2017考研数一真题答案及详细解析
2017年全国研究生入学考试考研数学(一)真题及答案解析
一点的密度为 9 x2 y2 z2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C 。
（I）求 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程；
3
（9）已知函数
f
(x)
1 1 x2
，则
f
(3) (0)
_______。
【答案】 0
【解析】
因为
f
(
x)
1
1 x2
1 x2
x4
x6
n
( x2 )
n0
n
(1) x2n
n0
n
f (x) (1) 2n(2n 1)(2n 2)x 2n3
n0
将 x 0 带入 f (0) 0
（10）微分方程 y 2 y 3y 0 的通解为 y _______。
程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)设函数
f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数，y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y
x0
，
dx2
x0 。
【解析】由复合函数求导法则，可得：
dy dx
f1ex
f2(sin x)
dy 故 dx
x0
f1(1,1)
进一步地：
5
d2y dx2
ex
[V2
(t
)
V1
(t
)]dt
，由定积分的几何意义可知，
25
0 [V2
(t)
V1 (t )]dt
20
10
10
，可知
t0
25
，故选（C）。
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
2017考研数一真题及答案解析
设函数
f
(u, v) 具有 2 阶连续偏导数，
y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y x0 ， dx2
x0
【答案】 dy dx
x0
f1'
(1,1),
d 2y dx 2
x0
f ''
11
(1,1),
【解析】
x0
y f (ex , cos x) y(0) f (1,1)
dy dx x0
() 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
() 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
解：1）由于 lim f (x) 0 ，根据极限的保号性得 x x0
【答案】C
【解析】
f
(x)
f
'(x)
0,
f f
(x) 0 (1)
'(x) 0
或
f f
(x) 0 '(x) 0
(2)
，只有
C
选项满足
(1)
且满足
(2)
，所以选
C。
（3）函数 f (x, y, z) x2 y z2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 u 1, 2, 2 的方向导数为（ ）
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x 2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
2017考研数学一真题及答案
．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。
（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。
2017考研数学一答案及解析
2017考研数学一答案及解析（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2P X P X====，Y的概率密度为2,01 ()0,y yf y<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}P Y EY ≤；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度。
【答案】 （Ⅰ）49（Ⅱ）()11()(1)22Z Y Y F z F z F z =+- 【解析】（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：1202()23EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰，则{}2233024()239P Y EY P Y f y dy ydy -∞⎧⎫≤=≤===⎨⎬⎩⎭⎰⎰ （Ⅱ）先求Z 的分布函数，由分布函数的定义可知：(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤。
由于X 为离散型随机变量，则由全概率公式可知(){}{}{}{}{}{}{}0|01|111Y z 12211()(1)22Z Y Y F z P X Y z P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z =+≤==+≤=+=+≤==≤+≤-=+- （其中()Y F z 为Y 的分布函数：(){}Y F z P Y z =≤）（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计σ （Ⅰ）求1Z 的概率密度；（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；（Ⅲ）求σ的最大似然估计量。
【答案】（Ⅰ）()222,0()'0,0z z f z F z z σ-⎧>==≤⎩（Ⅱ）^1n i i Z σ===（Ⅲ）^σ=【解析】（Ⅰ）因为2~(,)i X N μσ，所以2~(0,)i i Y X N μσ=-，对应的概率密度为()22y Y f y σ-=，设i Z 的分布函数为()F z ，对应的概率密度为()f z ； 当0z <时，()0F z =；当0z ≥时，(){}{}{}22y z i i i F z P Z z P Y z P z Y z dy σ--=≤=≤=-≤≤=⎰；则iZ 的概率密度为()22,0()'0,0z z f z F z z σ-⎧>==≤⎩；（Ⅱ）因为2220z i EZ dz σ-+∞==⎰i σ=，从而σ的矩估计量为^1n i i Z σ===；（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为()22121,,,i Z nn i L z z z σσ-==……，，取对数得：221ln ln 2n i i Z L σσ=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑，所以231ln ()1n i i Z d L d σσσσ=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑，令ln ()0d L d σσ=，得σ=σ的最大似然估计量为^σ=。
2017年考研数学一真题及答案(全)
(D) P(B | A) P(B | A) ．
【答案】A
【 详 解 】 由 P(A | B) P(A | B) 得 P(AB) P( AB) P( A) P( AB) , 即 P(B) P(B) 1 P(B)
P(AB)>P(A)P(B) ;
数学（一）试题 第 2 页（共 4 页）
由 P(B | A) P(B | A) 也可得 P(AB)>P(A)P(B) .
