作功等实际问题。 3、在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方 法，加深对定积分的几何意义的理解。 重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的 变速直线运动的路程、变力作功等实际问题。 难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型。
人教版高中数学选修22学案：1.7.2定积分在物理中的应用
1.7.2定积分在物理中的应用【学习目标】1.了解应用定积分解决一些简单的物理问题的思想方法.2．能应用定积分解决变速直线运动的路程、变力所作的功等一些简单的物理问题.【新知自学】 知识回顾：1.定积分的几何意义是____________________________________________.2.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba )(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|bb aa f x dx F x ==⎰________________________． 3.做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[a,b]上的____________，即s=__________________.4.如果物体在变力F(x)（单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的方向从x=a 移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功等于____________________.新知梳理：1.类比用定积分求平面图形面积的方法求变速直线运动的路程、变力所作的功等一些简单的物理问题.2.作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰.3.如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x=a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰对点练习：1.一物体沿直线以1t 2+=υ（t 的单位：s ，υ的单位：m/s ）的速度运动，则该物体在1至2s 间行进的路程为（ ）A.1mB.2mC.3mD.4m2.如果1N 的力使弹簧伸长1cm ，在弹性限度内，为了使弹簧伸长10cm ，拉力所做的功为（ ）A.0.5JB.1JC.50JD.100J3.一物体在力()34F x x =+（x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从0x =处运动到4x =处，求力F(x)所作的功.【合作探究】典例精析：例1. 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程.变式练习：汽车以每小时32km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a=-1.8m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为___________.（保留小数点后两位）例2.一物体在力⎩⎨⎧>+≤≤=)2(43)20(10)(x x x x F （单位：N ）的作用下沿与F(x)相同方向，从x=0处运动到x=4（单位：m ）处，则F(x)力所做的功为（ ）A.44JB.46JC. 48JD.50J变式练习：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．规律总结：1.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数错误!未找到引用源。
1.7.2定积分在物理上的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用1.通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义,掌握用定积分表示某些物理量．2. 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基1定积分的概念及其几何意义;（1）定义表达式：nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰（2）定积分几何意义： ①ba f (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积 ②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数⎰-==ba a fb F dx x f x f x F b a x f )()()(),()(',],[)(,.2则并且上的连续函数是区间如果一般地微积分基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 3. 计算有关物理量时应注意：(1) 要充分理解物理量的意义．(2) 要根据图形的边界曲线情况，选择适当的坐标系，一般地，曲边梯形宜采用直角坐标．(3) 要注意积分变量的选取，以便简化计算．4.设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -， 即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，1n 上( ) A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 1.答案: D解析 由求曲边梯形面积的流程中近似代替可知D 正确， 故应选D. 2． dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-2．答案: D 。
1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
【使用说明】
1、预习本节课教材，用红笔画出疑惑之处；
2、请同学们用严谨认真的学习态度先预习再完成本节课导学案的相应内容；
3、（1）班同学需完成全部导学案；（3）班、（6）班遇到标有“★”题目可选做(学有余力的同学做)。
【学习目标】
1.体会定积分的基本思想。
2.会用定积分解决变速直线运动的路程及变力所做的功等简单的物理问题。
预习案
1、变速直线运动的路程：
做变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v=v(t) (v(t) 0)在时间区间[a,b]上的定积分，即
2、变力做功：
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s（单位：m），则力F所做的功为
探究案
1、一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1分钟行驶的路程。
2、如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，求克服弹力所做的功。
训练案
1、一物体沿直线以v=2t+3(t的单位是s，v的单位是m/s)的速度运动，求该物体在3~5s间行进的路程。
2、一物体在力F（x）=3x+4(x的单位是m，F的单位是N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F（x）的做的功。
《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案1【复习回顾】定积分的几何意义；曲线所围平面图形的面积求法.【学习目标】能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.【例证题】一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 .例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = .例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成︒30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 .【作业】 姓名： 学号：1、 设物体以速度)/(3)(2s m t t t v +=作直线运动，则它在s 4~0内所走的路程为（ ） m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、设列车从A 点以速度)/(2.124)(s m t t v -=开始拉闸减速，则拉闸后行驶m 105所需时间为（ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.3、以初速s m /40竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度,10402t v -=则此物体达到最高时的高度为（ ） m A 3160. m B 380. m C 340. m D 320. 