2
2
(A) A 与 C 相似， B 与 C 相似．
(B) A 与 C 相似， B 与 C 不相似．
(C) A 与 C 不相似， B 与 C 相似．
(D) A 与 C 不相似， B 与 C 不相似．
【答案】B
【详解】 A,B 的特征值为 2,2,1,但 A 有三个线性无关的特征向量,而 B 只有两个,所以
1
1 2 3 ，故有 1,2,3 1 ，即A1,1,1T .
1
Ax 的通解为k1,2,1T (1,1,1)T (k为任意常数).
（21）（本题满分 11 分）．
设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 ax32 2 x1 x2 8 x1 x3 2 x2 x3在正交变换 x Qy 下
【答案】C
(B) 15 t0 20 ． (C) t0 25 ．
(D) t0 25 ．
【详解】在 t0 25时,乙比甲多跑10 m,而最开始的时候甲在乙前方10 m 处. （5）设 α 为 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
(A) E ααT 不可逆．
(B) E ααT 不可逆．
【答案】 1 (x 1)2
【详解】
(1)n1nxn1
n1
2017年考研数学一真题及解析
【解析】
两边求导得：
3x2 3y2 y ' 3 3y ' 0
（1）
令 y ' 0 得 x 1
对（1）式两边关于 x 求导得
6x 6 y y '2 3y 2y '' 3y '' 0
（2）
将
x
1
代入原题给的等式中，得
x y
1 or
1
x
( A)ab 1 2
(C)ab 0
B ab 1
2
D ab 2
【答案】A
【解析】 lim 1 cos
x
lim
1x 2
1
, f ( x) 在 x 0 处连续
1
b ab 1 . 选 A.
x0
ax
x0 ax 2a
2a
2
（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) 0 ，则（ ）
x x0 () 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根； () 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
f
' 2
(1,1)
（16）（本题满分
10
分）求
lim
2017年考研数学一真题(含完整答案)
:899*()):899*()):899*()):8999*())):8*(*((18)(本题满分10分）f(x)设函数f(x)在区间[0, 1]上具有2阶导数，且八1)> 0, lim < 0. 证明：x---->O+ X(I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；(II)方程f(x)f"(x)+ [ /'(x) ]2 =0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根．(19)(本题满分10分）设薄片刑物体S是圆锥面z=�了石了被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为µ(x,y,z) =9心；2+y2 +z2. 记圆锥面与柱面的交线为C.(I)求C在x Oy平面上的投影曲线的方程；(II)求S的质量M.(20)(本题满分11分）设3阶矩阵A= («1 , «2 , «3)有3个不同的特征值，且也=«1+ 2也·(I)证明r(A)=2;(II)设/3=«1 +«2十也，求方程组Ax=/3的通解．—3—(21)(本题满分11分）设二次型/(X 1,x2 ,x3) =2xf -式+a式+2x1 x2 -8x1 x3 + 2x2x3在正交变换X=Qy下的标准形为入忒＋入义，求a的值及一个正交矩阵Q.(22)(本题满分11分）设随机变械X,Y相互独立，且X的概率分布为PjX=Of=P1X=2f =—,Y的概率密度为2/(y) =( 2y, 0 <y < 1,0, 其他(I)求PjY�E(Y) f;(II)求Z=X+Y的概率密度(23)(本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测蜇，该物体的质量µ是已知的．设n次测量结果X1,X2'…, x n相互独立且均服从正态分布N(µ,矿），该工程师记录的是n次测械的绝对误差z i= I x i-µI (i =1,2, …，n). 利用Z1,Z2'…，Z n估计O".(I)求Z1的概率密度；(II)利用一阶矩求6的矩估计酰；c m)求6的最大似然估计量．—4—。
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。
2017年考研数学一真题及答案解析
2 x + c2 sin 2 x)
ò
xdx - aydy 在区域 D = ( x, y) | x2 + y 2 < 1 内与路径无关，则 L x2 + y 2 - 1
{
}
a = __________
【答案】 a = 1 【解析】
¶P -2 xy ¶Q 2axy ¶P ¶Q = 2 , = 2 , 由积分与路径无关知 = Þ a = -1 2 2 2 2 ¶y ( x + y - 1) ¶x ( x + y - 1) ¶y ¶x
x =0
= f1' (1,1) ×1 + f 2' (1,1) × 0 = f1' (1,1)
d y '' 2 x '' x '' x '' = f11 e + f12 e (- sin x) + f 21 e (- sin x) + f 22 sin 2 x + f1'e x - f 2' cos x 2 dx d2y '' Þ 2 = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) dx x =0
（2）设函数
f ( x) 可导，且 f ( x) f ' ( x) > 0 ，则（
）
( A) f (1) > f (-1) (C ) f (1) > f (-1)
【答案】C
( B ) f (1) < f (-1) ( D ) f (1) < f (-1)
【解析】! f ( x) f ' ( x) > 0,\ í
2017年考研数学一试卷真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。
2017年全国考研数学一真题及答案解析.doc
2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育 数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xx f x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学 自强不息位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）0510********()s (/)v m s 10200000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。
2017年考研数学一真题及解析
(A)t0 10 (B)15 t0 20 (C)t0 25 (D)t0 25
【答案】B
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
t0 0
v1
(t)dt
,
t0 0
v2
(t)dt
,
则乙要追上甲，则
t0 0
v2 (t)
v1 (t)dt
10
，当 t0
25 时满足，故选
C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
故可逆。其它选项类似理解。
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）设矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 ,C 0 2 0 ,则（ ）
0 0 1 0 0 1 0 0 2
( A) A与C相似, B与C相似 B A与C相似, B与C不相似 (C) A与C不相似, B与C相似 D A与C不相似, B与C不相似
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
u {4,1, 0}{ 1,
|u|
3
2, 3
2} 2. 3
选 D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t) （单位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时 开始后乙追上甲的时刻记为 t0 （单位：s），则（ ）
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
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O 在 式中令y '=o得x = — l,x = l.