4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度t t a 2)(=，当初速度0)0(=v 时，质点出发后s 6所走的路程为（ ）12.A 54.B 72.C 96.D5、如果N 1能拉弹簧cm 1，为了将弹簧拉长cm 6，所耗费的功为（ ）J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.6、一物体在力523)(2+-=x x x F （力：N ；位移：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处作的功是（ ） J A 925. J B 850. J C 825. J D 800.7、将一弹簧压缩x 厘米，需要x 4牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程.9、把一个带q +电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力的由公式2r q k F =(其中k 为常数) 确定.在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到)(b a b r <=处，求电场力对它所做的功.10、B A ,两地相距m 5，物体a 从A 以速度132+=t v （单位：s m v /,；.,s t ）朝B 做直线运动，同时物体b 以速度t v 10=朝A 做直线运动，问两物体何时相遇？相遇地与A 地的距离是多少？11、一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数,b求抛物线拱的面积.。
学案4：1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用． 2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题． 学习重点：利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所做的功．(重点) 课前探究学习：自学导引定积分在物理中的应用1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移 的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程S 和位移S ′分别为： (1)若V (t )≥0，则S ＝()d baV t t ⎰，S ′＝()d baV t t ⎰.(2)若V (t )≤0，则S ＝－()d baV t t ⎰，S ′＝()d baV t t ⎰.(3)若在区间[a ，c ]上，V (t )≥0，在区间[c ，b ]上V (t )<0， 则s ＝()d caV t t ⎰－()d b cV t t ⎰；S ′＝()d baV t t ⎰.2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝()d bav t t ⎰.(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝()d baF x x ⎰.说明：做变速直线运动的物体所经过的路程s 在数值上其实就是时间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积，而变力做功实际上也是位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积．在变力做功时，不限定F(x)为非负数，这样求出来的定积分可能为负数．当定积分为负数时，说明变力做负功，即克服变力做了功.例题讲解：题型一求变速直线运动的路程、位移例1：一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．规律方法：(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．变式1：变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．题型二求变力所作的功例2：在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．题后反思：解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．变式2：设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．题型三忽视位移有正、负而出错例3：一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4 s时的位置；(2)在t＝4 s时运动的路程．追本溯源：根据速度函数v(t)确定v(t)的符号才能转化为用定积分求路程.学习小结：通过本节课的学习，你收获了哪些知识？参考答案例题讲解：例1：解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程 s 1＝∫40(8t －2t 2)d t －∫64(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为 60(⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪6＝0. (2)依题意(t⎰8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况， t ＝6是所求的值．变式1：解：当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 s ＝()10v t ⎰d t ＋()21v t -⎡⎤⎣⎦⎰d t ＝10(⎰1－t 2)d t ＋21(⎰t 2－1)d t＝⎝⎛⎭⎫t －13t 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13t 3－t ⎪⎪⎪21＝2. 2秒末所在的位置 x 1＝x 0＋()2d v t t ⎰＝1＋2(⎰1－t 2)d t＝1＋⎝⎛⎭⎫t －t 33⎪⎪⎪20 ＝1＋2－83＝13.它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13.例2：解：由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV ＝k .∵V ＝xS (x 指活塞与底的距离)，∴p ＝k V ＝kxS .∴作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝k xS ·S ＝kx .∴所做的功W ＝bak x⎰d x ＝k ·ln x ⎪⎪b a ＝k ln b a .变式2：解：设以x 表示弹簧伸长的厘米数，F (x )表示加在弹簧上的力， 则F (x )＝kx .依题意，使弹簧伸长5 cm ，需力100 N ，即100＝5k ， 所以k ＝20，于是F (x )＝20x .所以弹簧伸长到40 cm 所做的功即计算由x ＝0到x ＝15所做的功： W ＝1520d x x ⎰＝10x 2⎪⎪⎪15＝2 250(N·cm)．例3：解： (1)在t ＝4 s 时该点的位移为4(⎰t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪40＝43(m)．即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m.(2)∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0， ∴在t ＝4 s 时的路程为 S ＝1(⎰t 2－4t ＋3)d t ＋()32143d t t t -+⎰＋43(⎰t 2－4t ＋3)d t＝10(⎰t 2－4t ＋3)d t －31(⎰t 2－4t ＋3)d t ＋43(⎰t 2－4t ＋3)d t ＝4.。
1.7.2 定积分在物理中的应用
3
(2)S 1(e ex )dx 1 0
5.一圆柱形蓄水池高为 5 米，底面半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出， 需做多少功？( 取 3.14，结果保留整数)
解：建立坐标系如图
取 x 为积分变量，x [0,5]
o
x
5
x x
取任一小区间[x, x x],
4 ,t=4s时刻该点距出发点4/3m
3
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
0
1
3
t=4s时刻运动的路程为4
【总结提升】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题 时，将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要 先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求 出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则 会出现计算失误．
高中数学 选修2-2
1.7.2 定积分在物理 中的应用
同学们知道吗，作变速直线运动的物体所经过
的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间
区间[a,b]上的定积分,即
s
b
a v(t )dt
这节课，我们运用定积分知识来解决物理学中
的一些路程问题.
知识点1 变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则 此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
a
【总结提升】
解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来， 这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的 问题．
23 1.7.2定积分在物理中的应用
第 1 页1.7.2定积分在物理中的应用班级： 姓名： 小组：学习目标 1.了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2.掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
学习重点难点重点：定积分的概念及几何意义。
难点：定积分的基本性质及运算的应用。
学法指导 通过课前自主预习，理解定积分基本定理；小组合作探究得出用定积分解决物理中的简单问题的方法．课前预习 （阅读课本58-59页，独立完成以下题目）1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数)0)((),(≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即=s 。
2．如果物体沿恒力F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功W = ． 3．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 移动到x = b （a <b ），则变力F (x )所做的功=W 。
预习评价 （学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）1. 变速直线运动的物体速度为t t v -=2)(，则它在前s 1内所走的路程为 。
2. 一物体在变力24)(x x F -=作用下，沿与)(x F 相同的方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 。
课堂学习研讨、合作交流一．新课探究：1.变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 。
2.变力做功：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = 。
二．典型例题：例1：一辆汽车速度的速度﹣时间曲线如右图所示， 求汽车在这一分钟行驶的路程。
例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所做的功。
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1.7.2定积分在物理中的应用
【学习目标】
1.了解应用定积分解决一些简单的物理问题的思想方法.
2．能应用定积分解决变速直线运动的路程、变力所作的功等一些简单的物理问题.
【新知自学】
知识回顾：
1.定积分的几何意义是______________________ ______________________.
2.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，
那么
=⎰
dx x f b
a
)(________．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|b
b
a
a
f x dx F x ==⎰
________________________．
3.做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[a,b]上的____________，即s=__________________.
4.如果物体在变力F(x)（单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F(x)相同的方向从x=a 移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功等于____________________.
新知梳理：
1.类比用定积分求平面图形面积的方法求变速直线运动的路程、变力所作的功等一些简单的物理问题.
2.作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()b
a
s v t dt =
⎰
.
3.如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()b
a
W F x dx =
⎰
对点练习：
1.一物体沿直线以1t 2+=υ（t 的单位：s ，υ的单位：m/s ）的速度运动，则该物体在1至2s 间行进的路程为（ ）
A.1m
B.2m
C.3m
D.4m
2.如果1N 的力使弹簧伸长1cm ，在弹性限度内，为了使弹簧伸长10cm ，拉力所做的功为（ ） A.0.5J B.1J C.50J D.100J
3.一物体在力()34F x x =+（x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从0x =处运动到4x =处，求力F(x)所作的功.
【合作探究】
典例精析：
例1. 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程.
变式练习：
汽车以每小时32km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a=-1.8m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为___________.（保留小数点后两位）
例2.一物体在力⎩
⎨⎧>+≤≤=)2(43)
20(10)(x x x x F （单位：N ）的作用下沿与F(x)相同方向，从x=0
处运动到x=4（单位：m ）处，则F(x)力所做的功为（ ）
A.44J
B.46J
C. 48J
D.50J
变式练习：
如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
规律总结：
s ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间
[],a b 上的定积分，即()d b
a s v t x =⎰．
2.如果这个力F 是一个变力，即物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与
()F x 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<，那么变力()F x 所作的功()d b
a
W F x x =⎰．
【课堂小结】
【当堂达标】
1. 如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ ） A ．0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
2.一物体沿直线以23v t =+（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）的速度运动，求该物体在3s 到4s 间行进的路程.
3.一点在直线上从时刻t=0（单位：s ）开始以速度34t 2
+-=t υ（单位：m/s ）运动，求：
（1）在t=4s 时的位置；
（2）在t=4s 时的运动的路程.
【课时作业】
1. 物体作变速直线运动的速度为v (t )，当t =0时，物体所在的位置为0s ，则在1t 秒末时它所在的位置为（ ） A ．⎰1
0)(t dt
t v B ．
⎰+1
0)(t dt
t v s
C ．
1
)(s dt t v t -⎰
D ．
⎰-1
0)(t dt
t v s
2.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ）
A ．0.28J
B ．0.12J
C ．0.26J
D ．0.18J
3.有一横截面为4cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为2
6)(t t t -=υ（单
位：cm/s ）（0≤t ≤6），则t=0到t=6这段时间流出的水量为_______________.
4.A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求
（1）A 、C 间的距离； （2）B 、D 间的距离；
（3）电车从A 站到B 站所需的时间.
5.物体A 以速度132
+=t R （米/秒）在一直线上运动，同时物体B 也以速度r=10t （米/秒）
在同一直线上与A 同方向运动，问多少时间后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离各是多少？。