当x 分别取 — 1和1时 ，由x3 +y 3 -3x+3y — 2 = 0得 y ( —1) = O,y (1) =1.
将x = — l,y ( —l) = O 及 y '(-1) = 0代入＠式得 y" ( —1) = 2.
因为y'c -1) =o,y"c -1)>o,所以y ( — 1) = 0是 y (x)的极小值．
2017年（数 一）真题答案解析
一、选择题
Cl) A
l —cos石 解由f(x) = { ax'
b'
x>O
＇在
x
=
O
处连续
，
得limf(x) x一o+
=
b.
x�O
l — cos石
x
又limf(x)= lim-
= lim
=上 =b.
x-o +
_,. •ll I
ax
ce�千o + 2ax 2a
所以ab = —2 ．故应选 A.
xn
=l
X +x·
所以，S(x )
=(1
X +x)
1
1 =o三） 2
,x
E
C — 1,1).
故应填 Cl+x)
2
·
03) 2
解 (Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = ACa 1 ,a z ,a 3 ),因为a 1 ,a z ,a 3 线性无关，故矩阵(a 1 心心）可逆， 所以，r(Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = r(A),易知，r(A) = 2. 故应填2. (14) 2
PCB IA) = P(凡
1 —P(A)
1 -P (A)
P(B)[l —P(A)]
1-P(A)
= P(B).
故 P(B IA)>P(B IA).故应选 A.
(8) B
解 因为 X; ,__,N (µ , 1), 所以X厂 µ ,__,N(O,l),
畔(X; —卢～农 (n)' 故A正确；
n
因为(n-12 )5
J t = 10时，s1Ct)-s2Ct) = 厂压 (t) — V 2 (t) dt = lO.
『 15 < t < 20时 ， 1·I (t) —Sz(t) = I: 压(t) — v2(t)]dt = 10+ :0[v 1 (t) ::_ v 2 (t)]dt 『25 — > 10+ 10 [V 1 Ct) v 2 (t)]dt = 10 — 20 = --10.
(10) e-xcc 1 cos迈x+C 2 sin迈x)
解 微分方程的特征方程为
r2 +2r+3 = o.
特征根为九 ,2 = — 1士拉i. 因此，原方程的通解为 e—x cc 1 cos迈-x+ C 2 sin立丘）． 故应填 e-x CC1 cos 迈-x+C闷n 迈-x).
(ll) -1
— ay
J'(c)=O. 令F(x) = f(x)J'(x),由题设知F(x)在区间[O,b]上可导 ，且
F(O)=O,F(c) = O,F(b) =O.
根据罗尔定理，存在狂E(O,c),r;E(c,b),使得F'(�) = F勺） = O,
即�. 刀是方程f(x)广(x)+CJ'(x))2 = O在区间co'1)内的两个不同实根．
2
=
�(X;- X)
;-1
1
2
～农
(n-1 ),
扛 因为灭�N(µ n
所以X1-µ �N(0,1),
五
故 C 正确；
则 n (又—µ) z �x气1)'故 D 正确．
对于 B 选项： X n -X i �N(0,2),
( z ) ,__,x 则 X — X1 n
�N(0,1), 所以
趴—X 1
2
气1) 从而 B 错误．
M
= JI9妇+
2
y
+z2 dS.
又S在xOy 面上的投影区域为D = {(x , y ) lx 2 + y 2 ::(2x}, 所以
( ）（ ,-) M = 9Jf 互x三万 l+
X
2
+
y
D
J 立了
厂
dxdy
厂 = 13ff
dxdy
叫厂 =18J�f
,or• rdr
= 48J i �cos3 0d0 = 64.
不妨设入I =-3,入2 = 6,儿=O.
矩阵A属于特征值入1 = — 3的单位特征向量为/J 1= -(1 ,-l,l)气 忒
1 属于特征值,lz = 6的单位特征向量为P 2= -c — 1 ,0,1 )气
迈
1 属于特征值儿 = O的单位特征向量为p 3 = -( 1 ,2,1 )气
顶
1
忒
—1
故所求的 一个正交矩阵为Q = CP1 ,P 2,P 3 )= j -
将 x = l, y (l)=l及 y '(l) = O代入＠式得 y " (1) = —1.
因为y' (I) = o,y" (1)<o,所以 y (l) = l是 y (x)的极大值．
f(x)
(18)解 C I) 由题设知 f(x)连续且xl-imo+ X 存在， 所以f(O) =O.
j(.r)
J(a)
(7) A
解 因为p (A IB)>P(A I五），
所以
P(AB) P(B)
P(A 五） P(A) —P(AB)
=
p (B)
1-P(B) '
则 P(AB)>P(A)P(B).
而
PCB
I
A)
=
P(AB) P(A)
P(A)P(B) > P(A)
=P(B),
P(B A) P(B) —P(AB) P(B)-P(A)P(B)
戎
故应选 B.
二、填空题
(9) O
解
根据
f
(x)
=
1
I+x
2
的幕级数展开式求解
卢） =
1
= 2=�(- l) n丘=�
I+x
一11 0
n =O
J<n)(O)
n ! x",(lxl<D.
故有 /'"'(O)�r-1) 号n ! , n 为偶数，
O,
n 为奇数
o. 所以 1 <3) (0) =O. 故应填
(20)解 C I) 由a严a1 +Za 2 ,知a1 ,a2 ,a 3 线性相关 ， 故r(A)�2.
又因为A有3个不同的特征值，所以 A至少有2个不为零的特征值，从而r(A) ?::2. 故r(A)= 2.
1 <lI)由a, +2a,- ,-o,知A(�J-o,故(�J为方程组Ax-0的 一个解．
。 t = 25时，.I'I Ct) — .I' 2 (t) =厂压 (t)- V 2 (t)]dt
o
s
=f 0
压(t)
—
V
2
(t)] dt +
r 10
压(t)
-叭t)]dt
= 10 — 20 =-10.
f。 [ t > 2 5 时， S 1 (t) - S 2 (t) = V 1 (t) - V 2 (t) ]dt
:
u 又r(A)-2,所以[�』为 FO的 个基础解系．
:
/
J所以
为方程组Ax-/1的 一个特解．
1
故Ax-/1的通解为x+JH(2 ,其中k为任意常数
1
(21 )解二次型J的
矩阵 �
-4
2
J
A-[ I -1 1 .
』 由题设知IAI�一。：又I�l-6"_ a,于是a-2.
1 矩阵A的特征多项式为 入E-AI = 入（入十3)(入-6)'所以特征值为一 3,6,o.
aP aQ
oy ax·
- 2ax-y
-'故 a =— 1.
解 令 S(:r) = �(— u n-1 nx n-i ,x E ( — 1,1).
＂二l
J: ］ 『。 则 S(x)dx =『：心(— l)n-lnxn—1 dx =�(- l) n—1 nx n-ldx 11-I
=�(—
n -1
l)n-1
故应选A.
(6) B
解 因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2. 所以，要判别 A 和B 能否相似对角化，只需考察属于 2 的线性无关的特征向量的个数即可． 对于 A,属于 2 的线性无关的特征向量的个数 3-r(2E —A)=3-l= 2. 对于 B,属于 2 的线性尤关的特征向量的个数 3-r(2E —B)=3 — 2=1. 所以，A 可以和 C 相似，但是 B 不能． 故应选B.
(2) C
解由f(父:)f'(x)>o,可得2f(x)J'(x) >o, 即［尸(x)]'>o.
因此尸 (x)严格单增 ， 故有IJCx)I严格单增 ， 所以有厅Cl)l>IJC — DI. 故应选 C.
(3) D
解向量n= (l,2,2)的方向余弦为：
1
2
2
cosa = —,cos/J = -,cosy = -.
d—y = dx